Tỉ số kép của hàng điểm và áp dụng

Chia sẻ: Huynh Duc Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

184
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Tỉ số kép của hàng điểm và áp dụng được biên soạn với các nội dung: Một số khái niệm về tỉ số kép của hàng điểm, hàng đường thẳng; một số ví dụ; bài tập. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu. Hi vọng tài liệu sẽ có ích cho các bạn trong quá trình học tập và ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tỉ số kép của hàng điểm và áp dụng

[1] T s kép c a hàng đi m và áp d ng Nguy n Đình Thành Công , Nguy n Phương Mai 1. M t s khái ni m v t s kép c a hàng đi m, hàng đư ng th ng Đ nh nghĩa 1.1. Cho 4 đi m A, B, C, D n m trên m t đư ng th ng. Khi đó t s kép c a A, B, C, D (ta AC BC : và ta kí hi u chú ý t i tính th t ) đư c đ nh nghĩa là AD BD AC BC (ABCD) = : AD BD AC BC (Chú ý: Trong trư ng h p : = −1 ta nói A, B, C, D là hàng đi m đi u hòa và kí AD BD hi u (ABCD)=-1) T đ nh nghĩa suy ra i.(ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCBA) 1 1 ii.(ABCD) = = (BACD) (ABDC) iii.(ABCD) = 1 − (ACBD) = 1 − (DBCA) iv.(ABCD) = (A 'BCD) ⇔ A ≡ A ' (ABCD) = (AB 'CD) ⇔ B ≡ B ' v.(ABCD) ≠ 1 Đ nh nghĩa 1.2. Phép chi u xuyên tâm. Cho (d). S ngoài (d). V i m i đi m M, SM c t (d) t i M’(M không thu c đư ng th ng qua S song song (d)). V y M→M’ là phép chi u xuyên tâm v i tâm chi u S lên (d) Ti p theo ta s phát bi u m t đ nh lí quan tr ng v phép chi u xuyên tâm Đ nh lí 1.3. Phép chi u xuyên tâm b o toàn t s kép Ch ng minh. Trư c h t ta c n phát bi u m t b đ B đ 1.3.1. Cho S. A, B, C, D thu c (d). T C k đư ng th ng song song SD c t SA, SB t i A’, B’. CA ' Khi đó (ABCD) = CB' [2] Th t v y theo đ nh lí Talet ta có: CA DA AC DB CA ' DS CA ' (ABCD) = : = : = : = CB DB AD CB DS CB ' CB ' Tr l i đ nh lí ta có CA ' C1A '' (ABCD) = = = (A1B1C1D1) (d.p.c.m) CB' C1B'' Nh n xét: A, B, C, D là hàng đi m đi u hòa ⇔ C là trung đi m A’B’ T đ nh lí 1.3 ta có các h qu : H qu 1.3.2. Cho 4 đư ng th ng đ ng quy và đư ng th ng ∆ c t 4 đư ng th ng này t i A, B, C, D. khi đó (ABCD) không ph thu c vào ∆ H qu 1.3.3. Cho hai đư ng th ng ∆1 , ∆ 2 c t nhau t i O. A, B, C ∈ ∆1 , A ', B ', C '∈ ∆ 2 . Khi đó: (OABC) = (OA ' B 'C ') ⇔ AA ', BB ', CC ' đ ng quy ho c đôi m t song song Ch ng minh. TH1. AA’, BB’, CC’ song song BO CO B 'O C 'O ⇒ : = : BA CA B' A C ' A ⇒ (OABC) = (OA ' B'C ') TH2. AA’, BB’,CC’ không đôi m t song đ t AA '∩ BB ' = S,SC ∩ ∆ = C" . Ta có: (OA 'B'C ') = (OABC) = (OA ' B'C") ⇒ (OA 'B'C ') = (OA 'B'C") ⇒ C ' ≡ C '' V y AA’, BB’, CC’đ ng quy H qu 1.3.4. Đ nh nghĩa 1.4 [3] Cho b n đư ng th ng a, b, c, d đ ng quy t i S. M t đư ng th ng (l) c t a, b, c, d t i A, B, C, D. Khi đó t s kép c a chùm a, b, c, d b ng t s kép c a hàng A, B, C, D. T đây ta suy ra: sin(OA, OC) sin(OB, OC) (abcd) = (ABCD) = : sin(OA, OD) sin(OB, OD) Tính ch t trên là m t tính ch t quan tr ng, r t có l i trong vi c gi i các bài toán Chú ý: Chùm a, b, c, d là chùm đi u hòa ⇔A, B, C, D là hàng đi m đi u hòa Tính ch t 1.5. Cho chùm đi u hòa (abcd) N u b⊥d ⇔ b, d là phân giác các góc t o b i a và c Ch ng minh. - N u b, d là phân giác góc t o b i a, c suy ra đi u ph i ch ng minh - N u b⊥d. T C k đư ng th ng song song OD. Do (abcd)=-1 nên MC = MN suy ra b, d là phân giác góc COA Tính ch t 1.6. Cho O và O’ n m trên d. Các đư ng th ng a, b, c đ ng quy t i O, a’, b’, c’ đ ng quy t i O’. a '∩ a = A, b ∩ b ' = B, c ∩ c ' = C . Ch ng minh r ng A, B, C th ng hàng ⇔ ( abcd ) = ( a’b’c’d ) Ch ng minh. Xét AC ∩ d = K 2. M t s ví d Chú ý : Trong m t s bài toán có nh ng trư ng h p đơn gi n như các đư ng th ng song song v i nhau, ch ng minh các trư ng h p này tương đ i đơn gi n, xin b qua 2.1. Cho t giác ABCD. E = AB ∩ CD, F = AD ∩ BC, G = AC ∩ BD . EF ∩ AD, AB = M, N . Ch ng minh r ng (EMGN) = −1 . Ch ng minh. [4] Xét phép các phép chi u: A: E → B, G → C, M → F, N → N ⇒ ( EGMN ) = ( BCFN ) D: E → C, G → B, M → F, N → N ⇒ (EGMN) = (CBFN) ⇒ ( BCFN ) = (CBFN) 1 (BCFN) ⇔ (BCFN) = −1 (do (BCFN) ≠ 1 ) ⇔ (BCFN) = V y ( EGMN ) = −1 (d.p.c.m) Nh n xét: T 2.1 ta suy ra bài toán: Cho tam giác ABC. D, E, F thu c các c nh BC, CA, AB. EF ∩ BC = M . Ta có: AD, BE, CF đ ng quy ⇔ (ABDM) = −1 2.2. Cho t giác ABCD. AC ∩ BD = O . M t đư ng th ng (d) đi qua (O). (d) ∩ A, B, C, D = M, N, P, Q . Ch ng minh r ng: ( MNOP ) = ( MOQP ) Ch ng minh. Xét các phép chi u: [5] A : M → J, O → C, Q → D, P → P ⇒ (MOQP) = ( JCDP ) B : M → J, N → C, O → D, P → P ⇒ (MNOP) = ( JCDP ) V y ( MNOP ) = ( MOQP ) Nh n xét : T 2.2 ta suy ra bài toán sau: Cho t giác ABCD. AC ∩ BD = O . M t đư ng th ng (d) đi qua (O). (d) ∩ A, B, C, D = M, N, P, Q . Ch ng minh r ng: O là trung đi m QH khi và ch khi O là trung đi m MP. Bài toán trên chính là đ nh lí “con bư m” trong t giác. 2.3. Cho t giác ABCD n i ti p đư ng tròn (O). S∈(O). Khi đó S(ABCD) = const (S(ABCD) là t s kép c a chùm SA, SB, SC, SD Ch ng minh. Ta có S(ABCD) = sin(SA,SC) sin(SB,SC) sin(BA, BC) sin(AB, AC) : = : sin(SA,SD) sin(SB,SD) sin(BA, BD) sin(AB, AD) = AC BC : = const (d.p.c.m) AD BD 2.4. Cho t giác ABCD n i ti p đư ng tròn (O), AC ∩ BD = J .M t đư ng th ng (d) qua J , (d) ∩ AB, CD, (O) = M, N, P, Q . Ch ng minh r ng: (QMJP) = (QJNP) Ch ng minh.