YOMEDIA
Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng
Chia sẻ: Minh Vũ
| Ngày:
| Loại File: PDF
| Số trang:63
305
lượt xem
12
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Bài giảng "Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân và ứng dụng" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, cấp của phươn trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, nghiệm tổng quát dạng ẩn,... Mời các bạn cùng tham khảo.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng
- PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN & ỨNG DỤNG CHƯƠNG 6
1
- KHÁI NIỆM CHUNG
Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa
các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực
tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối
tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối
tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo
hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy.
Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới
dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình
vi phân.
2
- ĐỊNH NGHĨA
Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập,
hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó gọi
chung là phương trình vi phân.
Ví dụ.
dy
y (y '+ x )- x y ' = 0 ;
2
= 2xy
dx
(
F x , y , y ', y ¢¢, ..., y )= 0
(n )
3
- CẤP CỦA PTVP
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo
hàm có mặt trong phương trình.
Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:
F (x , y , y ') = 0 hay y ' = f (x , y )
Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:
Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng:
( ¢ ¢¢
F x , y , y , y , ..., y )
(n )
= 0
4
- VÍ DỤ
Nêu cấp của các PTVP sau:
a ) y (y '+ x )- x 2y ' = 0
b ) (2x + 1)dx + x 2 (y - 1)dy = 0
c ) y '' = 4 xy 2 - 2xy '
5
- VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP
Một bể chứa 20 kg muối hòa tan trong 5000 lít nước.
Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít được đổ vào bể với
tốc độ 25 lít/phút. Dung dịch được trộn kỹ và thoát ra
khỏi bể với cùng tốc độ. Sau 30 phút thì trong bể còn lại
bao nhiêu muối?
6
- VÍ DỤ
Gọi y(t) là lượng muối trong bể vào thời điểm t.
Ta có y(0)=20
Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút
Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút
Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200
Đây cũng chính là tốc độ thay đổi của khối lượng muối y(t)
Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200
Hay y’=0,75-0,005y
7
- MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1
Giả định:
+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số.
Mô hình toán học của giả định trên?
8
- MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2
Giả định:
+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số.
+ Khi tăng đến mức K nào đó thì dân số giảm (hoặc giảm
về K khi dân số tăng quá K)
Hãy đưa ra mô hình toán học?
9
- PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có
dạng:
æ dy ö÷
F (x , y , y ') = 0 hay F ççx , y , ÷ ÷ = 0
çè dx ø÷
Trong đó:
- F xác định trong miền G thuộc R3
- x là biến độc lập, y là hàm cần tìm
10
- NGHIỆM CỦA PTVP CẤP 1
Nghiệm tổng quát
Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng quát)
Nghiệm riêng
Nghiệm kỳ dị
11
- NGHIỆM TỔNG QUÁT
y = j (x , C )
Dạng:
Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C
Với mọi điểm ( 0, 0) ∈ ta đều tìm được C0 sao cho
y 0 = j (x 0 , C 0 )
12
- NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN
Tên khác: tích phân tổng quát
Hệ thức Φ , , = 0 hay Φ , ) = gọi là nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân trong miền D nếu nó
xác định nghiệm tổng quát của phương trình trong D.
13
- NGHIỆM RIÊNG
Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số C0
xác định được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm riêng:
Tích phân riêng:
14
- NGHIỆM KỲ DỊ
Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm
tổng quát với bất kỳ giá trị nào của C.
15
- PTVP CẤP 1 THƯỜNG GẶP
PT biến số phân ly
PT biến số phân ly được
PT đẳng cấp cấp 1
PT tuyến tính cấp 1
PT Bernoulli
PT vi phân toàn phần
16
- PT BIẾN SỐ PHÂN LY
Dạng: g(y)dy=f(x)dx
Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x.
Ta có:
ò g (y )dy = ò f (x )dx Û G (y ) = F (x )+ C
Ví dụ.
2x
ydy = 2
dx
1+ x
17
- PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC
Dạng 1. f1 (x )g 1 (y )dy = g 2 (y )f 2 (x )dx
Cách giải:
Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số phân ly
Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0
18
- VÍ DỤ
Giải phương trình:
2
( )
x (y + 1)dx + x - 1 (y - 1)dy = 0
3
Đáp án: 1
ln x3 1 y 2ln y 1 C
Nghiệm tổng quát: 3
Nghiệm: y=-1
Nghiệm: x=1
19
- PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC
y ¢ = f (ax + by )
Dạng 2.
Cách giải:
Đặt z=ax+by
Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz
20
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
ERROR:connection to 10.20.1.98:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.98:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
Đang xử lý...
Thêm vào BST
Báo xấu
