Tập bài giảng Toán cao cấp C: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:139

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Tập bài giảng Toán cao cấp C: Phần 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: giới hạn và liên tục của hàm một biến; đạo hàm và vi phân của hàm một biến; tích phân và tích phân suy rộng; hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập bài giảng Toán cao cấp C: Phần 2

PHẦN B. GIẢI TÍCH Chương 3. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Mục tiêu của chương Sau khi học xong chương này, sinh viên cần đạt được : 1. Kiến thức: - Hiểu định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số, bản chất các hàm số trong kinh tế; các khái niệm giới hạn hàm số và hàm số liên tục,… - Hiểu và nhớ các công thức giới hạn cơ bản. - Nhận dạng được các quy tắc tính giới hạn của hàm số. - Hiểu được ý nghĩa thực tiễn của kiến thức về hàm số trong lĩnh vực kinh tế. 2. Kỹ năng: - Tính được giới hạn hàm số (các dạng không quá phức tạp). - Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất để xét tính liên tục của hàm số. - Vận dụng được các giới hạn cơ bản, quy tắc thay vô cùng bé tương đương (dạng mở rộng) để tính giới hạn. 3. Thái độ: - Tích cực học tập như tham gia thảo luận, làm bài tập, đọc tài liệu, tìm tài liệu học tập,…. - Có thái độ làm việc kỷ luật và khoa học. - Luôn kiên trì, nhẫn nại khi giải bài tập khó và cẩn thận, chính xác trong tính toán. Trong hoạt động sản xuất kinh doanh, các doanh nghiệp luôn gặp những đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác. Chẳng hạn: a. Một công nhân gia công sản phẩm giày, hưởng lương theo sản phẩm được quy định trong hợp đồng lao động là 3500 đồng trên một sản phẩm. Cuối tháng công nhân được hưởng số tiền lương là 3500Q đồng, trong đó Q là số lượng sản phẩm công nhân đó làm được trong tháng. Như vậy, tiền lương mỗi tháng của công nhân phụ thuộc vào số lượng sản phẩm Q làm ra trong mỗi tháng (Q thay đổi thì tiền lương thay đổi theo). Khi đó, ta nói tiền lương của công nhân là một hàm số với biến số Q. b. Khi tính chi phí vận chuyển một bưu phẩm, công ty chuyển phát nhanh sẽ có một quy tắc (quy luật) để xác định được duy nhất một giá trị chi phí vận chuyển bưu phẩm khi đã biết cân nặng w của bưu phẩm. Như vậy, chi phí vận chuyển bưu phẩm phụ thuộc vào cân nặng w của bưu phẩm. Khi đó, ta nói chi phí vận chuyển bưu phẩm là một hàm số với biến số w. Sau đây chúng ta tìm hiểu hàm số một biến số §1. Hàm số một biến số 1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số 1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến số 78
Định nghĩa 1.1.1 Cho tập D ⊂ ℝ ( D ≠ ∅ ) . Một quy tắc f từ tập D vào ℝ sao cho với mỗi x ∈ D cho tương ứng với duy nhất một số thực y được gọi là hàm số f xác định trên D. Khi đó x được gọi là biến số, y được gọi là giá trị của hàm số f tại x và ký hiệu y = f ( x). Tập D được gọi là tập xác định (miền xác định) và tập T := { y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ : y = f ( x)} được gọi là tập giá trị của hàm số f . Chú ý 1.1.1. Muốn cho một hàm số ta phải cho miền xác định và quy tắc f. Có nhiều phương pháp cho hàm số, trong thực tế người ta thường cho hàm số bằng biểu thức chứa biến số (gặp ở bậc học trung học phổ thông). Khi đó tập xác định của hàm số chính là tập hợp tất cả các giá trị của biến số sao cho biểu thức xác định. Ví dụ 1.1.1. Sau đây là các ví dụ về các hàm số cho bởi biểu thức: a. f ( x ) = 2x3 − 4 x + 1 . b. g ( x) = x + 1 . 2x  3 2  x2 + sin x khi x < 0,   x + x khi x ≠ −1, c. h( x) =  d. f ( x) =  x + 1 1 − x  khi x ≥ 0. 2  khi x = −1. Ví dụ 1.1.2. Cho hàm số f ( x ) = 1 − x2 + 2. Ta thấy f ( x ) xác định khi và chỉ khi 1 − x2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Do đó, tập xác định là D = [−1, 1] . Mặt khác, 2 ≤ 1 − x2 + 2 ≤ 3 với mọi x ∈ D . Ngược lại, với mỗi y ∈ [2,3] ta đều có x = ± 1 − ( y − 2)2 sao cho y = f ( x). Vì vậy tập giá trị của f là T = [2,3] . Với hàm số g ( x ) = 4 − 1 , g ( x ) xác định với mọi x ∈ ℝ . Do đó, tập 2 x +1 xác định D = ℝ . Tập giá trị T = [3,4) . Ví dụ 1.1.3. Trong hoạt động sản xuất kinh doanh của doanh nghiệp, chúng ta thường gặp các hàm số sau đây: a. Hàm sản xuất (số lượng sản phẩm): Q = f (L) , với L là lao động (nhân công). b. Hàm chi phí: TC = g (Q) , với Q là số lượng sản phẩm. c. Hàm cầu: QD = h( P) , với P là giá cả một đơn vị sản phẩm. d. Hàm cung: QS = f ( P) , với P là giá cả một đơn vị sản phẩm. e. Hàm tiêu dùng: C = C (I ) , với I là tổng thu nhập quốc dân. Định nghĩa 1.1.2 Đồ thị của hàm số f xác định trên D là tập hợp tất cả các điểm ( x, f ( x )) trong mặt phẳng Oxy với x ∈ D, ký hiệu G f . Vậy G f = {( x, f ( x) ) x ∈ D}. 79
Định nghĩa 1.1.3 Cho hai hàm số f và g cùng xác định trên D. Hàm số tổng, hiệu, tích, f thương của hai hàm số f và g, kí hiệu tương ứng f + g , f − g , f .g , xác định g f trên D (trừ hàm ) được định nghĩa lần lượt như sau: với mỗi x ∈ D ta có g ( f + g) ( x) = f ( x) + g ( x) ; ( f − g) ( x) = f ( x) − g ( x) ; f ( x) ( f .g ) ( x ) = f ( x ) .g ( x ) ;   ( x ) = f g g ( x) ( khi g ( x) ≠ 0) .   Tương tự ta định nghĩa hàm số α . f ( α là một số thực) và hàm số f lần lượt như sau: với mỗi x ∈ D, ta có (α . f ) ( x) = α . f ( x) ; f ( x) = f ( x) . 1.1.2. Hàm số đơn điệu Cho hàm số f ( x) = x3 (có tập xác định là ℝ và tập giá trị là ℝ ) và hàm số g ( x) = −2 x + 3 (có tập xác định là ℝ và tập giá trị là ℝ ). Ta xét bảng giá trị của hai hàm số (cùng xét các giá trị của hàm số f ( x), g ( x) tại các số nguyên trên [ − 4, 4]): Bảng 1.1 x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 f (x) − 64 − 27 −8 −1 0 1 8 27 64 g(x) 11 9 7 5 3 1 −1 −3 −5 Dựa vào Bảng 1.1, ta nhận thấy rằng khi giá trị x càng tăng thì giá trị hàm số f tương ứng càng tăng, nhưng giá trị hàm số g tương ứng giảm dần. Khi đó, người ta nói hàm số f ( x) = x3 tăng nghiêm ngặt và hàm số g ( x) = −2 x + 3 giảm nghiêm ngặt. Sau đây, chúng ta tìm hiểu định nghĩa chính xác của hàm số tăng nghiêm ngặt, hàm số giảm nghiêm ngặt. Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm số f xác định trên D. a. Hàm số f được gọi là đơn điệu tăng trên D nếu với mỗi cặp bất kì x1, x2 ∈ D sao cho x1 < x2 thì f ( x1) ≤ f ( x2 ) . Hàm số f đơn điệu giảm trên D nếu với mỗi cặp bất kì x1, x2 ∈ D sao cho x1 < x2 thì f ( x1) ≥ f ( x2 ). b. Hàm số f được gọi là tăng nghiêm ngặt trên D nếu với mỗi cặp bất kì x1, x2 ∈ D sao cho x1 < x2 thì f ( x1) < f ( x2 ) . Hàm số f giảm nghiêm ngặt trên D nếu với mỗi cặp bất kì x1, x2 ∈ D sao cho x1 < x2 thì f ( x1) > f ( x2 ). 80
Ví dụ 1.1.4. Hàm số f ( x ) = x3 xác định trên D = ℝ . Ta thấy với bất kỳ 3 3 x1, x2 ∈ ℝ sao cho x1 < x2 thì x1 < x2 . Vậy hàm số f ( x ) = x3 tăng nghiêm ngặt trên ℝ . Ví dụ 1.1.5. Trong hoạt động sản xuất kinh doanh, nhà quản trị xác định được quan hệ giữa lượng cung, lượng cầu với giá của một đơn vị sản phẩm như sau: + Hàm cầu: QD = f ( P) = −aP + b với a > 0, b > 0 . + Hàm cung: QS = g ( P) = cP + d với c > 0, d > 0 . Dễ dàng thấy rằng hàm cầu giảm nghiêm ngặt và hàm cung tăng nghiêm ngặt, điều này phù hợp với quy luật cung cầu: “người tiêu dùng sẽ mua hàng ít hơn khi giá tăng lên và nhà cung ứng sẽ cung cấp hàng hóa dịch vụ nhiều hơn khi giá tăng lên”. 1.1.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm số f xác định trên D a. Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D ta đều có − x ∈ D và f (− x) = f ( x) . b. Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D ta đều có − x ∈ D và f (− x) = − f ( x) . Ví dụ 1.1.6. Hàm số f ( x ) = x3 xác định trên D = ℝ . Với bất kỳ x ∈ D ta có − x ∈ D và f (− x) = ( − x )3 = − x3 = − f ( x). Vậy f ( x ) = x3 là hàm số lẻ. Tương tự, g ( x) = 3x4 − cos x + 5 là hàm số chẵn. Từ định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ ta dễ dàng suy ra được các tính chất sau: Tính chất 1.1.1 a. Đồ thị của hàm số chẵn là một hình có trục đối xứng là trục tung. b. Đồ thị của hàm số lẻ là một hình có tâm đối xứng là gốc tọa độ. Tính chất 1.1.2 a. Tổng hoặc hiệu của hai hàm số chẵn (hoặc lẻ) là một hàm số chẵn (hoặc lẻ). b. Tích của hai hàm số chẵn hoặc hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn. c. Tích của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ là một hàm số lẻ. 1.1.4. Hàm số tuần hoàn Cho hàm số f ( x) = cos x có tập xác định là ℝ . Với mọi x ∈ ℝ , ta có f ( x + 2π ) = cos ( x + 2π ) = cos x = f ( x) . Như vậy, giá trị của hàm số tại một điểm x bất kỳ nào đó sẽ không thay đổi khi tịnh tiến x theo trục hoành một đoạn có độ dài 2π , ta nói hàm số này tuần hoàn. Sau đây là định nghĩa tổng quát về hàm tuần hoàn. 81
Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm số f xác định trên D . Hàm số f được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D thì ta có x + T ∈ D và f ( x + T ) = f ( x). Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn f. Hàm số y = cos x và y = sin x là hai hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π . Tương tự, hàm số y = tan x và y = cot x là hai hàm tuần hoàn với chu kỳ π . Chú ý 1.1.2. Khi khảo sát một hàm số tuần hoàn, ta chỉ cần xét hàm số này trong một khoảng (hoặc đoạn) có độ dài bằng chu kỳ của hàm số. 1.1.5. Hàm số hợp Định nghĩa 1.1.7 Cho X , Y , Z ⊂ ℝ, các hàm số f : X → Y và g : Y → Z . Hàm số h : X → Z được định nghĩa bởi h( x) = g [ f ( x)] với mọi x ∈ X . Khi đó, ta nói hàm số h là hàm số hợp của hai hàm số g và f, ký hiệu: h = g f . Như vậy, ( g f ) ( x) = g [ f ( x)] với mọi x sao cho g  f ( x )  có nghĩa.   Chú ý 1.1.3. Cho X , Y , Z ⊂ ℝ, các hàm số f : X → Y có miền xác định là D f và g : Y → Z có miền xác định là Dg . Miền xác định của hàm hợp Dg f gồm tất cả x ∈ D f sao cho f ( x ) được xác định trong Dg . Ví dụ 1.1.7. Cho hàm số f ( x) = ln x và hàm số g ( x) = sin x . Khi đó, ( g f ) ( x) = g [ f ( x)] = g (lnx) = sin(lnx) , ∀x ∈ ( 0, + ∞ ) và Dg f = ( 0, + ∞ ) . Ngược lại hàm số h( x) = cos( x2 + 2 x) là hàm hợp của hai hàm số g ( x) = cos x và f ( x) = x2 + 2 x . và Dg f = ℝ. 1.1.6. Hàm số ngược Cho hai hàm số f ( x) = 2 x − 4 và g ( x) = 1 x + 2 . Cả hai hàm số đều có tập 2 xác định và tập giá trị là ℝ . Với bất kỳ x ∈ ℝ , ta có: ( 2 ) ( 2) f ( g ( x) ) = f 1 x + 2 = 2 1 x + 2 − 4 = x và g ( f ( x) ) = g ( 2 x − 4 ) = 1 ( 2 x − 4 ) + 2 = x . 2 Khi đó, ta nói g là hàm số ngược của hàm số f và f cũng là hàm số ngược của hàm số g (hoặc hai hàm số ngược nhau). Sau đây, ta định nghĩa hàm số ngược. 82
Định nghĩa 1.1.8 Cho hàm số f có tập xác định là D f và tập giá trị là T f ; hàm số g có tập xác định là Dg và tập giá trị là Tg . Hàm số g được gọi là hàm ngược của hàm số f nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: i) f ( g ( x) ) = x với mọi x thuộc tập xác định của hàm số g, x ∈ Dg . ii) g ( f ( x) ) = x với mọi x thuộc tập xác định của hàm số f, x ∈ D f . Khi đó, ta nói g là hàm số ngược của hàm f, ký hiệu g = f −1 . Ngược lại, theo định nghĩa trên hàm số f lại là hàm số ngược của hàm số g, ký hiệu f = g −1. Chú ý 1.1.4. Với f −1 là hàm số ngược của hàm số f, từ định nghĩa hàm số ngược ta suy ra: với x ∈ D f và y ∈ T f , y = f ( x) ⇔ x = f −1( y) . (1.1) Ví dụ 1.1.8. Hàm số f ( x) = 2 x3 − 1 có tập xác định và tập giá trị là ℝ. Khi y +1 đó, với mọi x, y ∈ ℝ, ta có y = 2 x3 − 1 ⇔ x = 3 . Do đó f −1( x) = 3 x + 1 . 2 2 Ví dụ 1.1.9. Hàm số g ( x ) = tan x có tập xác định là π  D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  và tập giá trị là ℝ. . Khi đó g −1 ( x ) = arctan x. 2  Từ (1.1) ta suy ra tính chất sau: Tính chất 1.1.3. Đồ thị của một hàm số và hàm số ngược của nó đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Định lý 1.1.1. Nếu một hàm số tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trên D và có tập giá trị là T thì hàm số đó có hàm số ngược xác định trên T và có tập giá trị là D. 1.1.7. Hàm số bị chặn Định nghĩa 1.1.9 a. Hàm số f được gọi là bị chặn trên trong tập D nếu tồn tại số k sao cho f ( x) ≤ k với mọi x ∈ D . b. Hàm số f được gọi là hoặc bị chặn dưới trong tập D nếu tồn tại số k sao cho f ( x) ≥ k với mọi x ∈ D . c. Hàm số f được gọi là bị chặn trong tập D nếu hàm số vừa bị chặn trên trong tập D và vừa bị chặn dưới trong tập D. • Các ví dụ và hoạt động: Ví dụ 1.1.10 83
a. Hàm số y = sin x và y = cos x là hai hàm số bị chặn trong ℝ vì −1 ≤ sin x ≤ 1, − 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ . b. Hãy cho 1 ví dụ về hàm số bị chặn trong ℝ. 1.2. Các hàm số sơ cấp 1.2.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản Các hàm số sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: hàm lũy thừa y = xα (α ∈ ℝ) , hàm số mũ y = a x (0 < a, a ≠ 1) , hàm số logarit y = log a x ( 0 < a, a ≠ 1) , hàm số lượng giác ( sin x, cos x, tan x, cot x ), hàm số lượng giác ngược ( arcsin x, arccos x, arctan x, arccot x ). Ta lần lượt nêu ra các tính chất, đặc điểm quan trọng của các hàm sơ cấp cơ bản vừa nêu. a. Hàm số lũy thừa y = xα , với α là số thực - Tập xác định D của hàm số phụ thuộc vào α . Chẳng hạn, nếu α là số nguyên dương thì D = ℝ ; nếu α là số nguyên âm thì D = ℝ \ {0} ; nếu α là số vô tỉ dương thì D = [0, +∞), nếu α là số vô tỉ âm thì D = (0, +∞) ; nếu α là số hữu tỉ chẳng hạn như α = 1 thì D = [0, +∞), khi α = − 1 thì D = ℝ \ {0}. 2 3 - Đồ thị của hàm y = xα đi qua điểm (1;1), nếu α > 0 thì đồ thị đi qua gốc tọa độ, và nếu α < 0 thì đồ thị không đi qua gốc tọa độ (xem Hình 1.1). Hình 1.1 b. Hàm số mũ y = a x (0 < a, a ≠ 1) có tập xác định: D = ℝ và tập giá trị: T = (0, +∞) . Hàm số tăng nghiêm ngặt nếu a > 1 và giảm nghiêm ngặt nếu 0 < a < 1 . Đồ thị hàm số đi qua điểm (0,1) (xem Hình 1.2). 84
Hình 1.2 c. Hàm số logarit y = loga x (0 < a, a ≠ 1) có tập xác định: D = (0, +∞) và tập giá trị: T = ℝ . Hàm số tăng nghiêm ngặt nếu a > 1 và giảm nghiêm ngặt nếu 0 < a < 1 . Hàm số y = log a x là hàm số ngược của hàm số mũ y = a x . Từ Tính chất 1.1.3 suy ra đồ thị của hàm số y = log a x đối xứng với đồ thị hàm số y = a x qua đường phân giác thứ nhất (Hình 1.3). Hình 1.3 d. Hàm số lượng giác - Hàm số y = cos x và hàm số y = sin x xác định trên ℝ , có tập giá trị [−1, 1] , tuần hoàn với chu kỳ 2π . Theo Tính chất 1.1.1, vì y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung và hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (Hình 1.4). 85
Hình 1.4 { } - Hàm số y = tan x xác định trên ℝ \ ( 2k + 1) π : k ∈ ℤ và hàm số 2 y = cot x xác định trên ℝ \ {kπ : k ∈ ℤ} , cả hai có cùng tập giá trị là ℝ , là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π . Vì y = tan x và y = cot x là hai hàm số lẻ nên đồ thị nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (Hình 1.5). y=tanx y=cotx Hình 1.5 e. Hàm số lượng giác ngược - Hàm số y = arcsin x Vì hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trên − π , π  và có tập giá trị [−1,1]  2 2 nên theo Định lý 1.1.1, tồn tại hàm số ngược của hàm số y = sin x . Với mỗi giá trị y ∈ [−1,1] tồn tại duy nhất x ∈ − π , π  sao cho y = sin x, khi đó giá trị x  2 2 được ký hiệu là x = arcsin y . Thông thường người ta dùng x để chỉ biến độc lập và dùng y để ký hiệu giá trị của hàm số, nên hàm số ngược của hàm số y = sin x được ký hiệu là y = arcsin x . Khi đó, hàm số y = arcsin x có tập xác định là [−1,1] và tập giá trị là − π , π  . Chú ý: với −1 ≤ x ≤ 1, − π ≤ y ≤ π ta có  2 2 2 2 86
y = arcsin x ⇔ x = sin y . Hình 1.6 - Hàm số y = arccos x Hàm số y = cos x giảm nghiêm ngặt trên [0, π ] và có tập giá trị [−1,1] , do đó tồn tại hàm số ngược ký hiệu là y = arccos x , hàm số ngược này có tập xác định [−1,1] và tập giá trị [0, π ] . Chú ý: với −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π ta có y = arccos x ⇔ x = cos y . Hình 1.7 87
- Hàm số y = arctan x ( ) Hàm số y = tan x tăng nghiêm ngặt trên − π , π và có tập giá trị là ℝ nên 2 2 tồn tại hàm số ngược, được ký hiệu là y = arctan x . Hàm số ngược này có tập ( 2 2 ) xác định là ℝ và tập giá trị là − π , π . Chú ý: với x ∈ ℝ, − π < y < π ta có 2 2 y = arctan x ⇔ x = tan y . y = arctanx Hình 1.8 - Hàm số y = arc cot x Hàm số ngược của hàm y = cot x được ký hiệu là y = arc cot x . Hàm số này có tập xác định là ℝ và tập giá trị là (0, π ) . Chú ý: với x ∈ ℝ, 0 < y < π ta có y = arccot x ⇔ x = cot y . y = arccotx Hình 1.9 1.2.2. Hàm số sơ cấp Định nghĩa 1.2.1 Hàm số sơ cấp là hàm số nhận được bằng việc thực hiện hữu hạn các phép toán trên các hàm sơ cấp cơ bản (tổng, hiệu, tích, thương và các phép lấy hàm hợp). 88
• Các ví dụ và hoạt động: Ví dụ 1.2.1. Cho các hàm số sau: a. f ( x ) = x3 − 4 xe x + 5 . b. g ( x) = x +1 . 2arccos x  x2 + sin x khi x < 0,  c. h( x) = x log2 (sin x) d. u( x) =  1 − x  khi x ≥ 0. Theo Định nghĩa 1.2.1 g và h chính là các hàm sơ cấp, nhưng hàm số u không phải là hàm sơ cấp. e. Hãy cho 1 ví dụ về hàm sơ cấp và hàm số không phải là hàm sơ cấp. 89
§2. Giới hạn của hàm số 2.1. Giới hạn hàm số 2.1.1. Dãy số Định nghĩa 2.1.1. Cho tập số nguyên dương ℕ* = {1, 2,3,...} , một hàm số f : ℕ* → ℝ được gọi là một dãy số (dãy số thực). Với mọi n ∈ ℕ*, ta ký hiệu xn = f (n) ( f (n) là giá trị của hàm số f tại n), xn được gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Dãy số được biểu diễn dưới dạng x1, x2, x3,..., xn ,... . Để đơn giản ta ký hiệu dãy số là {xn}n∈ℕ* . { } . Khi đó ta có số hạng tổng quát x = 1 + 1 , ta Ví dụ cho dãy số 1 + 1 n n∈ℕ* n n có biểu diễn của dãy số {1 + 1 } là 2, 3 , 4 , 5 ,..., 10001 ,..., 1000001 ,... n 2 3 4 n∈ℕ* 10000 1000000 Người ta muốn tính giá trị số hạng của dãy số khi n rất lớn và lớn mãi, đây là vấn đề cần được nghiên cứu. Nhận thấy khi n lớn mãi thì giá trị xn = 1 càng gom n về 1 (càng tiến gần về 1), hay ta có thể nói rằng khoảng cách giữa số hạng xn = 1 và 1 càng nhỏ khi n lớn mãi,tức là xn − 1 gom về 0 khi n lớn mãi. Khi đó n ta nói dãy số có giới hạn là 1. Sau đây ta có định nghĩa giới hạn của dãy số. Định nghĩa 2.1.2. Cho dãy số {xn}n∈ℕ* và số thực x0 . Nếu với số mọi dương ε , ta tìm được số tự nhiên n0 sao cho với mọi n > n0 ta đều có xn − x0 < ε , ta nói x0 là giới hạn của dãy số {xn}n∈ℕ* hay dãy số {xn}n∈ℕ* hội tụ về x0. Ký hiệu lim xn = x0 , hay xn → x0 khi n → +∞ . n →+∞ Ngược lại nếu không tìm được số thực x0 sao cho thỏa mãn định nghĩa trên ta nói dãy số {xn}n∈ℕ* là dãy số phân kì. Tính chất 2.1.1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. Ví dụ 2.1.1. Kiểm tra lại bằng định nghĩa ta có các kết quả sau: 1. lim 1 = 0 , 2. lim 1 = 0 (α > 0) , n →+∞ n n→+∞ nα 3. lim c = 0 (α > 0, c ∈ ℝ) , n →+∞ nα n→+∞ (nα ) 4. lim a + c = 0 (α > 0, a ∈ ℝ, c ∈ ℝ) , n 5. lim qn = 0 (−1 < q < 1) , n→+∞ n→+∞ ( ) 6. lim 1 + 1 = e. n Tính chất 2.1.2. Cho lim xn = x0 và lim yn = y0 . Khi đó ta có: n →+∞ n →+∞ a. lim ( xn + yn ) = x0 + y0, b. lim ( xn − yn ) = x0 − y0, n→+∞ n →+∞ 90
xn x0 c. lim ( xn. yn ) = x0. y0, d. lim = ( y ≠ 0) , n →+∞ n→+∞ yn y0 0 e. lim xn = x0 , f. lim m xn = m x0 ( m ∈ ℕ ∗ ). n →+∞ n→+∞ 2.1.2. Điểm tụ Cho A ⊂ ℝ ( A ≠ ∅ ) và x0 ∈ ℝ , điểm x0 được gọi là điểm tụ (hay điểm giới hạn) của tập A nếu với mọi δ > 0, khoảng ( x0 − δ , x0 + δ ) chứa ít nhất một điểm của A khác x0 . Ví dụ 2.1.2 a. Cho A = ( −1,3) ∪ {5} . Ta thấy x0 = −1 là điểm tụ của A bởi vì với mọi δ > 0, ( x0 − δ , x0 + δ ) = ( −1 − δ , −1 + δ ) chứa ít nhất một điểm thuộc A khác với x0 = −1 (những điểm đó là −1 + δ , − 1 + δ ,... ). Tuy nhiên điểm x0 = 5 không 3 2 phải là điểm tụ của A bởi vì với δ = 1, ( x0 − δ , x0 + δ ) = ( 4,6) chỉ chứa duy nhất một điểm x0 = 5 ∈ A . Chú ý mọi điểm thuộc tập [−1,3] đều là điểm tụ của A. b. A = ( −∞, −1) ∪ ( 0, +∞ ) thì mọi điểm thuộc tập (−∞, −1] ∪ [0, +∞) đều là điểm tụ của A. { } c. Tập 1, 1 , 1 ,..., 1 ,... có điểm tụ duy nhất là 0. 2 3 n d. Tập số nguyên không có điểm tụ. Chú ý 2.1.1. Điểm tụ của tập A có thể thuộc tập A hoặc không thuộc tập A. 2.1.3. Định nghĩa giới hạn hàm số 2 Cho hàm số f ( x) = x − 9 . Hàm số có tập xác định là D = ℝ \ {3} . Do đó, x−3 hàm số luôn xác định tại những điểm khác 3 nhưng không xác định tại 3. Sau đây ta khảo sát giá trị hàm số tại những điểm rất gần 3, cụ thể, lấy hai dãy số { khác nhau xn = 3 + 1 } n n∈ℕ* { và xn = 3 − 1 ɶ } n n∈ℕ* , cả hai cùng hội tụ về 3. Khi đó, ta có f ( xn ) = 6 + 1 và f ( xn ) = 6 − 1 . Dễ thấy f ( xn ) = 6 + 1 → 6 và ɶ n n n f ( xn ) = 6 − 1 → 6 khi n → +∞ . Câu hỏi đặt ra: “Nếu lấy một dãy số bất kỳ ɶ n {un}n∈ℕ* nào đó hội tụ về 3 (khác với {xn}n∈ℕ* và {xn}n∈ℕ* ) thì giá trị { f (un )}n∈ℕ* ɶ có hội tụ về 6 hay không?” Nếu câu hỏi trả lời có thì người ta nói rằng hàm số hội tụ về 6 khi x dần đến 3. Sau đây ta định nghĩa giới hạn của hàm số khi x dần đến một điểm tụ của tập xác định. 91
Định nghĩa 2.1.3 Cho hàm số f xác định trên D và x0 là điểm tụ của D. Số thực ℓ được gọi là giới hạn của hàm số khi x dần đến x0 nếu với mọi dãy số {xn} ( xn ∈ D, xn ≠ x0, ∀n ∈ ℕ* ) sao cho lim xn = x0 , ta đều có lim f ( xn ) = ℓ . n →∞ n→∞ Ký hiệu lim f ( x) = ℓ (hay f ( x) → ℓ khi x → x0 ). x → x0 Sau đây, ta xét một định nghĩa giới hạn của hàm số tương đương với Định nghĩa 2.1.3. Định nghĩa 2.1.4 Cho hàm số f xác định trên D và x0 là điểm tụ của D. Số thực ℓ được gọi là giới hạn của hàm số khi x dần đến x0 nếu với mọi ε > 0 cho trước đều tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ D sao cho 0 < x − x0 < δ ta đều có f ( x) − ℓ < ε . Chú ý 2.1.2. Trong hai định nghĩa trên (Định nghĩa 2.1.3 và Định nghĩa 2.1.4) ta chỉ khảo sát các giá trị hàm số tại những điểm gần x0 nhưng khác x0 . • Các ví dụ và hoạt động: Ví dụ 2.1.3 2 a. Chứng minh rằng lim x − 9 = 6 . x →3 x − 3 2 Giải: Chú ý tập xác định hàm số f ( x) = x − 9 là D = ℝ \ {3} và 3 là điểm x−3 tụ của D. Với mọi x ≠ 3 , ta có 2 f ( x) − 6 = x − 9 − 6 = x + 3 − 6 = x − 3 . x−3 Do đó, với bất kỳ ε > 0 cho trước, tồn tại δ = ε sao cho với mọi x ∈ D 2 thỏa 0 < x − 3 < δ thì f ( x) − 6 = x − 3 < δ = ε . Vậy lim x − 9 = 6 . x →3 x − 3  x2 − 4  b. Dùng định nghĩa chứng minh rằng lim  =4 . x →2  x−2  2.2. Các tính chất của giới hạn hàm số Trong ví dụ 2.1.3, chúng ta đã chứng minh giới hạn của hàm số 2 f ( x) = x − 9 khi x dần đến 3 bằng 6. Câu hỏi tự nhiên được đặt ra: “Kết quả x−3 2 giới hạn của hàm số f ( x) = x − 9 khi x dần đến 3 có duy nhất không?”. Tính x−3 chất sau đây sẽ trả lời câu hỏi này. 92
Tính chất 2.2.1 Cho hàm số f xác định trên D và x0 là điểm tụ của D. Nếu hàm số f có giới hạn khi x dần đến x0 thì giới hạn đó duy nhất. Chứng minh: Giả sử khi x dần đến x0 ( x0 là điểm tụ) hàm số f có hai giới hạn ℓ và ℓ′ . Với mọi ε > 0 (nhỏ tùy ý) tồn tại δ1 > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa 0 < x − x0 < δ1 ta có f ( x) − ℓ < ε 2 Với mọi ε > 0 (nhỏ tùy ý) tồn tại δ 2 > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa 0 < x − x0 < δ 2 ta có f ( x) − ℓ′ < ε . 2 Đặt δ = min {δ1 , δ 2 } > 0. Khi đó, với x ∈ D thỏa 0 < x − x0 < δ ta có ℓ − ℓ′ ≤ f ( x) − ℓ + f ( x) − ℓ′ < ε + ε = ε . 2 2 Điều này đúng cho mọi nhỏ tùy ý nên suy ra ℓ − ℓ′ = 0 hay ℓ = ℓ′. Vậy giới hạn xác định duy nhất. Ví dụ 2.2.1. Chứng minh rằng lim 1 = 1 với x0 ≠ 0 . x→ x0 x x0 Giải: Tập xác định của hàm số f ( x) = 1 là D = ℝ \ {0} . x x − x0 Ta có f ( x) − f ( x0 ) = 1 − 1 = . x x0 x x0 Ta chỉ xét x gần x0 sao cho x > 1 x0 (điều này không ảnh hưởng đến giá 2 trị của giới hạn). Khi đó f ( x) − f ( x0 ) < 22 x − x0 . x0 ε x20 Như vậy với ε > 0 cho trước, chọn δ = sao cho với mọi x ∈ D thỏa 2 ( ) 0 < x − x0 < δ x > 1 x0 thì ta có 2 f ( x) − f ( x0 ) < 2δ = ε . 2 x0 Vậy ta đã chứng minh xong. Nhận xét 2.2.1. Kết quả trong ví dụ 2.2.1 có thể viết lại lim f ( x) = f ( x0 ) với x→ x0 f ( x) = 1 . Chú ý f ( x) = 1 là hàm sơ cấp cơ bản và x0 thuộc tập xác định của hàm x x số. Sau đây ta có tính chất quan trọng về giới hạn hàm số sơ cấp cơ bản. 93
Tính chất 2.2.2 Nếu f là hàm số sơ cấp cơ bản và x0 thuộc tập xác định của hàm số f thì lim f ( x) = f ( x0 ) . x→ x0 Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh trường hợp f ( x) = a x , tức là chứng minh lim a x = a x0 (0 < a ≠ 1). Ta xét trường hợp a > 1 (tập xác định của f là ℝ ). x → x0 ( ) Thật vậy, với mọi ε > 0 tồn tại số δ = loga 1 + εx0 > 0 . Khi đó, với mọi x ∈ ℝ sao a x− x cho 0 < x − x0 < δ (dẫn đến 1 < a 0 < aδ ) ta có ( ) ( a x − a x0 = a x0 a x− x0 − 1 ≤ a x0 a x− x0 − 1 < a x0 aδ − 1 = ε . ) Như vậy, lim a x = a x0 với a > 1. Trường hợp 0 < a < 1 xét tương tự. x → x0 Đối với các hàm sơ cấp cơ bản còn lại sinh viên tự chứng minh hoặc tham khảo trong các tài liệu. • Các ví dụ và hoạt động: Ví dụ 2.2.2. Tính các giới hạn sau: a. lim ex . b. lim arc cos x . c. lim tan x. x →0 x→0 x →π Giải: a, b. Áp dụng tính chất 2.2.2, ta có: lim ex = e0 = 1 và x→0 lim arccos x = arccos 0 = π . x →0 2 c. Sinh viên tự giải. Nhận xét 2.2.2. Như vậy việc tính giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản khi x dần đến một điểm thuộc tập xác định trở nên dễ dàng nhờ vào Tính chất 2.2.2, tuy nhiên đối với hàm sơ cấp (không phải là hàm số sơ cấp cơ bản) thì việc tính giới hạn như thế nào? Chẳng hạn, hãy tính lim (3arccos x − e x + 2sin x ) . Để tính được giới hạn này ta x →0 cần tính chất sau: Tính chất 2.2.3. Cho f và g cùng xác định trên D và x0 là điểm tụ của D. Giả sử rằng các giới hạn lim f ( x) và lim g( x) tồn tại hữu hạn. Khi đó ta có các x→ x0 x→x0 tính chất sau: i. lim [ f ( x) + g( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) , x→ x0 x → x0 x→ x0 ii. lim [ f ( x) − g( x)] = lim f ( x) − lim g ( x) , x→ x0 x→ x0 x→ x0 iii. lim [k. f ( x)] = k. lim f ( x) (k là hằng số), x→ x0 x → x0 iv. lim [ f ( x).g( x)] = lim f ( x). lim g ( x) , x→ x0 x→ x0 x → x0 94
lim f ( x) f ( x) x→ x0 v. lim = nếu lim g ( x) ≠ 0, x→ x0 g ( x) lim g ( x) x→ x0 x→ x0 vi. lim f ( x) = lim f ( x) , x → x0 x → x0 vii. Giả sử lim f ( x) = A và lim g ( y) = ℓ . Nếu tồn tại khoảng (c, d ) chứa x0 x→x0 y→ A sao cho f ( x) ≠ A với mọi x ∈ (c, d ) \ {x0} thì lim g [ f ( x)] = ℓ . x→ x0 g( x) viii. Giả sử lim f ( x) = A và lim g ( x ) = B thì lim f ( x ) = AB . x → x0 x → x0 x → x0 Chứng minh: Chúng tôi chỉ chứng minh tính chất i, các tính chất còn lại tương tự. Đặt lim f ( x) = a và lim g ( x) = b. Lấy ε là số dương bất kỳ cho trước. x→ x0 x→ x0 Vì lim f ( x) = a nên tồn tại δ1 > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa 0 < x − x0 < δ1 ta có x→ x0 f ( x) − a < ε . 2 Vì lim g ( x) = b nên tồn tại δ 2 > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa 0 < x − x0 < δ 2 ta có x→ x0 g ( x) − b < ε . 2 Đặt δ = min {δ1, δ 2} > 0 . Khi đó với mọi x ∈ D thỏa 0 < x − x0 < δ ta có f ( x) + g ( x) − a − b ≤ f ( x) − a + g ( x) − b < ε + ε = ε . 2 2 Như vậy ta được lim [ f ( x) + g( x)] = a + b = lim f ( x) + lim g ( x) x→ x0 x→ x0 x→ x0 Từ Tính chất 2.2.2 và Tính chất 2.2.3 ta có kết quả quan trọng sau: Tính chất 2.2.4 Nếu f là hàm số sơ cấp và x0 thuộc tập xác định của hàm số f thì lim f ( x) = f ( x0 ) . x→ x0 • Các ví dụ và hoạt động: Ví dụ 2.2.3. Tính các giới hạn sau: a. lim (3arccos x − e x + 2sin x ) . x →0 b. lim ln (sin x) − 2 (sinh viên tự giải). x →π 2 Giải: a. Ta có f ( x) = 3arccos x − e x + 2sin x là hàm số sơ cấp và hàm số xác định tại x0 = 0. Áp dụng Tính chất 2.2.4 ta được 95
lim 3arccos x − e x + 2sin x = 3arccos 0 − e0 + 2sin 0 = 3π − 1. ( ) x →0 2 Nhận xét 2.2.3. Như vậy việc tính giới hạn sẽ thuận lợi hơn khi ta áp dụng Tính chất 2.2.3. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng được Tính chất 2.2.3 hay không khi tính giới x →0 x () x →0 x () hạn lim x2 sin 1 ? Chú ý limsin 1 không tồn tại, cho nên ta không thể áp dụng Tính chất 2.2.3. Định lý sau sẽ giúp chúng ta tính được giới hạn trên. Định lý 2.2.1 Cho f và g cùng xác định trên D và x0 là điểm tụ của D. Nếu f ( x) ≤ g ( x) với mọi x ∈ D \ {x0} , lim f ( x) = ℓ và lim g ( x) = ℓ1 thì ℓ ≤ ℓ1 . (Bất đẳng thức nhỏ hơn x→ x0 x→ x0 hoặc bằng được bảo toàn qua phép lấy giới hạn). Định lý 2.2.2 (Nguyên lý kẹp) Cho f , g và h cùng xác định trên D và x0 là điểm tụ của D. Giả sử rằng f ( x) ≤ h( x) ≤ g ( x) với mọi x ∈ D \ {x0} . Nếu lim f ( x) = ℓ và lim g ( x) = ℓ thì x→ x0 x→ x0 lim h( x) = ℓ . x→ x0 • Các ví dụ và hoạt động: Ví dụ 2.2.4 a. Tính giới hạn sau: lim x2 sin 1 . x →0 x () () Giải: Ta có −1 ≤ sin 1 ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ \ {0} . Suy ra x () − x2 ≤ x2 sin 1 ≤ x2 , ∀x ∈ ℝ \ {0}. x 2 2 Vì lim(− x ) = 0 và lim x = 0 nên theo nguyên lý kẹp ta có x →0 x →0 x→0 x() lim x2 sin 1 = 0. 1 b. Tính giới hạn sau: lim x sin   . x →0  x 2.3. Giới hạn một phía  − x2 + x khi x < 1,  x −1 Cho hàm số h( x) =  2 − x − 1 khi x ≥ 1.  Hàm số h có tập xác định là D = ℝ . Ta có bảng giá trị sau: 96
Bảng 1.2 x 0,1 0,9 0,99 0, 999 0,9999 1 1, 0001 1, 001 1,01 1,2 1,3 f ( x) −0,1 −0, 9 −0,99 −0,999 −0, 9999 2 1,99 1,968 1,900 1, 553 1, 452 Nhận xét 2.3.1. Dựa vào Bảng 1.2 ta thấy khi x tăng dần đến 1 thì giá trị của hàm số dần về −1 và giá trị của hàm số cũng dần về 2 khi x giảm dần về 1. Do đó, giới hạn của hàm số không tồn tại khi x dần đến 1. Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ xét x < 1 và khi x dần đến 1 thì giá trị của hàm số càng dần về −1 , ta nói −1 là giới hạn bên trái của hàm số khi x dần đến 1. Nếu chúng ta chỉ xét x > 1 và khi x dần đến 1 thì giá trị của hàm số càng dần về 2 , ta nói 2 là giới hạn bên phải của hàm số khi x dần đến 1. Sau đây chúng ta tìm hiểu định nghĩa của giới hạn một phía (một bên). Định nghĩa 2.3.1 a. Cho hàm số f xác định trên D và x0 là điểm tụ của D (giả sử (a, x0 ) ⊂ D với a là số thực nào đó nhỏ hơn x0 ).Số thực ℓ được gọi là giới hạn phía trái của hàm số khi x dần đến x0 nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa x0 − δ < x < x0 ta đều có f ( x) − ℓ < ε . Ký hiệu lim− f ( x) = ℓ . x → x0 b. Cho hàm số f xác định trên D và x0 là điểm tụ của D (giả sử ( x0, a) ⊂ D với a là số thực nào đó lớn hơn x0 ). Số thực ℓ được gọi là giới hạn phía phải của hàm số khi x dần đến x0 nếu với mọi ε > 0 cho trước đều tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ D thỏa x0 < x < x0 + δ ta đều có f ( x) − ℓ < ε . Ký hiệu lim+ f ( x) = ℓ . x → x0 Từ định nghĩa trên ta dễ dàng suy ra tính chất sau: Tính chất 2.3.1. Cho hàm số f xác định trên D và x0 là điểm tụ của D. Hàm số f có giới hạn khi x dần đến x0 khi và chỉ khi hàm số có giới hạn phía trái, giới hạn phía phải khi x dần đến x0 và chúng bằng nhau. Chú ý 2.3.1. Các Tính chất 2.2.1, Tính chất 2.2.2, Tính chất 2.2.3 và Tính + − chất 2.2.5 vẫn đúng khi ta thay x → x0 bằng x → x0 hoặc x → x0 . • Các ví dụ và hoạt động: Ví dụ 2.3.1  − x2 + x khi x < 1,  x −1 a. Cho hàm số h( x) =  2 − x − 1  khi x ≥ 1. 97