Về nghiệm nhớt của một dạng phương trình Hessian tại miền ngoài

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Về nghiệm nhớt của một dạng phương trình Hessian tại miền ngoài trình bày về khái niệm nghiệm nhớt của bài toán Dirichlet đó tại miền ngoài và kết quả về sự tồn tại nghiệm nhớt đối với bài toán đó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về nghiệm nhớt của một dạng phương trình Hessian tại miền ngoài

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 VỀ NGHIỆM NHỚT CỦA MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HESSIAN TẠI MIỀN NGOÀI Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG (xem [3], [4] và một số tài liệu tham khảo Trong báo cáo này, tôi xét bài toán Dirichlet trong các bài báo đó). cho một dạng phương trình Hessian tại miền  Đặt:  k     n |  j (  )  0, j  1,2,...,k , ngoài. Tôi sẽ trình bày về khái niệm nghiệm dễ thấy nếu    k thì các hoán vị của  nhớt của bài toán Dirichlet đó tại miền ngoài cũng thuộc  k , và do đó  k là nón đối xứng. và kết quả về sự tồn tại nghiệm nhớt đối với Khi k  1 thì  k là nửa không gian: bài toán đó.    n  | 1  2    n  0 . 2. NỘI DUNG BÁO CÁO Còn nếu k  n , khi đó  k trở thành nón 2.1. Đặt vấn đề dương: Trong báo cáo này, tôi xét bài toán       n | i  0, i  1,2,..., n. Dirichlet cho phương trình Hessian tại miền Những định nghĩa sau đây sẽ được sử ngoài có dạng dụng trong báo cáo này.     k ( D 2u )  a, x   n \  (1) Định nghĩa 1.1 ([3]) Hàm u  C 2   n \   u( x )   ( x ), x   (2) được gọi là k  lồi nếu  ( D 2u )   k với mọi ở đây    n là miền bị chặn và 0   , x   n \ .   C 2    , a là số thực dương cho trước. Từ định nghĩa về nghiệm nhớt của phương Hơn nữa: trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 2 (xem    k  ( D 2u )   i1 ...ik , k  1,2,...,n trong [2]) tôi đề xuất định nghĩa nghiệm nhớt i1...ik cho bài toán (1)-(2) như sau: là các đa thức cơ bản đối xứng bậc k của Định nghĩa 1.2   D 2u    1 ,..., n  : các giá trị riêng của ma a) Hàm u  C 0   n \   được gọi là trận Hessian D 2u. nghiệm nhớt dưới của (1) nếu với Phương trình Hessian (1) là một lớp y  n \  ,   C 2 (  n \  ) thỏa mãn phương trình quan trọng của lớp các u ( x)   ( x), x   n \ ; u ( y )   ( y ), thì ta có phương trình elliptic hoàn toàn phi tuyến. Khi k  1 thì phương trình (1) trở thành  k   ( D 2 ( y ))   a. phương trình Poisson u  a , với k  n thì b) Hàm u  C 0   n \   được gọi là (1) chính là phương trình Monge-Ampere det( D 2u )  a . Đã có nhiều kết quả nghiên nghiệm nhớt trên của (1) nếu với y   n \  , cứu về phương trình Hessian tại miền trong hàm k  lồi   C 2 ( n \ ) thỏa mãn 82
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 u ( x)   ( x), x   n \ ; u ( y )   ( y ), thì ta có và điều này mâu thuẫn với giả thiết u là   k ( D 2 ( y ))  a.  nghiệm nhớt dưới. 2.2. Kết quả chính c) Hàm u  C 0   n \   được gọi là Kết quả chính của báo cáo nói về sự tồn tại nghiệm nhớt của (1) nếu u vừa là nghiệm nghiệm nhớt cho bài toán Dirichlet đối với nhớt trên vừa là nghiệm nhớt dưới của (1). phương trình Hessian tại miền ngoài (1)-(2) d) Hàm u  C 0   n \   được gọi là và được phát biểu trong đinh lý dưới đây. nghiệm nhớt dưới (t.ư. nghiệm nhớt trên) Định lý 2.1 Với n  3 ,    n là miền của bài toán (1)-(2) nếu u là nghiệm nhớt C 2 bị chặn và lồi ngặt,   C 2 (  ) . Khi đó dưới (t.ư. nghiệm nhớt trên) của (1) và với x0   , tồn tại c0  0 sao cho với c  c0 u ( x)   ( x) (t.ư. u( x )   ( x )), x   . sẽ tồn tại hàm chấp nhận được Định nghĩa 1.3 ([3]) Hàm u  C 0   n \     u  C 0  n \  thỏa mãn (1)-(2) theo nghĩa được gọi là k  lồi theo nghĩa nhớt nếu: nhớt và  j   ( D 2u )   a trong  n \  , j  1,2 ,...,k. n2 R 02  lim sup x u( x )   x  x  c    Từ Định nghĩa 2.5 trong [1], ta cũng có x  2  định nghĩa tương ứng với trường hợp cụ thể trong đó R là hằng số thỏa mãn: trong báo cáo này về hàm chấp nhận được.  k  R,R,...,R   a. Định nghĩa 1.4 Hàm u  C 0   n \   được Để chuẩn bị cho chứng mình kết quả gọi là chấp nhận được nếu với y   \ , n chính, chúng ta cần một số kết quả bổ trợ   C 2 ( n \ ) thỏa mãn u( x )   ( x ), trong các mệnh dề sau, các mệnh đề này được coi như các hệ quả của các mệnh đề  u( x )   ( x ) , x   n \  , u ( y )   ( y ), 2.6, 2.7 và 2.8 trong [1]. thì ta có   D 2 ( y )    k . Mệnh đề 2.2 Cho  là miền bị chặn, lồi Nhận xét: Dễ thấy rằng, nếu u là nghiệm chặt trong  n ,   C 2 và   C 2 (  ) . Khi nhớt dưới thì u là hàm chấp nhận được. Mặt đó tồn tại hằng số C  C (n, , ) sao cho với khác, giả sử tồn tại y   n \  và hàm mỗi    , tồn tại x ( )   n sao cho   C 2 ( n \ ) sao cho u( x )   ( x ), x(  )  C ,  ( x )   ( x ), x   \    u( x )   ( x ) , x  n \  và u ( y )   ( y ) ở đó: nhưng   D 2 ( y )    k . Khi đó do:  ( x )  (  )  R 2  2  2 x  x(  )    x(  ) ,    2  với x   n .   D2   ( x )  x  y     2   x y Mệnh đề 2.3 Cho  là miền mở trong   n  . Giả sử rằng các hàm chấp nhận được   D 2 ( y )   I   k v  C 0 (), u  C 0 ( n ) thỏa mãn tương ứng với  đủ lớn, ta có thể chọn  0 sao cho:    2     k ( D 2v )  a, x   ,   D 2   ( x )  0 x  y     k .   2   x y k  ( D u )  a, x   . 2 n    2  Hơn nữa u  v, x  ; u  v, x  . Đặt Khi đó  k  D 2   ( x)  0 x  y    0   2   x y v( x ), x   ( x )   n u( x ), x   \  . 83
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 Khi đó   C 0 ( n ) là hàm chấp nhận được Bước 2: Chứng minh u ( x)   ( x), x  . và thỏa mãn theo nghĩa nhớt Bước 3: Chứng minh u là nghiệm nhớt  k   ( D 2 )   a, x   n . của bài toán (1)-(2). Mệnh đề 2.4 Cho B là hình cầu trong 3. KẾT LUẬN  . Giải sử u  C 0 ( B ) thỏa mãn theo nghĩa n Báo cáo là một mở rộng các kết quả trong nhớt    k  ( D 2u )  a, x  B. Khi đó bài [1]. Bên cạnh đạt được kết quả về sự tồn tại toán Dirichlet nghiệm nhớt cho bài toán cho bài toán    k  ( D 2u )  a, x  B  Dirichlet (1)-(2) đối với phương trình Hessian tại miền ngoài ta cũng nhận được u( x )  u( x ), x  B dáng điệu của nghiệm khi x  . có duy nhất một nghiệm nhớt chấp nhận được u  C 0 ( B ) . 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO Chứng minh Định lý 2.1. Chứng minh [1] X. Meng, Y. Fu, (2016), Existence of Định lý 2.1 được chia thành nhiều bước và viscosity solutions with asymptotic mỗi bước được tính toán rất dài, do đó báo behavior of exterior problem for Hessian cáo chỉ nêu tóm tắt sơ đồ chứng minh của equations, J. Nonlinear Sci. and App. Vol. 9, pp 342 - 349. định lý. [2] M.G. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions, (1992), Bước 1: Xây dựng nghiệm nhớt dưới của User’s guide to viscosity solutions of bài toán (1)-(2). second order partial differential equations, x  x0 Bull. Amer. Math. Soc. (N.S) 27, No. 1,  s  1 l  min   R n l n ds, x   . n pp. 1-67.  2 diam (  ) [3] A. Colesanti, P. Salani, (1999), Hessian Ta chứng minh được l  S x , với S x là tập equations in non-smooth domain, Nonlinear Anal., Vol. 38, No. 6, Ser.A: Theory tất cả các hàm chấp nhận được thỏa mãn Methods, pp. 803-812.  j   ( D 2 ( y ))   a, y   n \  theo nghĩa nhớt. [4] N.S. Trudinger, (1995), Weak solutions of Hessian equations, Comm. Partial Sau đó xét: Differential Equations, Vol. 22, pp. 1251- u( x )  sup ( x ) :   S x  , x   n \  . 1261. 84