intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chia sẻ: ThiênĐường ThiênĐường | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

Thêm vào BST
Báo xấu
370
lượt xem 124
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

  Mời các bạn cùng tham khảo Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sau đây để bổ sung các kiến thức hữu ích cho môn học. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh cũng như các thầy cô giáo dạy bộ môn. Tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

  1. Bồi dưỡng học sinh giỏi             CHUYEÂN ÑEÀ: CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT,  GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT I.   KHÁI NIỆM VỀ  GIÁ TRỊ  LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ  NHỎ  NHẤT CỦA MỘT BIỂU   THỨC:    Cho biểu thức  F ( x1 , x 2 ,..., x n )  với các biến  x1 , x 2 ,..., x n  thoả mãn điều kiện D. Ta nói M (M phải là  hằng số là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất)  của biểu thức F khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điều kiện   sau: +)  Bất đẳng thức  F ( x1 , x 2 ,..., x n ) M ( F ( x1, x 2 ,..., x n ) M )  đúng với mọi  x1 , x 2 ,..., x n  thỏa mãn D. +)  Tồn tại  ( x1 , x 2 ,..., x n )  thỏa mãn D sao cho  F ( x1 , x 2 ,..., x n ) = M . II.  CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT: 1.  PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG: A. Kiến thức cần nhớ:     Giả sử cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Ta biến đổi P về dạng            P = αA 2m + β B2n + γC2p + D , trong đó  α, β, γ  cùng dấu và D có giá trị không đổi. + )  Nếu  α, β, γ  không âm thì  P D . Ta có min P = D nếu tồn tại dấu đẳng thức  A 2m = B2n = C2p = 0 . +   )     Nếu   α, β, γ   không   dương   thì   P D .   Ta   có   max   P   =   D   nếu   tồn   tại   dấu   đẳng   thức  A 2m = B2n = C2p = 0 . B.  Các ví dụ: Ví   dụ   1.1:   Cho   các   số   thực   x,   y   thoả   mãn   x   +   y   =   2.   Tìm   giá   trị   nhỏ   nhất   của   biểu   thức: A = x 3 + y3 + 2xy . Giải: Ta có:  A = x 3 + y3 + 2xy = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) + 2xy . 3 Theo giả thiết x + y = 2, ta có y = 2 – x nên A = 23 − 6x ( 2 − x ) + 2x ( 2 − x ) = 4x 2 − 8x + 8 = 4 ( x − 1) + 4 4, ∀x R . 2 Dấu bằng xảy ra   x – 1 = 0   x = 1   y = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi x = 1, y = 1. Ví dụ 1.2: Cho các số thực x, y thoả mãn x + y + 4 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( 3 ) ( 3 2 2 )                                                  A = 2 x + y + 3 x + y + 10xy . Giải: ( ) ( ) Ta có:  A = 2 x 3 + y3 + 3 x 2 + y 2 + 10xy = 2 ( x + y ) − 6xy ( x + y ) + 3 ( x + y ) − 6xy + 10xy 3 2                = 28xy − 80 = 28x ( −4 − x ) − 80 = −28 ( x 2 + 4x + 4 ) + 3 = −28 ( x + 2 ) + 32 32, ∀x R . 2 Dấu bằng xảy ra   x + 2 = 0   x = – 2   y = – 2.    Vậy giá trị lớn nhất của A là 32 khi x = – 2, y = – 2. Ví dụ 1.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a)  A = x 2 + 4y 2 − 4x + 32y + 2078 b)  B = 3x 2 + y 2 + 4x − y . Giải: a)  Ta có:  A = x + 4y − 4x + 32y + 2078 = x − 4x + 4 + 4 y + 8y + 16 + 2010   2 2 2 2 ( )                      = ( x − 2 ) + 4 ( y + 4 ) + 2010 2010 2 2 �x − 2 = 0 �x = 2 A = 2010 �� � � . �y + 4 = 0 �y = −4 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2010 khi x = 2, y = – 4.  2 2 2 � � 1 � 19 19 b)  Ta có:  B = 3x 2 + y 2 + 4x − y = 3 � �x + �+ �y − �− − , ∀x, y R . � 3 � � 2 � 12 12 1
  2. Bồi dưỡng học sinh giỏi             � 2 � 2 �x+ =0 �x=− 19 � 3 � 3 19 2 1 B = − �� � � .  Vậy giá trị nhỏ nhất của B là  −  khi  x = − , y = . 12 �y − 1 = 0 �y = 1 12 3 2 � 2 � 2 Nhận xét.  Xét biểu thức bậc hai của x, y nhưng các biến không ràng buộc  2 2 c � � d � c2 d 2          f ( x, y ) = ax + by + cx + dy + e = a � 2 2 �x + + � �b y + � + e − − � 2a � � 2b � 4a 4b c2 d 2 c d +)  Nếu a, b > 0 thì ta có  min f ( x,  y )   = e − −  đạt được khi và chỉ khi  x = − , y = − . 4a 4b 2a 2b c2 d 2 c d +)  Nếu a, b 
  3. Bồi dưỡng học sinh giỏi             A = −8 � t = 0 � x 2 + 6x + 4 = 0 � ( x + 3 ) = 5 � x = −3 � 5 . 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 8 khi  x = −3 5. b)  Đặt x = t + 1 thì ta có:  B = ( t + 3) + ( t − 3) = 2 ( t 4 + 6t 2 .32 + 34 ) = 2t 4 + 108t 2 + 162 162, ∀t 4 4 R. B = 162 � t = 0 � x = 1 .  Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 162 khi x = 1. Ví dụ 1.7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a)  A = x − 2 x − 4 + 3 ( x 4) b)  B = 3x 2 − 12x + 16 + x 4 − 8x 2 + 17 Giải: ( ) 2 a)  Ta có:  A = x − 2 x − 4 + 3 = ( x − 4 ) − 2 x − 4 + 1 + 6 = x − 4 − 1 + 6 6, ∀x 4. A = 6 � x − 4 =1� x = 5. Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 6, đạt được tại x = 5. (x ) 2 b)  Ta có:  B = 3x 2 − 12x + 16 + x 4 − 8x 2 + 17 = 3 ( x − 2 ) + 4 + 2 2 − 4 +1 4 + 1 =3. x−2 =0 B = 3 �� 2 x = 2. x −4 =0 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 3, đạt được tại x = 2. Ví dụ 1.8:  3x 2 − 12x + 10 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:  A = . x 2 − 4x + 5 x 2 − 6x + 23 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  B = 2 . x − 6x + 10 Giải: 3x 2 − 12x + 10 5 5 a)  Ta có:  A = = 3− 2 = 3− 3 − 5 = −2 ( x − 2) +1 2 x − 4x + 5 2 x − 4x + 5 5                                  (do  ( x − 2 ) + 1 �� 2 1 − �−5 ) ( x − 2) 2 +1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 2, đạt được tại x = 2. b)  Ta có:  x 2 − 6x + 10 = ( x − 3) + 1 1 , do đó; 2 x 2 − 6x + 23 13 B = +2 � + = = 1 2 1 13 14 A 14 . Dấu bằng xảy ra  � x = 3 . x − 6x + 10 x − 6x + 10 Vậy giá trị lớn nhất của B là 14, đạt được tại x = 3. Ví dụ 1.9: Cho các số thực x, y, z thoả mãn 2x + 2y + z = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  A = 2xy + yz + zx. Giải: Từ giả thiết ta có z = 4 – 2x – 2y, thế vào biểu thức: A = 2xy + z ( x + y ) = 2xy + ( 4 − 2x − 2y ) ( x + y ) = −2x 2 − 2y 2 − 2xy + 4x + 4y Do đó:  2A = −4x 2 − 4y 2 − 4xy + 8x + 8y = −4x 2 − 4x ( y − 2 ) − ( y − 2 ) + ( y − 2 ) − 4y 2 + 8y 2 2 2 4 � � 2 � 16 16                    = − ( 2x + y − 2 ) − 3 � �y − y �+ 4 = − ( 2x + y − 2 ) − 3 �y − �+ 2 2 2 � 3 � � 3� 3 3 8 Suy ra  A . 3 3
  4. Bồi dưỡng học sinh giỏi             2 2x + y − 2 = 0 x= 8 � � 3 4 A = ��� � 2 � z= . 3 �y − 3 = 0 �y = 2 3 3 8 2 2 4 Vậy giá trị lớn nhất của A là  , đạt được khi  x = , y = , z = . 3 3 3 3 3m 2 Ví dụ 1.10: Cho các số thực m, n, p thoả mãn  m 2 + np + p 2 = 1 − . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ  2 nhất của biểu thức: B = m + n + p. Giải: 3m 2 Ta có:  m 2 + np + p 2 = 1 −� 2n 2 + 2np + 2p 2 + 3m 2 = 2 2 � m + n + p + 2mn + 2np + 2pm + m 2 − 2mn + n 2 + m 2 − 2mp + p 2 = 2 � ( m + n + p ) + ( m − n ) + ( m − p ) = 2  (*) 2 2 2 2 2 2 Do  ( m − n ) + ( m − p ) 0  nên từ (*) suy ra  ( m + n + p ) �� 2 2 2 2 − 2 �m + n + p � 2 . Vậy  − 2 2 . Ta có: B m−n = 0 2 +)  B = − 2 � m − p = 0 �m=n=p=− . 3 m+n+p=− 2 2 Giá trị nhỏ nhất của B là  − 2 , đạt được khi  m = n = p = − . 3 m−n =0 2 +)  B = 2 � m − p = 0 �m=n=p= . 3 m+n+p = 2 2 Giá trị lớn nhất của B là  2 , đạt được khi  m = n = p = . 3 C. Bài tập tự luyện: Bài 1.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a)   A = ( x − 3) + ( x + 1) c)   B = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) + 2014 2 2 c)   C = ( x + 3) + ( x − 7 ) 4 4 b)   D = x 4 − 7x 2 + 4x + 25 Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a)  A = x 2 + 2y 2 − 2xy + 8y + 7 b)  B = 5x 2 + y 2 + 2xy − 12x − 18 . Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a)   A = − x 2 − 4y 2 + 6x − 8y + 3 b)   B = −3x 2 − 5y 2 + 2x + 7y − 23 c)   C = − x 2 − 5y 2 + 4xy + 12y + 7 d)   D = −7x 2 − 4y 2 − 8xy + 18x + 9 Bài 1.4: Cho các số thực x, y thoả mãn x2 + y2 – xy = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu   thức P = x2 + y2. Bài 1.5: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  A = xy + 2yz + 3zx. b2 1 Bài 1.6: Cho hai số thực a, b khác 0 thoả mãn  2a 2 + + 2 = 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất  4 a của biểu thức S = ab + 2013. 4
  5. Bồi dưỡng học sinh giỏi             3 Bài 1.7: Cho các số thực m, n, p thoả mãn  2m 2 + 2n 2 + 4p 2 + 3mn + mp + 2np = . Tìm giá trị lớn nhất và  2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = m + n + p. Bài 1.8: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của các biểu thức: 4x 2 − 6x + 1 x 2 + 4x − 14 a)  A = ( x 2 ) b)  B = ( x 1) ( x − 2) 2 x 2 − 2x + 1 Bài 1.9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 3 a)  A = x 2 + 4x − 2 2x + 3 − 3 b)  B =   2 + 2x − x 2 + 7 Bài 1.10: Cho các số thực x, y thoả mãn  x + 2 − y3 = y + 2 − x 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:                                                       B = x 2 − 2y 2 + 2xy + 2y + 10 . 2. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT  ĐỐI: A.  Kiến thức cần nhớ: A ne� uA 0 +)  Định nghĩa:  A = . −A ne� uA 0 +)  Tính chất:        ­  Với mọi A   R, thì  A 0, A A , A −A .       ­  Với mọi x, y   R, ta có  x + y x + y . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu, tức là  xy   0.       ­  Với mọi x, y   R, ta có  x − y x − y . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  y ( x − y) 0 . B.  Các ví dụ: Ví dụ 2.1: Cho số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a)  A = x + 5 + 2 − x b)  B = x + 3 + x − 2 c)  C = x + 5 + x + 8 d)  D = x − 23 + x − 10 Giải: a)  Cách 1.  Áp dụng bất đẳng thức  x + y x + y ,  ∀x, y R . Ta có:  A − x+ +� 5 − +2 + x= x 5 2 x A 7 A = 7 � ( x + 5 ) ( 2 − x) �� 0 −5 �� x 2. Giá trị nhỏ nhất của A là 7, đạt được khi  −5 x 2 . Cách 2.  Áp dụng bất đẳng thức  M M , ∀M R . Ta có:  A − x + +5�− + 2 + x= x 5 2 x A 7. �x + 5 0 �x −5 A = 7 ��� � � −5 �� x 2. �2 − x 0 �x 2 Giá trị nhỏ nhất của A là 7, đạt được khi  −5 x 2 . b)  Áp dụng cách 1. Ta có:  B = x + 3 + x − 2 = x + 3 + 2 − x x + 3 + 2 − x = 5 B = 5 � ( x + 3) ( 2 − x) �� 0 −3 �� x 2. Giá trị nhỏ nhất của B là 5, đạt được khi  −3 x 2 . c)  Áp dụng cách 2. Ta có:  C = x + 5 + x + 8 = − x − 5 + x + 8 − x − 5 + x + 8 = 3 . 5
  6. Bồi dưỡng học sinh giỏi             �−x − 5 0 �x −5             C = 3 ��� � � −8 ��x −5 �x + 8 0 �x −8 Giá trị nhỏ nhất của C là 3, đạt được khi  −8 x −5 . d)  Ta có:  D = x − 23 + x − 10 = 2 − x + x − 10 23 − x + x − 10 = 13 . �23 − x 0 �x 23             D = 13 �� � � � 10 x 23 . �x − 10 0 �x 10 Giá trị nhỏ nhất của D là 13, đạt được khi  10 x 23 . Ví dụ 2.2: Cho số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a)  A = x + 5 + x + 2 + x − 7 + x − 8 . b)  B = x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 . Giải: a)  Áp dụng bất đẳng thức  M M , ∀M R . Ta có:  A = x + 5 + x + 2 + x − 7 + x − 8 = x + 5 + x + 2 + 7 − x + 8 − x                 x + 5 + x + 2 + 7 − x + 8 − x = 22, ∀x R . �x+ 5 0 �x −5 �x+ 2 0 �x −2 � �             A = 22 ��� � � −2 �� x 7. �7−x 0 �x 7 � �8−x 0 � �x 8 Giá trị nhỏ nhất của A là 22, đạt được khi  −2 x 7 . b)  Ta có:  B = x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6                     = −1 − x + −2 − x + −3 − x + x + 4 + x + 5 + x + 6                     −1 − x − 2 − x − 3 − x + x + 4 + x + 5 + x + 6 = 9, ∀x R .                    B = 9 � −4 �� x −3 . Giá trị nhỏ nhất của B là 9, đạt được khi  −4 x −3 . Ví dụ 2.3: Cho số thực x. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a)  A = x − 5 − x − 2 b)  B = x − 2 − 3 x − 5 − x − 4 . Giải: a)  Áp dụng bất đẳng thức  x − y x − y , ∀x, y R , dấu đẳng thức có khi và chỉ khi  y ( x − y) 0 . Ta có:  A = x + 5 − x − 2 x + 5 − ( x − 2 ) = 7, ∀x R . A = 7�−+( −+ 2) ( x 5 x 2) x �۳ 0 x 2. Giá trị lớn nhất của A là 7, đạt được khi  x 2 . b)  Vì  − x − 5 0  nên  B = x − 2 − 3 x − 5 − x − 4 x− 2 − x− 4 x− 2 − x+ 4 = 2 . x− 5 = 0 x=5 B = 2 ��� � � x= 5. ( x − 4) ( x − 2 − x + 4) 0 x 4 Giá trị nhỏ nhất của B là 2, đạt được khi x = 5. Ví dụ 2.4: Cho số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của: a)  A = x − 4 + 2 x − 5 + x − 1 − 4 x − 5   với  x 5 . b)  B = x − 2 x − 1 + 5 x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1  với  x 1 . Giải: a)  Đặt  t = x − 5 ( t 0 )  thì  x = t2 + 5  nên  ( t + 1) ( t − 2) 2 2    A = t2 + 1 + 2t + t2 + 4 − 4t = + = t+1 + 2 − t = t+1+ 2 − t t+1+ 2 − t = 3    A = 3�−� t−�0 2�� t 2 x 5 2 5 x 9. 6
  7. Bồi dưỡng học sinh giỏi             Giá trị nhỏ nhất của A là 3, đạt được khi  5 x 9 . b)  Đặt  t = x − 1 ( t 0 )  thì  x = t2 + 1  nên ( t − 1) ( t − 2) ( t − 3) 2 2 2 B = t2 + 1 − 2t + 5 t2 + 4 − 4t + t2 + 9 − 6t = +5 +    = t −1 + 5 t − 2 + 3 − t t−1 + 3 − t t −1+ 3 − t = 2 �t −1 0 �t 1 � �     B = 2 � �t− 2 = 0 � �t = 2 � t = 2 � x −1 = 2 � x = 5 . � 3− t 0 �t 3 � � Giá trị nhỏ nhất của B là 2, đạt được khi x = 5. Ví dụ 2.5: Cho các số thực x, y, z thoả mãn  0 x, y, z 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  A = x 2 + y 2 − 2xy + y 2 + z ( z − 2y ) + z ( z − 2x ) + x 2 . Giải: ( x − y) ( y − z) ( z − x) 2 2 2 Ta có:  A = x 2 − 2xy + y 2 + y 2 − 2yz + z 2 + x 2 − 2xz + z 2 = + +                 = x − y + y − z + z − x . Không mất tính tổng quát, giả sử  0 z y x 3 . Khi đó  A = x − y + y − z + x − z = 2x − 2z . Do  0 z x 3  nên  2x ��� 6,− 2z−� 0 2x 2z 6 A 6 . A = 6 � x = 3, z = 0  và y tùy ý thỏa mãn  0 y 3 . Giá trị lớn nhất của A là 6, đạt được khi có một số bằng 3, một số bằng 0 và một số  nhận giá trị  từ  0   đến 3. Ví dụ 2.6: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn  1 a, b, c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  B = 4a 2 − 12ab + 9b 2 + 2 b 2 − 2bc + c 2 + 4c 2 − 12ca + 9a 2 . Giải: ( 2a − 3b) ( b− c) ( 2c − 3a ) 2 2 2 Ta có:  A = +2 + = 2a − 3b + 2 b − c + 2c − 3a . Sử dụng bất đẳng thức  A −A , ta được  2a − 3b 3b − 2a, b − c c − b, 2a − 3c 3c − 2a . Từ đây suy ra:  B ( 3b − 2a ) + 2 ( c − b) + ( 3a − 2c) = a+ b 2. 3b − 2a 0 a= b= 1 �c− b 0 � Dấu bằng xảy ra  � � �� 3. �3a − 2c 0 1 c � 2 a= b=1 Vậy giá trị  nhỏ  nhất của B là 2, đạt được khi a = b = 1 và c là một số  thực bất kì nằm trong đoạn  � 3� �1; . � 2� � C. Bài tập tự luyện: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a)   A = 3x − 1 + 3x + 4 b)   B = 2x + 5 + 2 x + 3 c)   C = x − 1 + x − 2 + ... + x − 2010 d)   D = x + x + 16 + x + x − 6 2 2 Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a)   A = x + 3 + x − 2 + x − 5 b)   B = x + 18 + 12 23x + 10 + x − 5 c)   C = x + 1 + x + 2 + ... + x + 2011 d)   D = x − 2 + x − 3 + x − 4 + x − 5 + x − 6 Bài 2.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a)   A = 2x − y + 2 2x − 1 + y + 5 b)   B = x 2 − 4x + 4 + 5. 4x 2 − 12x + 9 + x 2 + 2x + 1 7
  8. Bồi dưỡng học sinh giỏi             Bài 2.4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a)   A = x − 2 − 2 x − 3 + x + 1 − 4 x − 3 b)   B = x − 3 + 2 x − 4 + x + 12 − 8 x − 4 c)   C = x + 2 x − 1 + 3 x + 3 − 4 x − 1 + x + 15 − 8 x − 1 Bài 2.5: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a)   A= x + 5 − x − 2 b)   B = 2x − 7 − 2x − 1 c)   C = x + 3 − 2 x + 4 − x + 5 d)   D = x + 2 + x − 5 − x − 3 − x − 1 Bài 2.6:  Cho a 
  9. Bồi dưỡng học sinh giỏi             2 5� 3 a)  Do  x − 5x + 7 = � 2 �x − �+ > 0, ∀x R  nên biểu thức xác định với mọi  x R . � 2� 4 x2 Gọi y là một giá trị  của biểu thức   2 . Khi đó phải tồn tại x để  biểu thức đó bằng y, hay  x − 5x + 7 x2 phương trình sau có nghiệm  y = 2 � ( y − 1) x 2 − 5yx + 7y = 0 ( *) x − 5x + 7 7 +)  Nếu y = 1 thì (*) có dạng  −5x + 7 = 0 � x =  nên y = 1 là một giá trị  mà biểu thức có thể  nhận  5 được. +)  Nếu  y 1  thì (*) là một tam thức bậc hai nên (*) có nghiệm khi và chỉ khi  ∆ 0 ,  28 hay  ( 5y) −−4.7 y. (−y ) 0 y( 28 3y) 0 0 y 2 �� � 1� 3 28 Kết hợp cả hai trường hợp ta có  0 y , ∀x R . 3 −5y +)   y = 0 � x = − =0. 2 ( y − 1) Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 0, đạt được khi x = 0. 28 −5 y 14 +)   y = � x= − = . 3 2 ( y − 1) 5 28 14 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là  , đạt được khi x =  . 3 5 b)   Vì   x + 1 > 0, ∀x R   nên biểu thức xác định với mọi   x R . Gọi y là một giá trị  của biểu thức   2 6 − 4x ,  x2 + 1 6 − 4x thì phương trình sau phải có nghiệm x:  y = 2 � yx 2 + 4x + y − 6 = 0 ( *) x +1 3 +)  Nếu y = 0 thì (*) có dạng  4x − 6 = 0 � x =  nên y = 0 là một giá trị của biểu thức. 2 +)  Nếu  y 0  thì (*) là một tam thức bậc hai nên (*) có nghiệm khi và chỉ khi  ∆ ' 0 ,   hay  4 − y ( y − 6 ) �� 0 y2 − 6y − 4 �� 0 3 − 13 �� y 3 + 13 . Như vậy  3 − 13 y 3 + 13, ∀x R . ax + b Ví dụ 3.2: Tìm a, b để biểu thức:  P = 2  đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng – 1.  x +1 Giải: ax + b Gọi m là một giá trị của biểu thức  P = 2 , khi đó phương trình sau phải có nghiệm x: x +1 ax + b                                           m = 2 � mx 2 − ax + m − b = 0 ( *) x +1 Vì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đều khác 0 nên  m 0 . Do đó phương trình (*) là phương trình bậc hai, có nghiệm khi và chỉ khi  ∆ 0 , hay       a − 4m ( m − b ) �� 4m 2 − 4bm − a 2 �0 ( **) 2 0 Gọi  m1 , m 2 ( m1 < m 2 )  là hai nghiệm của phương trình  4m − 4bm − a = 0 ( ***) 2 2 Khi đó (**) có nghiệm là  m1 m m 2 , nên P đạt giá trị nhỏ nhất tại m1, đạt giá trị lớn nhất tại m2. Do  đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (***) có hai nghiệm là – 1 và 4, tức là 4 + 4b − a 2 = 0 b=3 b=3     � � � � � . 64 − 16b − a 2 = 0 a 2 = 16 a= 4 9
  10. Bồi dưỡng học sinh giỏi             Vậy giá trị cần tìm của a, b là a = – 4, b = 3 hoặc a = 4, b = 3. 20x 2 + mx + n Ví dụ 3.3: Tìm m, n để biểu thức:  P =  đạt giá trị lớn nhất bằng 7, giá trị nhỏ nhất bằng  3x 2 + 2x + 1 5 .  2 Giải: Ta có:  3x 2 + 2x + 1 = 2x 2 + ( x + 1) > 0, ∀x R  nên P xác định với mọi giá trị của x. 2 20x 2 + mx + n Gọi a là một giá trị của biểu thức  P = , khi đó phương trình sau phải có nghiệm x 3x 2 + 2x + 1 20x 2 + mx + n a= � ( 3a − 20 ) x 2 + ( 2a − m ) x + a − n = 0 ( *) 3x + 2x + 1 2 20 20 Vì giá trị  lớn nhất và nhỏ  nhất đều khác   nên  a . Do đó phương trình (*) là phương trình bậc  3 3 hai, có nghiệm khi và chỉ khi  ∆ 0 , hay  ( 2a − m ) − 4 ( 3a − 20 ) ( a − n ) 0 2                                                   � 8a + 4a ( m − 3n − 20 ) + 80n − m �0 . 2 2 5 Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 7 và   là hai nghiệm của phương trình  2 392 + 28 ( m − 3n − 20 ) + 80n − m 2 = 0 8a + 4a ( m − 3n − 20 ) + 80n − m = 0 , tức là  2 2 50 + 10 ( m − 3n − 20 ) + 80n − m 2 = 0 �m 2 − 28m + 4n = −168 � 4n = −168 − m 2 + 28m ��2 �� 2 �m − 10m − 50n = −150 � 27m − 720m + 4500 = 0 50 47 Giải ra ta được m = 10, n = 3 hoặc  m = , n = . 3 9 Ví dụ 3.4: Cho các số thực x, y thoả mãn  9x 2 + 6y 2 − 12xy − 24x + 14y + 12 = 0 . Tìm giá trị lớn nhất,  giá  trị nhỏ nhất của x, y. Giải: i)  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y: 9x 2 + 6y 2 − 12xy − 24x + 14y + 12 = 0 � 9x 2 − 12 ( y + 2 ) x + 6y 2 + 14y + 12 = 0 ( 1) Điều kiện tồn tại x thỏa mãn (1) : 0 36 ( y + 2 ) − 9 ( 6y 2 + 14y + 12 ) �� 2 ∆ ' �� 0 y 2 − y − 2 �� 0 −1 �� y 2. 2 ( y + 2) 2 +)   y = −1 � x = = . 3 3 2 Giá trị nhỏ nhất của y là – 1, đạt được khi  x = . 3 2 ( y + 2) 8 +)   y = 2 � x = = . 3 3 8 Giá trị lớn nhất của y là 2, đạt được khi  x = . 3 2i)  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y: 9x 2 + 6y 2 − 12xy − 24x + 14y + 12 = 0 � 6y 2 − 2 ( 6x − 7 ) y + 9x 2 − 24x + 12 = 0 ( 2) Điều kiện tồn tại y thỏa mãn (2): 10 − 3 6 10 + 3 6 ' 0−−−+( 6x ) �6 (� 9x 2 24x 12 ) 2 ∆ y�� ��7−+ 0 18x 2 60x 23 0 x . 6 6 10 − 3 6 6x − 7 1 − 6 +)   x = �y= = . 6 6 2 10
  11. Bồi dưỡng học sinh giỏi             10 − 3 6 1− 6 Giá trị nhỏ nhất của x là  , đạt được khi  y = . 6 2 10 + 3 6 6x − 7 1 + 6 +)   x = �y= = . 6 6 2 10 + 3 6 1+ 6 Giá trị lớn nhất của x là  , đạt được khi  x = . 6 2 xy + yz + zx = 8 Ví dụ 3.5: Cho x, y, z thoả mãn điều kiện  . Tìm giá trị lớn nhất,  giá trị nhỏ nhất của x. x+ y+ z = 5 Giải: xy + yz + zx = 8 �yz = 8 − x ( y + z ) �yz = 8 − x ( x − 5 ) Ta có:  � �� �� ( *) x+ y+z =5 �y + z = 5 − x �y + z = 5 − x Vì các số thực x, y, z thỏa mãn (*) nên y, z là hai nghiệm của phương trình:  t 2 − ( 5 − x ) t + 8 − 5x + x 2 = 0 ( **) . Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là: 7 ( 5 x�� ) −+ 4 ( 8� 5x� x 2 ) 0 3x 2 10x 7 0 1 x 2   ∆= −−−+ . 3 5−x +)   x = 1 � t = = 2  nên y = z = 2. 2 Giá trị nhỏ nhất của x là 1, khi y = z = 2. 7 5−x 4 4 +)   x = � t = =  nên y = z =  . 3 2 3 3 7 4 Giá trị nhỏ nhất của x là  , khi y = z =  . 3 3 8 Ví dụ 3.6: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   A = x + x 2 + . x Giải: Gọi a là giá trị của biểu thức A, khi đó phương trình sau phải có nghiệm  8 8                              a = x + x 2 + � a − x = x 2 + ( *) x x 8 Với  a x > 0  thì (*) tương đương với  ( a − x ) = x 2 + � 2ax 2 − a 2 x + 8 = 0 ( **) 2 x Vì  a 0  nên (**) là phương trình bậc hai, điều kiện có nghiệm là  ∆ = a − 4.2a.8 �� 4 0 a ( a 3 − 64 ) �0 . Mà a > 0 nên  a 3 �64 a 4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt được khi x = 1. Ví dụ 3.7: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x2 + y2 = x + 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  biểu thức: P = x + 2y. Giải: Gọi a là một giá trị của biểu thức P, khi đó hệ phương trình sau phải có nghiệm đối với x, y x 2 + y2 = x + 2 ( 1)                     x + 2y = a ( 2) Từ (2) suy ra x = a – 2y, thay vào (1) ta được:                      ( a − 2y ) + y 2 = ( a − 2y ) + 2 � 5y 2 + 2 ( 1 − 2a ) y + a 2 − a − 2 = 0 ( 3) 2 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm, hay  1− 3 5 1+ 3 5 ( 1 �� 5 ( a� 2a ) −−� a 2 ) 0 a 2 a 11 0 2      ∆=' −−−− 2 a . 2 2 11
  12. Bồi dưỡng học sinh giỏi             1− 3 5 2a − 1 3 5 1 3 5 +)   a = khi y = =− ,x= − . 2 5 5 2 10 1+ 3 5 2a − 1 3 5 1 3 5 +)   a = khi y = = ,x= + . 2 5 5 2 10 1− 3 5 1+ 3 5 Vậy  min P = , max P = . 2 2 Ví dụ 3.8: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = 1.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2xy + 3yz + 4zx. Giải: Gọi a là một giá trị của biểu thức P, khi đó ta có  a = 2xy + 3yz + 4zx . Thay z = 1 – x – y, ta được:  a = 2xy + 3y ( 1 − x − y ) + 4x ( 1 − x − y ) � 4x + ( 5y − 4 ) x + 3y − 3y + a = 0 . 2 2 Xem đây là một phương trình bậc hai theo x. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi  ∆ 0   � ( 5y − 4 ) − 4.4 ( 3y 2 − 3y + a ) �0 � −23y 2 + 8y + 16 �16a . 2 2 4 � 384 384 384 24 24 Do  −23y + 8y + 16 = −23 � 2 �y − �+  nên suy ra  16a � a P . � 23 � 23 23 23 23 23 9 x= x + y + z =1 23 � 4 � 4 Đẳng thức xảy ra  � �y = � �y = . � 23 � 23 � 4 − 5y � 10 �x = 8 �z= 23 24 9 4 10 Vậy giá trị lớn nhất của P là  , đạt được khi  x = ,  y = ,  z = . 23 23 23 23 C. Bài tập tự luyện: Bài 3.1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 4x + 3 x2 +1 a)   y = 2 b)  y = 2 x +1 x − x +1 x +2 2 c)   y = 2 x +x+2 Bài 3.2: Cho x, y   R và  y 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 3x 2 − 6x + 14 12x + 13 a)   A = b)   B = 2 2x + 5 2 x + 2x + 3 5y − 3xy 2 x 2 − 4y 2 c)   C = 2 d)   D = 2 x − 3xy + 4y 2 3x − 4xy + 5y 2 2x + m Bài 3.3: Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức  y = 2  bằng 2. x +1 2x 2 − 2xy + 9y 2 Bài 3.4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A = 2 ( y 0) . x + 2xy + 5y 2 Bài 3.5: Tìm cặp số thực (x ; y) sao cho y nhỏ nhất thoả mãn: x 2 + 5y 2 + 2y + 4xy − 3 = 0 . Bài 3.6: Cho x, y   R thay đổi thoả mãn  3x 2 + xy + 2y 2 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  biểu thức:   P = x 2 + 3xy − y 2 . xy + yz + zx = 1 Bài 3.7: Cho các số thực x, y, z thoả mãn  . Tìm giá trị lớn nhất,  giá trị nhỏ nhất của z. x 2 + y2 + z 2 = 2 12
  13. Bồi dưỡng học sinh giỏi             1 b Bài 3.8:  Cho a, b   0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = a 2 + b 2 + + . a2 a x 2 y2 Bài 3.9: Cho các số thực x, y thoả mãn hệ thức  + = 36 . Tìm giá trị lớn nhất,  giá trị nhỏ nhất của  9 16 biểu thức P = x – y + 2004. x+ y+z = 4 Bài 3.10: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn  . Tìm giá trị lớn nhất,  giá trị nhỏ nhất  xyz = 2 của: P = xy + yz + zx. 4.  PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN:  CÔ­SI, BU­NHIA­CÔP­XKI: A.  Kiến thức cần nhớ: 1. Bất đẳng thức Cô­si: a + a 2 + .... + a n n a .a .....a        ai   0 ;  i =  1, n  :   1 1 2 n    n   N, n   2. n      Đẳng thức xảy ra   a1  = a2 = ... = an 2. Bất đẳng thức Bu­nhia­côp­xki: Với hai bộ số thực bất kì (a1, a2,..., an) và (b1, b2, ...,bn), ta có:      (a1b1+ a2b2 +...+ anbn)2     ( a1 + a 2 + .... + a n ) . ( b1 + b 2 + .... + b n ) 2 2 2 2 2 2 a1 a 2 a      Đẳng thức xảy ra    = = ... = n . b1 b 2 bn    Bất đẳng thức Bu­nhia­côp­xki dạng phân thức: Với hai bộ số thực bất kì (a1, a2,..., an) và (b1, b2, ...,bn) với  bi > 0, i = 1, n , ta có: a 2 ( a1 + a 2 + ... + a n ) 2 a2 a2                         1 + 2 + ... + n b1 b 2 bn b1 + b 2 + ... + b n a1 a 2 a      Đẳng thức xảy ra    = = ... = n . b1 b 2 bn    3. Một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp: a) a2 + b2   2ab b)  (a + b)2   4ab c) 2(a2 + b2)   (a + b)2  a b 1 1 4 d)   + 2 e)   +   b a a b a+b B.  Các ví dụ: 1 Ví dụ 4.1:  Cho  x 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   y = 3x + . 2x Giải: 1 1 Từ giả thiết, ta “dự đoán” được y sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 1. Lúc này 3x = 3,  = , 2x 2 1 1 3 nên nếu áp dụng bất đẳng thức Cô­si trực tiếp kiểu  3x + 2 3x. =2  sẽ  không cho kết quả  2x 2x 2 như mong muốn. Ta cần điều chỉnh hệ số.  Cụ thể là, ta sẽ làm nhỏ 3x bằng cách tách hệ số 3 thành 3 = k + (3 – k) với 0 
  14. Bồi dưỡng học sinh giỏi             x =1 1 Đánh giá này xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi  1 �k= . kx = 2 2x 1 1 1 7 Do vậy  k =  là số thích hợp nhất để thêm vào ở đây. Với giá trị này của k, ta có  y 3 − + 2. =   2 2 2 2 với dấu bằng xảy ra khi x = 1. 7 Vậy giá trị nhỏ nhất của y là   khi x = 1. 2 Ví dụ 4.2:  Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   b+c c+a a +b a b c                                     P = + + + + + a b c b+c c+a a +b Giải: Nhận xét rằng các biến a, b, c trong biểu thức P có vai trò tương tự nhau (ta gọi là đối xứng). Đặc điểm  của đa số các bất đẳng thức đối xứng là dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau. Chính vì vậy, ta dự  đoán rằng biểu thức P sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi a = b = c.  b+c c+a a +b a b c 1 Lúc này, ta có:   = = = 2, = = = . a b c b+c c+a a+b 2 Phân tích đến đây, ta càng thấy rõ việc đánh giá như   ở  phần trước có nhiều vấn đề. Và ta cần khắc   b+c c+a a +b phục nó. Ta sẽ làm nhỏ  các phân thức  , ,  bằng cách tách các hệ  số  1 của chúng thành   a b c 1 = k + ( 1 − k )  với  0 < k < 1  và viết lại biểu thức P như sau: �b + c c + a a + b � � b + c a � � c+a b ��a+b c �    P = ( 1 − k ) � + + �+ � k + �+ �k + �+ �k + b� �a b c �� a b+c� � b c+a � � c a+a � Đến đây, ta sử dụng bất đẳng thức AM­GM như sau: b+c c+a a �a b � �b c � �a c � + + = � + �+ � + �+ � + � 2 + 2 + 2 = 6 a b b + c �b a � �c b � �c a � (đánh giá này có dấu bằng khi a = b = c)  b+c a c+a b a+b c và  k + 2 k, k + 2 k,k + 2 k a b+c b c+a c a+b Từ đó suy ra:  P 6 ( 1 − k ) + 6 k . Và việc làm ta cần làm bây giờ  là chọn số   k ( 0 ; 1)  thích hợp sao cho các đánh giá trên cùng xảy ra  đẳng thức khi a = b = c. b+c a =k a b+c c+a b Các đánh giá trên cùng xảy ra đẳng thức khi:  k = ( *) . b c+a a+b c k = c a+b 1 1 Thay a = b = c vào (*), ta được  2k = � k =  (thỏa  k ( 0 ; 1) ). 2 4 1 � 1 � 1 15 Như vậy  k =  là số thích hợp nhất ở đây. Lúc này ta có:  P 6 � 1 − �+ 6 = . 4 � 4� 4 2 15 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  , đạt được khi a = b = c. 2 Ví dụ 4.3:  Cho các số thực a, b thỏa mãn  0 a 3  và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của: P = ab. Giải: 14
  15. Bồi dưỡng học sinh giỏi             Từ giả thiết  0 a 3 , a + b = 1 và dạng của P, ta dự đoán được đẳng thức sẽ xảy ra khi a = 3 và b = 8.   Chính điều này sẽ gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cô­si như sau: 2 1 1 �8a + 3b �                                       P = ab = ( 8a ) ( 3b ) � � 24 24 � 2 � 2 1 �48 � Mà 8a + 3b = 3(a + b) + 5a = 33 + 5a   33 + 5.3 = 48 nên  P � �= 24 . 24 �2 � Do đẳng thức xảy ra khi a = 3, b = 8 nên ta có kết luận maxP = 24. 1 Ví dụ 4.4: Tìm giá trị lớn nhất của A = (2x –  x2)(y – 2y2) với  0   x   2 ;  0   y    . 2 Giải: 1 Với  0   x   2 ;  0   y     thì 2x – x2  0 và  y – 2y2  0 2 2 x+ 2 − x � Áp dụng bất đẳng thức Cô­si ta có: 2x – x2 = x(2 – x)    � � 2 �= 1 � � 2 1 1 �2y + 1 − 2y � 1 1 y – 2y2 = y(1 – 2y ) =  .2y(1 − 2y) � �=   (2x – x2)(y – 2y2)    2 2� 2 � 8 8 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 ; y =  . 4 1 1 Vậy giá trị lớn nhất của A là  , đạt được khi x = 1 ;  y =  . 8 4 Ví dụ 4.5:  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  P = (x 3 + y3 ) − ( x 2 + y 2 )   trong đó x, y là những số thực  ( x − 1) ( y − 1) lớn hơn 1.  Giải: Viết biểu thức P về dạng:   P = (x 3 + y3 ) − ( x 2 + y 2 ) = x 2 ( x − 1) + y 2 ( y − 1) = x2 + y2 . ( x − 1) ( y − 1) ( x − 1) ( y − 1) y −1 x −1 Áp dụng bất đẳng thức Cô­si cho các số dương ta có: 2xy x y P 2 . =8                                       ( x − 1) ( y − 1) � � x − 1 + 1 ��y − 1 + 1 � �� � � 2 �� 2 � Do đó, P đạt giá trị nhỏ nhất là 8 khi x = y = 2. Ví dụ 4.6:   x −1 a)  Cho  x 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  P = . x yz x − 2 + zx y − 4 + xy z − 6 b)  Cho  x 2, y 4, z 6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  P = . xyz Giải: a)  Ở bài này, một ý tưởng tự nhiên là sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho tử thức  x − 1  để loại bỏ căn  thức. Tuy nhiên, do chưa biết được dấu đẳng thức sẽ xảy ra tại đâu nên ta cần bổ sung thêm tham số  phụ vào. Cụ thể, ta sử dụng bất đẳng thức Cô­si như sau: k x − 1 k + ( x − 1) 2                       x − 1 = , ∀k > 0 k 2k x + k 2 −1 1 k2 −1 Do đó:  P = + . 2kx 2k 2kx 15
  16. Bồi dưỡng học sinh giỏi             Vì ta cần đánh giá  P M  với M là hằng số, nên ta nghĩ ngay đến việc chọn k sao cho giá trị  của biểu   thức  1 k2 −1 +  không phụ thuộc vào giá trị của x. Số k thích hợp đó là  k 2 − 1 = 0 � k = 1 . 2k 2kx 1 Lúc này ta có:  P . 2 Đẳng thức xảy ra khi  x − 1 = k = 1 � x = 2 . 1 Vậy giá trị lớn nhất của P là  , đạt được khi x = 2. 2 x−2 y−4 z−6 b)  Biểu thức P có thể được viết dưới dạng:  P = + + . x y z Đến đây, ta có thể thấy được bản chất của bài toán là: x−2 +)  Tìm giá trị lớn nhất của  P1 =  với  x 2 . x y−4 +)  Tìm giá trị lớn nhất của  P2 =  với  y 4 . y z−6 +)  Tìm giá trị lớn nhất của  P3 =  với  z 6 . z k x−2 k 2 + ( x − 2) 1 k2 − 2 Thực hiện tương tự bài toán trước, ta đánh giá:  P1 = = + , ∀k > 0 . kx 2kx 2k 2kx 1 Chọn  k = 2 , ta được  P1 . Đẳng thức xảy ra khi  x − 2 = k = 2 � x = 4 . 2 2 1 Vậy max  P1 = . 2 2 1 1 Tương tự, ta cũng có:  max P2 = =  đạt được khi y = 8. 2 4 4 1 max P3 =  đạt được khi z = 12. 2 6 1 1 1 Vậy  max P = max P1 + max P2 + max P3 = + +  khi x = 4, y = 8 và z = 12. 2 2 4 2 6 Ví dụ 4.7:  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  y = x − 2 + 4 − x . Giải:  x−2 0 Điều kiện:  � 2 x 4(*) 4− x 0 Áp dụng bất đẳng thức Bu­nhia­côp­xki: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2). a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  = . c d Chọn  a = x − 2; c = 1; b = 4 − x ; d = 1  với  2 x 4 . Ta có:  ( ) ( ) +( ) �( . 12 + 12 ) 2 2 2 y2 = x−2 + 4− x � x−2 4− x � � � � y2 � � ( x − 2) + ( 4 − x ) � .2 � y2 4 y 2 Vì y > 0 nên ta có:  0 < y 2 Dấu “=” xảy ra  � x − 2 = 4 − x � x − 2 = 4 − x � x = 3  (Thỏa mãn (*)) Vậy giá trị lớn nhất của y là 2, đạt được khi x = 3. Ví dụ 4.8:  Cho x, y, z là ba số dương thay đổi luôn thỏa điều kiện x + y + z = 3. 16
  17. Bồi dưỡng học sinh giỏi             1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = + + . x y z Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu­nhia­côp­xki, ta có: 2 �1 1 � � 1 �    � + �x 1 y + z � � ( x+ y+ z ) � � x . x+ 1 y . y+ 1 z . z �= 9 � � � � � 1 1 1 9 Do đó:  P = + + ( 1) x y z x+ y+ z Dấu bằng xảy ra  � x = y = z . ( ) ( 1 +1 +1 ) ( x + y + z) = 9   � 2 Mặt khác ta có:  1. x + 1. y + 1. z 2 2 2 x + y + z �3 ( 2) 9 Từ  (1) và (2) suy ra  P = 3 .  Vậy min P = 3 khi x = y = z = 1. 3 1 2 Ví dụ 4.9:  Cho x, y > 0 và  x + y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = 2 + 2 . 3x + y2 y + 3xy Giải: Ta quan sát và có nhận xét  3x 2 + y2 + 2 ( y 2 + 3xy ) = 3 ( x + y ) . Đại lượng x + y xuất hiện ở đây liên quan   2 đến giả thiết. Chính vì vậy, ta nghĩ ngay đến việc áp dụng BĐT Bu­nhia­cop­xki dạng phân thức, ta có: ( 1+ 2) 2 1 2 1 22 9 3 P= 2 + = + = = 3x + y2 y2 + 3xy 3x 2 + y2 2 ( y2 + 3xy) ( 3x 2 + y2 ) + 2 ( y2 + 3x 2 ) 3 ( x + y) 2 ( x + y) 2 3 y +1��( x+ y) 2 Ta lại có:   x � 1 3 ( x + y) 2 x+ y =1 1 Đẳng thức xảy ra  � � 2 3x + y2 = 2 ( y2 + 3xy) � x= y= . 2 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3, đạt được khi x = y = . 2 Ví dụ 4.10:  Giả sử a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện  b2 + c2 a2 . Tìm giá trị nhỏ nhất  �1 1 � của biểu thức:  P = a2( 1 2 2 ) b + c + a2 � 2 + 2 �. �b c � Giải: Sử dụng bất đẳng thức Bu­nhia­côp­xki dạng phân thức, ta có:  12 + 12 = 1 2 + 12 ( 2 ) 2 = 2 4 2 . 2 2 2 1+1 b c b c b +c b +c �1 1 � b + c 2 2 2 1 4a Từ đây suy ra:  P = 2 ( b 2 + c 2 ) + a 2 � 2 + 2 � + 2 2. a �b c � a 2 b +c a2 Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức Cauchy với chú ý rằng  2 2 1  (do giả thiết), ta được: b +c b2 + c2 4a 2 �b 2 + c 2 a 2 � 3a 2 �b 2 + c 2 a 2 �        = + � + +�=+ � 2 � 2 . 2 2 � 3.1 5 P 5 a2 b2 + c2 � a 2 b 2 + c2 � b2 + c2 � a b +c � b2 = c2 a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  �b=c= . b2 + c2 = a 2 2 a Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5, đạt được khi  b = c = . 2 17
  18. Bồi dưỡng học sinh giỏi             C. Bài tập tự luyện: Bài 4.1: Cho  a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 1 1 a)   A = 2a + b)   B = a + 2 a a Bài 4.2: Cho  x, y 0  thỏa mãn  x + y = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:  P = x 3 + y 6 . 2 2 Bài 4.3: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + y + xy = 8.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + y2.  Bài 4.4: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = a3 + b3 + c3. Bài 4.5: Với a, b là các số thực dương thoả mãn a2 + b2 = 2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:    ( )     P = a b a+ b + b a b+ 8 ( ) Bài 4.6: Cho  x [ 0 ; 1] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = x ( 13 ) 1− x2 + 9 1+ x2 . Bài 4.7: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = a3 + b3 + c3. Bài 4.8: Cho  a 0, b 0, c 3  thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = abc. 3 Bài 4.9:  Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn  a + b + c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2 1 1 1 P = a 2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 . b c a 1 1 1 Bài 4.10: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện:  + + 2 .  1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn nhất của xyz. 5. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN PHỤ HOẶC SỬ DỤNG BIỂU THỨC PHỤ:  A.  Kiến thức cần nhớ:  ­  Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tương đương. Sử dụng các bất đẳng thức cơ  bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn.  ­  Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của 1  biểu thức khác có thể so sánh  được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn. 1 Chẳng hạn: Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức:  , – A, kA,  A k + A, |A| , A (k là hằng số). 2   Ví dụ 5.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12. Giải :  A = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) – 6 (x2 + 3x + 5) + 17 A = (x2 + 3x + 5)2 – 6 (x2 + 3x + 5) + 17 Đặt: x2 + 3x + 5 = a A = a2 – 6a + 17 = a2 + 6a + 9 + 8 = (a – 3)2 + 8   8 do (a – 3)2   0,  a. x 1  min A  = 8   a – 3 = 0   a = 3   x2 + 3x + 2 = 0    y 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8, đạt được khi x = – 1, y = – 2.   �x 2 y 2 � �x y � Ví dụ 5.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: B = 2. � 2 + 2 � – 5 � + � + 6   với x, y > 0. �y x � �y x � Giải: x y x 2 y2 Đặt   +  = a   2     2 + 2  = a2 – 2 y x y x 18
  19. Bồi dưỡng học sinh giỏi              B = 2.(a2 – 2) – 5a + 6 = 2a2 – 5a + 2 Ta thấy: a   2   B = 2a2 – 5a + 2   0  min B = 0   a = 2    x = y > 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 0,  đạt được khi  x = y > 0. x y z Ví dụ 5.3: Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: C =  + + . y+ z x+ z x+ y Giải:  Đặt a = y + z ; b =  x + z ; c =  x + y . a+b+c −a + b + c a−b+c a +b−c   x + y + z  =      x= ;  y = ;  z = 2 2 2 2 −a + b + c a − b + c a + b − c 1��a b � �b c � �a c � � Khi đó: C =  + +  =  � �+ � + � + �+ � + � − 3� 2 2 2 2��b a � �c b � �c a � � a b a c b c Theo bất đẳng thức Cô­si với a, b, c > 0 ta có:  + 2; + 2; + 2 b a c a c b 1 3  C     (2 2 2 3) 2 2 3  min C =     a = b = c   x = y = z > 0. 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của C là   đạt được khi  x = y = z > 0. 2 x2 Ví dụ 5.4: Tìm giá trị lớn nhất của A =  4 . x + x2 +1 Giải: a)  Xét x = 0   A = 0 giá trị này không phải là  giá trị lớn nhất của A vì với x   0 ta có A > 0. 1 b)  Xét x   0 đặt P =   khi đó Amax   Pmin  A x4 + x2 +1 1 Với cách đặt trên ta có: P =  2 = x2 + 2 +1 x x 1 1 Ta có: x2 +  2 2 x 2 . 2 = 2  (theo bất đẳng thức Cô­si) x x  P   2 + 1 = 3   Pmin  = 3   x = 1 1 Do đó: Amax =      x = 1. 3 −x Ví dụ 5.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của B =   với  x > 0. (x + 2002) 2 Giải: Đặt P1 = – B   như vậy  P1max   Mmin x Ta có: P1 =   với x > 0   P > 0 (x + 2002) 2 1 Đặt P2 =   > 0 với x > 0 khi đó P2 Min   P1 Max P1 (x + 2002) 2 x 2 + 2.x.2002 + 20022 x 2 − 2.x.2002 + 20022 + 4.x.2002 P2 =   =  =   x x x ( x 2002) 2 (x − 2002) 2 P2 =  4.2002 4.2002 8008    (do     0, x > 0) x x  P2 Min = 8008   x = 2002 19
  20. Bồi dưỡng học sinh giỏi             1  P1 Max =     x = 2002 8008 1  BMin =  –      x = 2002 8008 1 Vậy BMin =  –     x = 2002 8008 Ví dụ 5.6: Cho số thực x thoả mãn  x2 + ( 3− x) 2 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:                P = x4 + ( 3− x) + 6x2 ( 3− x) 4 2 Giải: 9 − ( x 2 + y2 ) 9−t . Đặt  y = 3 − x, t = x 2 + y 2 = x 2 + ( 3 − x ) 2 5 . Suy ra:  x + y = 3 � xy = = 2 2 Từ đó ta có:  2 �9 − t � P = x + y + 6x y = ( x + y ) + 4x y = t + 4 � �= 2t 2 − 18t + 81 = 2 ( t − 5 ) + 2 ( t − 5 ) + 41 41, ∀t 5 . 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 �2 � x =1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  t = 5 � x + ( 3 − x ) = 5 � ( x − 1) ( x − 2 ) = 0 � 2 2 . x=2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 41, đạt được khi x = 1 hoặc x = 2. Ví dụ 5.7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết:  A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6( x − 1) ( x − 3) 4 4 2 2 .   Giải: Đặt  t = ( x − 1) ( x − 3) , ta có: ( x − 1) + ( x − 3) = ( x − 1 − x + 3 ) + 2 ( x − 1) ( x − 3 ) = 4 + 2 ( x − 1) ( x − 3 ) = 4 + 2t . 2 2 2 2 Do đó:  ( x − 1) + ( x − 3) = � ( x − 1) + ( x − 3) �� ( − 2 x − 1) ( x − 3 ) = ( 4 + 2t ) − 2t 2 = 16 + 16t + 2t 2 . 4 4 2 2 2 2 2 � Vậy  A = 16 + 16t + 2t 2 + 6t 2 = 8 ( t + 1) + 8 8 . 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  t + 1 = 0 � x 2 − 4x + 3 + 1 = 0 � ( x − 2 ) = 0 � x = 2 . 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8, đạt được khi x = 2. Ví   dụ   5.8:  Cho   a,   b,   c   dương   và   a   +   b   +   c   =   3.Tìm   giá   trị   lớn   nhất   của   C = 5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a   Giải: Do a, b, c > 0   C > 0.  Đặt: P = C2  khi đó  PMax    CMax ( ) 2 Ta có: P =  5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a   P   (12 + 12  + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bu­nhia­côp­xki P   3.9(a + b + c) = 81  do a + b + c = 3  PMax = 81   a = b = c = 1 2   C Max  = 81   a = b = c = 1   CMax = 9    a = b = c = 1 Vậy giá trị lớn nhất của C là 9, đạt được khi a = b = c = 1 C. Bài tập tự luyện: 1 Bài 5.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + 4 – x +  .  2 x x 1 x 2 y2 �x y � Bài 5.2: Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: B =  2 + 2 − 3 � + �+ 4 . y x �y x � 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.03: Bộ 400 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2021
400 tài liệu
955 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2