Bài giảng chương 6: Phương trình đạo hàm riêng - ThS. Hồ Thị Bạch Phương
lượt xem 6
download
Bài giảng chương 2 "Phương trình đạo hàm riêng" được biên soạn bởi ThS. Hồ Thị Bạch Phương. Bài giảng trình bày nội dung về phương trình đạo hàm riêng, PDE tuyến tính : phân loại, phân loại PDE, PDEs tuyến tính bậc hai, điều kiện biên cho PDEs, các phương pháp giải cho PDEs,... Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài giảng chương 6: Phương trình đạo hàm riêng - ThS. Hồ Thị Bạch Phương
- Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí Chương 6: Phương trình đạo hàm riêng ThS. Hồ Thị Bạch Phương IUH - 2022
- Phương trình đạo hàm riêng Một phương trình đạo hàm riêng (PDE) là một phương trình mà bao gồm hàm và đạo hàm riêng của nó. Ví dụ: 2 u(x, t) u(x, t) x 2 t PDE bao gồm 2 hoặc hơn nhiều biến độc lập (trong ví dụ trên x và t là các biến độc lập) Chú ý 2 u(x, t) u xx x 2 2 u(x, t) u xt x t Bậc của pt đạo hàm riêng = bậc của đạo hàm cao nhất 2
- PDE tuyến tính : Phân loại Một PDE là tuyến tính nếu nó là tuyến tính trong hàm và đạo hàm của nó. Ví dụ của PDE tuyến tính 2 u xx 1 u xt 3 u tt 4 u x cos(2t) 0 2 u xx 3 u t 4 u x 0 Ví dụ của PDE phi tuyến 2 u xx u xt 3 u tt 0 2 u xx 2 u xt 3u t 0 2 u xx 2 u xt u t 3u t 0 3
- Phân loại PDE PDE tuyến tính bậc hai là tập hợp các phương trình được sử dụng để mô hình hóa nhiều hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật. Phân loại quan trọng là bởi vì : Mỗi thể loại có liên quan đến các vấn đề kỹ thuật cụ thể. Phương pháp khác nhau được sử dụng để giải quyết các loại này. 4
- PDEs tuyến tính bậc hai Một PDE tuyến tính bậc 2 (2- biến độc lập) A u xx B u xy C u yy D 0 A, B và C là các hàm của x và y. D là 1 hàm của x, y, u, ux, và uy được phân loại dưa trên (B2 – 4AC) như sau: B2 4AC 0 Elliptic B2 4AC 0 Parabolic B2 4AC 0 Hyperbolic 5
- PDE tuyến tính bậc 2 Ví dụ: 2 u(x, y) 2u(x, y) Phương trình Laplace 0 x 2 y 2 A 1,B 0,C 1 B2 4AC 0 Pt Laplace là Elliptic Một giải pháp có thể u(x, y) e sin yx u x e x sin y, u xx e x sin y u y e cos y, u yy e sin y x x u xx u yy 0 6
- PDE tuyến tính bậc 2 Ví dụ: 2 u(x, t) u(x, t) Phương trình nhiệt 0 x 2 t A , B 0, C 0 B2 4AC 0 Phương trình parabolic Phương trình sóng u(x, t) u(x, t) 2 2 c2 0 x 2 t 2 A c 2 0, B 0, C 1 B2 4AC 0 Phương trình hyperbolic 7
- Điều kiện biên cho PDEs Để giải cho PDE, một tập hợp điều kiện biên được cần. Điều kiện biên thông thường và không thông thường thì có thể. t u(x, t) u(x, t) 2 PT nhiệt : 0 x 2 t Vùng biên quan tâm u(0, t) 0 u(1, t) 0 1 x u(x,0) sin( x) 8
- Các phương pháp giải cho PDEs PP giải tích là có thể duy nhất cho trường hợp đơn giản và đặc biệt. Để sử dụng tính chất của các phương trình, các phương pháp khác nhau được sử dụng để giải quyết các loại khác nhau của PDEs. PP thảo luận ở đây dựa trên phương pháp sai phân hữu hạn. T(x, t) 2 T(x, t) PT nhiệt : t x 2 T(0, t) T(1, t) 0 T(x,0) sin( x) ice ice x PT parabolic vì B2 – 4AC = 0 Các điều kiện biên cần để giải. 9
- Phương pháp sai phân hữu hạn Chia khoảng x thành các khoảng nhỏ, mỗi khoảng có bề rộng h. Chia khoảng t thành các khoảng nhỏ, mỗi khoảng có bề rộng k. Một lưới điểm được dùng cho giải pháp sai phân hữu hạn. Ti,j được biễu diễn T(xi, tj) Thay thế các đạo hàm bằng công thức sai t phân hữu hạn. x 10
- Phương pháp sai phân hữu hạn Thay thế các đạo hàm bằng công thức sai phân hữu hạn. Công thức sai phân trung tâm hữu hạn cho 2 T : x 2 T(x, t) Ti1, j 2Ti, j Ti 1, j 2 Ti 1, j 2Ti, j Ti 1, j x 2 ( x ) 2 h 2 Công thức sai phân thuận hữu hạn cho T : t T(x, t) Ti, j1 Ti, j Ti, j1 Ti, j t t k 11
- Phương pháp giải T(x, t) 2T(x, t) t x 2 T(x, t k) T(x, t) T(x h, t) 2T(x, t) T(x h, t) k h2 k T(x, t k) T(x, t) 2 T(x h, t) 2T(x, t) T(x h, t) h k Định nghĩa 2 h T(x, t k) T(x h, t) (1 2 ) T(x, t) T(x h, t) 12
- Phương pháp giải Làm thế nào chúng ta tính ? T(x, t k) T(x h, t) (1 2 ) T(x, t) T(x h, t) nghĩa là: T(x,t+k) T(x-h,t) T(x,t) T(x+h,t) 13
- Hội tụ và ổn định T(x, t+k) có thể được tính trực tiếp dùng: T(x, t k) T(x h, t) (1 2 ) T(x, t) T(x h, t) Có thể không ổn định, để bảo đảm ổn định : 1 h2 (1 2 ) 0 k 2 2 Điền này nghĩa là k phải nhỏ hơn nhiều h dẫn đến tính toán chậm Hội tụ: Các giải pháp hội tụ nghĩa là giải pháp đạt được dùng phương pháp sai phân hữu hạn tiệm cận tới giải pháp đúng khi các độ dài bước Δx và Δt tiệm cận zero. Ổn định: Một giải thuật ổn định nếu sai số mỗi bước tính thì không tăng trong quá trình tính toán. 14
- Ví dụ: Pt nhiệt t Giải PDE 1 Nhiệt độ u(x, t) u(x, t) 2 0 x 2 t u(0, t) u(1, t) 0 u(x,0) sin( x) 0 1 x Dùng h = 0.25, k = 0.25 để tìm u(x,t) cho x ϵ [0,1] và t ϵ [0,1] k 2 4 h 15
- 2 u(x, t) u(x, t) 0 x 2 t u(x h, t) 2u(x, t) u(x h, t) u(x, t k) u(x, t) 2 0 h k 16 u(x h, t) 2u(x, t) u(x h, t) 4 u(x, t k) u(x, t) 0 u(x, t k) 4 u(x h, t) 7 u(x, t) 4 u(x h, t) t=1.0 0 0 t=0.75 0 0 t=0.5 0 0 t=0.25 0 0 t=0 0 0 sin(0.25π) sin(0. 5π) sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 16
- u(0.25,0.25) 4 u(0,0) 7 u(0.25,0) 4 u(0.5,0) 0 7 sin( / 4) 4 sin( / 2) 0.9497 t=1.0 0 0 t=0.75 0 0 t=0.5 0 0 t=0.25 0 0 t=0 0 0 sin(0.25π) sin(0. 5π) sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 Bài tập: Hoàn thành các giá trị còn thiếu trên bảng 17
- Chú ý: Các kết quả đạt được khả năng chưa đạt độ chính xác bởi vì: 1 - 2λ = -7 Cho kết quả chính xác: 1 - 2λ ≥ 0 h 2 (0.25) 2 Chúng ta cần chọn k: k 0.03125 2 2 k Ví dụ chọn k = 0.025 khi đó 2 0.4 h 18
- u( x, t k ) 0.4 u( x h, t ) 0.2 u( x, t ) 0.4 u( x h, t ) t=0.10 0 0 t=0.075 0 0 t=0.05 0 0 t=0.025 0 0 t=0 0 0 sin(0.25π) sin(0. 5π) sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 19
- u(0.25,0.025) 0.4 u(0,0) 0.2 u(0.25,0) 0.4 u(0.5,0) 0 0.2 sin( / 4) 0.4 sin( / 2) 0.5414 t=0.10 0 0 t=0.075 0 0 t=0.05 0 0 t=0.025 0 0 t=0 0 0 Sin(0.25π) Sin(0. 5π) Sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 Bài tập: Hoàn thành các giá trị còn thiếu trên bảng 20
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bài giảng Phương pháp tính: Chương 6 - TS. Nguyễn Quốc Lân
11 p | 275 | 59
-
Bài giảng Chương 6: Hiệu ứng nhiệt của các quá trình hóa học - GV. Nguyễn Minh Khai
84 p | 163 | 28
-
Bài giảng Vi sinh vật học đại cương: Chương 6 - ThS. Trịnh Ngọc Nam
25 p | 153 | 28
-
Bài giảng Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân
29 p | 161 | 20
-
Bài giảng Phân tích định lượng -GV. Nguyễn Thi Hường
52 p | 109 | 16
-
Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng
63 p | 272 | 12
-
Bài giảng Phương pháp số ứng dụng: Chương 6 - PSG.TS. Nguyễn Thống
24 p | 130 | 8
-
Bài giảng Chương 6: Thế lưu - TS. Nguyễn Thị Bảy
12 p | 103 | 8
-
Bài giảng Chương 6: Hồi quy và tương quan
8 p | 168 | 7
-
Bài giảng Độc học môi trường: Chương 6 - ThS. Nguyễn Thị Thu Hiền
50 p | 29 | 7
-
Bài giảng Toán 4 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp hai
38 p | 106 | 6
-
Bài giảng Toán T3: Chương 6 - ThS. Huỳnh Văn Kha
6 p | 66 | 4
-
Bài giảng Chương 6: Dao động và sóng cơ
13 p | 71 | 4
-
Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến (2017)
10 p | 63 | 4
-
Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến
10 p | 61 | 3
-
Bài giảng Toán A4: Chương 6 - ThS. Huỳnh Văn Kha
4 p | 58 | 2
-
Bài giảng Môi trường và con người: Chương 6 - Lê Thị Thanh Mai
70 p | 26 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn