Toán 7. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Van Linh Hoan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

178
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán 7. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN

A. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH I. b b b �(x) + g(x) )dx = � + � (f f (x)dx g(x)dx Chú ý: a a a 2 2 x dx Bài 1 Tính I= x 2 − 7x + 12 1 Giải: 7x − 12 x2 A B f (x) = 2 =1+ =1+ + ( x − 3) ( x − 4 ) x − 7x + 12 x −3 x −4 Xét : A ( x − 4 ) + B ( x − 3) 7x − 12 A B = + = ( x − 3) ( x − 4 ) x − 3 x − 4 ( x − 3) ( x − 4 ) ( A + B ) x + ( −4A − 3B ) A = −9 = ( x − 3) ( x − 4 ) B = 16 Vậy: 2 2 2 2 �9 16 � 1 1 I = �− � = � − 9 � dx + 16 � dx + 1 dx dx � x −3 x −4� 1 x −3 x−4 1� 1 1 = ( x − 9ln x − 3 + 16ln x − 4 ) = 1 + 25ln 2 − 16ln 3 2 1 1 4x + 11 Bài 2 Tính I= x + 5x + 6 2 0 Giải: A ( x + 2 ) + B ( x + 3) 4x + 11 A B f (x) = = + = ( x + 2 ) ( x + 3) x + 2 x + 3 ( x + 2 ) ( x + 3) A=3 1 1 1 3 1 9 f (x)dx = � dx + � dx � I = ( 3ln x + 2 + ln x + 3 ) = ln 1 �� B =1 x+2 x +3 2 0 0 0 0 π 2 Bài 3 I = cos x cos 2x cos3xdx 0 Giải: 1 1 1 f (x) = cos2x ( cos4x + cos2x ) = ( cos4x cos 2x + cos 2 2x ) = ( cos6x + c os2x + 1 + cos4x ) 2 2 4
π π π π � � π π� π 2 2 2 2 1� � 1�1 1 1 2 I = � cos6xdx + � � cos4xdx + � cos2xdx � � � sin 6x + sin 4x + sin 2x + � = dx = 4� � 4�6 4 2 2� 8 0 0 0 0 0 � � π 2 sinx Bài 4 tính I = dx cos x + s inx 0 sinx − cos x � ( A − B ) cos x + ( A + B ) sinx sinx � f (x) = = A + B� = � cos x + sinx � x + sinx � cos x + sinx cos 1 π A=− π 2 � I = − 1 �+ sinx − cos x � = − 1 x + ln cos x + s inx π 2 ( )) 2 ( = � 1 dx � � 2 0 � cos x + sinx � 1 2 4 B=− 0 2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ II. Dạng 1 a = ϕ(t1 ) & b = ϕ(t 2 ) t1; t 2 + Chọn x = ϕ(t) dx = ϕ '(t)dt + f (x)dx = g(t)dt t2 b +� f (x)dx = � g(t)dt a t1 π + 1 − x 2 � x = sin t t �(0; ) 2 π 1 + x2 −1 x = t (0; ) sin t 2 2 x2 2 Bài 5 Tính I = dx 1− x 2 0 Giải: π Đặt x = sin t 0 t< 2 x=0�t=0 dx= cos tdt π 2 x= �t = 2 4 2 2 x sin t cos tdt 1 = ( 1 − cos2t ) dt dx = cos t 2 1 − x2
π π �π1 4 1 1� 1 4 ( 1 − cos2t ) dt = I= �− sin 2t � = − t 20 2� 2 �84 0 2 dx I= Bài 6 x x2 −1 2 3 π 1 Đặt x = 0
1 1 1 2 2 2 dt dt �1 1� I=� =� =� �− �= dt t − 5t + 6 0 ( t − 2 ) ( t − 3) 0 � − 3 t − 2 � 2 t 0 1 1 t −3 10 I = ( ln t − 3 − ln t − 2 ) 2 = ln = ln 2 t−2 9 0 0 e dx Bài 8 I = x ( 1 + ln 2 x ) 1 Đặt ln x = t x =1� t = 0 1 dx dt dt = �I= x = e � t =1 1+ t2 x 0 Đặt t = tan u t =0�u =0 1 π dt = du t =1� u = cos 2 u 4 1 π π du 4 π 4 π 2 I = � u 2 =� = u 0 = . cos du 4 1 + tan u 0 4 0 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN III. Chú ý: b b b Từ d(u.v) = udv + vdu � � = u.v a − � udv vdu a a b b I=� f (x)dx = � g(x)h(x)dx a a u = g(x) � du = g '(x)dx b b � I= uv a − vdu dv = h(x)dx v a π � � b b 2 Dạng � � P(x)sin xdx �P(x)cosxdx � Bài 9 x cos xdx � � a a 0 Đặt: u=x du=dx cos xdx = v v=sinx
π π π 2 π I = x sin x − sin xdx = ( x sin x + cos x ) = −1 2 2 0 2 0 0 1 b P(x)eαx dx x xe dx Dạng Bài 10 0 a Đặt u=x du = dx e x dx = v v = ex 1 − e x dx = ( xe x − e x ) = 1 1 x1 I = xe 0 0 0 π � αx � b b 2 Bài 11 I = e 2x sin 3xdx Dạng � sin βxdx �e cosβxdx � � αx e � � a a 0 Đặt u = sin 3x du = 3cos3xdx 1 dv = e 2x dx v = e 2x 2 π π π 2 Vậy I = 1 sin 3xe 2x − 3 e 2 x cos3xdx = 1 sin 3xe 2x − 3 J(*) 2 2 2 20 2 2 0 0 π 2 Xét J = e 2 x cos3xdx 0 Đặt u = cos3x du = −3sin 3xdx 1 dv = e 2x dx v = e 2x 2 π π π 2 Vậy J = � cos3xe 2x � + 3 e 2x sin3xdx = � cos3xe 2x � + 3 I(**) 1 12 2 � � � � 2 20 2 2 � � � � 0 0 Thay (**) vào (*) Ta có π π � � 1 3 �1 3� � 2x � � 2x � 2 2 I = � sin 3xe � − � sin 3xe � + I � 2 �2 � 2� 2 � � � � 0 0 π 3 − 2e 13 � 1 3 � 2 I = � sin 3xe 2x − sin 3xe 2x � � I = 4 2 4 13 � �0
b e P(x) ln xdx x ln xdx Dạng Bài 12 a 1 Đặt 1 u = ln x du = dx x 1 dv = xdx v = x2 2 e e e 1 �1 2 1 1� � � I = � x 2 ln x � − x dx = � x 2 ln x − x 3 � 2 � 21 2 6� � � 1 1 Câu lạc bộ Gia sư thủ khoa