Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

275
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân và ứng dụng" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, cấp của phươn trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, nghiệm tổng quát dạng ẩn,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN & ỨNG DỤNG CHƯƠNG 6 1
KHÁI NIỆM CHUNG Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy. Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình vi phân. 2
ĐỊNH NGHĨA Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó gọi chung là phương trình vi phân. Ví dụ. dy y (y '+ x )- x y ' = 0 ; 2 = 2xy dx ( F x , y , y ', y ¢¢, ..., y )= 0 (n ) 3
CẤP CỦA PTVP Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng: F (x , y , y ') = 0 hay y ' = f (x , y ) Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng: Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng: ( ¢ ¢¢ F x , y , y , y , ..., y ) (n ) = 0 4
VÍ DỤ Nêu cấp của các PTVP sau: a ) y (y '+ x )- x 2y ' = 0 b ) (2x + 1)dx + x 2 (y - 1)dy = 0 c ) y '' = 4 xy 2 - 2xy ' 5
VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP Một bể chứa 20 kg muối hòa tan trong 5000 lít nước. Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít được đổ vào bể với tốc độ 25 lít/phút. Dung dịch được trộn kỹ và thoát ra khỏi bể với cùng tốc độ. Sau 30 phút thì trong bể còn lại bao nhiêu muối? 6
VÍ DỤ Gọi y(t) là lượng muối trong bể vào thời điểm t. Ta có y(0)=20 Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200 Đây cũng chính là tốc độ thay đổi của khối lượng muối y(t) Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200 Hay y’=0,75-0,005y 7
MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1 Giả định: + Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số. Mô hình toán học của giả định trên? 8
MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2 Giả định: + Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số. + Khi tăng đến mức K nào đó thì dân số giảm (hoặc giảm về K khi dân số tăng quá K) Hãy đưa ra mô hình toán học? 9
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng: æ dy ö÷ F (x , y , y ') = 0 hay F ççx , y , ÷ ÷ = 0 çè dx ø÷ Trong đó: - F xác định trong miền G thuộc R3 - x là biến độc lập, y là hàm cần tìm 10
NGHIỆM CỦA PTVP CẤP 1 Nghiệm tổng quát Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng quát) Nghiệm riêng Nghiệm kỳ dị 11
NGHIỆM TỔNG QUÁT y = j (x , C ) Dạng: Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C Với mọi điểm ( 0, 0) ∈ ta đều tìm được C0 sao cho y 0 = j (x 0 , C 0 ) 12
NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN Tên khác: tích phân tổng quát Hệ thức Φ , , = 0 hay Φ , ) = gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trong miền D nếu nó xác định nghiệm tổng quát của phương trình trong D. 13
NGHIỆM RIÊNG Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số C0 xác định được gọi là nghiệm riêng. Nghiệm riêng: Tích phân riêng: 14
NGHIỆM KỲ DỊ Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị nào của C. 15
PTVP CẤP 1 THƯỜNG GẶP PT biến số phân ly PT biến số phân ly được PT đẳng cấp cấp 1 PT tuyến tính cấp 1 PT Bernoulli PT vi phân toàn phần 16
PT BIẾN SỐ PHÂN LY Dạng: g(y)dy=f(x)dx Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x. Ta có: ò g (y )dy = ò f (x )dx Û G (y ) = F (x )+ C Ví dụ. 2x ydy = 2 dx 1+ x 17
PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC Dạng 1. f1 (x )g 1 (y )dy = g 2 (y )f 2 (x )dx Cách giải: Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số phân ly Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0 18
VÍ DỤ Giải phương trình: 2 ( ) x (y + 1)dx + x - 1 (y - 1)dy = 0 3 Đáp án: 1 ln x3  1  y  2ln y  1  C Nghiệm tổng quát: 3 Nghiệm: y=-1 Nghiệm: x=1 19
PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC y ¢ = f (ax + by ) Dạng 2. Cách giải: Đặt z=ax+by Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz 20