Bài giảng chương 6: Phương trình đạo hàm riêng - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng chương 2 "Phương trình đạo hàm riêng" được biên soạn bởi ThS. Hồ Thị Bạch Phương. Bài giảng trình bày nội dung về phương trình đạo hàm riêng, PDE tuyến tính : phân loại, phân loại PDE, PDEs tuyến tính bậc hai, điều kiện biên cho PDEs, các phương pháp giải cho PDEs,... Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chương 6: Phương trình đạo hàm riêng - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí Chương 6: Phương trình đạo hàm riêng ThS. Hồ Thị Bạch Phương IUH - 2022
Phương trình đạo hàm riêng Một phương trình đạo hàm riêng (PDE) là một phương trình mà bao gồm hàm và đạo hàm riêng của nó. Ví dụ:  2 u(x, t)  u(x, t)  x 2 t PDE bao gồm 2 hoặc hơn nhiều biến độc lập (trong ví dụ trên x và t là các biến độc lập) Chú ý  2 u(x, t) u xx  x 2  2 u(x, t) u xt  x t Bậc của pt đạo hàm riêng = bậc của đạo hàm cao nhất 2
PDE tuyến tính : Phân loại Một PDE là tuyến tính nếu nó là tuyến tính trong hàm và đạo hàm của nó. Ví dụ của PDE tuyến tính 2 u xx  1 u xt  3 u tt  4 u x  cos(2t)  0 2 u xx  3 u t  4 u x  0 Ví dụ của PDE phi tuyến 2 u xx   u xt   3 u tt  0 2 u xx  2 u xt  3u t  0 2 u xx  2 u xt u t  3u t  0 3
Phân loại PDE PDE tuyến tính bậc hai là tập hợp các phương trình được sử dụng để mô hình hóa nhiều hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật. Phân loại quan trọng là bởi vì :  Mỗi thể loại có liên quan đến các vấn đề kỹ thuật cụ thể.  Phương pháp khác nhau được sử dụng để giải quyết các loại này. 4
PDEs tuyến tính bậc hai Một PDE tuyến tính bậc 2 (2- biến độc lập) A u xx  B u xy  C u yy  D  0 A, B và C là các hàm của x và y. D là 1 hàm của x, y, u, ux, và uy được phân loại dưa trên (B2 – 4AC) như sau: B2  4AC  0 Elliptic B2  4AC  0 Parabolic B2  4AC  0 Hyperbolic 5
PDE tuyến tính bậc 2 Ví dụ:  2 u(x, y)  2u(x, y) Phương trình Laplace  0 x 2 y 2 A  1,B  0,C  1  B2  4AC  0 Pt Laplace là Elliptic Một giải pháp có thể u(x, y)  e sin yx u x  e x sin y, u xx  e x sin y u y  e cos y, u yy  e sin y x x u xx  u yy  0 6
PDE tuyến tính bậc 2 Ví dụ:  2 u(x, t)  u(x, t) Phương trình nhiệt   0 x 2 t A   , B  0, C  0  B2  4AC  0 Phương trình parabolic Phương trình sóng  u(x, t)  u(x, t) 2 2 c2  0 x 2 t 2 A  c 2  0, B  0, C  1  B2  4AC  0 Phương trình hyperbolic 7
Điều kiện biên cho PDEs  Để giải cho PDE, một tập hợp điều kiện biên được cần.  Điều kiện biên thông thường và không thông thường thì có thể. t  u(x, t) u(x, t) 2 PT nhiệt :   0 x 2 t Vùng biên quan tâm u(0, t)  0 u(1, t)  0 1 x u(x,0)  sin( x) 8
Các phương pháp giải cho PDEs  PP giải tích là có thể duy nhất cho trường hợp đơn giản và đặc biệt.  Để sử dụng tính chất của các phương trình, các phương pháp khác nhau được sử dụng để giải quyết các loại khác nhau của PDEs.  PP thảo luận ở đây dựa trên phương pháp sai phân hữu hạn.  T(x, t)  2 T(x, t) PT nhiệt :  t x 2 T(0, t)  T(1, t)  0 T(x,0)  sin( x) ice ice x PT parabolic vì B2 – 4AC = 0 Các điều kiện biên cần để giải. 9
Phương pháp sai phân hữu hạn  Chia khoảng x thành các khoảng nhỏ, mỗi khoảng có bề rộng h.  Chia khoảng t thành các khoảng nhỏ, mỗi khoảng có bề rộng k.  Một lưới điểm được dùng cho giải pháp sai phân hữu hạn. Ti,j được biễu diễn T(xi, tj)  Thay thế các đạo hàm bằng công thức sai t phân hữu hạn. x 10
Phương pháp sai phân hữu hạn Thay thế các đạo hàm bằng công thức sai phân hữu hạn. Công thức sai phân trung tâm hữu hạn cho  2 T : x 2  T(x, t) Ti1, j  2Ti, j  Ti 1, j 2 Ti 1, j  2Ti, j  Ti 1, j   x 2 ( x ) 2 h 2 Công thức sai phân thuận hữu hạn cho T : t T(x, t) Ti, j1  Ti, j Ti, j1  Ti, j   t t k 11
Phương pháp giải T(x, t)  2T(x, t)  t x 2 T(x, t  k)  T(x, t) T(x  h, t)  2T(x, t)  T(x  h, t)  k h2 k T(x, t  k)  T(x, t)  2  T(x  h, t)  2T(x, t)  T(x  h, t)  h k Định nghĩa   2 h T(x, t  k)   T(x  h, t)  (1  2  ) T(x, t)   T(x  h, t) 12
Phương pháp giải Làm thế nào chúng ta tính ? T(x, t  k)   T(x  h, t)  (1  2  ) T(x, t)   T(x  h, t) nghĩa là: T(x,t+k) T(x-h,t) T(x,t) T(x+h,t) 13
Hội tụ và ổn định T(x, t+k) có thể được tính trực tiếp dùng: T(x, t  k)   T(x  h, t)  (1  2  ) T(x, t)   T(x  h, t) Có thể không ổn định, để bảo đảm ổn định : 1 h2 (1  2  )  0     k 2 2 Điền này nghĩa là k phải nhỏ hơn nhiều h dẫn đến tính toán chậm Hội tụ: Các giải pháp hội tụ nghĩa là giải pháp đạt được dùng phương pháp sai phân hữu hạn tiệm cận tới giải pháp đúng khi các độ dài bước Δx và Δt tiệm cận zero. Ổn định: Một giải thuật ổn định nếu sai số mỗi bước tính thì không tăng trong quá trình tính toán. 14
Ví dụ: Pt nhiệt t Giải PDE 1 Nhiệt độ  u(x, t) u(x, t) 2  0  x 2 t u(0, t)  u(1, t)  0 u(x,0)  sin( x) 0 1 x Dùng h = 0.25, k = 0.25 để tìm u(x,t) cho x ϵ [0,1] và t ϵ [0,1] k  2 4 h 15
 2 u(x, t)  u(x, t)  0 x 2 t u(x  h, t)  2u(x, t)  u(x  h, t) u(x, t  k)  u(x, t) 2  0 h k 16  u(x  h, t)  2u(x, t)  u(x  h, t)   4  u(x, t  k)  u(x, t)   0 u(x, t  k)  4 u(x  h, t)  7 u(x, t)  4 u(x  h, t) t=1.0 0 0 t=0.75 0 0 t=0.5 0 0 t=0.25 0 0 t=0 0 0 sin(0.25π) sin(0. 5π) sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 16
u(0.25,0.25)  4 u(0,0)  7 u(0.25,0)  4 u(0.5,0)  0  7 sin( / 4)  4 sin( / 2)  0.9497 t=1.0 0 0 t=0.75 0 0 t=0.5 0 0 t=0.25 0 0 t=0 0 0 sin(0.25π) sin(0. 5π) sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 Bài tập: Hoàn thành các giá trị còn thiếu trên bảng 17
Chú ý: Các kết quả đạt được khả năng chưa đạt độ chính xác bởi vì: 1 - 2λ = -7 Cho kết quả chính xác: 1 - 2λ ≥ 0 h 2 (0.25) 2 Chúng ta cần chọn k: k    0.03125 2 2 k Ví dụ chọn k = 0.025 khi đó   2  0.4 h 18
u( x, t  k )  0.4 u( x  h, t )  0.2 u( x, t )  0.4 u( x  h, t ) t=0.10 0 0 t=0.075 0 0 t=0.05 0 0 t=0.025 0 0 t=0 0 0 sin(0.25π) sin(0. 5π) sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 19
u(0.25,0.025)  0.4 u(0,0)  0.2 u(0.25,0)  0.4 u(0.5,0)  0  0.2 sin( / 4)  0.4 sin( / 2)  0.5414 t=0.10 0 0 t=0.075 0 0 t=0.05 0 0 t=0.025 0 0 t=0 0 0 Sin(0.25π) Sin(0. 5π) Sin(0.75π) x=0.0 x=0.25 x=0.5 x=0.75 x=1.0 Bài tập: Hoàn thành các giá trị còn thiếu trên bảng 20