zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Sự hội tụ trung bình cho mảng kép các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên mờ độc lập đôi một và cùng phân phối trong không gian tổ hợp lồi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, không gian metric được trang bị phép toán tổ hợp lồi và gọi là không gian tổ hợp lồi. Dựa trên định nghĩa về không gian tổ hợp lồi đưa ra bởi Terán và Molchanov năm 2006, chúng tôi thiết lập sự hội tụ trung bình cho mảng kép các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên mờ độc lập đôi một cùng phân phối trong không gian tổ hợp lồi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự hội tụ trung bình cho mảng kép các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên mờ độc lập đôi một và cùng phân phối trong không gian tổ hợp lồi

Số 63, tháng 12-2023, Tạp chí Khoa học Tây Nguyên SỰ HỘI TỤ TRUNG BÌNH CHO MẢNG KÉP CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN MỜ ĐỘC LẬP ĐÔI MỘT VÀ CÙNG PHÂN PHỐI TRONG KHÔNG GIAN TỔ HỢP LỒI Phạm Trí Nguyễn1 Ngày nhận bài: 21/06/2023; Ngày phản biện thông qua: 06/12/2023; Ngày duyệt đăng: 10/12/2023 TÓM TẮT Trong bài báo này, (Ξ, d ) là không gian metric được trang bị phép toán tổ hợp lồi và gọi là không gian tổ hợp lồi. Dựa trên định nghĩa về không gian tổ hợp lồi đưa ra bởi Terán và Molchanov năm 2006, chúng tôi thiết lập sự hội tụ trung bình cho mảng kép các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên mờ độc lập đôi một cùng phân phối trong không gian tổ hợp lồi. Từ khóa: Hội tụ trung bình; Độc lập đôi một và cùng phân phối; Không gian tổ hợp lồi. 1. MỞ ĐẦU - Phạm vi nghiên cứu: Các định lý giới hạn { } Ta biết rằng, nếu X , X1, X 2 ,... là dãy các trong lý thuyết xác suất. biến ngẫu nhiên thực độc lập cùng phân phối với - Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phối hợp EX hữu hạn thì ta có sự hội tụ theo trung bình các phương pháp nghiên cứu lý thuyết thuộc các (Gut, 2005, p.309]), chuyên ngành xác suất và giải tích. 1 n 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN E ∑ X − EX → 0 khi n → +∞. Kết quả n i =1 i Để thuận tiện cho việc trình bày kết quả chính này sau đó đã được nhiều tác giả nghiên cứu và của bài báo, ta nhắc lại một số khái niệm về không mở rộng, chẳng hạn ta có thể tham khảo một số sự gian tổ hợp lồi và biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong mở rộng trong các công trình (Cabrera & Volodin, không gian tổ hợp lồi (chi tiết xem trong (Terán & 2005; Sung, 2013; Thanh, 2005). Molchanov, 2006; Terán & Molchanov, 2006)). Năm 2006, Terán và Molchanov (Terán & ( ) Cho Ω, A , P là không gian xác suất đầy đủ. Molchanov, 2006) đưa ra khái niệm không gian Với A ∈ A , ký hiệu I {A} là hàm chỉ tiêu của A tổ hợp lồi, đó là không gian metric được trang và (Ξ, d ) là không gian metric đầy đủ và khả ly. bị phép toán tổ hợp lồi. Cũng trong (Terán & Trang bị trên Ξ một phép toán tổ hợp lồi n sau: như Molchanov, 2006; Terán & Molchanov, 2006), Với n ≥ 2 các số λ1,..., λn > 0 thoả mãn ∑ ëi = 1 Terán và Molchanov đã chứng minh luật mạnh số i =1 lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu và ∀u1,..., un ∈ Ξ , phép toán tổ hợp lồi cho kết n nhiên mờ độc lập đôi một cùng phân phối (viết tắt: quả là một phần tử của Ξ ký hiệu là λi , ui  i =1 p.i.i.d) trong không gian tổ hợp lồi. hoặc [λ1, u1 ;...; λn , un ] . Giả thiết rằng [1, u ] = u Gần đây, trong (Quang & Nguyen, 2015) tác giả với ∀u ∈ Ξ , đồng thời 5 tiên đề sau được thoả mãn: đã chứng minh một số kết quả về sự hội tụ trung bình của mảng kép các biến ngẫu nhiên mờ trong • TĐ1 (Tính giao hoán) n n không gian tổ hợp lồi với các trường hợp có hoặc λi , ui  = λσ (i ), uσ (i )  với mọi hoán vị  i =1   i =1 không có điều kiện compact khả tích đều. Tiếp nối hướng nghiên cứu trên, trong bài báo này ta thiết σ của {1, 2,..., n} . lập kết quả về sự hội tụ trung bình của mảng kép • TĐ2 (Tính kết hợp) n +2 các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên mờ λi , ui  = λ1, u1 ;...; λn , un ;   i =1  p.i.i.d trong không gian tổ hợp lồi.   2  λn + j 2. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN λn +1 + λn +2 ,  , un + j   CỨU  λn +1 + λn +2   j =1     - Nội dung nghiên cứu: Nghiên cứu và thiết lập • TĐ3 (Tính liên tục) Nếu u, v ∈ Ξ và các định lý về sự hội tụ theo trung bình của mảng λ (k ) → λ khi k → ∞ thì kép các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên λ (k ), u;1 − λ (k ), v  → λ, u;1 − λ, v  . mờ p.i.i.d trong không gian tổ hợp lồi.     - Đối tượng nghiên cứu: Sự hội tụ theo trung • TĐ4 (Độ cong âm) Với mọi u1, u2 , v1, v2 ∈ Ξ bình dạng nhiều chiều. ( ) và λ ∈ 0,1 thì 1 Trường Đại học Điện lực; Tác giả liên hệ: Phạm Trí Nguyễn; ĐT: 0972823080; Email: nguyenpt@epu.edu.vn. 1
Số 63, tháng 12-2023, Tạp chí Khoa học Tây Nguyên ( d λ, u1 ;1 − λ, u2  , λ, v1 ;1 − λ, v2      ) → 0 khi a → +∞ , nên nó là khả tích đều. Với x ∈ Ξ và a, b ∈  , ta ký hiệu ( ) ( ) ( ≤ λd u1, v1 + 1 − λ d u2 , v2 . ) x := d (x ; u 0 ) , a ∨ b =max a, b .{ } u0 TĐ5 (Sự lồi hóa) Với mỗi u ∈ Ξ , tồn tại n lim n −1, u  , giới hạn này được ký hiệu bởi { Bổ đề 3.3. Giả sử X mn : m, n ≥ 1 là mảng } n →∞  i =1 kép các biến ngẫu nhiên thực khả tích và p.i.i.d. K Ξu (hoặc Ku nếu không sợ nhầm lẫn) và K Khi đó ta thu được sự hội tụ theo trung bình được gọi là toán tử lồi hóa. 1 m n Không gian metric trang bị phép toán tổ hợp E ∑ ∑ X − EX11 → 0 mn = 1 = 1 ij i j (1) lồi thỏa mãn 5 tiên đề nêu trên được gọi là không gian tổ hợp lồi. khi m ∨ n → +∞. Ánh xạ X : Ω → Ξ được gọi là biến ngẫu nhiên Chứng minh. Theo Nhận xét 3.2, ta có nhận giá trị trên Ξ ( Ξ – giá trị) nếu X −1 (B ) ∈ A { } X mn : m, n ≥ 1 là khả tích đều. Mặt khác, ta biết với mọi B ∈ B (Ξ) , trong đó B (Ξ) là σ − đại số rằng trong không gian hữu hạn chiều thì điều kiện Borel trên Ξ . Phân phối xác suất PX của X cho khả tích đều tương đương với điều kiện compact { } bởi: PX (B ) = P X −1 (B ) , ∀B ∈ B (Ξ) . Hai biến khả tích đều. Do đó, áp dụng Bổ đề 3.3 (Nguyen, 2022) (trường hợp r = 1 ) ta thu được kết quả (1). ngẫu nhiên Ξ – giá trị X ,Y gọi là cùng phân phối nếu PX = PY . { Định lý 3.4. Giả sử X mn : m, n ≥ 1 là mảng} { Họ biến ngẫu nhiên Ξ – giá trị X i : i ∈ Λ ( } kép các biến ngẫu nhiên Ξ – giá trị khả tích và p.i.i.d. Khi đó ta thu được sự hội tụ theo trung bình Λ là tập chỉ số) gọi là độc lập đôi một nếu họ các { } σ − đại số σ (X i ) : i ∈ Λ là độc lập đôi một, ở  Ed  m −1, n −1, X ij   , n m    j =1 i =1 đây σ (X i ) { = X i−1 (B ) : B ∈ B (Ξ) . }   m −1, n −1, EX n   m Cố định u 0 ∈ K (Ξ) , biến ngẫu nhiên Ξ – giá   11  j =1   trị X được gọi là khả tích nếu Ed (u 0 , X ) < +∞  i =1   . Tập hợp các biến ngẫu nhiên khả tích trên Ξ ký → 0 (2) khi m ∨ n → +∞. hiệu là L( Ξ ). Giả sử X là biến ngẫu nhiên đơn Chứng minh. Ta xét 2 trường hợp sau giản nhận các giá trị x i ∈ Ξ tương ứng trên các tập Ωi (i = 1,…, n). Khi đó kỳ vọng của X được định TH1: Giả sử X11 là biến ngẫu nhiên đơn giản n nhận các giá trị u1,..., u p trên Ξ . nghĩa bởi EX P (Ωi ), Kx i  . Nếu X ∈ L( Ξ ), =  i =1 Theo bất đẳng thức tam giác và sử dụng giả tồn tại dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản hội tụ đến thiết cùng phân phối ta có X . Khi đó EX được định nghĩa là giới hạn của  m dãy các kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên đơn giản. d  m −1, n −1, X n  , m −1, n −1, EX n   m  Ta có d(EX;EY) ≤ Ed(X;Y), ∀X ,Y ∈ L( Ξ ).  = 1= 1   ij  j  i    11  j   = 1= 1   i Ký hiệu c( Ξ ) là tập hợp tất cả các tập con  m m  ≤ d  m −1, n −1, X ij   , m −1, n −1, KX ij    n n compact khác rỗng của Ξ . Định lý 6.2 (Terán & = 1 = 1 i 1     j i   j   = 1=    Molchanov, 2006) chỉ ra rằng nếu Ξ là không gian  m m  +d  m −1, n −1, KX ij   , m −1, n −1, EX ij    n n tổ hợp lồi, thì c( Ξ ) cùng với metric Hausdorff dH  = 1= 1     j i 1= 1      j i cũng là không gian tổ hợp lồi. Do (c( Ξ ), dH ) là  =  không gian metric đầy đủ và khả ly, nên các khái= (T ) + (T ). : (3) 1 2 niệm và tính chất về kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Tiếp theo, ta đánh giá (T1 ) và (T2 ) . Sử dụng khả tích c( Ξ ) – giá trị cũng tương tự như biến lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 3.3 ngẫu nhiên khả tích Ξ – giá trị. Nếu X ∈ L(c( Ξ )), (Nguyen, 2022), với ε > 0 bất kỳ, mọi ω ∈ Ω và thì ta ký hiệu kỳ vọng của X là E c(Ξ )X . m ∨ n đủ lớn, thì { Định nghĩa 3.1. Mảng kép X mn : m, n ≥ 1 } (T1 ) < ε ⇒ E (T1 ) < ε . (4) các biến ngẫu nhiên thực được gọi là khả tích đều nếu Mặt khác, theo Bổ đề 2.1 [9] và Bổ đề 3.3 [7] { } sup E X mn I X mn > a → 0 khi a → +∞ .    n m −1  −1  { } p m ,n ≥1 = d= ut , Kut    , (T2 )  m , n , I X  { Nhận xét 3.2. Nếu X mn : m, n ≥ 1 là mảng }      ij t =1  j =1  i =1 kép các biến ngẫu nhiên thực khả tích cùng phân m   −1  −1   n phối thì do { } p m , n , P X ij = ut , Kut     sup E X mn I X mn > a m ,n ≥1 { = E X11 I X11 > a} {   }   t =1  j =1    i =1  2
Số 63, tháng 12-2023, Tạp chí Khoa học Tây Nguyên ({ } { }) p 1 m n ≤ ∑ ∑ ∑ I Xij = − P Xij = ut ut  m mn = 1 = 1 Ed  m −1, n −1, X ij   , n = 1 t i j ut    j =1 i =1   u0 ({ } { }) p m n 1 ≤C∑ ∑ ∑ I Xij = − P Xij = , ut ut m −1, n −1, ϕ (X )n   m mn = 1 = 1   ij  j =1   i =1  = 1 t i j k  với C = max ut { u0 } : 1 ≤ t ≤ p . Áp dụng Bổ 1 m n  đề 3.3 cho mảng kép các biến ngẫu nhiên thực ≤ ∑ ∑ Ed(X11, ϕk (X11 )) < ε , mn = 1 = 1 (8) {{ } { } } i j I X ij = − P X ij = : i, j ≥ 1 p.i.i.d ta ut ut  m d  m −1, n −1, Eϕk (X ij )  , n suy ra với mỗi t = 1,..., p và m ∨ n → +∞, thì    j =1 i =1   E 1 m n mn = 1 = 1 ({ ∑ ∑ I Xij = − P Xij = → 0. ut ut } { }) m −1, n −1, EX n   m  i j    11  j =1  i =1  Do đó: E (T2 ) → 0 khi m ∨ n → +∞. (5)  1 m n Kết hợp (3), (4), (5) và với m ∨ n → +∞ ta ≤ ∑ ∑ Ed(X11, ϕk (X11 )) < ε . mn = 1 = 1 (9) nhận được (2). i j TH2: Xét trường hợp tổng quát khi X11 là biến Từ (6), (7), (8) và (9) ta suy ra (2). ngẫu nhiên khả tích bất kỳ. Tiếp theo, ta thiết lập sự hội tụ theo trung bình Với mỗi ε > 0 , theo Mệnh đề 4.1(d) (Terán, cho mảng kép các biến ngẫu nhiên mờ trong không & Molchanov, 2006), tồn tại k ≥ 1 sao cho gian tổ hợp lồi. Trước hết ta trình bày một số ký ( ) Ed ϕk (X11 ), X11 < ε . Bởi bất đẳng thức tam hiệu và khái niệm liên quan (chi tiết xem trong (Li et al., 2022; Terán & Molchanov, 2006)). giác ta có  m m  Ký hiệu A := dH (A;{u 0 }) , A ∈c( Ξ ).      n n   d  m −1, n −1, X ij   , m −1, n −1, EX11    {u 0 }  = 1= 1   Ánh xạ v : Ξ → [0;1] được gọi là tập mờ trên  j   j = 1= 1  i i  m Ξ . Ký hiệu F (Ξ) là không gian tất cả các tập mờ ≤ d  m −1, n −1, X ij   , n  v thỏa mãn 3 điều kiện sau:   j =1 i =1   (i) v là nửa liên tục trên, m −1, n −1, ϕ (X )n   m   ij  j =1   (ii) v là chuẩn tắc, nghĩa là sup v = 1,  k i =1     −1 m (iii) supp v {x ∈ Ξ : v(x) > 0} là tập = +d  m , n −1, ϕk (X ij )  , compact trong Ξ . n    j =1 i =1   Cho v ∈ F (Ξ) và α ∈ (0;1] , tập α − mức của m −1, n −1, Eϕ (X )n   m v được ký hiệu bởi Lα v = { x ∈ Ξ : v(x ) ≥ α   ij  j =1    k i =1  }. Do v ∈ F (Ξ) nên Lα v ∈c( Ξ ) với mọi    −1 m α ∈ (0;1] . Chú ý rằng, từ điều kiện (ii) kéo theo +d  m , n −1, Eϕk (X ij )  n  ,    j =1 i =1 L1v {x ∈ Ξ : v(x = 1} ≠ ∅ . Ngoài ra ta còn ký = )  hiệu Lα v {x ∈ Ξ : v(x ) > α } với α ∈ (0;1] . + = m −1, n −1, EX n   . (6) m  Định lý 3 (Terán & Molchanov, 2006) chỉ ra    11  j =1  i =1   rằng nếu Ξ là không gian tổ hợp lồi thì F (Ξ) với { } Vì ϕk (X mn ) : m, n ≥ 1 là mảng kép các biến phép toán tổ hợp lồi cho bởi Lα  λi , vi    n n ngẫu nhiên đơn giản p.i.i.d, nên theo TH1 ta có = λi , Lα vi  , α ∈ (0;1],  i  i  m = 1= 1   Ed  m −1, n −1, ϕk (X ij )  , n và metric d∞ (v1, v2 ) = sup dH (Lα v1, Lα v2 ) ,    j =1 i =1 α ∈( 0,1    m −1, n −1, E ϕ (X )n   m cũng là không gian tổ hợp lồi, với toán tử lồi hoá   ij  j =1   K F (Ξ ) xác định bởi  k i =1   → 0 (7) khi m ∨ n → +∞. ( ) Lα = Kc(Ξ )Lα v coK Ξ (Lα v ), K F (Ξ )v = α∈ { Tương tự, do d (X mn , ϕk (X mn )) : m, n ≥ 1 là } (0;1]. Trong đó ký hiệu coA là bao lồi đóng của mảng kép các biến ngẫu nhiên thực p.i.i.d, nên tập A. Ánh xạ X : Ω → F (Ξ) gọi là biến ngẫu nhiên mờ nếu Lα (X ) là biến ngẫu nhiên c( Ξ ) – giá trị với 3
Số 63, tháng 12-2023, Tạp chí Khoa học Tây Nguyên mọi α ∈(0;1]. Biến ngẫu nhiên mờ X gọi là khả tích  + m m −1, n −1, X n  , bị chặn nếu L+ X ∈ () , khi đó ta ký hiệu X ∈ +dH  Lα   ij  j =1  0 {u 0 }  k −1  i =1  (F (Ξ)) . Ký hiệu kỳ vọng của X ∈ (F (Ξ)) là   m  n E F ( Ξ )X . Theo (Terán & Molchanov, Lα m −1, n −1, EF(Ξ )X ij      j =1 i =1  2006), E F (Ξ )X là tập mờ trên Ξ thỏa k     −1 m ( ) )(  n = E c(Ξ ) Lα X , α ∈ (0;1] . mãn: Lα E F (Ξ )X = dH  m , n , Lα X ij   , −1   k  j =1 i =1  Mảng kép {X mn : m, n ≥ 1} các biến ngẫu  −1  −1 n   m nhiên mờ gọi là độc lập đôi một nếu mảng kép  m , n , E c(Ξ )Lα X ij    +   k −1  j =1 i =1  { } Lα X m ,n : m, n ≥ 1 là độc lập đôi một với mọi   −1 n  m  α ∈(0;1]. +dH  m , n , Lα X ij   , −1 +   k −1  j =1 i =1 Mệnh đề 3.5. ((Quang & Nguyen, 2015), Mệnh   −1  −1 m  đề 3.1) Cho α ∈ [0;1)    n m , n , E c(Ξ )Lα X ij +  n  n    j =1 i =1    Lα  λi , vi   = λi , Lα vi  k (a)  i =1   + i =1 với    −1 n  m vi ∈ F (Ξ) , ≤ dH  m , n −1, Lα X ij   ,    j =1 i =1 ( ) ( ) k (b) Lα E F (Ξ )X = Ec(Ξ ) Lα X + + với X ∈  m  (F (Ξ)) .  −1  −1    n m , n , E c(Ξ )Lα X ij    j =1 i =1    Bổ đề 3.6. ((Quang & Nguyen, 2015), Bổ đề k 3.4) Giả sử v ∈ F (Ξ) . Khi đó với mỗi ε > 0 , tồn tại   −1 n  m +dH  m , n −1, Lα X ij   , + phân hoạch hữu hạn 0 = α 0 < α1 <  < α p = 1   k −1  j =1 i =1  của [0;1] sao cho   m  −1  −1 ( ) n max dH Lα v, Lα v < ε . + (10)  m , n , E c(Ξ )Lα X ij    + 1≤k ≤ p   k −1  j =1 i =1   k −1 k Định lý 3.7. Giả sử X mn : m ≥ 1, n ≥ 1 là { }   −1 +2dH  m , n , E c(Ξ )Lα X ij   , −1 + n  m mảng kép các biến ngẫu nhiên mờ p.i.i.d trong   k −1  j =1 i =1 không gian tổ hợp lồi Ξ . Khi đó ta thu được sự    m hội tụ theo trung bình  −1  −1 n m , n , E c(Ξ )Lα X ij      −1 m    j =1 i =1  n −1, X ij   , n k Ed∞  m ,     j =1 i =1    −1 n  m  ≤ dH  m , n , Lα X ij   , −1    j =1 i =1   m  −1  −1 k n m , n , EF(Ξ )X11        j =1 i =1  m    −1  −1    n m , n , E c(Ξ )Lα X11 → 0 (11) khi m ∨ n → ∞.   k  j =1 i =1    Chứng minh. Với mỗi ε > 0 , theo (10) thì   −1 n  m +dH  m , n −1, Lα X ij   , + 1≤k ≤ p + ( max dH Lα E F(Ξ )X11, Lα E F(Ξ )X11 < ε . (12) k −1 k )    k −1  j =1 i =1  −1  −1 m     + 2ε . (13) n + m , n , E c(Ξ )Lα X11 Ta có đánh giá   k −1  j =1 i =1     m −1, n −1, X n  , m sup dH  Lα Từ (13) ta suy ra αk −1
   chí −1 Số 63, tháng 12-2023, Tạp −1  Khoa họcTây Nguyên n m = E max sup dH   m , n , X ij   ,  1≤k ≤ p αk −1
Số 63, tháng 12-2023, Tạp chí Khoa học Tây Nguyên MEAN CONVERGENCE FOR DOUBLE ARRAY OF PAIRWISE INDEPENDENT AND IDENTICALLY DISTRIBUTED RANDOM VARIABLES AND FUZZY RANDOM VARIABLES IN CONVEX COMBINATION SPACES Pham Tri Nguyen1 Received Date: 21/06/2023; Revised Date: 06/12/2023; Accepted for Publication: 10/12/2023 ABSTRACT In this paper, let (Ξ, d ) be a metric space, which is endowed with a convex combination operation and called convex combination space as defined by Terán and Molchanov in 2006. We establish the mean convergence for double array of pairwise independent and identically distributed random variables and fuzzy random variables in convex conbination space. Keywords: Mean convergence; Pairwise independent and identically distributed; Convex combination space. TÀI LIỆU THAM KHẢO Cabrera, M.O. & Volodin, A. (2005). Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for weighted sums of random variables under a condition of weighted integrability, J. Math. Anal. Appl., 305, 644-658. Chen, P. and Wang, D. (2012). convergence for B-valued random elements, Acta Math. Sinica, English Series, 28, 857-868. Gut, A. (2005). Probability: A Graduate Course, Springer. Li, S., Ogura, Y. and Kreinovich, V. (2002). Limit theorems and applications of set-valued and fuzzy set-valued random variables, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Nguyen, P.T. (2022). Mean convergence theorems for double array of fuzzy random variables in metric spaces, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 27 (3), 621-640. Quang, N.V. and Nguyen, P.T. (2015). Some strong laws of large number for double array of random upper semicontinuous functions in convex combination spaces, Statistics and Probability Letters, 96, 85-94. Quang, N.V. and Thuan, N.T. (2012). On the strong laws of large number for double arrays of random variables in convex combination spaces, Acta Math. Hungar., 34, 543-564. Sung, S.H. (2013). Convergence in r-mean of weighted sums of NQD random variables, Applied Mathematics Letters, 26, 18-24. Terán, P. and Molchanov, I. (2006). The law of large numbers in a metric space with a convex combination operation, J. Theoret. Probab., 19 (4), 875-898. Terán, P. and Molchanov, I. (2006). A general law of large numbers, with applications, Advances in Soft Computing, 6, 153-160. Thanh, L.V. (2005). Strong law of large numbers and convergence for double arrays of independent random variables, Acta mathematica Vietnamica, 30 (3), 225-232. Electric Power University; 1 Corresponding author: Pham Tri Nguyen; Tel: 0972823080; Email: nguyenpt@epu.edu.vn 6

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.