Toán học - Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính: Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

187
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có kết cấu gồm 6 chương. Phần 2 Tài liệu gồm nội dung chương 4 trở đi. Nội dung phần này dành cho việc khảo sát các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng được gọi là Elliptic, Parabolic, Hypebolic thường gặp trong các lĩnh vực vật lý và cơ. Đây là những chương trọng tâm của Tài liệu. Sau mỗi chương tác giả có nêu một số bài tập ứng dụng trực tiếp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học - Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính: Phần 2

C H Ư Ớ N G IV PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC § 1 . - NGHIỆM S U Y RỘNG C Ủ A CÁC BÀI TOÁN BIÊN. CÁC BÀI TOÁN TRÊN CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG I . N G H I Ệ M SUY RỘNG VÀ NGHIỆM c ổ ĐIỂN CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN n Trong miền Q CR cho phương trình elliptic cấp hai u = div (k(x) Vu) - a(x)u = f(x), (1) trong đó các hệ số k(x), a(x) thực và thỏa mãn điều kiện a(x) 6 c (Q), k(x) e c (Sĩ), k(x) > k > 0 với Vx 0 G Q. Số hạng tự do f(x) và h à m u(x) cơ t h ể coi là hàm phức. Dinh nghía ỉ: 2 a. Hàm ư(x) e C (Q) n C(ỈD đxtợc gọi là nghiệm cổ điển của bài toán biên thứ nhất (hay bài toán Đirichlê) đối với phương trinh (1) nếu u(x) thỏa mãn (1) với mọi X £ Q và trên biên OQ bằng h à m ip(x) cho trước: u I =
2 b. Hàm u(x) e c (Q) n CHU) được gọi là nghiệm cổ điển của bài toán biên thứ ba đôi với phương trinh (1) nếu u(x) thỏa mãn (1) với mọi X e Q và + x u 5 8 x í 3 ) ( £ °< > ) L u * > . với ơ ( x ) G C ( 0 Q ) ; 0. Nếu ơ(x) = 0 thì bài toán biên thủ ba được gọi là bài toán thứ hai (hay bài toán Nôi-man) Ta có nhận xét ràng: Nếu hàm số fe L (Q) 2 thì nghiệm cổ điển (u(x) của bài toán Dirichlê và thuộc 1 không gian H (Q) sẽ thỏa mãn đồng nhất thức tích phân: / (k(x)Vu VỸ + auv)dx = - / fvdx (4) Ú ú o với mọi V e H^Q). Thật vậy, giẳ sử u(x) là nghiệm cố điển của bài toán Đirichlê. Khi đó u(x) thỏa mãn (1),(2) và nếu ta nhân hai l vế của (1) với hàm v(x) G C (Q) sau đó lấy tích phân theo Q, đồng thòi sử dụng công thức Otstrôgratski ta sẽ nhận được đẳng thức (4). vì C'(Q) trù một khắp nơi lì trong không gian H'(£2) nên đẳng thức (4) đúng với mọi o l hàm V e U (Q). Chúng ta sẽ đưa vào định nghĩa về nghiệm suy rộng. Định nghía 2: Hàm u(x) e H'(S2) được gọi là nghiệm suy rộng của 102
bải toán Đirichlê đ ố i với p h ư ơ n g t r ì n h (1) với í Ễ L 2 (Q) nếu u(x) thỏa mãn (4) đ ố i với m ọ i h à m V e H 1 (Q) và thỏa mãn điều kiện (2). Đẳng thức (2) được hiểu là sự b à n g nhau t r o n g L i t í ỉ ) và u | là v ế t của h à m u. Từ nhộn xét trên ta thặy rõ r a n g khái niệm nghiệm suy rộng không hoàn toàn là sự mở r ộ n g của khái niệm nghiệm cố đ i ê n vì đ ể n g h i ệ m cố đ i ể n là n g h i ệ m suy rộng còn cần bố sung thêm điêu kiện "Đặc trưng tích phân". Cụ thể: u E H'(Q) và u e L (íỉ). 2 Định nghía 3: 1 Hàm u G tỉ (Q) được gọi là nghiệm suy rộng của bài t o á n biên thứ ba (hay thứ hai Tịếu ơ(x) = 0) đ ố i với phương trình (1) khi f e L-> (Q), ip 6 1*2 (OQ) n ế u u(x) thỏa m ã n đòng nhặt thức: / ( k ( x ) V u V v + auv)dx + / k ( x ) ơ ( x ) u v d S Lì Ha f fvdx + / k ( x ) f (x)vdS Q Hì trong đó V 6 HUQ) bặt kỳ. Tương tự như trên ta có thể thặy: nếu v ế p h ả i f(x) của phương trình (1) thuộc L-,(Q) và h à m (p(x) G L 2 (Í)Í2) thì n g h i ệ m cổ đ i ể n của bài t o á n b i ê n t h ứ ba (hai) đ ố i với phương trình (1) thuộc H ' ( Q ) là n g h i ệ m suy r ộ n g của các bài t o á n b i ê n này. Rỏ ràng khi định nghĩa nghiệm suy rộng hàm v(x) trong đòng nhặt thức (4) và lõ) đã được giả thiết là phức. T u y nhiên c ũ n g có thê* coi là h à m thực. T h ậ t vậy, 103
xét trong (4) nếu hàm u e H'(£3) thỏa mãn với m ọ i V 1 1 £ H ^ ) thỏa m ã n với m ọ i V ẹ H (Q) phức thì n ó thỏa mãn với m ọ i hàm thực V £ H'(£>). Ngược l ạ i nếu u G li H ' ( Í 2 ) , t h ỏ a m ã n (4) v ớ i m ọ i h à m thực V e H'(Í2). K h i đó, đ ẳ n g thức x ả y ra v ớ i m ọ i h à m phức V = Rev + i o l I m v thuộc H ( Q ) vì n ó đ ã đ ú n g với Rev và Imv. Nghiên cứu các nghiệm cổ đ i ể n của c á c bài t o á n biên là một bài toán phức tạp và được chia thành hai bài toán đơn giản hơn: Đâu tiên hãy xây dựng nghiệm suy rộng sau đó thiết lập độ trơn cùa chúng và chứng minh nó là nghiệm cờ điển. Việc chứng minh tính trơn cùa nghiệm suy r ộ n g sẽ được nghiên cứu ở c h ư ơ n g sau. Trong mục này ta sẽ làm sáng tỏ nghiệm suy rộng cùa bài toán. 2 - Sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM SUY RỘNG CỦA CẤC BÀI TOÁN TRONG TRƯỜNG Hộp DON GIÀN. C h ú n g ta hãy xét bài toán biên trong trường hợp các điều kiện biên thuần nhất (tức là h à m
/ ( k V u V v + auv)dx + / kcruvdS = - / f v d x (5') ấ au Q £>ịrc/i /ý i : Nếu a(x) > 0 trong Q thì với m ọ i f e L-,(Q) b à i toán (1), (2) (khi /> = 0) có n g h i ệ m suy rộng day n h ấ t u(x). H ơ n nữa: s C f IMIn>(Q) M ỉlu(«) , (6) trong đó c = const > 0 k h ô n g p h ụ thuộc f. Chứng minh: v i a(x) > 0 trong Q nên trong không o gian H ' ( Q ) có t h ể đ ư a v à o m ộ t t í c h vô h ư ớ n g m ớ i t ư ơ n g đương với tích vô hướng thông thường ((u,v) = / (VuVv+uv)dx) sau: ố u v ( > ) t'l'tur / ( k V u V v + auv)dx , (7) lì Với tích vô h ư ớ n g (7) đồng n h ấ t thức (4') n h ậ n dạng: ( 8 ) (u.v) t v u r - ( * » ! . ( " ) ( 2 Rõ ràng: v |.(f,v)|. a>) 2 Ị £ ợ I fợ ợ l-2(«) II I 112(G) s . c ị ị fị ị L 2 ( Q ) I I v i I H ' ( O ) với c = const k h ô n g p h ụ thuộc v à o f. Như vậy với f £ L,(Q) cố đ ị n h t h ì ( f , v ) | Q£ị là p h i ế m h à m t u y ế n t í n h bị chặn và có chuẩn không vượt qua C||f||| đã được li) cho t r ê n H ' ( Q ) , V G H'('Q). Nhờ định lý R í t t a nhận được t ồ n t ạ i duy nhất hàm 105
Fị e H'(Q) sao cho - < f , v ) ị i ( t ỉ ) = 'Fị.v) l M ( U ) và ||Fị||ì|l ( í ỉ ) < C||f||,, ( U ) . Nghĩa là h à m F , thỏa mãn (8). Đ ị n h lý được c h ứ n g minh -Định lý 2: N ế u a(x) > 0 trên Q và một trong hai hàm a(x) hay ơ ( x ) k h ô n g đông nhất b ằ n g 0 t h ì với f G L (Q) 2 b ấ t kỳ, b à i t o á n biên ( l i (3) c ó n g h i ệ m suy r ộ n g duy n h ấ t u . H ơ n n ữ a . c f I I « I I H » ( Q ) - M ll.. 2 (U)). t r o n g đ ó c = const > 0 k h ô n g p h ụ thuộc v à o f. Chứng minh: G i ả sử a(x) > 0 t r o n g Q v à hoặc a(x) 1 = 0 hoặc a(x) = 0. K h i đ ó t r o n g H (Q) t a x é t c h u ể n tương đương với chuển t h ô n g t h ư ờ n g sau đây: = ( U > V ) H ' ( Q ) / ( k V u V v + auv)dx + / k ơ u v d s Q Âu K h i đ ó , đ ồ n g n h ấ t t h ứ c (5') có t h ể b i ể u d i ễ n dạng: u v f v ( ' )n'(S2) = -( . )L (íì) 2 v Vi f e L«2(CỈ) cho t r ư ớ c nên phiếm hàm (f, )| được cho t r ê n H ' ( Q ) l à bị c h ậ n : |(f,v)L2(«)Ị s | | f | | L 2 ( M ) ỉ | v | | L 2 ( U ) ắ C Ị Ị f | | L 2 (U)ỊỊv| với c = const k h ô n g p h ụ t h u ộ c f v à V. Theo định lý R í t ,,.tồn tại hàm F 2 e H'(Q) và: f v ( ' )l. (Q) - 2 - ( F 2 » V ) H ' ( Í 2 ) 106
Ngoài ra, F 2 là duy nhất, I | F | | 1 2 H ( Q ) < CỊ | f | I ^ Q ) Do đó trong H'(S2) tôn t ạ i duy nhất hàm u = F 2 thỏa m ã n đông nhận thức ( ố ) . Định lý được chứng minh. 3 - H À M RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG Định nghía 4: H à m u(x) * 0 được gọi là hàm riêng của bài toán biên t h ủ nhất đối vái toán tử div (k(x)Vu) - a(x) nế u tòn t ạ i số Ả sao cho hàm u(x) là nghiệm cổ điển của bài toán sau: u, X e Q (8) (9) u|
Số Ả được gọi là giá trị riêng (tương ứng với hàm riêng suy rộng u(x)). Ta có t h ể coi l i u l i , (Q) = 1. Hàm u(x) * 0 được gọi là hàm riêng của bài toán biên thứ ba (hoặc thứ hai) đối với toán tử V . nếu tồn t ạ i số Ả (giá trị riêng ứng với u(x)) sao cho h à m u(x) thuộc H'(£2) thỏa m ã n với mọi V e H'(Q) đồng nhất thức sau: / (kVuVv + auv)dx + / k ơ u v d s = -À/uvdx (li) lì kì ú ta sẽ coi là I Iu ị | ị _ 2 ( U ) = 1. Nhận xét rỉng nếu u(x) là h à m riêng của các bài toán biên và Ả là giá trị riêng tương ứng thì đối với hài li toán biên thứ nhất càn thêm giả thiết uíx) e i l ' . ' . j ) và đối với bài toán biên t h ứ ba (hai) thêm giả thiết. u(x) G H'(i2). Khi đó u(x) sẽ là hàm riêng suy rộng và Á là giá trị riêng suy rộng của các bài toán biên tương ứng. Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ xét các hàm riêng và giá trị riêng suy rộng và ở đây không giả thiết a(x) > 0. Giá sử: m = min a(x). Ta đật: a(x) = a ( x ) - m + 1 > Ì trong xen Q. o Khi đó, trong H ' ( f ì ) ta xét tích vô hướng (tương đương với tích vô hướng thông thường) sau: ( U . V ) M ' ( Q ) = /(kVuVỤ + ãuv)dx, (12) Ũ 108
v à t r o n g H ' ( Q ) t a c ũ n g x é t tích vô h ư ớ n g : v (u> )n'(U) = / ( k V u V v + ãuv)dx + / k ơ u v d S (13) h kì Với tích vổ h ư ớ n g f 12), (13) t h ỉ đ ồ n g n h ấ t thức (10), (111 có d ạ n g : u v u v ( ' )ii'a>) = (~^ - m + 1 )í ' )i. (U) 2 < 1 4 ) Và: m + 1 u v 15 (». )||'(U) = ( - ^ - V )( » )L (a) 2 < > Ta n h ậ n đ ư ợ c c á c b ố đ ề sau: Bổ dô 1: Tồn t ạ i toán tử tuyến tính bị c h ặ n A từ li o L^IỈỈI v à o H ' ( Q ) sao cho v ớ i m ọ i V G H ' ( Í 2 ) x ả y r a động thức: u v ( > )l (ía) = (Au,v)ị"i 2 ( U ) Toán t ử A có toán t ử ngược A " . N ế u x é t A n h ư là 1 o o toán tử từ ĩ V ( í ì ) v à o H'(£2) t h ì A là t ự liên hợp, đ ư ơ n g và h o à n toàn Ì ị n tục o Chứng Minh Ví Ì l i e ĩ.,(lì) cố định, V e H'(Q), đột Kv) = 1(V) - (U,V)| , ,,J t a có đ á n h giá: ,(A)| = | ( n * A ) ^ | < ||„||r*e)|| A ||rS(nU | c H |^ta)| N |Hr. Do đó, phiếm h à m Kv) t u y ế n tính, bị c h ậ n và theo 109
định lý Rít tòn t ạ i duy nhất. hàm F e H'(Q), I |F| ||'|i ( í i ) = ||1|[ < C||U||L 2 ( ỉ 2 ) sao cho l(v) = (Q). N h ư vậy có thể chứn được dãy cơ b ả n u , s s = 1,2,. . trong LT(Q). V Ì A tuyến tính liên tục nên dãy Au , s s = 1 , 2 ... cơ bản t r o n g H H Q ) . B Ổ đ ề được c h ứ n g minh. no
Bổ đĩ 2: Tồn tại toán tử tính liên tục A' từ L (Q) 2 vào H'(£2> sao cho với mọi V Ẽ= H ' ( Q ) thì: U V 1 7 ( ' )L (Q) 2 = (A'U-^HVQ)- ( > Toán t ử A' có t o á n t ử n g ư ợ c À'" . N ế u coi A ' n h ư 1 là toán tử }ĨUQ) vào ¥L\Q) thì A ' là t ự liên hợp, dương và hoàn toàn liên tục. Việc chứng minh được tiến hành tương tự chứng minh bố đề 1. N h ờ bổ đ ê Ì và bổ đ ề 2 đ ồ n g n h ấ t thức (14), (15) có o thể viết. d ư ớ i d ạ n g p h ư ơ n g t r i n h toán tử trong H ^ Q ) và ỉíHQ) như sau: Ì A u = —Ị—I ru, ' u G H'(Q), (18) - Ẩ - m + 1 1 Au = • -ru, u G H^Q). (19) Như vộy, số Ả là giá t r ị r i ê n g của bài t o á n biên thứ nhất (tương ứng thứ ba) đ ố i với ^ và u là hàm riêng suy rộng tương ứng khi và chỉ k h i - (Ả + ni - 1) là số đặc trưng của toán tử hoàn t o à n liên tục, t ự liên hợp A: 11 li H'(Q) - H'(Q) ( t ư ơ n g ứ n g À': H ' ( Í 2 ) - H'(Q)) còn u là p h ầ n t ử r i ê n g t ư ơ n g ứ n g của nó. Từ kết qua đã biết ta rút ra khẳng định: Tộp hợp các giá trị riêng của bài toán biên thứ nhất (ba) là không qua đếm được. Tộp hợp này không có điểm giới hạn hữu hạn; c á c giá trị r i ê n g là t h ự c B ộ i của c á c giá trị IU
riêng là hữu hạn. Các hàm riêng được-1-hiÌ hỏi các giá trị li riêng khác nhau thì trực giao với nhau trong H'(Q) (hay l H (ữ)). Từ khẳng định này người ta chứng minh được định lý sau đây: Định lý 3: Các giá trị riêng Ả ị, A->,... của bài toán biên thứ nhất hay thứ ba (hai) đối với toán tử là thực và A s -» -00 khi s -* oe. (ìlá trị nông của bài toán thứ nhất và thứ ba khi ơ ^ 0 cũng như bài toán biên thứ hai ( 0 trong Q. Bây giờ chúng ta xét trong trường hóp tổng quát. Giả sử m'= min a(x). Ta viết (4') và (5'ì dưới dạng: xen 112
u v ( > )n'(Q) + ( - l ) ( u , v ) , m 2 ( ỉ 2 ) = (f,v)L 2 ( Q ) (20) (u.v)n»(H) + (m-l)(u,v)j = (f,v)| 2 ( Q ) , (21) (I trong đó tích vô hướng trong H'(Q) và H'(Í2) đưựoc xác aịnh bằng công thức (12) và (13). Do bổ đề Ì và 2 các đồng nhất thức (20), (21) tương đương với các phương trình toán tử: u + (m - 1) Au = - Af, (22) u + (m - 1) A'u = - A'f, (23) ở đây A và A' là toán tử hoàn toàn liên tục. Do vậy ta có t h ể xử dụng các định lý Fredhom đ ể nghiên cứu các phương trình này. Định lý 4: Nếu số 0 không là giá trị riêng của các bài toán biên (1), (2) và (1) (3) thì với mội f 6 L (Q') 2 bài toán biên tương ứng tồn t ạ i và duy nhất nghiệm suy rộng u(x). Hơn nữa: I lui £ c| |f| I L 2 ( Í 2 ) trong đó c = const > 0 không phụ thuộc f. Chứng minh; Giả sử 0 không phải là giá trị riêng của bài toán biên thứ nhất (hoặc ba) đối với toán tử Khi đó số ( - ni + 1) không là số đặc t r ư n g của toán tử A (hoặc A'). Theo định lý thứ nhất Fredhom phương trình (22) hoặc 23) giải được đơn trị với mội f G L (Q) 2 và có đánh giá: I lui IH«(D) =S c,| |Af| I , " • ( „ ) < G I |f| | , 2 ( S Ì ) hoặc 113
C I M \u\u) - I in Ii.. (í2)> 2 với c > 0, không phụ thuộc f Định lý được chứng minh Định lý 5: G i ả sử số 0 là giá trị riêng của bài toán biên thứ nhất hoặc t h ứ 3 (thứ hai) đ ố i với t o á n từ . Khi đó, điều kiện càn và đủ để bài toán (lì, (2) hoặc (1), (3) tồn tại nghiệm suy rộng khi các điều kiện biên thuựn nhất (
( (hoặc H'(Q)). Hơn nữa, I |u| |ị |l ( í 2 ) < c ||f||| ( ) U (hoặc U c f v ớ i c c o n s t 0 M II||'(U) - M l li. (i>)> 2 = > không phụ thuộc f. Nghiệm bất kỳ của (22) (23)) được biểu diễn dưới dạng tống của nghiệm u và tổ hợp tuyến tính của các h à m Up. Từ định nghĩa của toán tầ A và A' suy ra (f, p)[. ( Í 2 ) u li = 0 trong H ' ( Q ) (hay H'(Q)) và: u u = ( 1 m ) ( . p)ì"'(«) - (Au,Up)í|i ( U ) - (Af,u ) i p M ( U ) = = 0 = ( l - m ) ( A u , u ) i ( U ) = (l-n»)(u,«p)L («) p H 2 Ì u u và (u>Up)|.,(íì) = - j r ^ ( > p)n'(U) Như vậy định lý đã được chứng minh Ì ... . . . t ư ơ n Do định lý 3 h à m riêng ^ I Q Ị Ể ứng với giá trị riêng 0 của bài toán biên thứ hai (a = 0) đói với toán tầ JC khi a = 0 nên từ định lý 5 ta nhận được định lý sau: Dinh lý 6: Diều kiện cần và đủ để bài toán: div(k(x)Vu) = f, ^ 1 = 0 (in I mì có nghiệm suy rộng là: 115
/ fdx = 0. h Với giả thiết này bài toán có nghiệm suy rộng duy nhất u thỏa m ã n điều kiện / udx = 0 và có đ á n h giá: a IMIu'dD^CIIfll^n) trong đó c = const > 0 không phụ thuộc f. Hơn nữa, nghiệm suy rộng bất kỳ u của bài toán này được biểu diễn dưới dạng u = u + C j , Cj = Const. 5 - BÀI TOÁN BIÊN T H Ử NHÁT ĐỐI VÓI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TựNG QUÁT Các kết qua trong mục trước có t h ể mở rộng cho các phương trình elliptic tổng quát hơn. ỏ đây, ta sẽ mở rộng cho phương trình elliptic cấp 2. Xét bài toán biên: n n £ H " E ả( * S;) 2 i( >t i.j=l a (x) + i=l a x a(x)u - x e o (24) ui = 0 (25) I rin trong đó ajj(x) G C'(Ĩ2), a,(x) 6 CHU), a(x) e C(ĩĩ), ì, j = 1,2... n và thực, ma t r ậ n [aịj(x)] đối xứng và xác định dương. 116
Tính elliptic của phương trinh (24) tương đương với điều kiện: với mọi X G Q, hàng số V > 0 nào đó xảy ra bất đẳng thức: •I li 2 ajjtoljfj > v ^ ỉ f , V | = (!„...£,) e R") i.j=l 4=1 2 H à m u(x) e C (Q) n C(Q) thỏa m ã n (24), (25) được gọi là nghiệm cổ điển của bài toán (24), (25). o J Dinh nghía 7: H à m u G H ( Q ) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (24), (25) với f e L«2(Q) nếu với o mọi V e H'(Q) đồng nhất thức tính phân sau đây thỏa mãn T Y ,aijU jV jdx X X + s aiVxị + ( 2 ai j-aW X dx = - / f v d x i=l i=l h « i.j = i (26) Rõ ràng, nếu f e L-.(Q) thì nghiệm cổ điển của bài toán là nghiệm suy rộng của nó. o Trong không gian H'(Í2) ta có t h ể đưa vào tích vô hướng sau đây: (tương đương với tích vô hướng thông thư ng):. n / 2 = 1 o '-j Khi đó. (26) chuyển thành: li:
U V U ( > )H'(Q) + ( > 2 Vxi + ( 2 a . ix - a) v) = i=l i=l 2^ ' = -(*»L (i2) 2 • (27) B ố cíè 3: Giả sử a (x), aj(x)... a (x) là các hàm liên D n tục tùy ý trong Ĩ I . K h i đó, tồn t ạ i toán t ử tuyến tính bị o chặn A t ừ L ( í ỉ ) vào H ' ( Q ) sao cho: 2 n n (u, 2ajV Xj + a v) 0 L ( a ) = (Au,v)„l ( Q ) v ố i Vv G H ' ( Q ) n Hơn nữa, nếu A được xét như là toán tử từ H ' ( Q ) o vào H ' ( Q ) thì A là hoàn toàn liên tục. Chứng minh: Với u e L (Q), xét phiếm hàm xác định 2 o trên H'(Q): l(v) = (u, ỵ a j v X j + a v) 0 L (£2) 2 i= Ì Rõ ràng l(v) tuyến tính và giới nội: n |l(v)! í I lui | , . 2 ( Q ) | 12 +v i | L 2 ( Q ) < C| lui I L 2 ( í 2 )I |v| 1=1 trong có c = const > 0 không phụ thuộc V . Do vậy, theo o định lý Rít tồn t ạ i h à m F G H ' ( Q ) sao cho: l(v) = , 1 1 8
(F,V),",I ( Í Ì ) vôi Vv E H'(Q) và | | F | | H 1 ( Q ) = SCI lull, ( ỉ ỉ ) Toán tử A từ L (Q)2 vào H ' ( Q ) được xác định bởi A u = F. Khi đó A tuyến tính,, I |A| I < c và với V u e o L ( Q ) , Vv G H ' ( Q ) 2 có: n 0 (u, ỵ a ị v X j + a„v) = (Au,v), ,i ( U ) 2 V i = i ' ' ti li Nếu A được coi n h ư toán tử t ừ K (Q) l H > H (Q) l thì A là h o à n toàn liên tục. Thật vậy, ta l ấ y t ậ p bị chặn t ù y ý n trong H ' ( Ễ Ì ) thì tập n à y compắc t r o n g Ln(fì) (xem chương H I ) . K h i đ ó , t ừ d ã y vô h ạ n b ấ t kỳ c á c p h ầ n t ử cểa n ò ta có t h ế r ú r a m ộ t d ã y con cơ b ả n t r o n g L ( Q ) . V i A : 2 tì WQ) -» H'(Q) bị chặn (do đó liên tục) nên A chuyển (Ì dãy con này thành dãy cơ bản cơ bản trong H'(Í2). Do li o đó t o á n tử A từ H'(Q) và H ' ( Q ) hoàn t o à n Hên tục. Bố đ ê được chứng minh Bây giờ, ta xét đòng nhất thức- (27). vỉ với V G H'(Q) 5 c ị ( ' )l. (U) f V 2 I l in l|. (U) • 2 Il v l ln'(U) 119
0 nên theo định ri/ lý Rít t ồ n t ạ i duy nhất h à m F G H'(Q) sao cho: (ì v (f. )i. (a) = ( * > ) „ 2 1 ( Í Ỉ ) , Vv e Hri/ '(Q) và ||F||H» ( Q )ắC||f|| L ỉ ( O Ì Đồng thời, á p dụng bổ đ ề 3 với a|(x), a (x) là hệ n n a a SỐ của phương trình (24) và h à m a (x) = X i x " thi (1 1 i=l (24) có t h ế viết chuyển sang dạng phương trinh toán tử o trong không gian H ^ Q ) : u + Au = F, u e H ' ( Q ) (28) n Ì Bổ đè 4: Nếu ị 2 i x a - a > 0 trong Q thì phương 1 = 1 trình thuần nhất (28) (t c là F = 0) chỉ có nghiệm tàm thường. Chứng minh: Giả sử u là nghiệm phương trinh u + Au = 0. Ta suy ra u I l l IM'(Sì) + (Au,U)ìji (Q) = 0, v à do đ ó : M u i 1 ^ 1 ( 0 ) + Re(Au,u)Hl (O) = 0 120