Sự ổn định mũ của hệ phương trình vi phân phi tuyến theo phương pháp hàm Lyapunov

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết sử dụng phương pháp hàm Lyapunov đưa ra điều kiện đủ để hệ phương trình vi phân phi tuyến ổn định mũ bằng cách xác định tựa hàm Lyapunov. Ngoài ra, trong trường hợp phương trình vi phân phi tuyến có điểm cân bằng ổn định, thì chỉ ra được công thức xác định hàm Lyapunov trong lân cận compact của điểm cân bằng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự ổn định mũ của hệ phương trình vi phân phi tuyến theo phương pháp hàm Lyapunov

NGÀNH TOÁN Sự ổn định mũ của hệ phương trình vi phân phi tuyến theo phương pháp hàm Lyapunov Exponential stability of nonlinear differential equations by the method of Lyapunov function Nguyễn Thị Huệ Email: minhhuesaodo@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 15/01/2019 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 24/3/2019 Ngày chấp nhận đăng: 28/3/2019 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov đưa ra điều kiện đủ để hệ phương trình vi phân phi tuyến ổn định mũ bằng cách xác định tựa hàm Lyapunov. Ngoài ra, trong trường hợp phương trình vi phân phi tuyến có điểm cân bằng ổn định, thì chỉ ra được công thức xác định hàm Lyapunov trong lân cận compact của điểm cân bằng. Từ khóa: Phương trình vi phân phi tuyến; phương pháp hàm Lyapunov; điểm cân bằng; ổn định mũ. Abstract In this paper, we use the method of Lyapunov function to give sufficient conditions for the nonlinear differential equations to exponential stabilize the caps by Lyapunov-like function. In addition, in the case of nonlinear differential equations having a stable equilibrium point, the formula for determining Lyapunov function in the compact neighborhood of equilibrium is shown. Keywords: Nonlinear differential equations; the method of Lyapunov function; equilibrium point; exponentially stable. 1. GIỚI THIỆU Lyapunov. Ngoài ra, bài báo nghiên cứu trường hợp phương trình vi phân phi tuyến có điểm cân Nghiên cứu tính ổn định là nội dung chính của lý bằng ổn định, khi đó kết hợp phương pháp CPA thuyết các hệ thống kỹ thuật. Để khảo sát sự ổn [5]) tìm được công thức xác định hàm Lyapunov định của những quá trình trên người ta thường mô trong lân cận compact của điểm cân bằng. hình hóa toán học các hệ đó, sau đó nghiên cứu sự ổn định nghiệm của mô hình toán học. 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ ĐẦU Chúng ta đã biết một số phương pháp chính Một số kí hiệu sử dụng trong bài báo:  n là không như: phương pháp xấp xỉ; phương pháp so sánh; gian vectơ Euclidean n chiều;  + là tập các số phương pháp Lyapunov thứ nhất, thứ hai. Trong thực không âm; x là chuẩn Euclidean của vectơ đó phương pháp thứ hai của Lyapunov là một x ∈ n . công cụ được sử dụng rộng rãi nhất để nghiên cứu tính ổn định của hệ thống kỹ thuật. Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có dạng x ( t ) f ( t , x ( t ) ) , t ≥ 0, . Nghiên cứu tính ổn định của các hệ phi tuyến = bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov (1) đã được nghiên cứu rộng rãi ([4, 6]). Đã có một = x ( t0 ) x0 , t0 ≥ 0. số tiêu chí ổn định cho các hệ phi tuyến, nhưng . có hạn chế là làm giảm các điều kiện ổn định tiệm Ở đây x ( t ) ∈  n , f ( t , x ) :  + ×  n →  n là một cận hoặc đặt các điều kiện khá chặt cho hàm Lyapunov. hàm phi tuyến thỏa mãn f ( t,0 ) = 0 với mọi t ∈  + . Mục đích của bài báo này là thiết lập các điều kiện Chúng ta sẽ giả sử rằng các điều kiện đặt trên hệ đủ cho sự ổn định mũ của một lớp các hệ phi tuyến (1) sao cho sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ bằng cách xây dựng một lớp hàm giống như hàm được đảm bảo. Định nghĩa 2.1. Nghiệm ban đầu của (1) là ổn Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Văn Ninh 2. TS. Đào Trọng Quyết định mũ nếu mọi nghiệm x ( t , x 0 ) của (1) thỏa mãn Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 87
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC x ( t ,x 0 ) ≤ β ( x0 , t0 ) e −δ ( t − t0 ) , ∀t ≥ t0 , . ii. V ( t ,x ) ≤ 0, ∀x ≠ 0. Ở đây: β ( h, t ) :  + ×  + →  + là hàm không âm, Định nghĩa 2.4. Điểm x * là điểm cân bằng của . tăng với h ∈  + , và δ là một hằng số dương. hệ phương trình vi phân phi tuyến x = f ( t , x ) khi Nếu hàm β (.) trong định nghĩa trên không phụ ( ) f t , x * = 0, ∀t ≥ 0. 3 thuộc t0 , nghiệm ban đầu được gọi là ổn định tiệm Giả sử x * là điểm cân bằng của hệ phương trình cận mũ. Từ đây về sau, để cho ngắn gọn, nếu . nghiệm ban đầu ổn định thì ta nói rằng hệ ổn định. vi phân phi tuyến x = f ( t , x ) . Nếu tồn tại hàm Lyapunov V ( t,x ) thỏa mãn: Đặt D ⊂  n là một tập mở chứa gốc và đặt V ( t , x ) :  + × D →  là một hàm đã cho. Ta định V ( t ,x * ) 0,V ( t ,x ) > 0 khi x ∈ U x * \ { x * }. i. = nghĩa W =  + × D và . ii. V ( t ,x ) ≤ 0, ∀x ∈ U x * . V ( t + h, x + hf ) − V ( t , x ) Df+V ( t , x ) = lim+ sup , Thì x * được gọi là điểm cân bằng ổn định. h →0 h Giả sử x * là điểm cân bằng ổn định thì kí hiệu Ở đây f (.) là hàm bên vế phải của (1). Df+V được gọi là đạo hàm trên Dini của V (.) dọc theo quỹ ( ) { A x * := x ∈  | lim sup φ ( t , x ) − x * =0 t →∞ } là miền đạo của (1). thu hút của x * . Đặt x ( t ) là một nghiệm của (1) và kí hiệu d +V ( t , x ) Định nghĩa 2.5. Một hàm V ( t ,x ) :  + × D →  là đạo hàm trên - phải của V ( t , x ( t ) ) , được gọi là hàm tựa Lyapunov của (1) nếu V ( t,x ) V ( t + h, x ( t + h ) ) − V ( t , x ( t ) ) d +V ( t , x ( t ) ) = lim+ sup . là hàm liên tục theo t ∈  + và x ∈ D , tồn tại các h →0 h số dương λ1, λ 2 , λ 3 , K , p, q, r , δ sao cho Định nghĩa 2.2. Một hàm V ( t , x ) :  + ×  n →  ≤ V ( t, x ) ≤ λ2 x , ∀ ( t, x ) ∈ W , (4) p q λ1 x gọi là Lipschitz theo x nếu tồn tại số L > 0 , thỏa mãn với mọi t ∈  + , Df V ( t , x ) ≤ −λ 3 x + Ke −δt , ∀t ≥ 0, x ∈ D \ {0}. (5) r V ( t , x1 ) − V ( t , x2 ) ≤ L x1 − x2 , ( x1, x2 ) ∈  n ×  n . Định nghĩa 2.6. Một hàm V ( t ,x ) : W →  được gọi là hàm tựa Lyapunov tổng quát của (1) nếu Phần tiếp theo, chúng ta giả sử rằng V ( t , x ) là V ( t,x ) là hàm liên tục theo t ∈  + và Lipschitz hàm liên tục theo t và Lipschitz theo x với hệ số Lipschitz L > 0 . Trong trường hợp này d +V và theo x ∈ D , tồn tại các số dương K , p, q, r , δ df+V có liên hệ: thỏa mãn λ1 ( t ) x ≤ V ( t, x ) ≤ λ2 ( t ) x , ∀ ( t, x ) ∈ W , (6) p q d +V ( t ,x ) ≤ df+V ( t ,x ) . (2) Df+V ( t ,x ) ≤ −λ 3 ( t ) x + Ke −δt , ∀t ≥ 0, x ∈ D \ {0}. (7) r Khi đó, nếu d V ( t,x ) ≤ 0 và theo (2) suy ra f + d +V ( t,x ) ≤ 0 thì hàm V ( t ,x ( t ) ) là hàm không 3. KẾT QUẢ CHÍNH tăng theo t, điều đó có nghĩa là V ( t,x ) là không Trong bài báo này, chúng tôi chỉ ra điều kiện đủ cho hệ phi tuyến ổn định và giới thiệu một phương tăng theo một nghiệm của (1). pháp chỉ ra phiếm hàm Lyapunov trong trường hợp hệ có điểm cân bằng ổn định. Định nghĩa 2.3. Hàm V ( t ,x ) :  + × D →  được gọi là hàm Lyapunov nếu V ( t,x ) là hàm liên tục 3.1. Điều kiện đủ cho sự ổn định mũ của hệ phi tuyến theo t ∈  + và x ∈ D và Trước hết, ta có kết quả từ [7] về sự ổn định mũ i. V ( t ,x ) ≥ 0, V ( t ,x ) = 0 ⇔ x = 0. của (1), với sự tồn tại một hàm tựa hàm Lyapunov. 88 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
NGÀNH TOÁN Định lý 3.1. Sử dụng (9), ta được Q ' ( t, x ) ≤ ( K + M γ ) e( M −δ )( t − t0 ) ([7]) Giả sử rằng hệ (1) thừa nhận một hàm tựa . Lyapunov khi p= q= r . Hệ (1) là ổn định tiệm cận mũ nếu Tích phân từ t0 đến t hai vế của bất đẳng thức, ta được λ3 δ> . t λ2 Q ( t , x ) − Q ( t0 , x ) ≤ ∫ (K + M γ ) e ( M −δ )( s − t0 ) ds, Trong hai định lý dưới đây, chúng tôi có điều kiện t0 đủ cho sự ổn định mũ của hệ (1) với một hàm tựa Lyapunov tổng quát. = (K + M γ ) 1 M −δ { e( )( 0 ) − 1 . M −δ t − t } Định lý 3.2 Đặt δ1 = − ( M − δ ) , theo (8) ta có δ1 > 0 và Hệ (1) là ổn định tiệm cận nếu có một hàm tựa K + M γ K + M γ ( M −δ)( t −t0 ) Q ( t , x ) ≤ Q ( t0 , x ) + − e Lyapunov và hai điều kiện sau được thỏa mãn với δ1 δ1 mọi ( t , x ) ∈ W : K + Mγ ≤ Q ( t0 , x ) + . λ3 δ1 i. δ > , (8) ( t 0 , x0 ) V ( t 0 , x0 ) ≤ λ 2 x0 r Từ Q= , ta có q λ2 q ii. ∃γ > 0, sao cho V ( t , x ) − V ( t , x ) r q ≤ γe −δt . (9) K + Mγ Q ( t , x ( t ) ) ≤ λ 2 x0 q + . δ1 Chứng minh K + Mγ Đặt λ 2 x0 β ( x0 ) > 0, ta có q + = Xét thời gian ban đầu bất kỳ t0 ≥ 0, và đặt x ( t ) là δ1 một nghiệm của (1) với x ( t0 ) = x0 . Đặt Q ( t , x ( t ) ) ≤ β ( x0 ) , ∀t ≥ t0 . (10) λ3 Q ( t , x ) V= ( t, x ) e ( 0 ) , M M t −t = r . Mặt khác, từ (4) chứng tỏ rằng λ2 q λ1 x ( t ) ≤ V ( t, x ( t ) ) , p Thế thì 1 Q ' ( t , x ) Df V ( t , x ) e = M ( t − t0 ) + MV ( t , x ) e M ( t − t0 ) . V ( t , x ( t ) )  p x (t ) ≤  .  λ1  Thế (5) vào đẳng thức trên, với mọi t ≥ t0 , x ∈ D, ta có Thay thế V ( t , x ) = Q ( t , x ) / eM ( t −t0 ) vào bất đẳng thức cuối, ta được Q ' ( t, x ) = ( −λ (t ) x 3 r + Ke −δt e ) M ( t − t0 ) 1 Q ( t , x ( t ) )  p + MV ( t , x ) e M ( t − t0 ) . x ( t ) ≤  M (t −t )  . (11)  e 0 .λ1  V ( x, t ) Theo điều kiện (4) ta có x , bất đẳng q ≥ Kết hợp (10) và (11) ta được λ2 thức tương đương 1 1  β ( x0 )   β ( x0 )  p − Mp ( t −t0 ) p x ( t )= ≤  M (t −t )  , ∀t ≥ t0 . (12) V ( x, t )  r q   e  e .λ1   λ1  0 r − x ≤ −  .  λ2  Bất đẳng thức này chứng tỏ rằng (1) là ổn định tiệm cận mũ. Vì vậy, việc chứng minh định lý đã Vì thế, ta có hoàn thành.  λ3  Chú ý rằng, Định lý 3.1 là trường hợp đặc biệt của Q ' ( t , x ) ≤  −V ( t , x ) q −δt  M ( t − t0 ) r + Ke e  r λ2 q  Định lý 3.2 khi p= q= r.   + MV ( t , x ) e M ( t − t0 ) . Bây giờ ta có điều kiện đủ cho sự ổn định mũ của (1) khi có một tựa hàm Lyapunov tổng quát. λ3 Từ = M, ∀t ≥ 0, ta có r Định lý 3.3 λ2 q Hệ (1) là ổn định mũ nếu nó thừa nhận một hàm { Q ' ( t, x ) ≤ M V ( t, x ) − V ( t, x ) r q }e M ( t − t0 ) + Ke ( M −δ )( t − t0 ) . Lyapunov tổng quát và hai điều kiện sau được thỏa mãn với mọi ( t , x ) ∈ W :: Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 89
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC λ3 ( t ) i. δ > inf+ > 0. (13) Đặt δ1 = − ( M − δ ) , theo điều kiện (13) ta có δ1 > 0 λ2 (t ) r t ∈ q và K + M γ K + M γ ( M −δ)( t −t0 ) ii. ∃γ > 0 sao cho V ( t , x ) − V ( t , x )  Q ( t , x ( t ) ) ≤ Q ( t 0 , x0 ) + − r q ≤ γe −δt . (14) e δ1 δ1 K + Mγ Chứng minh ≤ Q ( t 0 , x0 ) + . δ1 Chúng ta xét hàm Q ( t , x ( t ) ) = V ( t , x ( t ) ) e M ( t − t0 ) , ở ( t 0 , x0 ) V ( t 0 , x0 ) ≤ λ 2 ( t 0 ) x0 Từ Q= ta có q λ3 ( t ) đây M = inf+ K + Mγ Q ( t , x ( t ) ) ≤ λ 2 ( t 0 ) x0 . q + . λ2 (t ) r t ∈ δ1 q Chúng ta thấy rằng M < δ và Đặt K + Mγ λ 2 ( t 0 ) x0 β ( x0 , t0 ) > 0, q + = Df+Q ( t , x ( t ) ) Df+V ( t , x ( t ) ) e + MV ( t , x ( t ) ) e M ( t − t0 ) M ( t − t0 ) = . δ1 Bằng lập luận được sử dụng trong Định lý 3.2, Ta có chúng tôi dẫn đến thực tế rằng Q ( t , x ( t ) ) ≤ β ( x0 , t0 ) , ∀t ≥ t0 . (15) f + ( D Q ( t , x ( t ) ) ≤ −λ 3 ( t ) x + Ke r −δt )e M ( t − t0 ) Hơn nữa, từ điều kiện (6), nó chứng tỏ rằng + MV ( t , x ( t ) ) e M ( t − t0 ) λ1 ( t ) x ( t ) ≤ V ( t ,x ( t ) ) , p . Sử dụng điều kiện (6) và từ giả thiết λ 2 ( t ) > 0 với 1 mọi t ∈  + , ta có V ( t ,x ( t ) )  p x (t ) ≤  . q V ( t, x )  λ1 ( t )  x ≥ , λ2 (t ) Từ λ1 ( t ) không giảm, λ1 ( t ) ≥ λ1 ( t0 ) , ta có Tương đương 1 V ( t ,x ( t ) )  p V ( t , x )  x (t ) ≤  r q  .  λ1 ( t0 )  r − x ≥ −  .  λ 2 ( t )  Thay thế Vì vậy, ta có Q ( t, x )  λ3 ( t )  V ( t, x ) = , e ( 0) M t −t Df+Q ( t , x ) ≤  −V ( t , x ( t ) ) −δt  M ( t − t0 ) r q + Ke e  λ 2 ( t )  r q  Vào bất đẳng thức trên, ta được   + MV ( t , x ( t ) ) e 1 M ( t − t0 )  Q ( t , x )  . p x (t ) ≤  M (t −t )  . (16) λ3 ( t ) λ1 ( t0 )   e 0 Từ ≥ M, ∀t ≥ 0, và theo điều kiện (14) λ 2 ( t )  r q Kết hợp (15) và (16), Ta có 1 1  β ( x0 , t 0 )    β ( x0 , t 0 )  p  −M  p ( t − t0 ) { Df+Q ( t , x ) ≤ M V ( t , x ( t ) ) − V ( t , x ( t ) ) r q }e M ( t − t0 ) x ( t ) ≤  M (t −t ) (17) e  0  λ1 ( t0 )   =  λ1 ( t0 )     ep . + Ke ( M −δ )( t − t0 ) M ( t − t0 ) M ( t − t0 ) Liên hệ (17) chứng tỏ rằng hệ (1) ổn định mũ. Định ≤ M γe −δt e + Ke −δt e lý đã được chứng minh. = ( K + M γ ) e −δt eM (t −t ) 0 Ghi chú: Chú ý rằng trong Định lý 3., chúng ta giả ≤ ( K + M γ ) e ( )e ( ) . −δ t − t M t −t thiết rằng hàm λ1 ( t ) là hàm không giảm. Trong 0 0 Df+Q ( t , x ) ≤ ( K + M γ ) e( )( ) . M −δ t − t Vì vậy, 0 trường hợp hàm λ1 ( t ) thỏa mãn điều kiện Khi đó ∃a > 0 : a < M, λ1 ( t ) ≥ e − at , ∀t ≥ 0, (18) t Q ( t , x ( t ) ) − Q ( t 0 , x0 ) ≤ ∫ ( K + M γ ) e ( M −δ )( s − t0 ) ds Thì ta có thể thay thế giả thiết hàm không giảm bởi λ3 ( t ) t0 = (K + M γ ) 1 M −δ e ( )( 0 ) − 1 . M −δ t − t { } điều kiện (18), ở đây M = inf+ t ∈ λ 2 ( t )  r q . 90 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
NGÀNH TOÁN Các kết quả trong Định lý 3.2 và Định lý 3.3 đã chỉ pháp CPA: Chia tập D thành tập hợp T các d − ra điều điện đủ để phương trình phi tuyến là ổn định. Tuy nhiên, chưa có công thức cụ thể để xác đơn giản ℑ có đầy đủ các tính chất; sau đó tính định các tựa hàm Lyapunov. gần đúng hàm W ( x ) tại x0 ∈ ℑ bằng cách giải Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu bài toán giá trị ban đầu x = f ( x ) , x ( 0 ) = x0 và . phương pháp để xác định một hàm V giống như một hàm Lyapunov hoàn chỉnh trên một tập hợp T con nhỏ gọn của không gian trạng thái D chứa tính tích phân ∫ γ ( φ ( t, x ) ) dt. 0 điểm cân bằng ổn định x * . 0 Trong bài báo này, chúng tôi xét trường hợp đặc 3.2. Một phương pháp tìm hàm Lyapunov biệt, khi tập hút chứa các điểm cân bằng ổn định Phương pháp CPA ([5, 8]): Trước tiên, tính toán mũ. Khi đó, áp dụng CPA trong [5] ta xác định các xấp xỉ bên ngoài của miền thu hút bằng được γ ( x ) = f ( x ) , và sẽ chứng minh rằng hàm phương pháp lý thuyết đồ thị ([5]); tiếp theo là một tính toán số tìm một ứng cử viên hàm Lyapunov; T Sau đó, ứng viên được sử dụng để tham số hóa V (= x) ∫ f ( φ ( t, x ) ) dt 0 (20) một hàm Lyapunov liên tục và từng phần (CPA), Là hàm Lyapunov trong lân cận K x * ⊂ D của điểm trong đó điều kiện giảm theo quỹ đạo nghiệm có thể được xác minh chính xác bằng cách kiểm tra cân bằng x * ∈ D khi T đủ lớn. một tập hợp bất đẳng thức tuyến tính nhất định. Kết quả của định lý sau chứng tỏ rằng nghiệm Xét hệ thống liên tục theo thời gian bởi phương của phương trình (19) ổn định mũ trong lân cận trình vi phân compact của điểm cân bằng với hàm Lyapunov có dạng (20). x ( t ) = f ( t, x ( t ) ) . (19) Bổ đề 3.1 trong đó: ([9]) Giả sử x * là điểm cân bằng ổn định mũ của ( ) f ∈ C 2  d ,  d . Giả sử φ ( t , x ( t ) ) là nghiệm của phương trình (19). * ( ) hệ (19) và K x * ⊂ A x là tập compact. Thì tồn tại Trong [5], đầu tiên tính toán các xấp xỉ bên ngoài các hằng số C ≥ 1 và λ > 0 thỏa mãn Fi của các tập hút địa phương Ωi , i = 1,2,..., N φ ( t , x ) − x * ≤ Ce −λt x − x * , ∀x ∈ K x * , t > 0. chứa tập compact D ⊂  d xác định trước. Định lý 3.4 Định nghĩa hàm đủ trơn γ : D →  + thỏa mãn Giả sử x * là điểm cân bằng ổn định mũ của hệ N γ ( x ) ≥ 0, γ ( x )= 0 ⇔ x ∈ ∪ Fi . Theo Định lý 3.2 i= ( ) (19) và K x * ⊂ A x là tập compact. Thì tồn tại các * ([5]), ta có hàm hằng số a, b, c, T > 0 thỏa mãn W ( x ) =: ∫ γ ( φ ( t, x ) ) dt T 0 a x − x* ≤ V ( x ) ≤ b x − x* (21) Có quỹ đạo đạo hàm không âm trong lân cận của mỗi Fi . V ' ( x ) ≤ −c x − x * (22) . W ( φ ( h, x ) ) − W ( x ) Với ∀x ∈ K x * và V ( x ) được xác định bởi (20). W ( x ) = lim+ sup . h →0 h Chứng minh Ngoài ra, W ( x )= 0, ∀x ∈ Ωi và W ( x ) > 0 trong Theo bổ đề 1 thì tồn tại C ≥ 1 và λ > 0 thỏa mãn lân cận của Fi . Vậy W ( x ) giống như một hàm φ ( t , x ) − x * ≤ Ce −λt x − x * , ∀x ∈ K x * , t > 0. Lyapunov theo nghĩa là các thành phần được kết ( ) nối của W [0, c ] , là các tập hợp con của D 0 và −1 Chọn x ∈ K x * ta tính toán T T . bao quanh Fi . V ( x= ) ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ ≥ ∫ φ ( τ, x ) d τ 0 0 Rõ ràng W ( x ) có thể được xác định bởi một số φ (T , x ) − x ≥ x − x * − φ (T , x ) − x * = (23) lượng hữu hạn các tính toán. Trong [5] đã xác định thuật toán hữu ích bằng cách kết hợp với phương ( ) 1 − Ce −λT x − x * . = Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 91
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Đặt L > 0 là hằng số Lipchitz của f . Ta có ln C ràng L ≥ α, C ≥ 1 và λ > 0. Từ T > và từ (23) T T λ V ( x= ) ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ ≤ ∫ L φ ( τ, x ) − x dτ * (24) suy ra tồn tại a > 0, từ T > 0 và (24) suy ra tồn tại ln (CL \ α ) 0 0 a, b > 0, từ (27) và T > suy ra tồn tại T ≤ LC x − x * ∫ e −λτ = dτ LC λ ( ) 1 − Ce −λT x − x * . λ 0 a, c > 0 thỏa mãn Ngoài ra . V ( φ ( h, x ) ) − V ( x ) a x − x* ≤ V ( x ) ≤ b x − x* W ( x ) = lim+ sup hh →0 Và  T +h  V ' ( x ) ≤ −c x − x * , ∀x ∈ K x * . T = lim+ sup  ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ − ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ  1 h →0 h h 0  Chú ý: Khi làm ví dụ cụ thể thì việc xác định hàm  T +h h  = lim+ sup  ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ − ∫ f ( φ ( τ, x ) ) d τ  (25) 1 T h →0 h T 0  V (= x) ∫ f ( φ ( t, x ) ) dt có thể được xác định bằng = f ( φ (T , x ) ) − f ( x ) ≤ L φ (T , x ) − x * − f ( x ) 0 phương pháp số ≤ LCe −λT x − x * − f (x) . T T / ∆t V ( x )= ∫ f ( φ ( t , x ) ) dt = ∑ ∆t f ( φ (i ∆t, x ) ) . ( ) Vì f x = 0 và f ∈ C 2 theo định lý Taylor thì tồn * 0 i =0 tại lân cận compact Fx * . của điểm x * và hằng số Kết luận F thỏa mãn Bài báo đã xét được tính ổn định mũ của hệ phi ( )( f ( x ) − f ' x* x − x* ) 2 ≤ F x − x * , ∀x ∈ Fx * . tuyến. Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov chỉ Vì x * ổn định mũ và µ > 0 là bình phương của ra điều kiện đủ để hệ phương trình vi phân phi giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận xác định dương tuyến ổn định bằng các tựa hàm Lyapunov. ( ) ( ) T Df x * Df x * ta có Ngoài ra, bài báo giới thiệu phương pháp CPA và sử dụng phương pháp CPA trong trường hợp hệ f ( x ) ≥ Df ( x )( x − x ) − F * * x−x * 2 phi tuyến có điểm cân bằng ổn định thì chỉ ra được ≥ x − x* µ − F x − x* ( ) (26) công thức xác định hàm Lyapunov trong lân cận compact của điểm cân bằng. 1 ≥ µ x − x* 2 Với mọi x ∈ K x * cùng với x − x ≤ µ / ( 2F ) . Do * TÀI LIỆU THAM KHẢO ( ) đó có ε − cầu Bε x quanh x * sao cho (26) đúng * [1]. Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục. với mọi x ∈ B ( x ) . * ε [2]. Bùi Quý Lực (2011), Kỹ thuật điều khiển tự động, f (x) NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. Đặt α = inf * . x∈K x* \ Bε x * ( ) x − x* [3]. Nguyen Manh Linh, Vu Ngoc Phat (2001), Vì K x * \ Bε x ( ) là tập compact nhỏ nhất và không * Exponential stability of nonlinear time-varying, Electronic Joural of Differential equations, Vol chứa điểm cân bằng của f ta có α * > 0. Đặt 2011, No 34.  µ [4]. Bellman B (1959), Stability Theory of Diferential = α min α * ,  , ta có  2 Equations, Mac Graw-Hill. f ( x ) ≥ α x − x * với ∀x ∈ K x * [5]. J. Bjornsson, P. Giesl, S. Hafstein, C. Kellett and H. li (2015), Computation of Lyapunov functions for Và nó chứng tỏ bởi (25) rằng systems with multiple attractors, Discrete Contin. ( V ' ( x ) ≤ − α − LCe −λT x − x * . ) (27) Dyn. Syst.Ser. A, 35(9):4019-4039. [6]. Katko J. and Jaqi P (1990), Stability via the Lyapunov 1 L function with a discontinuous derivative, J. Math. Do đó, với T >  ln C + ln  ta có T > 0 bởi vì rõ λ α Anal. Appl., 152 (1990), 299-239. 92 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019
NGÀNH TOÁN [7]. Sun Y.J, Lien C.H. and Hsieh J.G (1998), Global [8]. C. Kellett (2015), Converse Theorems in Lyapunov’s exponential stabilization for a class of uncertain Second Method, Discrete Contin. Dyn. Syst. nonlinear systems with control constrain, IEEE Ser.B,20(8):2333-2360,2015. Trans. Aut. Contr., 43(1998), 67-70. THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ Nguyễn Thị Huệ - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu: + Năm 2008: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh + Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê - Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Nghiên cứu toán lý thuyết và các ứng dụng của toán trong các ngành kỹ thuật - Email: minhhuesaodo@gmail.com - Điện thoại: 0977944536 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 93