Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán: Phương trình hàm

Chia sẻ: Danh Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

759
lượt xem 301
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm. Mời các bạn cùng tham khảo Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi về phương trình hàm để mở mang kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán: Phương trình hàm

PHƯƠNG TRÌNH HÀM M t trong nh ng chuyên ñ r t quan tr ng trong vi c b i dư ng h c sinh gi i d thi h c sinh gi i toán qu c gia, khu v c và qu c t , ñó là phương trình hàm, b t phương trình hàm. Có r t nhi u tài li u vi t v chuyên ñ này. Qua m t s năm b i dư ng h c sinh gi i d thi h c sinh gi i toán qu c gia và qua m t s kì t p hu n hè t i ð i h c khoa h c t nhiên – ð i h c qu c gia Hà N i, chúng tôi rút ra m t s kinh nghi m d y v chuyên ñ này và trao ñ i v i các ñ ng nghi p. Ph n I: NH C L I NH NG KHÁI NIÊM CƠ B N 1. Nguyên lý Archimede H qu : ∀x ∈ ¡ ⇒ ∃!k ∈ ¢ : k ≤ x < k + 1 . S k như th g i là ph n nguyên c a x, kí hi u [x] V y : [ x ] ≤ x < [ x] + 1 2. Tính trù m t T p h p A ⊂ ¡ g i là trù m t trong ¡ ⇔ ∀x, y ∈ ¡ , x < y ñ u t n t i a thu c A sao cho x
Tính ch t 2: a ≤ α , ∀a ∈ A α = sup A ⇔  ∀ε > 0, ∃a ∈ A : α − ε < a a ≥ β , ∀a ∈ A β = infA ⇔  ∀ε > 0, ∃a ∈ A : β + ε > a 4. Hàm sơ c p Hàm s sơ c p cơ b n là các hàm lũy th a, hàm s mũ, hàm s logarit, hàm s lư ng giác, hàm s lư ng giác ngư c. Hàm s sơ c p là nh ng hàm ñư c t o thành b i h u h n các phép toán s h c ( +, - , x, : ), phép toán l y hàm h p ñ i v i các hàm s sơ c p cơ b n. 5. Hàm c ng tính, nhân tính trên m t t p h p Hàm s f(x) ñư c g i là c ng tính trên t p xác ñ nh D n u v i m i x, y ∈ D thì x + y ∈ D và f(x + y) = f(x) + f(y). Hàm s f(x) ñư c g i là nhân tính trên t p xác ñ nh D n u v i m i x, y ∈ D thì x . y ∈ D và f(x . y) = f(x) . f(y). N u v i m i x, y ∈ D mà x+y ∈ D , x – y ∈ D và f( x – y) = f(x) – f(y) thì f(x) cũng g i là m t hàm c ng tính trên D. Hàm f(x) = ( là hàm nhân tính. 6. Hàm ñơn ñi u • Hàm s f(x) g i là tăng trên (a, b) n u : V i m i x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) • Hàm s f(x) g i là gi m trên (a, b) n u : V i m i x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Ph n II. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯ NG DÙNG Phương pháp 1: H s b t ñ nh. T p chí toán h c trong nhà trư ng, s 8 – 2004 trang 62 – 66 (b n ti ng Nga) Nguyên t c chung: D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho c f(x) = ax2+ bx +c ð ng nh t h s ñ tìm f(x) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán. Phương pháp d n bi n Bài 1: Tìm f: ¡ → ¡ sao cho: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 4 xy.( x 2 − y 2 ), ∀x, y ∈ ¡ http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
Gi i:  u+v u = x + y  x = 2 ð t  ⇒ v = x − y y = u − v   2 ⇒ vf (u ) − uf (v) = (u − v )uv 2 2 f (u ) 2 f (v) 2 ⇒ −u = − v , ∀u, v ≠ 0 u v Cho v = 1 ta có: f (u ) f (1) 2 − u2 = − 1 , ∀u ≠ 0 u 1 ⇒ f (u ) = u 3 + au , ∀u ≠ 0 (a = f(1) – 1) Cho x = y = 0 ta có 2f(0) = 0 do ñó f(0) = 0 K t lu n f ( x) = x3 + ax, ∀x ∈ ¡  x −1  1 Bài 2: f ( x − 1) − 3 f   = 1 − 2 x, ∀x ≠  1− 2x  2 Gi i : x −1 y 1− y ð t: = y −1 ⇒ x = ⇒ x −1 = 1− 2x 2 y −1 2 y −1  1− y  −1 1 ⇒ f  − 3 f ( y − 1) = , ∀y ≠  2 y −1  2 y −1 2  x −1  −1 1 ⇒ f  − 3 f ( x − 1) = , ∀x ≠  1 − 2x  2x −1 2   x −1  1  f ( x − 1) − 3 f  1 − 2 x  = 1 − 2 x, ∀x ≠ 2    ⇒ ⇒ f  x − 1  − 3 f ( x − 1) = −1 , ∀x ≠ 1      1 − 2x  2x −1 2 3 ⇒ −8 f ( x − 1) = 1 − 2 x + 1 − 2x 1 3  1 ⇒ f ( x − 1) =  −1 + 2 x +  , ∀x ≠ 8 2x −1  2 1 3  1 ⇒ f ( x) = 1 + 2 x +  , ∀x ≠ 2 8 2x +1  Ví d 1: ða th c f(x) xác ñ nh v i ∀x ∈ ¡ và th a mãn ñi u ki n: 2 f ( x) + f (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ¡ (1) . Tìm f(x) Gi i: Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t : x, 1 – x v ph i là b c hai x2. V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ¡ do ñó: 3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ¡ ð ng nh t các h s , ta thu ñư c:  1 a = 3 3a = 1    2 b − 2a = 0 ⇔ b = a + b + 3c = 0  3   1 c = − 3  1 2 V y f ( x ) = ( x + 2 x − 1) 3 Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán. Công vi c còn l i ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán. Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán. Do f(x) không trùng v i g(x) nên ∃x0 ∈ ¡ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) . Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2 g ( x) + g (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ¡ Thay x b i x0 ta ñư c: 2 g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 2 Thay x b i 1 –x0 ta ñư c 2 g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) 2 1 T hai h th c này ta ñư c: g ( x0 ) = ( x0 2 + 2 x0 − 1) = f ( x0 ) 3 ði u này mâu thu n v i g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) 1 V y phương trình có nghi m duy nh t là f ( x ) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 Ví d 2: Hàm s y = f(x) xác ñ nh , liên t c v i ∀x ∈ ¡ và th a mãn ñi u ki n: f(f(x)) = f(x) + x , ∀x ∈ ¡ Hãy tìm hai hàm s như th . (Bài này ñăng trên t p chí KVANT s 7 năm 1986, bài M 995 – b n ti ng Nga) Gi i Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1) V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm có d ng : f(x) = ax + b. Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ ¡ hay (a2 –a )x + ab = x, ∀x ∈ ¡ ñ ng nh t h s ta ñư c:   a 2 − a = 1 a = 1 + 5 a = 1 − 5  ⇔ 2 ∨ 2 ab = 0 b = 0 b = 0   Ta tìm ñư c hai hàm s c n tìm là: 1± 5 f ( x) = x 2 http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
Hi n nhiên th a mãn ñi u ki n bài toán. Ví d 3: Hàm s f : ¢ → ¢ th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau: a ) f ( f ( n)) = n, ∀n ∈ ¢ (1) b) f ( f ( n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ ¢ (2) c) f (0) = 1 (3) Tìm giá tr f(1995), f(-2007) (olympic Ucraina 1995) Gi i: Cũng nh n xét và lý lu n như các ví d trư c, ta ñưa ñ n f(n) ph i có d ng: f(n) = an +b Khi ñó ñi u ki n (1) tr thành: a 2 n + ab + b = n, ∀n ∈ ¢ ð ng nh t các h s , ta ñư c: a 2 = 1  a = 1 a = −1  ⇔ ∨ ab + b = 0 b = 0 b = 0 a = 1 V i  ta ñư c f(n) = n b = 0 Trư ng h p này lo i vì không th a mãn (2) a = −1 V i  ta ñư c f(n) = -n + b b = 0 T ñi u ki n (3) cho n = 0 ta ñư c b = 1 V y f(n) = -n + 1 Hi n nhiên hàm s này th a mãn ñi u ki n bài toán. Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn ñi u ki n bài toán Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) cũng th a mãn ñi u ki n bài toán. T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1 T (3) suy ra f(1) = g(1) = 0 S d ng ñi u ki n (1) và (2) ta nh n ñư c: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈¢ do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈¢ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈¢ Gi s n0 là s t nhiên bé nh t làm cho f ( n0 ) ≠ g ( n0 ) Do f(n) cũng th a mãn (4) nên ta có: g (n0 − 2) = g (n0 ) + 2 = f (n0 ) + 2 = f (n0 − 2) ⇔ g (n0 − 2) = f (n0 − 2) Mâu thu n v i ñi u ki n n0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5) V y f(n) = g(n) , ∀n ∈ ¥ Ch ng minh tương t ta cũng ñư c f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm. V y f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t. T ñó tính ñư c f(1995), f(-2007). Các bài t p tương t : Bài 1: Tìm t t c các hàm s f : ¡ → ¡ th a mãn ñi u ki n: http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
f ( x + y ) + f ( x − y ) − 2 f ( x) f (1 + y ) = 2 xy (3 y − x 2 ), ∀x, y ∈ ¡ ðáp s f(x) = x3 Bài 2: Hàm s f : ¥ → ¥ th a mãn ñi u ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ ¥ Tìm f(2005) ðáp s : 2006 Bài 3: Tìm t t c các hàm f : ¥ → ¥ sao cho: f ( f ( n)) + ( f ( n))2 = n 2 + 3n + 3, ∀n ∈ ¥ ðáp s : f(n) = n + 1 Bài 4: Tìm các hàm f : ¡ → ¡ n u :  x −1   1− x  8  2  3f  −5 f  = , ∀x ∉ 0, − ,1, 2   3x + 2   x − 2  x −1  3  28 x + 4 ðáp s : f ( x) = 5x Bài 5: Tìm t t c các ña th c P(x) ∈ ¡ [ x ] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x, y ∈ ¡ ðáp s : P(x) = x3 + cx Phương pháp xét giá tr Bài 1: Tìm f : ¡ → ¡ th a mãn: 1 1 1 f ( xy ) + f ( yz ) − f ( x ) f ( yz ) ≥ , ∀x, y, z ∈ ¡ 2 2 4 Gi i: Cho x= y = z = 0: 1 1 1 f (0) + f (0) − f 2 (0) ≥ 2 2 4 1 2 ⇔ ( f (0) − ) ≤ 0 2 1 ⇔ f (0) = 2 Cho y = z = 0: 1 1 1 1 + − f ( x ) ≥ , ∀x ∈ ¡ 4 4 2 4 1 ⇔ f ( x) ≤ , ∀x ∈ ¡ (1) 2 Cho x= y = z = 1 1 1 1 f (0) + f (1) − f 2 (1) ≥ 2 2 4 1 ⇔ ( f (1) − ) 2 ≤ 0 2 1 ⇔ f (1) = 2 Cho y = z = 1 1 1 1 1 f ( x) + f ( x) − f ( x ) ≥ 2 2 2 4 1 ⇔ f ( x) ≥ , ∀x ∈ ¡ (2) http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí 2
1 T ( 1) và (2) ta có f(x) = 2 Bài 2: Tìm f : (0,1) → ¡ th a mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y, z ∈ (0,1) Gi i : Ch n x = y = z: f(x3) = 3xf(x) Thay x, y, z b i x2 f(x6) = 3 x2 f(x2) M t khác f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3) Hay 3 x f(x ) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) 2 2 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x) 3x3 + 1 ⇒ f (x2 ) = f ( x), ∀x ∈ ¡ 2 Thay x b i x3 ta ñư c : 3x9 + 1 ⇒ f (x ) =6 f ( x3 ), ∀x ∈ ¡ 2 3x9 + 1 ⇒ 3x 2 f ( x 2 ) = 3 xf ( x), ∀x ∈ ¡ 2 3x3 + 1 3x9 + 1 ⇒ 3x 2 f ( x) = 3 xf ( x), ∀x ∈ ¡ 2 2 ⇒ f ( x) = 0, ∀x ≠ 0 V y f(x) = 0 v i m i x Phương pháp 2: S d ng tính ch t nghi m c a m t ña th c (Bài gi ng c a Ti n s Nguy n Vũ Lương – ðHKHTN – ðHQG Hà N i) Ví d 1: Tìm P(x) v i h s th c, th a mãn ñ ng th c: ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2) P ( x − 1) = ( x3 − 3 x 2 + 3 x − 2) P ( x), ∀x (1) Gi i: (1) ⇔ ( x + 2)( x + x + 1) P ( x − 1) = ( x − 2)( x − x + 1) P ( x), ∀x 2 2 Ch n : x = −2 ⇒ P ( −2) = 0 x = −1 ⇒ P (−1) = 0 x = 0 ⇒ P (0) = 0 x = 1 ⇒ P (1) = 0 V y P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x) Thay P(x) vào (1) ta ñư c: ( x + 2)( x 2 + x + 1)( x − 1)( x − 2) x ( x + 1)G ( x − 1) = ( x − 2)( x 2 − x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2)G ( x ), ∀x ⇒ ( x 2 + x + 1) G ( x − 1) = ( x 2 − x + 1)G ( x), ∀x G ( x − 1) G ( x) ⇔ = 2 , ∀x x − x +1 x + x +1 2 G ( x − 1) G ( x) ⇔ = 2 , ∀x ( x − 1) + ( x − 1) + 1 x + x + 1 2 http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
G ( x) ð t R( x) = (x ≠ 0, ± 1, -2) x + x +1 2 ⇒ R ( x ) = R ( x − 1) (x ≠ 0, ± 1, -2) ⇒ R ( x) = C V y P ( x) = C ( x 2 + x + 1) x( x − 1)( x + 1)( x + 2) Th l i th y P(x) th a mãn ñi u ki n bài toán. Chú ý : N u ta xét P(x) = (x3 + 1)(x – 1) Thì P(x + 1) = (x3 + 3x2 + 3x + 2)x Do ñó (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) T ñó ta có bài toán sau Ví d 2: Tìm ña th c P(x) v i h s th c, th a mãn ñ ng th c: (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) v i m i x Gi i quy t ví d này hoàn toàn không có gì khác so v i ví d 1 Tương t như trên n u ta xét: P(x) = (x2 + 1)(x2 – 3x + 2) Ta s có bài toán sau: Ví d 3: Tìm ña th c P(x) v i h s th c th a mãn ñ ng th c: (4 x 2 + 4 x + 2)(4 x 2 − 2 x) P ( x) = ( x 2 + 1)( x 2 − 3 x + 2) P (2 x + 1), ∀x ∈ ¡ Các b n có th theo phương pháp này mà t sáng tác ra các ñ toán cho riêng mình. Phương pháp 3: S d ng phương pháp sai phân ñ gi i phương trình hàm. 1. Trư c h t ta nh c l i khái ni m v dãy s . Dãy s là m t hàm c a ñ i s t nhiên: x:¥ → ¥ n a x(n) Vì n ∈ {0,1, 2,3,...} ⇒ ( xn ) = { xo , x1 , x2 ,...} 2. ð nh nghĩa sai phân Xét hàm x(n) = xn Sai phân c p 1 c a hàm xn là Vxn = xn +1 − xn Sai phân câp 2 c a hàm xn là V2 xn =Vxn +1 −Vxn = xn + 2 − 2 xn +1 + xn k Sai phân câp k c a hàm xn là Vk xn = ∑ ( −1)i Cki xn + k −i i =0 3. Các tính ch t c a sai phân Sai phân các c p ñ u ñư c bi u th qua các giá tr hàm s Sai phân có tính tuy n tính: ∆ (af + bg ) = a∆ f + b∆ k g k k N u xn ña th c b c m thì: ∆ k xn Là ña th c b c m – k n u m> k Là h ng s n u m= k Là 0 n u m
Ví d : Xét dãy s h u h n: 1, -1, -1, 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55 Tìm quy lu t bi u di n c a dãy s ñó. Gi i: Ta l p b ng sai phân như sau: xn 1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55 ∆xn -2 0 2 4 6 8 10 12 14 ∆ 2 xn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 V y ∆ 2 xn = const do ñó xn là ña th c b c hai: xn = an 2 + bn + c ð tính a, b, c ta d a vào ba giá tr ñ u x0 = 1, x1 = −1, x2 = −1 sau ñó gi i h phương trình ta nh n ñư c: a = 1, b = -3, c = 1. Do ñó xn = n 2 − 3n + 1 4. Phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t a0 xn + k + a1 xn + k −1 + L + ak xn = 0, ak , a0 ≠ 0 (1) G i là phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t c p k ( ñây k = n +k -1) 5. Phương trình ñ c trưng. a0 λ k + a1λ k −1 + a2 λ k − 2 + L + ak = 0 (2) 6. Nghi m t ng quát N u (2) có k nghi m phân bi t λ1 , λ2 , λ3 ,K , λk thì nghi m t ng quát c a (1) là xn = c1λ1n + c2 λ2n +L ck λkn N u (2) có nghi m b i, ch ng h n nghi m λ1 có b i s thì nghi m t ng quát c a (1) s là: xn = c1λ1n + c2 nλ1n + c2 n 2 λ1n + L cs n s −1λ1n + cs +1λsn+1 + L + ck λkn 7. Ví d Ví d 1: cho dãy ( xn ) có xn +3 = 6 xn + 2 − 11xn +1 + 6 xn x0 = 3, x1 = 4, x2 = −1 Hãy tìm xn Gi i : Ta có xn +3 − 6 xn + 2 + 11xn +1 − 6 xn = 0 Phương trình ñ c trưng là : λ 3 − 6λ 2 + 11λ − 6 = 0 ⇔ λ = 1, λ = 2, λ = 3 Suy ra: xn = c1 + c2 2n + c3 3n ð tìm c1 , c2 , c3 ta ph i d a vào x0 , x1 , x2 khi ñó ta s tìm ñư c : http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
 3 c1 = − 2  c2 = 8  7 c3 = −  2 3 7 n T ñó xn = − + 8.2 n − 3 2 2 Ví d 2: Cho dãy s ( xn ) có x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3 và xn = 7 xn −1 − 11xn − 2 + 5 xn −3 , ∀n ≥ 3 Tìm xn Phương trình ñ c trưng là : λ 3 − 7λ 2 + 11λ − 5 = 0 ⇔ λ = 1, λ = 1, λ = 5 V y nghi m t ng quát là : xn = c1 + c2 n + c3 5n ð tìm c1 , c2 , c3 ta ph i d a vào x0 , x1 , x2 khi ñó ta s tìm ñư c :  1 c1 = − 16   3 c2 =  4  1 c3 = 16  1 3 1 T ñó ta ñư c: xn = − + n + 5n 16 4 16 Chú ý : V i phương trình sai phân, ta có m t s lo i khác n a như phương trình sai phân tuy n tính không thu n nh t, phương trình sai phân phi tuy n và có c m t h th ng phương pháp gi i quy t ñ tuy n tính hóa phương trình sai phân. Song liên quan ñ n phương trình hàm trong bài vi t này, ch nh c l i phương trình sai phân tuy n tính ñơn gi n nh t ( chưa xét ñ n phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t có nghi m ph c). 8. Áp d ng ñ i v i phương trình hàm Ví d 1: Tìm t t c các hàm f : ¡ → ¡ th a mãn: f(f(x)) = 3f(x) – 2x , ∀x ∈ ¡ Gi i : Thay x b i f(x) ta ñư c: f(f(f(x))) = 3f(f(x)) – 2f(x) , ∀x ∈ ¡ ……………………….. f (... f ( x)) = 3 f (... f ( x)) − 2 f (... f ( x)) 1 4 2 43 1 4 2 43 1 4 2 43 n+ 2 n +1 n http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
Hay f n + 2 ( x) = 3 f n +1 ( x) − 2 f n ( x), n ≥ 0 ð t xn = f n ( x), n ≥ 0 Ta ñư c phương trình sai phân: xn + 2 = 3 xn +1 − 2 xn Phương trình ñ c trưng là : λ 2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ λ = 1 ∨ λ = 2 V y xn = c1 + c2 2 n Ta có: x0 = c1 + c2 = x x1 = c1 + 2c2 = f ( x) T ñó ta ñư c c1 = 2 x − f ( x), c2 = f ( x) − x V y f ( x) = x + c2 ho c f ( x) = 2 x − c1 Ví d 2: Tìm t t c các hàm f xác ñ nh trên N và th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau: 2 f ( n) f ( k + n) − 2 f ( k − n) = 3 f ( n) f ( k ), k ≥ n f (1) = 1 Gi i: Cho k = n = 0 ⇒ 2 f 2 (0) − 2 f (0) = 3 f 2 (0) ⇔ f (0) = 0 ∨ f (0) = −2 N u f(0) = 0 ch n n = 0 ta ñư c: -2 f(k) = 0 do ñó f(k) = 0 v i m i k Ch n k = 1 ta ñư c f(1) = 0 mâu thu n v i gi thi t. V y f(0) = -2 Ch n n = 1 ta ñư c phương trình: 2 f (1) f ( k + 1) − 2 f ( k − 1) = 3 f (1) f ( k ), ∀k ⇔ 2 f ( k + 1) − 2 f ( k − 1) = 3 f ( k ), ∀k ð t xk = f (k ) ta có phương trình sai phân 2 xk +1 − 3 xk − 2 xk −1 = 0 1 Phương trình ñ c trưng là 2λ 2 − 3λ − 2 = 0 ⇔ λ = 2 ∧ λ = − 2 n  1 V y f ( n) = c1 2 + c2  −  n  2 Ta tìm c1 , c2 t ñi u ki n f(0) = -2 , f(1) = 1 D tìm ñư c c1 = 0, c2 = −2 n  1 V y f ( n ) = −2  −   2 http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
Phương pháp 4: ðI M B T ð NG. 1. ð c trưng c a hàm Như ta ñã bi t, phương trình hàm là m t phương trình thông thư ng mà nghi m c a nó là hàm. ð gi i quy t t t v n ñ này, c n phân bi t tính ch t hàm v i ñ c trưng hàm. Nh ng tính ch t quan tr c ñư c t ñ i s sang hàm s , ñư c g i là nh ng ñ c trưng hàm. Hàm tuy n tính f(x) = ax , khi ñó f(x + y) = f(x) + f(y) V y ñ c trưng là f(x + y) = f(x) + f(y) v i m i x, y Hàm b c nh t f(x) = ax + b, khi ñó f(x) + f(y) = 2f(  x + y  f ( x) + f ( y ) V y ñ c trưng hàm ñây là f  = , ∀x, y ∈ ¡  2  2 ð n ñây thì ta có th nêu ra câu h i là : Nh ng hàm nào có tính ch t f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), ∀x, y ∈ ¡ . Gi i quy t v n ñ ñó chính là d n ñ n phương trình hàm. V y phương trình hàm là phương trình sinh b i ñ c trưng hàm cho trư c. Hàm lũy th a f ( x) = x k , x > 0 ð c trưng là f(xy) = f(x)f(y) Hàm mũ f ( x ) = a x ( a > 0, a ≠ 1) ð c trưng hàm là f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ ¡ Hàm Logarit f ( x ) = log a x (a>0,a ≠ 1) ð c trưng hàm là f(xy) = f(x) + f(y). f(x) = cosx có ñ c trưng hàm là f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)f(y) Hoàn toàn tương t ta có th tìm ñư c các ñ c trưng hàm c a các hàm s f(x) =sinx, f(x) = tanx và v i các hàm Hypebolic: e x − e− x sin hypebolic shx = 2 e x + e− x cos hypebolic chx = 2 shx e x − e − x tan hypebolic thx = = chx e x + e − x chx e x + e − x cot hypebolic cothx = = shx e x − e − x shx có TXð là ¡ t p giá tr là ¡ chx có TXð là ¡ t p giá tr là [1, +∞ ) thx có TXð là ¡ t p giá tr là (-1,1) cothx có TXð là ¡ \ {0} t p giá tr là (−∞, −1) ∪ (1, +∞ ) http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
Ngoài ra b n ñ c có th xem thêm các công th c liên h gi a các hàm hypebolic, ñ th c a các hàm hypebolic 2. ði m b t ñ ng Trong s h c, gi i tích, các khái ni m v ñi m b t ñ ng, ñi m c ñ nh r t quan tr ng và nó ñư c trình bày r t ch t ch thông qua m t h th ng lý thuy t. ñây, tôi ch nêu ng d ng c a nó qua m t s bài toán v phương trình hàm. Ví d 1: Xác ñ nh các hàm f(x) sao cho: f(x+1) = f(x) + 2 ∀x ∈ ¡ Gi i: Ta suy nghĩ như sau: T gi thi t ta suy ra c = c + 2 do ñó c = ∞ Vì v y ta coi 2 như là f(1) ta ñư c f(x + 1) = f(x) + f(1) (*) Như v y ta ñã chuy n phép c ng ra phép c ng. D a vào ñ c trưng hàm, ta ph i tìm a : f(x) = ax ñ kh s 2. Ta ñư c (*) ⇔ a ( x + 1) = ax + 2 ⇔a=2 V y ta làm như sau: ð t f(x) = 2x + g(x) Thay vào (*) ta ñư c: 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) + 2, ∀x ∈ ¡ ði u này tương ñương v i g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ ¡ V y g(x) là hàm tu n hoàn v i chu kì 1. ðáp s f(x) = 2x + g(x) v i g(x) là hàm tu n hoàn v i chu kì 1. Qua ví d 1, ta có th t ng quát ví d này, là tìm hàm f(x) th a mãn: f(x + a) = f(x) + b, ∀x ∈ ¡ , a, b tùy ý Ví d 2: Tìm hàm f(x) sao cho: f(x + 1) = - f(x) + 2, ∀x ∈ ¡ (1) Gi i: ta cũng ñưa ñ n c = -c + 2 do ñó c = 1 v y ñ t f(x) = 1 + g(x), thay vào (1) ta ñư c phương trình: g(x + 1) = - g(x), ∀x ∈ ¡ Do ñó ta có:  g ( x + 1) = − g ( x )   g ( x + 2) = g ( x )  1  g ( x ) = [ g ( x ) − g ( x + 1) ] ⇔  2 ∀x ∈ ¡ (3)  g ( x + 2) = g ( x )  Ta ch ng minh m i nghi m c a (3) có d ng : 1 g ( x ) = [ h( x ) − h( x + 1) ] , ∀x ∈ ¡ 2 ñó h(x) là hàm tu n hoàn v i chu kì 2 http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
qua ví d này, ta có th t ng quát thành: f(x + a) = - f(x) + b, ∀x ∈ ¡ , a, b tùy ý Ví d 3: Tìm hàm f(x) th a mãn : f(x + 1) = 3f(x) + 2, ∀x ∈ ¡ (1) Gi i: Ta ñi tìm c sao cho c = 3c + 2 d th y c = -1 ð t f(x) = -1 + g(x) Lúc ñó (1) có d ng g(x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ¡ Coi 3 như g(1) ta ñư c g(x + 1) = g(1).g(x) ∀x ∈ ¡ (2) T ñ c trưng hàm, chuy n phép c ng v phép nhân, ta th y ph i s d ng hàm mũ : a x +1 = 3a x ⇔ a = 3 V y ta ñ t: g ( x ) = 3x h( x ) thay vào (2) ta ñư c: h(x + 1) = h(x) ∀x ∈ ¡ V y h(x) là hàm tu n hoàn chu kì 1. K t lu n f ( x ) = −1 + 3x h( x ) v i h(x) là hàm tu n hoàn chu kì 1. ví d 3 này, phương trình t ng quát c a lo i này là : f(x + a) = bf(x) + c, ∀x ∈ ¡ , a, b, c tùy ý, b > 0, b khác 1 V i lo i này ñư c chuy n v hàm tu n hoàn. Còn f(x + a) = bf(x) + c, ∀x ∈ ¡ , a, b, c tùy ý, b < 0, b khác 1 ñư c chuy n v hàm ph n tu n hoàn. Ví d 4: Tìm hàm f(x) th a mãn f(2x + 1) = 3f(x) – 2 ∀x ∈ ¡ (1) Gi i: Ta có: c = 3c – 2 suy ra c = 1 ð t f(x) = 1 + g(x) Khi ñó (1) có d ng g(2x + 1) = 3g(x) ∀x ∈ ¡ (2) Khi bi u th c bên trong có nghi m ≠ ∞ thì ta ph i x lý cách khác. T 2x + 1 = x suy ra x = 1 V y ñ t x = -1 + t ta có 2x + 1 = -1 + 2t (2) có d ng: g(-1 + 2t) = 3g(-1 + t ) ∀t ∈ ¡ ð t h(t) = g(-1 + 2t), ta ñư c h(2t) = 3h(t) (3) 2t = t ⇔ t = 0 (2t ) m = 3.t m ⇔ m = log 2 3 Xét ba kh năng sau: N u t = 0 ta có h(0) = 0 N u t> 0 ñ t h(t ) = t log 2 3ϕ (t ) thay vào (3) ta có ϕ (2t ) = ϕ (t ), ∀t > 0 ð n ñây ta ñưa v ví d hàm tu n hoàn nhân tính. http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí
ϕ (2t ) = −ϕ (t ), ∀t < 0 ϕ (2t ) = −ϕ (t ), ∀t < 0 N ut