Tiểu luận : Kết hợp máy tính bỏ túi và Maple giải gần đúng nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

Chia sẻ: Pham Dang Cuong Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

462
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để giải gần đúng phương trình vi phân, người ta thường dùng phương pháp giải tích và phương pháp số - tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng các giá trị số của nghiệm tại một số điểm trên đoạn (a,b) và kết quả được cho dưới dạng bảng, như phương pháp đường gấp khúc Euler, phương pháp Runge-Kutta,.....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiểu luận : Kết hợp máy tính bỏ túi và Maple giải gần đúng nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

VIỆN TOÁN HỌC MÔN HỌC: GIẢI TÍCH SỐ T IỂU LUẬN K ẾT HỢP MÁY TÍNH BỎ TÚI VÀ MAPLE GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TR ÌNH V I PHÂN THƯ ỜNG Người thực hiện: Phạm Thị Thuỳ Lớp: Cao học K19 - Viện Toán HÀ NỘI – 2012 1
Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường không giải trực tiếp phương trình, mà sử dụng hai phương pháp: phương pháp đ ịnh tính và phương pháp giải g ần đúng - tìm nghiệm dưới dạng xấp xỉ. Để giải gần đúng phương trình vi phân, người ta thường dùng p hương pháp giải tích và phương pháp số - tìm nghiệm xấp xỉ dưới d ạng các giá trị số của nghiệm tại một số điểm trên đoạn ( a, b) và kết q uả được cho dưới dạng bảng, như phương pháp đường gấp khúc Euler, phương pháp Runge-Kutta,... Nhằm minh họa cho khả năng sử dụng m áy tính điện tử để giải p hương trình vi phân, có th ể thể hiện phương pháp Euler và phương pháp Runge -Kutta trên m áy tính điện tử khoa học Casio fx-570 ES và trên chương trình Maple qua một số ví dụ được trình bày dưới đây. 1.1. Bà i toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một Một phương trình vi phân cấp một có thể viết dưới dạng giải được y /  f  x, y  m à ta có thể tìm được hàm y từ đạo hàm của nó. Tồn tại vô số nghiệm tho ả mãn phương trình trên. Mỗi nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tuỳ ý. Khi cho trước giá trị ban đầu của y là y0 tại giá trị đầu x0 ta nhận được một nghiệm riêng của phương trình. Bài toán Cauchy (hay bài toán có đ iều kiện đầu) tóm lại như sau: Cho x sao cho b  x  a , tìm y(x) thoả mãn điều kiện  y /  x   f  x, y   (1.1)   y  x0   y0  Một cách tổng quát hơn người ta định nghĩa hệ phương trình b ậc một:  y1/  f1  x, y1 , y2 ,..., yn  /  y2  f 2  x, y1 , y2 ,..., yn   ....  y /  f  x, y , y ,..., y  n n 1 2 n Hệ trên có thể viết dưới dạng y /  f  x, y  , trong đó 2
 f1   y1     f2   y2  f   ...  y   ...     ...   ...  f  y   n  n 1.2 Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân trên máy tính điện tử và Maple Công thức tính x ấp xỉ nghiệm theo phương pháp Euler, phương p háp Euler cải tiến và phương pháp Runge-Kutta cho thấy, việc giải gần đúng phương trình vi phân (1.1) có thể d ễ dàn g thực hiện tính toán trên m áy tính khoa học Casio fx-570 ES hoặc lập trình trên Maple. D ưới đ ây trình bày cách giải bài toán Cauchy cho một p hương trình vi phân bằng phương pháp Euler, Euler cải tiến và p hương p háp Runge-Kutta với các bước nội suy khác nhau trên má y tính khoa học Casio FX -570 ES và trên Maple. Bài 1: Sử dụng phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến và phương pháp Rungge-Kutta với độ dài bước h = 0,1 và h = 0,5 để tìm xấp xỉ nghiệm của dy  x 2  y 2 tho ả mãn đ iều kiện ban đầu y(0) = 0 trên đo ạn 0;1 . phương trình dx dy  x 2  y 2 với điều kiện ban đầu x0 = Giải: Phải tìm nghiệm của phương trình dx 0, y0 = 0. Với h = 0,1 ta có: yn 1  h. f  xn , yn   yn  0,1( xn  yn )  yn 2 2 (1.2) Ta có: 2 2 y1  0,1( x0  y0 )  y0  0,1(0  0)  0  0. Với x1 = x0 + h = 0,1: y2  0,1( x12  y12 )  y1  0.1.(0.12  0.12 )  0  0, 001. Tiếp tục như trên ta tính được các giá trị yn theo công thức: 2 2 yn 1  h. f  xn , yn   yn  0,1( xn  yn )  yn . 3
Thực hiện phép lặp (1.2) trên Casio fx -570ES: Khai báo công thức yn1  h. f  xn , yn   yn  0,1( xn  yn )  yn : 2 2 x2 y2 0.1 ( ÂLPH A X + ALPHA Y ) + ALPHA Y đ ể chứa giá trị xn và dùng ô nhớ Y Trong quy trình này, ta đã dùng ô nhớ X để chứa giá trị của yn. CALC để tính giá trị của yn: CALC Dùng Máy hỏi: X? Khai báo: 0 và bấm phím = Máy hỏi: Y? Khai báo: 0 và bấm phím = (Kết quả: 0). Kết quả trên màn hình là 0, tức là : 2 2 y1  0,1( x0  y0 )  y0  0,1(0  0)  0  0. Đưa kết quả vào ô nhớ Y : SHIFT STO Y  Trở về công thức ban đầu (1.2): Bấm phím Quy trình: Tính tiếp: CALC Máy hỏi: X? = Khai báo: 0.1 và bấm phím Máy hỏi: Y? Bấm phím = (y1 = 0 vì đã sẵn có trong ô nhớ Y nên không cần khai báo lại). 1 Kết quả trên màn hình: , tức là 1000 y2  0,1( x12  y12 )  y1  0,1(0,12  0,12 )  0  0,13. Y : SHIFT STO Y Đưa kết quả vào ô nhớ Trở về công thức ban đầu:  4
Lặp lại quy trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? thì khai báo các giá trị tiếp theo: 0.2; 0.3; 0.4; …; 1.0 ta sẽ được bảng giá trị tính toán như sau: n xn-1 yn n xn-1 yn 1 0 0 6 0,5 0,05511234067 2 0,1 0,001 7 0,6 0,09141607768 3 0,2 8 0,7 5,001 103 0,1412517676 4 0 ,3 9 0,8 0,0140026001 0,2072469738 5 10 0,9 0 ,4 0,03002220738 0,2925421046 Thực hiện phép lặp (1.2) trên Maple: Trong Maple, đ ể tìm các giá trị yi theo công thức lặp ta có thể sử dụng mặc định (option) remember (nhớ). Mặc định này của Maple cho phép nhớ các giá trị cũ để tính yn, mà không cần tính lại giá trị yn-1. Trước tiên ta khởi động chương trình Maple nhờ lệnh restart: [> restart: Khai báo hàm f: [> f:=(x,y)->x^2+y^2; f :  x, y   x 2  y 2 Khai báo bước nội suy h = 0,1: [> h:=0.1; h:=0.1 Khai báo cách tính các giá trị của x n+1 = x n + h (với x0 = 0): [>x:=n->n*h; x : n  n h Khai báo các giá trị ban đầu của y: [>y(0):=0; y(0) := 0 Khai báo thủ tục tính yn theo mặc định remember (nhớ): 5
[>y:=proc(n) option remember; [>y(n-1)+h*f(x(n-1),y(n-1)); [>end; y := pro c (n ) o pti o n reme mber; y( n 1 ) hf( x( n 1 ), y( n 1 ) ) e nd pro c Khai báo lệnh seq (sắp xếp theo d ãy) đ ể sắp xếp các giá trị: [>seq(y(i),i=0..10); 0, 0., 0 .00 1, 0 .00500 01 0.014002 60010 , 0 .03002220738, 0 .05511234067 , , 0 .09141 60776 8, 0.141251767 6 , 0 .2072469738, 0 .292542 104 6 6 , Ta thấy kết quả này hoàn toàn trùng lặp với kết quả tính trên má y tính khoa học Casio fx-570 ES. Để so sánh các kết quả này với nghiệm chính xác, ta dùng lệnh dsolve (giải phương trình vi p hân) đ ể tìm nghiệm chính xác như sau: V ào gói công cụ Detools (công cụ Phương trìn h vi p hân): [> with(DEtools): Tìm nghiệm đúng của phương trình vi phân nhờ lệnh dsolve và kí h iệu n ghiệm là Sol: [> Sol:=dsolve({diff(Y (X),X)=X^2+Y(X)^2,Y(0)=0 },Y (X));   3 1  3 1   X   BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2   4 2 4 2   Sol : Y ( X )    1 1 1 1    BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2  4 2 4 2   Chú ý rằng, tro ng lệnh tìm nghiệm chính xác, ta đã dùng những chữ cái in hoa để tránh sự trùng lặp với nghiệm xấp xỉ. Ấn định công thức nghiệm nhờ lệnh assig n: [> a ssign(Sol); Dùng lệnh array (lập mảng) để tạo b ảng nhằm so sánh giá trị gần đúng (tính theo công thức Euler) và giá trị đúng của nghiệm (tính theo công thức nghiệm): [> a rray([seq([n,y(n),evalf(subs(X=n/10,Y(X)))],n=0..10)] 6
  0 0 0.   1  0. 0.0 0 03 3 333 4 90 60   2  0.0 0 26 6 686 9 814  0.0 0 1     3  0.0 0 90 0 347 3 190  0.0 0 50 00 1      4 0.0 1 40 0260 01 0 0.0 2 13 5 938 0 1 7       5 00 3 00 2 220 7 3 8 0.0 4 17 9 114 6 2 0  ..    6 0.0 5 51 1234 06 7 0.0 7 24 4 786 1 1 8       7 0.0 9 14 1607 76 8 0.1 1 56 5985 3 6      .1 7 40 8 026 4 6   8 01 4 12 5176 7 6 .    9 0.2 0 72 4 697 3 8 0.2 5 09 0668 2 4      1 0 0.2 9 25 4 210 4 6 0.3 5 02 3 184 40      Trong b ảng nà y, cột thứ nhất là số bước lặp, các số trong cột thứ hai tương ứng là giá trị xấp xỉ, các số trong cột thứ ba là giá trị theo công thức đúng. Ta thấy kết quả tính toán theo công thức Euler có sai số khá lớn so với nghiệm chính xác. Với h = 0.05 ta có : 2 2 yn 1  h. f  xn , yn   yn  0, 05( xn  yn )  yn 2 2 Tương tự có thể tính yn 1  h. f  xn , yn   yn  0,05( xn  yn )  yn trên Casio fx-570 ES bằng cách : Khai báo công thức yn 1  h. f  xn , yn   yn  0,05( xn  yn )  yn : 2 2 x2 y2 ) 0.05 ( ÂLPH A X + ALPHA Y + ALPHA Y và thao tác hoàn toàn như trên, nhưng với số bước nhiều gấp đôi (20 bước) ta được bảng kết quả dưới đâ y. yn yn xn-1 xn -1 n n 1 0 0 11 0,50 0.0482462821 7
1 2 0 ,05 12 0,55 0.06348766728 8000 6 ,250007813 3 0 ,10 13 0,60 0.08168920148  4 0 ,15 1.750020313 10 3 14 0,65 0.1031478578 5 0 ,20 3.750173441 103 15 0,70 0.1281798318 6 0 ,25 6.875876631 103 16 0,75 0.1571263353 7 0 ,30 0.01137824052 17 0,80 0.1903607695 8 0 ,35 0.01750971373 18 0,85 0.2282976306 9 0 ,40 0.02552504324 19 0,90 0,271403621 10 0 ,45 0.03568261963 20 0,95 0.3202116173 Tính toán trên Maple: Khai báo hàm f: [> f:=(x,y)->x^2+y^2; f :  x, y   x 2  y 2 Khai báo bước nội suy h = 0,05: [> h:=0.05; h:=0.05 Khai báo cách tính các giá trị của x n = x0 + n.h (với x0 = 0): [> x:=n->n*h; x : n  n h Khai báo các giá trị ban đầu của y: [> y(0):=0; y(0) := 0 Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Euler: [> y:=proc(n) option remember; [> y(n-1)+h*f(x(n-1),y(n-1)); [> end; y := pro c (n ) o pti o n remember; y( n 1 ) hf( x( n 1 ), y( n 1 ) ) e nd pro c 8
Lập dãy giá trị của y từ 0 tới 20: [> seq(y (i),i=1..20); 0 ., 0 .000125, 0 .000625000781,0.00175002031 ,3 ,0 .00375017344,1 0.00687587663 , 0.01137824052 0 .01750971374 0 .02552504324 1 , , , 0 .0356826196 3 0 .04824628209 0 .0634876672 7 0 .08168920147 , , , , 0 .103147857 8 0 .128179831 8 0 .157126335 3 0 .1903607696 0.2282976307 , , , , , 0 .271403621 1 0 .3202116174 , Vào gói công cụ Phương trình vi phân DEtoo ls: [> with(DEtools): Tìm nghiệm đúng của phương trình vi phân nhờ lệnh dsolve : [> Sol:=dsolve({diff(Y(X),X)=X^2 +Y(X)^2,Y(0)=0},Y(X));   3 1  3 1   X   BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2   4 2 4 2   Sol : Y ( X )    1 1 1 1    BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2  4 2 4 2   Ấn định công thức nghiệm [> assign(Sol); Lập mảng để so sánh giá trị gần đúng (tính theo công thức Euler) và giá trị đúng của nghiệm (tính theo công thức nghiệm): [> array([seq([n,y(n),evalf(subs(X=n/20,Y (X))],n=0..20 ]); 0 0  0.   1 .000041666622 1  0. 4   2  .000333334906 0  .00012 5     3 .000625000781 0 .00112502719 0     4 .00266686981 4 .00175002031 3     .0052093023 3 5  5 .00375017344 1   6 .00900347319 0 .00687587663 1      7 .0143018885 2  .0113782405 2     .0213593801 7  8 .0175097137 4   9  .0304344602 7  .0255250432 4    1 0  .0417911462 0  .035682 6196 3    1 1 .0557013376 2   .0482462820 9     .0724478611 8  1 2 .0634876672 7   1 3  .0923283103 6  .0816892014 7    1 4 .115659853 6  .103147857 8     9
1 5  .128179831 8 .142785233 8     1 6 .157126335 3 .174080264 6     7  1 .190360769 6 .209963219 0    1 8  .228297630 7 .250906682 4      1 9 .271403621 1 .297452631 3    0  2 .320211617 4 .350231844 0    Kết quả trùng khớp với kết quả tính toán trên Maple, có sai khác m ột đơn vị ở chữ số thập phân thứ 10 (do làm tròn số). Phương pháp Euler với số bứơc lặp nhiều hơn (20 bước, h = 0,05) cho kết quả chính xác hơn; Tính toán trên máy tính bỏ túi Casio FX-570MS bằmg phương pháp Euler cải tiến: Khai b áo công thức 1 f    x xn ,  xn , y n 1  , yn  h. f h. yn f yn yn (1.3) n 1 2    y 2  Với h = 0.1 : yn1  0,05 xn  yn  xn1  yn  0,1 xn  yn  2 2 2 2 2 n 1 ( h  0.05 và dùng lệnh CACL để tính giá trị của yn) 2 Y y2 x2 + ALPHA 0.05 ( ALPHA X + ALPHA x2 A + Y + 0 .1 ( ALPHA X ( ALPHA x2 y2 x2 ALPHA Y + ) ) ) + ALPHA Y để chứa giá trị xn và dùng ô nhớ Y (Trong công thức này, ta đ ã dùng ô nhớ X để chứa giá trị của yn. CALC Bấm phím để tính giá trị của yn. Máy hỏi: X? = Khai báo: x 0 = 0 và bấm phím Máy hỏi: Y? 10
Khai báo: y0 = 0 và bấm phím = Máy hỏi: A? = Khai báo: 0.1 và bấm phím 0.1 1 Kết quả trên màn hình: , tức là 2000    y 2  y1  0,05 x0  y0  x12  y0  0,1 x0  y0  2 2 2 2 0     0  0, 0005. 2   0,05 02  02  0,12  0  0,1 02  02  Y: SHIFT STO Y Đưa kết quả y1 = 0 ,0005 vào ô nhớ  Trở về công thức (1.3): Bấm phím Tính tiếp: CALC Máy hỏi: X? = Khai báo: x 1 = 0,1 và b ấm phím 0.1 Máy hỏi: Y? Khai báo: y0 = 0 và b ấm phím = (vì y1 = 0,0005 đ ã có trong ô nhớ Y nên không cần khai báo lại). Máy hỏi: A? Khai báo: 0.2 và bấm phím 0.2 = Lặp lại quy trình với thay đổi duy nhất là khi máy hỏi X? (A?) thì khai báo các giá trị tiếp theo: 0.1 (0.2); 0.2 (0.3); 0.3 (0.4); …; 0.9 (1.0) ta sẽ được bảng giá trị tính toán như sau: (trùng với kết quả tính trên Maple đến chữ số cuối cùng). xn1 yn yn xn1 N n 1 1 0 6 0,5 0 .07344210065 200 2 0 ,1 7 0,6 0 .116816584 3.000125004 10 3 3 0 ,2 8 0,7 0 .1753963673 9.503025759 10 3 4 0 ,3 9 0,8 0 .2523742135 0.02202467595 5 0 ,4 10 0,9 0 .3518301325 0.04262140863 11
Tính toán trên Maple : Khởi động chương trình : [> restart ; Khai báo vế phải của phương trình (hàm f): [> f:=(x,y)->x^2+y^2; f :  x, y   x 2  y 2 Khai báo bước nội suy h = 0,1: [> h:=0.1; h:=0.1 Khai báo công thức tính xn = x0 + n.h (với x0 = 0 ): [> x:=n->n*h; x : n  n h Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Euler cải tiến: [> y:=proc(n) option remember; [> y(n-1)+h/2*f(x(n-1),y(n-1))+f(x(n),y(n-1)+h*f(x(n-1),y(n-1)))); [> end; y := pro c (n ) o pti o n rememb er; y( n  1 ) 1/2h ( f( x( n  1 ), y( n  1 ) ) f( x( n ), y( n  1 ) h f( x( n  1 ), y( n  1 ) ) ) ) e nd pro c Khai báo giá trị ban đầu của y: [> y(0):=0; y(0) := 0 Lập dãy giá trị của y từ 0 tới 10: [> seq(y (i),i=0..10); 0, .000500000000,0.00300012500, .00950302575, .02202467594 4 9 , .0426214086 3.0734421006 5 .1168165840 .175396367 3 .252374213 4 , , , , , .351830132 5 Vào gói công cụ Phương trình vi phân DEtoo ls: 12
[> with(DEtools): Tìm nghiệm đúng của p hương trình vi phân nhờ lệnh dsolve: [> Sol:=dsolve({diff(Z(X),X)= X^2+(Z(X))^2,Z(0)=0},Z(X));   3 1  3 1   X   BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2   4 2 4 2   Sol : Z ( X )    1 1 1 1    BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2  4 2 4 2   Ấn định công thức nghiệm [> assign(Sol); Lập mảng để so sánh giá trị gần đúng (tính theo công thức Euler) và giá trị đúng   của phương trình (tính theo công thức nghiệm ): [> array([seq([n,y(n),evalf(subs(X=n/10,Z(X)))],n=0..10]);  0 0 0.   1  .0 0 0500 0 0000 0 0 .0 0 0333 3 3490 6 0    2  .0 0 3000 1 2500 4 .0 0 2666 8 6981 4      3  .0 0 9503 0 2575 9 .0 0 9003 4 7319 0      4 .0 2 1359 3 801 7  .0 2 2024 6 759 4     .0 4 1791 1 462 0   5 .0 4 2621 4 086 3   6 .0 7 2447 8 611 8  .0 7 3442 1 006 5     7 .1 1 5659 8 53 6  .1 1 6816 5 84 0     .1 7 4080 2 64 6   8 .1 7 5396 3 67 3   9 .2 5 0906 6 82 4  .2 5 2374 2 13 4      0  1 .3 5 1830 1 32 5 .3 5 0231 8 44 0  Kết q uả tính toán trê n Casio fx-570 ES hoàn toàn trùng khớp với kết quả tính toán trên Maple. H ơn nữa, chỉ cần với h=0.1, p hương pháp Euler cải tiến đã cho kết quả tốt hơn phương p háp Euler với h=0.05. Tương tự, ta cũng đi tính xấp xỉ nghiệm nhờ phương pháp Euler cải tiến trên Map le khi h=0,05 như sau. Khởi động chương trình: [> restart; Khai báo vế phải của phương trình (hàm f ): 13
[> f:=(x,y)->x^2+y^2; f :  x, y   x 2  y 2 Khai báo bước nội suy h = 0,05: [> h:=0.05; h:=0.05 Khai báo công thức tính xn = x0 + n.h (với x0 = 0 ): [> x:=n->n*h; x : n  n h Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Euler cải tiến: [> y:=proc(n) option remember; [> y(n-1)+h/2*f(x(n-1),y(n-1))+f(x(n),y(n-1)+h*f(x(n-1),y(n-1)))); [> end; y := pro c (n ) o pti o n rememb er; y( n  1 ) 1/2h ( f( x( n  1 ), y( n  1 ) ) f( x( n ), y( n  1 ) h f( x( n  1 ), y( n  1 ) ) ) ) e nd pro c Khai báo giá trị ban đầu của y: [> y(0):=0; y(0) := 0 Lập dãy giá trị của y từ 0 tới 20: [> seq(y (i),i=0..20); 0, .0000625000 000,0.0003750009 76,8.00118752363,4.00275019259 , 2 .00531344588 , .00912843247 , .01444766188 .0215259718 5 .0306218 8483 0 8 , , , .04199943062.05593052466 .07269800874 .0925994870 6 .1159521276 , , , , , .143098652 2.174414813 0 .210318759 0 .2512828469 .2978486637 , , , , , .350646340 8 Vào gói công cụ Phương trình vi phân DEtoo ls: [> with(DEtools): Tìm nghiệm đúng của p hương trình vi phân nhờ lệnh dsolve: [> Sol:=dsolve({diff(Z(X),X)= X^2+(Z(X))^2,Z(0)=0},Z(X)); 14
  3 1  3 1   X   BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2   4 2 4 2   Sol : Z ( X )    1 1 1 1    BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2  4 2 4 2   Ấn định công thức nghiệm [> assign(Sol); Lập mảng để so sánh giá trị gần đúng (tính theo công thức Euler) và giá trị đúng   của phương trình (tính theo công thức nghiệm ): [> array([seq([n,y(n),evalf(subs(X=n/20,Z(X)))],n=0..20]);  0 0 0.     .0000625000000 0 .000041666622 1  1 4     .000375000976 8 .000333334906 0 2    .00112502719 0  3 .00118752363 4     .00266686981 4  4 .00275019259 2      .0052093023 3 5 5 .00531344588 0 6   .00900347319 0  .00912843247 8   7 .0143018885 2   .0144476618 8    8  .0215259718 50  .0306218848 3 7 .0304344602 7  0213593801 9    .   1 0  .0417911462 0  .0419994306 2    1 1 .0557013376 2  .0559305246 6    .0724478611 8  1 2 .0726980087 4   1 3 .0923283103 6  .0925994870 6    1 4 .115659853 6   .115952127 6    1 5 .142785233 8   .143098652 2  1 6  .174080264 6  .174414813 0    1 7 .209963219 0   .210318759 0    1 8 .2 50906682 4  .251282846 9     1 9 .297452631 3  .297848663 7  2 0  .350646340 8 .350231844 0     Kết quả tính toán trên Casio fx-5 70 ES hoàn toàn trùng khớp với kết quả tính toán trên Maple. V ới cùng số bước lặp (n=20, h=0.05), phương pháp Euler cải tiến cho kết quả tốt hơn phương pháp Euler rất nhiều. Phương phá p Rung e-Kutta cấp bốn Ta có: f(x,y) = x2 +y2, x 0 = 0, y0 = 0, áp dụng công thức ta được : 15
2 2 k1  f  xn , yn   xn  yn 2 2 h hk   0.1   0.1k1   k 2  f  xn  , yn  1    xn     yn   2 2  2  2  2 2 h hk 0.1   0.1k2    k3  f  x n  , y n  2    xn     yn   2 2 2  2   2 2 k4  f  xn1 , yn  hk3   xn 1   yn  0.1k3  h 0.1  k1  2k2  2k3  k4   yn   k1  2k 2  2k3  k 4  và yn 1  yn  6 6 Khởi động chương trình: [> restart ; Định nghĩa yrk (tính y theo Runge-Kutta): [> yrk:='yrk'; yr k : = y r k Khai báo vế phải của phương trình (hàm f ): [> f:=(x,y)->x^2+y^2; f :  x, y   x 2  y 2 Khai báo bước nội suy h = 0,1: [> h:=0.1; h:=0.1 Khai báo công thức tính xn = x0 + n.h (với x0 = 0 ): [> x:=n->n*h; x : n  n h Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Runge-Kutta cấp bốn: [> yrk:=proc(n) [> local k1,k2,k3,k4; [> option rememb er; [> k1:=f(x(n-1),yrk(n-1)); [> k2:=f(x(n-1)+h/2,yrk(n-1)+h*k1/2); [> k3:=f(x(n-1)+h/2,yrk(n-1)+h*k2/2); [>k4:=f(x(n),yrk(n-1)+h* k3); [> yrk(n-1)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4) [> end; yrk := pro c (n ) 16
l o c al k1, k2, k3, k4; o pti o n remember; k1 := f( x( n  1 ), yrk( n  1 ) ) ; k2 := f( x( n 1 ) 1/2h , yrk( n  1 ) 1/2h k1 ) ; k3 := f( x( n 1 ) 1/2h , yrk( n  1 ) 1/2h k2 ) ; k4 := f( x( n ), yrk( n  1 ) hk3 ) ; yrk( n  1 ) 1/6h ( k 1 2k2 2k3 k4 ) e nd pro c Khai báo giá trị ban đầu của y: [> y(0):=0; y(0) := 0 Lập dãy giá trị của y từ 0 tới 10: [> seq(yrk(i),i=0..10); 0, .000333334895,8.00266687536, .0090034981 3, .02135944733 9 1 , .0417912884 8 .07244812485 .1156603048 .1740810040 .2509078684 , , , , , .350233741 7 Vào gói công cụ Phương trình vi phân DEtoo ls: [> with(DEtools): Tìm nghiệm đúng của p hương trình vi phân nhờ lệnh dsolve: [> Sol:=dsolve({diff(Z(X),X)= X^2+(Z(X))^2,Z(0)=0},Z(X));   3 1  3 1   X   BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2   4 2 4 2   Sol : Z ( X )    1 1 1 1    BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2  4 2 4 2   Ấn định công thức nghiệm [> assign(Sol); Lập mảng để so sánh giá trị gần đúng (tính theo công thức Euler) và giá trị đúng   của phương trình (tính theo công thức nghiệm ): [> array([seq([n,y(n),evalf(subs(X=n/10,Z(X)))],n=0..10]);  0 0 0.   1 .0 0 0333 3 3489 5 8 .0 0 0333 3 3490 6 0  2  .0 0 2666 8 7536 9 .0 0 2666 8 6981 4      3  .0 0 9003 4 9813 1 .0 0 9003 4 7319 0      4  .0 2 1359 4 473 3 .0 2 1359 3 801 7     5 .0 4 1791 2 884 8 .0 4 1791 1 462 0 17
    6 .0 7 2447 8 611 8  .0 7 2448 1 248 5     7  .1 1 566 0 3 04 8 .1 1 5659 8 53 6     .1 7 4080 2 64 6   8 .1 7 4081 0 04 0   9 .2 5 0906 6 82 4  .2 5 0907 8 68 4      0  1 .3 5 0233 7 41 7 .3 5 0231 8 44 0  So sánh các kết quả của phương pháp Runge-Kutta cấp 4 trong bảng trên với kết quả đã thực hiện theo phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến, ta thấy rằng phương pháp nà y cho kết quả chính x ác hơn tại mỗi điểm so với phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến. Với số bước ít (n=10, h=0.1) ta đã thu được kết quả tốt hơn phương pháp Euler cải tiến với số bước gấp đôi (n=20, h=0.05). H oàn toàn tương tự (với tha y đổi duy nhất trong chương trình là khai báo lại b ước nội suy h=0.05), ta có thể tính theo phương pháp Runge -Kutta với số bước n=20 (h=0.05) như sau. Khởi động chương trình: [> restart; Định nghĩa yrk ( tính y theo Runge-Kutta): [> yrk:='yrk'; y r k : = y rk Khai báo vế phải của phương trình (hàm f ): [> f:=(x,y)->x^2+y^2; f :  x, y   x 2  y 2 Khai báo bước nội suy h = 0,05: [> h:=0.05; h:=0.05 Khai báo công thức tính xn = x0 + n.h (với x0 = 0 ): [> x:=n->n*h; x : n  n h Khai báo thủ tục tính giá trị yn theo công thức Runge-Kutta cấp bốn: 18
[> yrk:=proc(n) [> local k1,k2,k3,k4; [> option rememb er; [> k1:=f(x(n-1),yrk(n-1)); [> k2:=f(x(n-1)+h/2,yrk(n-1)+h*k1/2); [> k3:=f(x(n-1)+h/2,yrk(n-1)+h*k2/2); [>k4:=f(x(n),yrk(n-1)+h* k3); [> yrk(n-1)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4) [> end; yrk := pro c (n ) l o c al k1, k2, k3, k4; o pti o n remember; k1 := f( x( n  1 ), yrk( n  1 ) ) ; k2 := f( x( n 1 ) 1/2h , yrk( n  1 ) 1/2h k1 ) ; k3 := f( x( n 1 ) 1/2h , yrk( n  1 ) 1/2h k2 ) ; k4 := f( x( n ), yrk( n  1 ) hk3 ) ; yrk( n  1 ) 1/6h ( k 1 2k2 2k3 k4 ) e nd pro c Khai báo giá trị ban đầu của y: [> y(0):=0; y(0) := 0 Lập dãy giá trị của y từ 0 tới 20: [> seq(yrk(i),i=0..20); 0, .00004166667 88,7.0003333349 6 3,7.00112502731,6.00266687038 , 2 .00520930346 , .00900347509,2.01430189176 .02135938501 .03043446755 2 , , , .04179115619 .05570135121 .07244787939 .09232833422 .1156598841 , , , , , .142785273 2 .174080314 6 .2099632826 .250906762 3 .2974527325 , , , , , .350231972 4 Vào gói công cụ Phương trình vi phân DEtoo ls: [> with(DEtools): Tìm nghiệm đúng của p hương trình vi phân nhờ lệnh dsolve: [> Sol:=dsolve({diff(Z(X),X)= X^2+(Z(X))^2,Z(0)=0},Z(X));   3 1  3 1   X   BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2   4 2 4 2   Sol : Z ( X )    1 1 1 1    BesselJ  , X 2   BesselY  , X 2  4 2 4 2   19
Ấn định công thức nghiệm [> assign(Sol); Lập mảng để so sánh giá trị gần đúng (tính theo công thức Euler) và giá trị đúng   của phương trình (tính theo công thức nghiệm ): [> array([seq([n,y(n),evalf(subs(X=n/20,Z(X)))],n=0..20]);  0 0 0.    1 .0000625000000 0  .000041666622 1 4     2 .000375000976 8 .00 03333349060   3  .00112502719 0 .00118752363 4    4  .00266686981 4 .00275019259 2    5 .0052093023 35 .00531344588 0   6  .00900347319 0 .00912843247 8    7 .0143018885 2  .0144476618 8     .0213593801 7  8 .0215259718 5   9 .0304344602 7   .0306218848 3    1 0 .0417911462 0   .0419994306 2    1 1  .0559305246 6 .0557013376 2      1 2 .0726980087 4 .0724478611 8    1 3 .0923283103 6   .0925994870 6    1 4 .115659853 6  .115952127 6     1 5  .143098652 2 .142785233 8     .174080264 6  1 6 .174414813 0   1 7 .209963219 0  .210318759 0     1 8  .251282846 9 .250906682 4      1 9 .297848663 7 .297452631 3   2 0 .350231844 0  .350646340 8    Các kết quả của phương pháp Runge-Kutta cấp 4 là tốt hơn rất nhiều so với kết quả đã thực hiện theo phương pháp Euler và p hương p háp Euler cải tiến với cùng số b ước (n=20, h=0.05) và tốt hơn phương pháp Runge -Kutta với số bước ít hơn (n=10, h=0.1). Các thao tác này có thể được coi là các chương trình mẫu để giải các bài to án khác (chỉ cần khai báo lại phương trình cần giải). Bài 2: Sử dụng phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến với độ dài 20