Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

Chia sẻ: Đinh Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

91
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS cung cấp đến các bạn bài tập đa thức, chứng minh biểu thức có điều kiện, giá trị biểu thức có điều kiện... giúp các em học sinh ôn luyện và nâng cao kiến thức môn Toán cấp THCS. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

1 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Chủ đề 1a. BỔ SUNG BÀI TẬP ĐA THỨC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN (Phần chứng minh biểu thức có điều kiện) Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là : Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện ràng buộc giữa các biến số Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng buộc bởi một hoặc nhiều điều kiện nào đó 1. Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện VD1. 1) Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 1 2) Cho biểu thức x(1  x 2 ) 2  1  x3  1  x3  A = 1  x2 :    x   x   1  x  1  x  Tính giá trị của A biết x = 2007 2. Tính giá trị của biểu thức có điều kiện VD 2. 1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc với abc  0  a  b  c  Tính giá trị của biểu thức B = 1  1  1    b  c  a  2) Cho a + b + c = 0 với a2+ b2+ c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức: C = a4+b4+ c4 3. Bài tập: Bài 1. Cho x+y = 3. Tính giá trị của biểu thức A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1 Bài 2. Cho a3+b3+c3= 3abc  0 . Tính giá trị của biểu thức  a  b  c  B = 1  1   1    b  c  a  Bài 3. Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=1 Tính giá trị của biểu thức (1+𝑦 2 )(1+𝑧 2 ) (1+𝑧 2 )(1+𝑥 2 ) (1+𝑥 2 )(1+𝑦 2 ) 𝐴 = 𝑥. √ + 𝑦. √ + 𝑧. √ 1+𝑥 2 1+𝑦 2 1+𝑧 2 1 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
2 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Bài 4. Tính giá trị của biểu thức  x  5 y  1 M= x  x  5 biết 𝑥 2 + 9𝑦 2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| Bài 5. Cho x, y, z thỏa mãn x  y  z  1  2 x  y  z  1 2 2  x3  y 3  z 3  1  1/ Tính giá trị của biểu thức Q= x4  y5  z 6 2/ Tính giá trị của biểu thức A = a + b 2 + c3 Bài 6. Cho 3 3 𝑥 = √20 + 14√2 + √20 − 14√2 Tính giá trị của biểu thức 𝑃 = 𝑥 3 − 6𝑥 + 2020 Bài 7. Cho a+b=ab Tính giá trị của biểu thức A = ( a3+ b3− a3b3 ) + 27a6b6 Bài 8. Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 1  1 3 3 A = 2 2 2 2 1  1 3 3 Bài 9. Cho a, b thỏa mãn 3 2 {𝑎3 − 3𝑎𝑏 2 = 19 Tính giá trị của biểu thức B = ( a2 + b2 )3 𝑏 − 3𝑎 𝑏 = 98 Bài 10. Cho 3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧 { với xy  0 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧 x 2  2 xy C 2 2 Tính giá trị của biểu thức x y 2 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
3 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Bài 11. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a + b + c  0 𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2 Tính giá trị của biểu thức 𝐷 = (𝑎+𝑏+𝑐)2 Bài 12. Cho  b2  c2  a 2 x   2bc      2 a 2 b c , Tính giá trị của biểu thức Q = x + y +xy y   b  c   a2 2  Bài 13. Cho a  b  c  0  2 2 2 Tính giá trị của biểu thức E = a 4 + b4 + c 4 a  b  c  14 Bài 14. Cho x  y  a  2 2 Tính giá trị của biểu thức M = x3 + y3 theo a , b x  y  b Bài 15. Cho  a 13 x y x z    169 27     x  z   z  y  2 x  y  z  2 2a3  12a 2  17a  2 Tính giá trị của biểu thức E a2 Bài 16. x y z    0 a b c a 2 b2 c 2 Cho  a b c Tính giá trị của biểu thức N= 2  2  2    2 x y z  x y z Bài 17 1/ Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = 4 Tính giá trị của biểu thức 3 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
4 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 𝐻 = √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) + √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) + √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) − √𝑥𝑦𝑧 2/ Cho (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ). (𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ) = 𝟏𝟗𝟔𝟐 Tính giá trị của biểu thức K= x+y Bài 18. Cho 𝑥+𝑦+𝑧 =𝑎 2 2 2 2 {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑏 1 1 1 + + =𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 Tính giá trị của biểu thức M = x3+ y3+ z3 theo a , b , c Bài 19. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 2 𝑦2 𝑥 + 𝑥𝑦 + = 25 3 𝑦2 + 𝑧2 = 9 3 { 𝑧 2 + 𝑥𝑧 + 𝑥 2 = 16 Tính giá trị của biểu thức N = xy + 2yz + 3zx Bài 20. Cho các số dương a, b, c phân biệt sao cho các phương trình x2 + a.x + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung. Đồng thời các phương trình x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung. Tính giá trị của biểu thức P = a+b+c 3. Hướng dẫn giải: Bài 1. Cho x+y = 3. Tính giá trị của biểu thức A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1 Giải: Bài này không tính được trực tiếp x, y nên cần biến đổi A về dạng có x+y rồi thay x+y=3 vào. A = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 – 4𝑥 – 4𝑦 + 1 = (𝑥 + 𝑦)2 − 4(𝑥 + 𝑦) + 1 = 9 − 12 + 1 = −2 Bài 2. Cho a3+b3+c3= 3abc  0 . Tính giá trị của biểu thức  a  b  c  B = 1  1   1    b  c  a  Giải 4 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
5 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung  a  b  b  c  a  c  Ta có B = abc Từ giả thiết ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = 0  ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0  ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0 Vậy ta được a + b + c = 0 hoặc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0 * Với a + b + c = 0 , ta được: a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b  abc Khi đó, B = = -1 abc * Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 0  2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = 0  ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 . Vậy a = b = c 2b.2c.2a Khi đó B = bca = 8 Bài 3. Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=1 Tính giá trị của biểu thức (1+𝑦 2 )(1+𝑧 2 ) (1+𝑧 2 )(1+𝑥 2 ) (1+𝑥 2 )(1+𝑦 2 ) 𝐴 = 𝑥. √ + 𝑦. √ + 𝑧. √ 1+𝑥 2 1+𝑦 2 1+𝑧 2 Ta thấy xy+yz+zx=1 nên thay 1 vào các biểu thức sau, ta được 1 + x2 = xy + yz + zx + x2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z ) 1 + y2 = xy + yz + zx + y2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z ) 1 + z2 = xy + yz + zx + z2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z ) Thay vào A và rút gọn, ta được (1+𝑦 2 )(1+𝑧 2 ) (1+𝑧 2 )(1+𝑥 2 ) (1+𝑥 2 )(1+𝑦 2 ) 𝐴 = 𝑥. √ + 𝑦. √ + 𝑧. √ 1+𝑥 2 1+𝑦 2 1+𝑧 2 Ta có : (1+𝑦 2 )(1+𝑧 2 ) (𝑥+𝑦)(𝑦+𝑧)(𝑥+𝑧)(𝑦+𝑧) 𝑥. √ = 𝑥. √ = 𝑥. √(𝑦 + 𝑧)2 = 𝑥. |𝑦 + 𝑧| = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 1+𝑥 2 (𝑥+𝑦)(𝑥+𝑧) (vì y>0 ; z>0 nên y+z>0) Tương tự các biểu thức còn lại được yz+yx ; zx+yz 5 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
6 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Do đó A=𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) = 2.1 = 2 Bài 4. Tính giá trị của biểu thức  x  5 y  1 M= x  x  5 biết 𝑥 2 + 9𝑦 2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| Ta chỉ cần giải phương trình 𝑥 2 + 9𝑦 2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| để tìm ra nghiệm x, y. 𝑥 2 + 9𝑦 2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| => 𝑥 2 + 9𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + |𝑥 − 3| = 0 (𝑥 − 3𝑦)2 + |𝑥 − 3| = 0=> x=3y và x=3=>y=1. 8 Thay x=3, y=1 vào M ta được M=− 3 Bài 5. Cho x, y, z thỏa mãn x  y  z  1  2 x  y  z  1 2 2  x3  y 3  z 3  1  1/ Tính giá trị của biểu thức Q= x4  y5  z 6 Ta chỉ cần giải hệ phương trình đã cho để tìm x, y, z Ta có 13 = ( x + y + z )3 = x3+ y3+ z3+ 3( x + y)( y + z)( z + x) mà x3+ y3+ z3 = 1 Vì vậy ( x + y)( y + z)( z + x) = 0 . Nên x = - y , hoặc y = - z , hoặc z = - x Nếu x = - y thì x+ y = 0 và từ x + y + z = 1 ta có z = 1 nên z2 = 1 và x2+ y2 = 0 suy ra x = y = 0 khi đó Q = 04+ 05 + 16 = 1 . Hoàn toàn tương tự với các trường hợp còn lại ta được Q = 1. Tóm lại Q=1 2/ Tính giá trị của biểu thức A = a + b2 + c3 Giải: 13 = ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)( b + c)( c + a) . Mà a3 + b3 + c3 = 1 nên ta có ( a + b)( b + c)( c + a) = 0 . Vậy a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0. Nếu a + b = 0 thay vào (1) ta có c = 1  c2 = 1 thay vào (2) ta được a = b = 0  A =1 Nếu b + c = 0 thay vào (1) ta có a = 1  a2 = 1 thay vào (2) ta được b = c = 0  A =1 Nếu a + c = 0 thay vào (1) ta có b = 1 b2 = 1 thay vào (2) ta được a = c = 0  A = 1 6 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
7 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Vậy A=1 Bài 6. Cho 3 3 𝑥 = √20 + 14√2 + √20 − 14√2 Tính giá trị của biểu thức 𝑃 = 𝑥 3 − 6𝑥 + 2020 Ta có: Lập phương hai vế của x, ta được 3 3 3 𝑥 3 = ( √20 + 14√2 + √20 − 14√2) 3 = 20 + 14√2 + 20 − 14√2 + 3𝑥 √202 − 2. 142 = 6𝑥 + 40 Vậy 𝑥 3 = 6𝑥 + 40 => 𝑥 3 − 6𝑥 = 40. Thay vào P ta được: 𝑃 = 𝑥 3 − 6𝑥 + 2020 = 40 + 2020 = 2060 Bài 7. Cho a+b=ab Tính giá trị của biểu thức A = ( a3+ b3- a3b3 ) + 27a6b6 Giải: Ta có: a + b = ab  ( a + b)3 = a3b3  a3 + b3 + 3ab( a + b) = a3b3  a3 + b3 – a3b3 = – 3ab( a + b) = – 3ab.ab  (a3 + b3 – a3b3)3 = – 27a6b6  (a3 + b3 – a3b3)3 + 27a6b6 = 0 . Vậy D = 0 Bài 8. Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 1  1 3 3 A = 2 2 2 2 1  1 3 3 2 2 Giải: Đặt a ta có 3   2 1 a  1 a 1 a  1 a 1  1  a2 A   1 a  1 a 2a a 2 2 Sau đó, thay a  ta được A = 2 3 7 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
8 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Bài 9. Cho a, b thỏa mãn 3 2 {𝑎3 − 3𝑎𝑏 2 = 19 Tính giá trị của biểu thức B = ( a2 + b2 )3 𝑏 − 3𝑎 𝑏 = 98 Giải: Ta có : 192 = a6 – 6a4b2 + 9a2b4 vµ 982 = b6 – 6a2b4 + 9a4b2  192 + 982 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = ( a2 + b2)3 . Vậy B = 192 + 982 = 9965 Bài 10. Cho 3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧 { với xy  0 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧 x 2  2 xy C 2 2 Tính giá trị của biểu thức x y Giải 3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧 Từ { cộng hai vế lại, ta được 5𝑥 = 10𝑧 => 𝑥 = 2𝑧 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧 Thay x=2z vào, ta tìm được y=3z. 8 Thay x=2z; y=3z vào C, ta được C=− 13 3 Bài 11. Cho a + b + c = 3abc3 3 với a + b + c  0 𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2 Tính giá trị của biểu thức 𝐷 = (𝑎+𝑏+𝑐)2 Giải: ( a + b )3+ c3−3ab( a + b ) – 3abc = 0  ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0  ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0 Do a + b + c  0 (gt) => a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0 Ta có: a2+ b2+ c2−ab – bc – ca = 0  2a2+ 2b2+ 2c2− 2ab – 2bc – 2ca = 0  ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 . Vậy a = b = c 𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2 𝑎2 +𝑎2 +𝑎2 3𝑎2 1 𝐷= (𝑎+𝑏+𝑐)2 = (𝑎+𝑎+𝑎)2 = = 9𝑎2 3 8 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
9 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Bài 12. Cho  b2  c2  a 2 x   2bc      2 a 2 b c , Tính giá trị của biểu thức Q = x + y +xy theo a, b, c y   b  c   a2 2  Giải: Ta có: Q=𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦(𝑥 + 1) 𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2 𝑎2 −(𝑏−𝑐)2 𝑏−𝑐 Ta có 𝑥 + 1 = +1= Thay vào Q, ta được 𝑄 = 2𝑏𝑐 2𝑏𝑐 𝑏 Bài 13. Cho a  b  c  0  2 2 2 Tính giá trị của biểu thức E = a4 + b4 + c4 a  b  c  14 Giải Ta có 142 = ( a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) => a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) . Ta lại có: 02 = a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ca ) = 14 + 2( ab + bc + ca) . => ab + bc + ca = – 7  49 = ( ab + bc + ca )2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2 ( ab2c + a2bc + abc2)  49 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc( a + b + c) . Vậy: a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49. Do đó, a4 + b4 + c4 = 196 – 2.49 = 196 – 98 = 98 Bài 14. Cho x  y  a  2 2 Tính giá trị của biểu thức M = x3 + y3 theo a , b  x  y  b Giải : Ta có a3 = ( x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y) = M + 3axy . Vậy: M = a3 – 3axy 𝑎2 −𝑏 Ta lại có a2 = ( x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = b + 2xy  xy = . Thay vào M ta có 2 3𝑎𝑏 − 𝑎3 𝑀= 2 Bài 15. Cho  a 13 x y x z    169 27     x  z   z  y  2 x  y  z  2 9 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
10 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 2a3  12a 2  17a  2 Tính giá trị của biểu thức E a2 2a3  12a 2  17a  2 Ta có E  = 2a2 – 8a + 1 a2 a2 169 27 27    Giải : Ta có  x  y 2  x  z 2  z  y  2 x  y  z   x  z  x  y  x  z  x  y  a2 169 27 27      x  y 2  x  z 2  x  z    x  y    x  z    x  y    x  z 2   x  y 2 a2 169  27 196    Vậy a = ± 14  x  y  x  z   x  z   x  y x  y 2 2 2 2 2 Thay vào biểu thức, tính được P. Bài 16. x y z    0 a b c a 2 b2 c 2 Cho  a b c Tính giá trị của biểu thức N= 2  2  2    2 x y z  x y z  x y z   bcx  acy  abz  2 2 Giải: Từ giả thiết, ta có 02 =        . Vậy bcx + acy + abz a b c  abc  =0 Lại có 2  a b c  a 2 b2 c 2  ab bc ca  a 2 b2 c 2 abz  bcx  acy 2 = 2     2  2  2  2        2 2 2  2  x y z x y z  xy yz xz  x y z xyz do bcx + acy + abz = 0 nên N = 4 Bài 17 1/ Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = 4 Tính giá trị của biểu thức 𝐻 = √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) + √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) + √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) − √𝑥𝑦𝑧 Giải: 10 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
11 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung Ta có √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) = √𝑥 (16 − 4𝑧 − 4𝑦 + 𝑦𝑧) = √𝑥 [𝑦𝑧 − 4(𝑦 + 𝑧 − 4)] (1) mà theo giả thiết 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = 4 => 𝑦 + 𝑧 = 4 − 𝑥 − √𝑥𝑦𝑧 (2). Thay (2) vào (1), ta được: √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) = √𝑥(𝑦𝑧 + 4√𝑥𝑦𝑧 + 4𝑥)=√𝑥(√𝑦𝑧 + 2√𝑥)2 = √𝑥. (√𝑥𝑦 + 2√𝑥) = 2𝑥 + √𝑥𝑦𝑧 Tương tự: √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) = 2𝑦 + √𝑥𝑦𝑧 √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) = 2𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 Do đó: 𝐻 = 2𝑥 + √𝑥𝑦𝑧 + 2𝑦 + √𝑥𝑦𝑧 + 2𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 − √𝑥𝑦𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧) = 4.2 = 8 2/ Cho (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ). (𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ) = 𝟏𝟗𝟔𝟐 Tính giá trị của biểu thức K= x+y Bài 18. Cho 𝑥+𝑦+𝑧 = 𝑎 (1) 2 2 2 2 { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑏 (2) 1 1 1 + + =𝑐 (3) 𝑥 𝑦 𝑧 Tính giá trị của biểu thức M = x3+ y3+ z3 theo a , b , c Giải: Bình phương hai vế của (1), ta được (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 𝑎2 => 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) = 𝑎2 , thay (2) vào ta được: 𝑎2 −𝑏2 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = (4) 2 1 1 1 𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥 Từ (3) cho ta: + + = 𝑐 => = 𝑐 => 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑐. 𝑥𝑦𝑧 (5) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑎2 −𝑏2 𝑎2 −𝑏2 Từ (4) và (5) suy ra = 𝑐𝑥𝑦𝑧 => 𝑥𝑦𝑧 = 2 2𝑐 Như vậy ta có: 11 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
12 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 𝑥+𝑦+𝑧=𝑎 𝑎2 −𝑏2 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 2 𝑎2 −𝑏2 { 𝑥𝑦𝑧 = 2𝑐 Ta có: 𝑥 + 𝑦 3 + 𝑧 3 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3(𝑥 2𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 2 + 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 2 + 3 𝑦 2 𝑥 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 2 ) + 3𝑥 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3[(𝑥 2 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 2 ) + (𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 2 ) + (𝑦 2 𝑥 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 2 )] + 3𝑥𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3[𝑥𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑦𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)] + 3𝑥𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧) + 3𝑥𝑦𝑧 𝑎2 −𝑏2 3(𝑎2 −𝑏2 ) 𝑎3 − 3. .𝑎 + . Từ đó tìm ra kết quả 𝑐 2𝑐 Bài 19. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 𝑦2 2 𝑥 + 𝑥𝑦 + = 25 3 𝑦2 + 𝑧2 = 9 3 { 𝑧 2 + 𝑥𝑧 + 𝑥 2 = 16 Tính giá trị của biểu thức N = xy + 2yz + 3zx Bài 20. Cho các số dương a, b, c phân biệt sao cho các phương trình x2 + a.x + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung. Đồng thời các phương trình x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung. Tính giá trị của biểu thức P = a+b+c 12 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung
13 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung 13 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung