Đại số lớp 9: Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 - phần 2

Chia sẻ: Nhi Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

404
lượt xem 104
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 lớp 9 có lý thuyết và ví dụ minh họa giúp dễ hình dung, hy vọng tài liệu sẽ giúp ích được cho các bạn học sinh lớp 9 trong kì thi sắp tới nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số lớp 9: Bài tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 - phần 2

BI TẬP ẠI SỐ CHUY N Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI V N THI VO LỚP 10 PHẦN II: HỚNG DẪN GIẢI m m2 1. Giả sử 7 l số hữu tỉ  7 (tối giản). Suy ra 7  2 hay 7n2  m2 n n 2 (1). ẳng thức ny chứng tỏ m  7 m 7 l số nguyn tố nn m  7. ặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) v (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại c n2  7 v v 7 l số nguyn tố nn n  7. m và n cùng chia m hết cho 7 nn phn số khng tối giản, tri giả thiết. Vậy 7 khng phải l n số hữu tỉ; do  7 l số v tỉ. 2. Khai triển vế tri v ặt nhn tử chung, ta ợc vế ph ) vì (ad 2 bc) 0. 3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta c y = 2 - x. Do  : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2 2. Vậy min S = 2  x = y = 1. Cách 2 : p dụng bất ẳng thức Bunh a = x, c = 1, b = y, d = 1, 2 2 2 Ta có :(x + y) (x + y )(1 + 1)  4 ) = 2S  S.2  mim S = 2 khi x = y = 1 4. b) p dụng bất ẳng thức Cauchy cc cặp số dng bc ca bc ab ca ab và ; và ; và lợt c: a b a c b bc ca bc ca bc ab ca ab ca ab  2 . 2 2 .  2b ;   2 .  2a cộng a b a b c a c b c b c từng vế ta ức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. c) Với cc g 3a v 5b , theo bất ẳng thức Cauchy ta c : 3a  5b  (3a + 5b)2  4.15P (vì P = a.b)  122  60P 2 12 12 P  max P = . 5 5 Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2  a = 2 ; b = 6/5. 5. Ta có b = 1 - a, do  M = a3 + (1 - a)3 = -(3a2 + 3a) . Dấu = xảy ra khi a = . Vậy min M =  a = b = . 6. ặt a = 1 + x  b3 = 2 - a3 = 2 - (1 + x)3 = 1 - 3x - 3x2 -x3 = -(1 + 3x + 3x2 +x3 = -(1 + x)3. Suy ra : b 1 x. Ta lại c a = 1 + x, nn : a + b 1 + x + 1 x = 2. Với a = 1, b = 1 th a3 + b3 = 2 v a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1. 7. Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b).
8. Vì | a + b | 0 , | a b | 0 , nên : | a + b | > | a b |  a2 + 2ab + b2 a2 2ab + b2  4ab > 0  ab > 0. Vậy a v b l hai số cng dấu. 9. a) Xt hiệu : (a + 1)2 4a = a2 + 2a + 1 4a = a2 2a + 1 = (a 1)2 0. b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c v cc bất ẳng thức ny c hai vế ều dng, nn : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8. 10. a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2). Do (a b)2 0, nên (a + b) 2 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2. Khai triển v rt gọn, ta ợc : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2).  4  2x  3  1  x  3x  4  x 11. a) 2x  3  1  x    x  2  3  2x  3  x  1   x  2 b) x2 4x 5  (x 2)2 33  | x 2 | 3  -3 x 2 3 1 x 5. 2 2 c) 2x(2x 1) 2x 1  (2x 1) 0. Nhng (2x 1) 0  thể : 2x 1 =0 Vậy : x = . 12. Viết ẳng thức  cho dới dạng : a2 + d2 ab ac ad = 0 (1). Nhn hai vế của (1) với 4 rồi a về dạng : a (a 2c)2 + (a 2d)2 = 0 (2). Do  ta c : a = a 2b = a 2c = a 2d = = b = c = d = 0. 2 2 2 13. 2M = (a + b 2) + (a 1) + (b 1) 8 2.1998  M 1998. a  Dấu = xảy ra khi c ồng thời 1 0 Vậy min M =1998a = b= 1.  10 14. Giải tng tự bi 15. a ẳng thức  ạ g : (x 1)2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + 1 = 0. 1 1 1 16. A   . max A=  x  2 . 2 x  x 2  5 5 5 17. a) 9  16  3  4  7 . Vậy 7  15 < 7 b) 17  5  1  16  4  1  4  2  1  7  49  45 . 23  2 19 23  2 16 23  2.4 c)    5  25  27 . 3 3 3 d) Giả sử 2 2 3 2 2 3   3 2   2 3   3 2  2 3  18  12  18  12 . Bất ẳng thức cuối cng ng, nn : 3 2  2 3. 2 3 18. Cc số  c thể l 1,42 v 2 19.Viết lại phng trnh dới dạng : 3(x  1)2  4  5(x  1)2  16  6  (x  1)2 .
Vế tri của phng trnh khng nhỏ hn 6, cn vế phải khng lớn hn 6. Vậy ẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế ều bằng 6, suy ra x = -1. 2 ab ab 20. Bất ẳng thức Cauchy ab  viết lại dới dạng ab    (*) 2  2  (a, b 0). p dụng bất dẳng thức Cauchy dới dạng (*) với hai số dng 2x v xy Ta ợc : 2  2x  xy  2x.xy    4  2  Dấu = xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức l khi x = 1, y = 2.  max A = 2  x = 2, y = 2. 1 2 21. Bất ẳng thức Cauchy viết lại dới dạng :  . ab a  b 1998 p dụng ta c S > 2. . 1999 22. Chứng minh nh bài 1. x y x2  y2  2xy (x  y)2 y 23. a)  2   0 2 y x xy xy x  x2 y2   x y   x2 y  x y b) Ta có : A   2  2          .  y x   y x   y x  y x 2 2  x2 y2   x y   y  Theo câu a :A   2  2   2     1    1   0 y x  y x y  x   x4 y x2 y2  x y a) Từ cu b suy ra :  2  2   0 . Vì   2 (câu a). y x  y x  x4 y   x y b) Do  :   2     2. y x   y x 2 24. a) G 2 = m (m : số hữu tỉ)  2 =m 1  2 l số hữu tỉ (v l) 3 3 b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ)  =a m 3 = n(a m)  n n 3 l số hữu tỉ, v l. 25. C, chẳng hạn 2  (5  2)  5 x y x2 y2 2 x2 y2 26. ặt   a  2  2  2  a . Dễ dng chứng minh 2  2  2 nên y x y x y x a2 4, do  | a | 2 (1). Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với : a2 2 + 4 3a  a2 3a + 2 0  (a 1)(a 2) 0 (2) Từ (1) suy ra a 2 hoặc a -2. Nếu a 2 th (2) ng. Nếu a -2 thì (2) cng ng. Bi ton ợc chứng minh. 27. Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với :
x4z2  y4 x2  z4 x2   x2 z  y2 x  z2 y xyz  0. x2 y2z2 Cần chứng minh tử khng m, tức l : x3z2(x y) + y3x2 (y z) + z3y2(z x) 0. (1) Biểu thức khng ổi khi hon vị vng x y z x nn c thể giả sử x l số lớn nhất. Xt hai trờng hợp : a) x y z > 0. Tch z x ở (1) thnh (x y + y z), (1) tng ng với : x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z) 0  z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3) 0 Dễ thấy x y 0 , x3 y2z 0 , y z 0 , yx2 z3 0 nn bất ẳng thức trn ng. b) x z y > 0. Tch x y ở (1) thnh x z + z y , (1) tng ng với : x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z) 0  z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) 0 Dễ thấy bất ẳng thức trn dng. Cch khc : Biến ổi bất ẳng thức phải chứng minh t với : 2 2 2 x  y  z  x y   1    1    1      . y  z  x    28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổ ữu tỉ a với số v tỉ b l số hữu tỉ c. Ta c : b = c a. Ta thấy, hiệu ữu tỉ c v a l số hữu tỉ, nn b l số hữu tỉ, tri với giả thiết.  số v tỉ. 2 2 29. a) Ta có : (a + b) + (a b) = 2(a  (a + b)2 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c 2 Khai triển v rt gọn ta ợc : 2 2 2 2 2 2 3(a + b + c ). Vậy : (a + b + c) 3 b +c) c) Tng tự nh câu b 30. Giả sử a + b > 2  8  a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8  2 + 3ab(a + b) > 8  ab(a + b) > 2  b) a3 + b3. Chia hai vế cho số dng a + b : ab > a2 ab +  (a b)2 Vậy a + b 2. 31. Cách  x x ;  y y nên x +  y x + y. Suy ra  x +  y là số nguyn khng vợt qu x + y (1). Theo ịnh ngha phần nguyn,  x  y là số nguyn lớn nhất khng vợt qu x + y (2). Từ (1) v (2) suy ra :  x +  y  x  y . Cách 2 : Theo ịnh ngha phần nguyn : 0 x -  x < 1 ; 0 y -  y < 1. Suy ra : 0 (x + y) (  x +  y ) < 2. Xt hai trờng hợp : - Nếu 0 (x + y) (  x +  y ) < 1 thì  x  y =  x +  y (1) - Nếu 1 (x + y) (  x +  y ) < 2 thì 0 (x + y) (  x +  y + 1) < 1 nên  x  y =  x +  y + 1 (2). Trong cả hai trờng hợp ta ều c :  x +  y +  x  y
32. Ta có x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 8 nn tử v mẫu của A l cc số dng , 1 suy ra A > 0 do  : A lớn nhất  nhỏ nhất  x2 6x + 17 nhỏ nhất. A 1 Vậy max A =  x = 3. 8 33. Khng ợc dng php hon vị vng quanh x y z x v giả sử x y z. Cách 1 : p dụng bất ẳng thức Cauchy cho 3 số dng x, y, z : x y z x y z A    33 . .  3 y z x y z x x y z x y z Do  min      3     x  y  z  y z x y z x x y z  x y  y z y x y Cách 2 : Ta có :            . Ta  c  2 (do x, y z x  y x  z x x x y z y y > 0) nn ể chứng minh    3 ta cần chứng m    1 (1) y z x x x (1)  xy + z2 yz xz (nhn hai vế với số d  xy + z2 yz xz 0  y(x z) z(x z)(y z) 0 (2) (2) ng với giả thiết rằng z l số nhỏ nhất t số x, y, z, do  (1) ng. x Từ  tm ợc gi trị nhỏ nhất của  y 34. Ta có x + y = 4  x2 + 2xy + 6. Ta lại c (x y)2 0  x2 2xy + y2 0. Từ  suy ra 2(x2 + y2) 16  + y 8. min A = 8 khi chỉ khi x = y = 2. 35. p dụng bất ẳng t ho ba số khng m : + z 3. 3 xyz (1) 2 = (x + y + (z + x) 3. 3 (x  y)(y  z)(z  x) (2) Nhn từng 2) (do hai vế ều khng m) : 2 9. 3 A 3  2 1  A = ax A =   khi v chỉ khi x = y = z = . 9 9 3 36. a) C thể. b, c) Khng thể. 37. Hiệu của vế tri v vế phải bằng (a b)2(a + b). 1 4 38. p dụng bất ẳng thức  với x, y > 0 : xy (x  y)2 a c a 2  ad  bc  c2 4(a 2  ad  bc  c2 )    (1) bc da (b  c)(a  d) (a  b  c  d)2 b d 4(b2  ab  cd  d 2 ) Tng tự   (2) cd a b (a  b  c  d)2 Cộng (1) với (2) a b c d 4(a 2  b2  c2  d 2  ad  bc  ab  cd)     = 4B bc cd d a a b (a  b  c  d)2
1 Cần chứng minh B , bất ẳng thức ny tng ng với : 2 2B 1  2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2  a2 + b2 + c2 + d2 2ac 2bd 0  (a c)2 + (b d)2 0 : ng. 39. - Nếu 0 x -  x < thì 0 2x - 2  x < 1 nên  2x = 2  x . - Nếu x -  x < 1 thì 1 2x - 2  x < 2  0 2x (2  x + 1) < 1   2x = 2  x + 1 40. Ta sẽ chứng minh tồn tại cc số tự nhin m, p sao cho : 96000...00 a + 15p < 97000...00         m chöõ 0 soá m chöõ 0 soá a 15p Tức l 96 m  m < 97 (1). Gọi a + 15 l số c k chữ số : 10 k 1 a + 15 10 10 < 10k 1 a 15 a 15p   k  k  1 (2). ặt x n  k  k . Theo (2) 10 10 10 10 10 15 Ta có x1 < 1 và k < 1. 10 Cho n nhận lần lợt cc gi trị 2, 3, 4, …, cc n tng dần, mỗi lần tng khng qu 1 n vị, khi   x n  sẽ trải trị 1, 2, 3, ến một a 15p lc no  ta c  x p  = 96. Khi  96   tức l 96  < 97. Bất 10k 10k ẳng thức (1) ợc chứng minh. 42. a) Do hai vế của bất ẳng hứ g m nn ta c : |A+ B|= |A|+ |B|  + B |2 = ( | A | + | B | )2  A2 + B2 + 2AB + 2| AB |  AB = | AB | (bất ẳng thức ng). Dấu = xảy ra b) Ta có : M = | x 3 | = | x + 2 | + | 3 x | | x + 2 + 3 x | = 5. Dấu = xả hi (x + 2)(3 x) 0  -2 x 3 (lập bảng xt dấu) Vậy min -2 x 3. c) Phng ho  | 2x + 5 | + | x 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 x |  (2x + 5)(4 x) 0  -5/2 x 4  x  1 43. iều kiện tồn tại của phng trnh : x2 4x 5 0   x  5 ặt ẩn phụ x2  4x  5  y  0 , ta ợc : 2y2 3y 2 = 0  (y 2)(2y + 1) = 0. 45. Vô nghiệm 46. iều kiện tồn tại của x l x 0. Do  : A = x + x 0  min A = 0  x = 0. 47. iều kiện : x 3. ặt 3  x = y 0, ta có : y2 = 3 x  x = 3 y2. 13 13 13 11 B = 3 y2 + y = - (y )2 + . max B =  y=  x= . 4 4 4 4 48. a) Xét a2 và b2. Từ  suy ra a = b.
b) 5  13  4 3  5  (2 3  1)  4  2 3  3  1. Vậy hai số ny bằng nhau. c) Ta có :  n  2  n 1  n  2  n  1  1 và n+1  n   n 1  n  1.  Mà n  2  n  1  n  1  n nên n+2  n  1  n  1  n . 49. A = 1 - | 1 3x | + | 3x 1 |2 = ( | 3x 1| - )2 + . Từ  suy ra : min A =  x = hoặc x = 1/6 51. M = 4 52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3. 2 3 53. P = | 5x 2 | + | 3 5x | | 5x 2 + 3 5x | = 1. min P = 1   x . 5 5 54. Cần nhớ cch giải một số phng trnh dạng sau : A  0 (B  0) B  0 A  0 a) A  B   b) A  B  2 c B  0 A  B A  B B  0 B  0  A 0 d) A  B   A  B e) A  B  0  A  B  a) a phng trnh về dạng : A  b) a phng trnh về dạng : A  B c) Phng trnh c dạng : A  B d) a phng trnh về dạng : A e) a phng trnh về dạng : | |B|=0 g, h, i) Phng trnh  k) ặt x  1 = y 0, rnh về dạng : | y 2 | + | y 3 | = 1 . Xt dấu vế tri. l) ặt : 3x  5  v  0 ; 7x  4  z  0 ; 2x  2  t  0 .  z t Ta ợc hệ  2 . Từ  suy ra : u = z tức l :  u  v2  z2  t 2 8x  1  7x  4  x  3 . 55. Cách 1 : Xét x2  y2  2 2(x  y)  x2  y2  2 2(x  y)  2  2xy  (x  y  2)2  0 . 2 Cách 2 : Biến ổi tng ng x2  y2 2 2  x2  y2   8 2 x y  x  y  (x2 + y2)2 -8(x- y)2  0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2 )  0  (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2) + 16  0  (x2 + y2+ 4)2  0. Cách 3 : Sử dụng bất ẳng thức Cauchy :
x2  y2 x2  y2  2xy  2xy (x  y)2  2.1 2 1    (x  y)   2 (x  y). x y xy xy xy x y (x > y). 6 2 6 2 Dấu ẳng thức xảy ra khi x  ; y hoặc 2 2  6 2  6 2 x ; y 2 2 2  1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1 2(c b a 62.      2  2  2  2     2  2  2  =  a b c a b c  ab bc ca a b c abc 1 1 1 = 2  2  2 . Suy ra iều phải chứng minh. a b c  x  6  x2  16x  60  0 (x  6)(x  10)  0  63. iều kiện :      x  10 . x  6  0 x  6 Bình phng hai vế : x2 16x + 60 < x2 12x + 36  Nghiệm của bất phng trnh  cho : x 10. 64. iều kiện x2 3. Chuyển vế : x2  3 x x   3 3  0  ặt thừa chung : x 2  3 .(1 - x2  3   x  2 1  x 2  3  0   x  2  Vậy nghiệm của bất phng tr h  3 ; x 2 ; x -2. 2 2 2 2 65. Ta có x (x + 2y 3) + (y 1  (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + 3 = - x2 0. Do  : A2 4A + 3 0 A 3) 0  1 A 3. min A = 1  x = 0, . max A = 3  x = 0, khi  y = 3 . 66. a) x 1 b) B c n   4  x  4 16  x 2  0  4  x  4    x  4  2 2 1  2x  1  0  (x  4)2  8       x  42 2 . x 2  8x  8  0  x  4  2 2  2  1 x     2 x   1  2 2 x  2x  0  x(x  2)  0 x  2 67. a) A c ngha    2 2  2 x   x  2x  x  x  2x x  0 b) A = 2 x2  2x với iều kiện trn. c) A < 2  x 2  2x < 1  x2 2x < 1  (x 1)2 < 2  - 2 < x 1 < 2  kq
68. ặt 0,999...99 = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phn ầu tin của     20chöõ 9 soá a l cc chữ số 9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < a < 1. Thật vậy ta có : 0 < a < 1  a(a 1) < 0  a a < 0  a < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < 2 2 a < 1. Vậy 0,999...99  0,999...99 .         20 chöõ 9 soá 20chöõ 9 soá 69. a) Tm gi trị lớn nhất. p dụng | a + b | | a | + | b |. A | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2  max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tm gi trị nhỏ nhất. p dụng | a b | | a | - | b . A | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2  min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70. Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2 uy ra : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x +y +z xy +yz +zx 1 Mặt khc, dễ dng chứng minh ợc : Nếu a + b + 1 th a2 + b2 + c2 . 3 Do  từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 1 3 Từ (1) , (2) : min A =  x= y= 3 3 71. Làm nh bài 8c ( 2). Thay vì so s n  n  2 và 2 n+1 ta so sánh n  2  n  1 và n  1  n : n  2  n 1  n  1  n  2  2 n 1 . 72. Cách 1 : Viết cc ới dấu cn thnh bnh phng của một tổng hoặc một hiệu Cách 2 : T a A. 73. p dụ b)(a b) = a2 b2. 74. Ta ch g bằng phản chứng. a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà 3  5 = r  3 + 2 15 + 5 = r2  r2  8 15  . Vế tri l số v tỉ, vế phải l số hữu tỉ, v l. Vậy 3  5 l số 2 v tỉ. b), c) Giải tng tự. 75. a) Giả sử a > b rồi biến ổi tng ng : 3 3  3  2 2 1  3 3  2 2  2 2 2      3 3  2 2  2  27  8  4  8 2  15  8 2  225  128 . Vậy a > b l ng. b) Bình phng hai vế ln rồi so snh. 76. Cách 1 : ặt A = 4  7  4  7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2  A = 2
Cách 2 : ặt B = 4  7  4  7  2  2.B  8  2 7  8  2 7  2  0  B =0. 77 Q 2  3  2.3  2.4  2 4   2 3 4  2   2 3 4   1 2 2 3 4 2 3 4 . 78. Viết 40  2 2.5 ; 56  2 2.7 ; 140  2 5.7 . Vậy P = 2 5 7. 79. Từ giả thiết ta c : x 1  y2  1  y 1  x2 . Bình phng hai vế của ẳng thức ny ta ợc : y  1  x2 . Từ  : x2 + y2 = 1. 80. Xét A2 ể suy ra : 2 A2 4. Vậy : min A = 2  x = 1 ; max A = 2  x = 0. 2 2 2 81. Ta có : M   a b   a b   a b   2a   a b  maxM  2   ab a  b  1  2 82. Xt tổng của hai số : 2a  b  2 cd    2c  d  2 ab   a  b  2  2 cd  a  c = 2 2 =  a  c   a  b    c  d   a 83. N  4 6  8 3  4 2  18  1 4 6 4 2 2 = 2 2 = 2  32 2 2 2 32    2 3 2 2   2 3  2  2. 84. Từ x  y  z  xy x  2 2  x y    y z x  0. Vậy x = y 85. p dụ ng thức Cauchy cho 1 v ai ( i = 1, 2, 3, n ). 86. p dụ g bất ẳng thức Cauchy với hai số a + b 0 v 2 ab 0, ta có : 2 a  b  2 ab  2 2(a  b) ab hay  a b   2 2(a  b) ab . Dấu = xảy ra khi a = b. 87. Giả sử a b c > 0. Ta c b + c > a nn b + c + 2 bc > a hay 2 2  b c   a Do  : b  c  a . Vậy ba oạn thẳng a , b , c lập ợc thnh một tam giác. 88. a) iều kiện : ab 0 ; b 0. Xt hai trờng hợp : b.( a  b) a a b a * Trờng hợp 1 : a 0 ; b > 0 : A      1 . b. b b b b
ab  b 2 a a a a * Trờng hợp 2 : a 0 ; b < 0 : A     1  1 2 .  b2 b b b b  (x  2)2  8x  0   x  0 b) iều kiện :  x  0  . Với cc iều kiện  thì :  x  2 2  x 0   x (x  2) 2  8x (x  2) 2 . x x  2 . x B   . 2 x 2 x2 x x  Nếu 0 < x < 2 th | x 2 | = -(x 2) và B = - x.  Nếu x > 2 th | x 2 | = x 2 v B = x 2 89. Ta có : 2 a 2   a2 1 1  a2  1  1 . ẳng thức a2 1 a2  1 a2 1 Cauchy: 1 1 a2  1  2 a 2  1.  2 . Vậ 2 . ẳng thức xảy ra 2 a 1 a2 1 khi : a2 1  a  0. 93. Nhn 2 vế của pt với 2,t c : 2x  5  3  2x  5  1  4  x  5/2 94. Ta chứng minh bằn on học : a) Với n = 1 ta c : P (*) ng. 3 1.3.5...(2k  1) 1 b) Giả sử   (1) 2k  1 2.4.6...2k 2k  1 c) Ta chứ g ằng (*) ng khi n = k + 1 , tức l : 1 1.3.5...(2k  1) 1 Pk 1    (2) 2k  3 2.4.6...(2k  2) 2k  3 2k  1 2k  1 Với mọi số nguyn dng k ta c :  (3) 2k  2 2k  3 Nhn theo từng vế cc bất ẳng thức (1) v (3) ta ợc bất ẳng thức (2). Vậy  n  Z+ 1.3.5...(2n  1) 1 Ta có Pn   2.4.6...2n 2n  1 a2 b2 a 3  b3 95. Biến ổi tng ng : a b   a b b a ab
( a  b)(a  ab  b) 2  a b ab  ab  a  ab  b   a b  0 (ng).  x  4(x  1)  0   x  4(x  1)  0 1  x  2 96. iều kiện :   x  2  x2  4(x  1)  0   x  1  0 2 2 Xt trn hai khoảng 1 < x < 2 v x > 2. Kết quả : A  và A= 1 x x-1 105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2 Cách 3 : ặt 2x  1 = y 0, ta có : 2x 1 = y2. 2x  2 2x  1 2x  2 2x  1 y2  1 2y y2  1 1 y 1 A     2 2 2 2 2 1 Với y 1 (tức l x 1), A  (y  1  y  1)  2 1 1 Với 0 y < 1 (tức l x < 1), A  (y  1  y 2  4x  2 . 2 2 2 108. Nếu 2 x 4 th A = 2 2 . Nếu x = 2 x2 . 109. Biến ổi : x  y  2  2  x y nh phng hai vế rồi rt gọn, ta ợc : 2(x  y  2)  xy . Lại b h h hai vế rồi rt gọn : (2 y)(x 2) = 0. 2 , y 0 , x 0 , y = 2. 110. Biến ổi tng  (1)  a2 2 a 2 2 2 2 2  b2  c2  d2  a + c + 2ac + b + d + 2bd  a2 d2  ac + bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) ợc chứng minh. * Nếu ac + bd 0, (2) tng ng với : (a2 + b2)(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd  a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 + 2abcd  (ad bc)2 0 (3). Bất ẳng thức (3) ng, vậy bất ẳng thức (1) ợc chứng minh. 111. Cách 1 : Theo bất ẳng thức Cauchy : a2 b c a2 b  c a a2 b c  2 .  2.  a   a . b c 4 b c 4 2 b c 4 b2 a c c2 a b Tng tự :  b ;  c . a c 4 a b 4