Toán học và tuổi trẻ Số 124 (2/1982)

Chia sẻ: Physical Funny | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là tài liệu Toán học và tuổi trẻ Số 124 (2/1982). Mời các bạn tham khảo tài liệu để hiểu rõ hơn những nội dung về kỳ thi Toán quốc tế năm 1980; công thức đổi biến trong tính tích phân; tam giác tự đối cực; định lý về các tổng bình phương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học và tuổi trẻ Số 124 (2/1982)

nOr ,roAN Hoc . yI0T NlM, #€stu ffiffi# j ri:t l:,,:i1: h :,'' ,,-....i,,ta1 {r;liiuii,:i ":-;*;i#*.;i$+** .ffi . r BAC/ qA f.jAi rr'tAru{; vr}r rY chi nhigm, ne uyfx C.&uH fo,A.n Thg kd rdir, so6.i , mOANG Cg{]nC Tru s,} : 70 I'rln llung Dao -. I{a l{d: DAy.udi : 52825 ryqrygq=El'!al!sAc BAN rRi, ynu roAtf KY 'r-HI T{}A,ru n}Ui}C "rLl hIAfvI 1980 p F LC ban bi6tring nini i9g0, kh6:rg c6 tb chuc. 8 hoc sinh, bAi tiri trong 2 bubi sl ng. m6i bubi \, thi ToAn t1u6c t6. N6u kB tr,r, nlrn i95g, ki 4.ti6ng rd c6 3 biii toar.r; thi To6n qu 6c t6 ctuoc tb chirc IAn driLr (& fiumani) va ddu dr.rrr h:ng rrinr. ,ni Jly iu Xin gi,ri thi6Lr vdi c6c bqn 1'0u lc:dn oAc dE lin dhu ti6n xiv ,ra su gian doa n. I in tlidirg to{n trong hai k.f thi dy. S b6o v
trong tl6 n ld mdt sd tu nhi0n l6n hon l. Chr'rng a) Kh6ng c6 s6 C$ = n !/Jr l(n - &) ! niro chia minh ring phuong trlnh khOng c6 nghi(m nguyBn hdt cho p: duong (r; g), vdi r vd n * 1 nguvdn t6 r:ring trhau. {7 .li}m ) b) 116 n cti tirO biEu tiiin ducrc dutri dang rl:!r"(-1, trong dd s, q Ii nhirng sd nguv€n, s }0 vn O{s{.p (7 di6nr) :,J:, J:-ul,o, ,,,-canh n6i ti6p ,.o'g hinh trdn, co n - 1 chp c?nh cl6i song song. Vdi .nh&ng giSL tr! niro cria n thi hrri canh d[5i cdn l{qrig illf lai : Iai ciing la sr:ng son{ ? (6 diBm) 4. Hai drrong trdn tidp ruc ngodi hay tron$ 5. MOt drrcrng tbirng s'lrrg song r.'6i trr.rc hoinh vdi nhau tai dibm P. Ivl6t tlrrt-rng thrtng, tidp xrie iluoc goi ld < co tinh tam giie I i15i vrii duSng vtii mQt dLrdris tr0rr tai di6m .{. c6t iluirng trdn coil g kia tai cac diSm B vi L'. {.hring rrrinh rilng {lr r 432 dudng thring l'.'L ln phin gi6e cira Indi soc tao I/ = -'j- Px -f i/l' I r'rr -r $ br-r'i c{e during th8ng PB "td. PC (ti dibm} n6u n6 c&t ilrrcrng eong n$y tai 4 di6rrr khAc r,hau A, B, C, D (theo thir tU {y !) vA tri cfc 5. Muoi uguui luc dlu cd s6 tiErr nhu nhau' iloan AB, lC, JD, c6 thb lep drroc mdt tam FIo choi trd choi sau di-t' : li rr lucrt nr6i rguoi giAc ? gieo 5 qufln xric xic, vi tri cho nr6i ngutri trong Ch*ng rninh ring vdi clrrdng cor:g tr€n. thi 9 ngudi kia 1ln s6 tiEo cua nguoi dtrqc trf, hi0n c6, v$i n lA tbng s6 di6m ddrn tr€n 5 qu:ic moi ctudng thing song song v6i truer hoAnh, clt dudng cong tai 4 ilibrn kh6c nbau, hoic dbng ric xic tlii gieo. D6n luqt di c&a ngirtii thri 10. thoi c6 tinh tam giirc, holc d0rg thoi khOng c6 nguoi ::Av tluqc 12 dii:in I sau khi trh ti€n xong' tinh latr gi{e. (i diEm) thi s5 tiEn cfir rn6i ngu
t--! r/ Coile TIIfC sol BIflI{ TROHG TIHr TIen PIIfiN Di+ ly: Cho a, b, c,d tit b6n s6 rhu.c. a D lanr6r cAu rrorrg ttE ihi vn c(d.-Cho / lA mQt hdm s6 x6c djnl vn a( li6n TINH {,Or-t)e*'*2dr luc tr6n [c,d], vA g lA m6t hdm sd x6e clinh vd c6 itao hAm li€n tuc tr6n [a,6i, ve g ila,bDe chinh thfc mOn to{n hoc tt ong ki thi tuv6n [., ,t l. Ltc d6 : sinh Dai hoc vir cao iLlng phia {am thang T/i081 t:{ thu6c kh6i B. b- e (b) f1. Co mdt s6 nguoi gi6i nhu sau: d[t g(il=r- x2, JII / tgtt) )g' (t) or = | / (, ) ae. e vri 6p dung cOng- rhrrc d6i bi6n vdi ham g nAy, " o(u) ta cr: : CAch chung minh dfnh I;f nAy cring giin 1 f x2 d.,. -- slt) o- di. chi dua vAo kh6i ni6m lguyGn"C, hdm vA tich l(2.r - l) rr- I phAn,. chri ng ta c6 thB xern troi,g tli liQu ddn o - J| ,", /rr:--)e",|u=u. b6n t.:_". Nhtt vay. v6i o : c 0, b d = t, s(o) o --- - /(.) = ex vir g(r) = ? - xl, hp durrg tlinh lf n6u Cech gi&i ndy giy ra nhi6u tranh luin, r.i hirm tren. cach giii n6i tr6n Ia ding. g kh6.ng don diQu tr6n kholng cln x6t fa [0, f]. Cd-ngurii cho riing kh6ng rh6 dbi bidn voi g Di nhi6n n€u ai chua bi6t dinh ljr tr€n, nh6t khOng don diQu iluoe, r,A eho m6t v{i thi du lA^ c{c hoc sinh phb th6ng,,vl chi bi6t cAc c6ch dbi bi6n s6 vdi cAc hdm g clon tliQu, mA gi6i I theo cich tr€n, ta ph&i xem lA ho gi&i sai vi & nbu g(r) = c2 r,6j tich phirr | .r?dr', o(r) sinr. dAy 9 kh6ng don di6u. = -1 2.CLc thi drf n€n tron c6 ld e6e ngbith JT ly toiin hqc kh6ng ? v6i tich phAn sinrrle-. Vdi cdc thi clu niy, n6u J o I'a xdt thi dr: illu v6i 9 (.u) = 12 vlltich ph6.n {p dung phrr,:ng phep d6i bi6n v6i circ him g 1 nhu th6, c{c tieh phAn cria chfng ta sC blng f" kh6ng. vi sau khi tl6i bi6n c6c dAu nr:rt l{_v tich I r'dr. -\ay gii s,i ta c6 hdm s6 / li€n tr,rc vA 1r phAn lai bdng rhau, trong khi do, lri6n nhi€n li c6c tich phdr nay.khAc khdirg. x5.c ilinh tr€n khoing [c, d] chri.a q ll-1, tl) = fi Aay chring tdi st trilh bdy Ihn ltrot cic tdn dE sau : C6 lha d6i bi6n r.6i cic hdm g kh6ng 1l don tlif u hay kh6ng ? N6u c6, thi eAc thi"du tr€n to, r l, tl& cho ! ,,'a, : If Q @)) s'(,") dr. Lric I *# cfl ntrai li cdc rrghich 11. tuurr irrJo lih0ng l, \,d sffir hdt t.lrring tfii xin dd nghi vB cdng thrirc: r16i bi€n trong chrrorg trirrh phii th6ng. , -l ff- t;' c16 ta c6 f (J): 3,) vOi.moi r thu6c [- 1,1J, 1. Co-thE dbi tridn vtri cr{e h&rn g kh0ng don diQu lray khSng ? I tl5c bi6t, vdi r = I, ta co / {i) : l, vA r.6i 2 'I'rong quyhn ca s& giAi tich toin hoc, tAp J cira G. M. Fichteng6rr,tjo nhA _rufrt b6n Dai hoc r:*1ta c6l(t) : - l- Do d6l kh6ng x6c vri Tr,ung hoc ehuydn nghiip xu{t bAn iai Ha 2 NOi nbm lS77, & tran{ 2g7, c6 chirrrg minh nr6t dinh tai ,1, vQy kh6ng thb c6 f tuong ung cho dinh lli dbi bi6n, mi chring tOi xin ,i6t lui du6i c0ng thue dbi bi6n rr6u trOn trong iuring hr.rp dq.ng sau diy : niy. 1't d6, dinh lf trdn ktrdng th& 6p ilung cho -t
!;,-;:tr '!' i crla dinh 1;!' n6u tr€n, vh g lai kh6ng don diQu' D M{t khic, clinh Ij- n6u trdn c6 th6 chirng minh Lua., vot q \x):r rdt d6 ddng bing cic khdi niQrn c6 sirr & chrrong J -t trirh phb thOng. Cho n0n'chirug tdi 1'ghi ndrr VAy kh0ng c6 gi Li nghicir lf li, co* ilri du dua clinh If niry vAo ciruong trinh ph'6 thong' sau cilng tunng tr-r, 'lrong cAc truong clai hoc vd cao diag chul'6n rrghiQp, chirng ta se g+p c6c tluong hop f phuc 3.Gdp y vb co*gthl?e dbi bi$n sd rv cftc trp fron, lirc d6 he1: trinh bAy cdng thitc dbi rrutrng phb lhong. bi6l vbi cfc hir:r g dr;n tli6u. Troog cfLc cdng thtic dIOtol bbi66nn s6 rlugc trinh DL'iC'\G \II\1I DITC b4y 6 c6c truirng Phb t h6 h on 6t. h im g eiin phii * don di6u. Trong khi d6' :{r trc tr ah rd ng herp rnA eirc trud Can b0 gtdng dau khoa T-oan, hoc si*rh thur.ing g[P l+i c66, 5t crc af,:6cc di6u kiQn Dqi hpc'thng hqp 'l'.P- llb Cht Minh' t t * i i b) ,t'= 1890' Ngutli II 1A nguoi tii-t'[I cht s6 cu6i cirng. N6u lgrrni I vi€t o1' ngrroi r-idt ci;l sao cho rfunhl Oi -r ali+l 890 - /. - / tz -- l, r. t 5,..,, lSES). Khi ii L, &$ts.*$* 1 x rri :945 X 7 :66 lli:.0. i =i Bei 1/121. Hai ngedi cing uiit m|t sd cd k Vdv nguoi II (nguoi vi6t chii sr5 cudi ctrng) chft sd md chi Qing cac chir sd 1,2,3,4, 5, 6, ludrr dim bi.o ilucYc cho ,4 .9. M6i ng*di ldn ta$l uidtl ctrfr sd tb lrtii sarg ph&i) e) /i: /-q45' Ngudi I lA ngLroi vi6t cl.rL! s6 cu6i Ir6i ngtrbi uitt chit sd cudi citq c6 thh rlitm cung. l'rrcrng ir,r nhu trlrdng hqp b), i,du ngudi I b&o cho sd dtrcrc oidt cllia hdt cho Lt l;hdnlJ tt4tr vi6t oi thi ngudi II vi6t airl sao cl.to o1 * a1+1:7 a) k = 1930, (i = 1, 3, 5,.... 1913). Iihi do ir) lt : 1890. 19,t5 lliil ' c) /c = 19,15, I ri: I ai*arc4s:927x7*otg+snri .-l ;: I Liti (ti&i (cria Ngrrgin 7-ltanh Du'ong, .t6p 1111 l-r truong Phan Chiu'l'rinh, EA Nirng): 9)iX7 =6i8gl!i, ndi'r vdi circ chii sd 1.2.3'4'5'6 nguoi I kh6ng thb vi6t at945 et6 ci.ro A i9 dugc' Eet A : ct ez.. a6 nhu v6.y db ,1 i I thl ciin c6 (at t az +... .t uL) i g Edi 2i121- : I du pirjl srl l9s0 thdnlt titrtq cat s6 a) k:1930 : Ta sd ci'rrilg minh rigtriri vi6t ilh& chinlt plitro':tq tlti ciin ph&i co tt nh(tt Dao nftiea s6 cu6i cung khOng th?: hfro dd rn cho ,4 1 9. si lt,.t ttg'.' . Thdt v{y: l6u ngtrdi I i'i6t sd thu nhAt at:2' : Ngudi /1 (ngrroi vi6t chir s6 cLItii ct)ng) r'i6t sfi az rrAo c16y thi ngucri thr'r I vi6t o3 sao cho Ldt gt&i- Gii sii ttci Do its0 jl ra i98C nz +02 tn, f ff'v) J* tr2 * a3: ?. f iCp lurr, lli ngrrdi thri // vi6t a1 thi ngrrCri 1 lai vi6i (ri+l sir() cl-to ni f a;a1 = 7 (24 + i (nroil4), (2li)2 ='0 (rrrod4), l)? -= (1) (i = 4. 0, 8.-... iglx). rr6n ia i1:ri,r' o r'J. b dDLr Jihrii chirrr, 930 I)it o =2c1 vh 5:2b1, ta t:6 1930:+rri i i 1 ^\. r\ntr vav ui* 2 '1 !lri4 .' I I ()1930 4f i-, h, ]' . :6Ti0 + rrtg3o ,195 : rr? + e!(ar, Dr {i }) IUd 6;50 iI ,,lu li nt(lt tt or)g ca
r I + U! .: I (mod,tr) cdn {Oi -= J (mocl,i), do vdv ,2, Bei 4/121. Gtai ha phuongl trinh: khdng thb c6 d.ipg rhuc 495 : ,? + r,l t,ic ti , , i 1980 =# a" * t,' a - i:1: a :---'' - .Ttr h,b,c*0) - G'i su ta r.o lcsrt : .- bt j_ cz iu, 1.i, c r:.t.) 12 b c 'lheo nh$n xct il.in su}. ra Li,- : rtz +b2*cg:tg80:4 =a*bqe thi phfr.i c6 u, D, tr rldu ch.iu I .oi qi di I)iit a=.2n1. b=2bt, c'=2c1. Ta c6 i)rit XiI I:i gi:i tri chur:g cua bn ii sci trong phrrong trinh ciiiu (rhri yi rang 1 .# A ,i thco gi6 rt)s0=ao? + ii,? + 4c? h:,r. thidt a. b, c dEu rbi tinir o, D, c theo / vA r., it,, z.'fa aiur_yc =t0), f & 495 = a?'+ rr? + ,?i (ur, irr, ct e .\ ) t/t : o): (trong trrrdng htfp t,.';t - hay : t tr; ,1 + o? 1 l:? = 49;r':= 5 (;nod 4) rr6n stir a U.), b = t(gz - :r), c : tez -- ru\ f(.r? 1'rr do suy ra : - oa -- bc: /2.. (r3 + u, + za a*yz) ra at, bt. cr di!rr tri,. - vd h:ri he tlrri, rrila Lurrrril ir.r (tldi voi bZ * ca D5t at = 2az] i, tti=,)g2* i, rt .'=2tz* t (.a2. b,t, YA C - ob). ce € N). Ta e6 Ddi chi6u ba clins thrrc dd, ta cluoc: a95 : aa! * 4az * t + 1bL + 4b2 + t* tcf,*tcz + l o2-bc ir-ro hav cz*ob t2J: ai * -t bi a2 - hz- .i * .2 chung cria'ba ti sd nAy bflng l/tr : u2(a2+ l) + bz\bz + t) + (ztcz t. t). , phunng trinh cuiri cring cia hQ, Ta thdy cac s6 azkz*l), bz$zir ) vi cz(rz.l- l) ta",uiJr1'-r,l';j di.tdi thuc nghidm cfia h6 cl[ cho nhrr sau (A -bi6u d€u chrirr mA ^t23 l4i Id sd 16. y;.. irr.-o"" ,li. =t 0): 1S80 =i= ,z + bz * cz voi a. "o b, c € N. 1) ( ,:7, tn3 - hc) ' lldt khAc ta th{y 19ti0 +2 + lr1 t = f lu2 _r 382. I v=1. - cu) (b2 Ua-" mu6:r biOu rt ii.n sd lgg0 thCrrh i6ng cria (.=L(t2-ab) csc sd chinh phuclo thi ciir, it nhdt la.tr sij haira.. 2(q 1 a+ tl i.ri.g ri6: i----.- Bai 3/121 ()Jlin!l^ ntirt!t rdngs uo,i nioi sl (b-c)7*(c- o)2+(o-il? tt (\6tr i, = 0 tlri x:: lJ = z.= 0 ctrrg th6a nrfrn n thi hiQu (2n)r,_1 khonj thi 1d 1Ar. ,n,;;l ahien t-n|t sd la nhiin uoi sd ntfi"nguy|n eAc bi6u ttnic nghi6m ring ubi truon! hop l1=0). ', :i:o ldn hon l. - r-.r"' du,ong ttd 2) Trrrong hep 1- e ha]- 1lt:0, la ituryc: Loi girii. T'a cht!.rq nrinh bang nhiri chu,iis t=g=z=(qt,b+c)l:j. : , Cii srr._cd nrdt so trl r:iri0ir o iC rrrot s6 guyen guulg A')2 s.act cho r .- " . N,E P. .f (2n)a'- I^= ok h,,1 {(2n)o * j I l(2,,), r - l= rrk {I) Bai 5,LZl. Cid si, () ld td.m dubn{t tr6n nli i: V"i (2n)'* I v,1 (2r,)o - 1 ld hai s6 16 iien ti6p. titp ud ll ki trvc tdm cia tam gid.c ABC. Chnng #r:iro irsuy6n 16 ct)ng nhau. Nhuilg tich minh *.ii "h.ing chring ii Iir.r.thric blrc A. cda rr:ot si, ttr " t) o,q2lGB.Ao | oczl(ca.ca)=t iir,,i ll ,ln ,* nhi€1. l)o do rnriq si, (tn)o+ r + oBz l(BC.BA) ld lf,1' thr}a bAc .k e iia rnOt s6 "e to ul.,;en. .I,rrc ia 2) H B. ( IlC)I (A B, AC) + ( H C, I] A\ I I BC.B A) (2n)o11=Dk, (:r)'- I + (HA. HB)iCA.CB):t n1u A, B, C 90o. Do do bk *-,,k - [{:,,)n + 1l - [(lrr)" - i j= 2 Vi .k > ?, , > c ) j. n6n rling rhirc bk _ .k: & _L& gitti. 1) GQi M, rr/, p liin Irrot lA ti6p dibrir cfia elnong tron n6i ti6p tam giitc AllC,idi .6" kh0rrg th6 xfi_r ra. canh AB, BC, CA. 1'a co VQy kh6ng c6 sd a nAo th6a miin M = o.,{ l(AB.,tc) + oa2l(sc.na) + oczlrce.ca, diug thuc (1) = O.{? sin Al2{tt(Ats} + OBBsinB/2dt t,tACl + L. T. H. -f }Cz sin C I Zd t(..1 AC). i) ::: "a: : i"i i .. , \':r .
( H B. ITC) / _ {fI C. H A) i GC.B A) G B, AC) - GrA.ilill(rA.CB) = 1). Nltdn rit: Bii niy tluoc nhi6u ban tham gia gi&i vd da s6 c6 loi giii t6t' , Bdi 6ltzl, Cho gdc rdy ud nt|t di?m M chug|n d$ng trong g6c dd sao cho ]IH + ]It( = I (L ld il1 ddi cho traoe) trong d6 H, K la chdncricduong uucing goc hQ tir 1l xudng Ar, Aq. Hdg clutng minh riing duirnq trdn ngoqi tidp tir,giac AllIIK di qua rnQt di?m cd dinh tltti ? il! Nhung: hai. khac A. OAz sinA=2O.4 sin(A/2)'OAcos(A/2) = 20P' aP # Ldi gi61 (c fia Eq:nq '!'trd ng San p I 1 ch uv6n - io = 2dL(,aMOP). to6n tiuong Dl1 f H fIe Nr7i, vi Dodn f lfip 'rfinh- 'luong tu ta c6 I6'p 12 chuv€n toan, trudng Ngtrl in Tlar' Vu : 2dt(BNO,l{), oClsin(i 2dt(cPON)' Thu. Thni Binh): o8asinB - v4:, 2d I ( AlroP) +2dt( ts/voM)+2dt(cPoN) \,{ = 2dt(-4 BC) :zd.r(aBc)l?dt(ABC) := 1 (dpcm) 2) Chring minh d6 dAng vcri trrrong hop mQt g6c ctia tarn giic .1-BC :90o. Gii sfr tam giSc ABC co c6c goc d6u nhon. Tu ,4{ ta dung duong th&lg vuOng g6c voi phin gi6c g6c A: durlng th&ng d6 cb't Ar 6 B tam gi6c ABC lA tam gilc cin' ttlc RQ rdng ld AB:.4C. Dr.tng iludng cao B'L cfia tam gi6c ABC' ta c6 tich tam gi6c .{BC chia "";"-;i: nal tlndiQn 8;;r;g di$n tich tam gi6c dBC bing Nhung a^i'Jn t.f.t' tam g.-i5,c AMB cQng v6i di€n tich tam iil. d,uc.'l'ti d6 suv ra hai lhn .!itl,'i:h t"* Ta c6 atia ABC bans MH.iB+l|K'tlc={MH+'.|l K)'AC' HB'HC + sirrBfIC 3;; ;; BL'a: M rt +IIIK: t khons dbi' do c16 tam ngoai t]6J ti *:r H B.HC ItB"HCsinA ,*" .tAC c6 dinh' Dttring tron - kinh Ail/' Trung di6rn P ,4R.AC sinA AB'ACsin .4 Z'rii iiir*-co ttut'rng * .4.B.AC -: :;;;;-nt,in au auoi mot g6c vuong n€n P = 2{ir(118C)i2dt(aBf) pf.ai ,ra* trOn duting tlon ilo' DiEu do c6 nghia 'f ucrng tu ta c6 : ld dulng tron ngoai tiep tu gi6c ALIMIK ludt:, (H c. ff A) i $c. 8A) : 2d L( H C A) I 2dt( aB c) ; di qua diBm c6 dinh P' ban tham ( u d. H at I Gt.cB) : Zdt(H -4 B) I zdt(aBc)' NhQn xdt: Bdi niycirng ilugc nhi6u ,,i,, oiii vA noi chung dEu giii dunq' Cac ban: Ttr at6 suY ra di6rr phli chrlng minh' ;;;';,,;; rii, rae ciu ven A*' Hi 'roi): I{b I-9 'snl ph6 Khi A > 90o thi tling thuc tr6n khdng dring tt"ai a*t, (9At Ha Huv TAp' L"nh. ,,i t r,i ai tas. HC)I(AB jlc) >. 1 vd do iI6 cl vd Irr-i rtlr"rrl tD6 QLtang Eai vd PhqmThanh Phuons (10 trdi l6n hon vd Ph$'i' (fi-Ci orisp i He-Ndi); rrhn -Nam"Dting Ftii Trinh' DA Ning); '(Cic ban cring d6 chung minh dugc ri'ng trong ch'uven lo6n Phurr Chu trudng tqp A)90o thi ta c6 aj;'; A;,, i.a. ThanhTric' Trhnrudn HiQp 6
(11 CT DIISP 1 fIA NOi) ; Ngugln l'reng Tudn (tZC An Khc Gia Lai-Kon iu*); rgA Gia Khdnh (12 chuyin toan DHSP I HA N6i); Ie Vdn 7'hanh (lOp tZ trrrong trung hoc Nrii Thiuh) clng c(r loi gili rdt. .BiLi 7ll2\. 7'ron$ tngt hinh tti di|n rl'du cgnlt bdng a c6 hat hinh ch.u ndm trpn b|n trong. 1. Tinh ban l;inte m6i hinh
!L do dd * ltrit phirre chrla rn6t canh vir song sone voi (r! * r2)1 * (r"! - ) ("r * r2'' -i r'1 -- 12) { canir d6i di€ri. Co i5t miit phirng nhu vir. bao cr1 S "i)2 gdrn ba clp rnit phing s.)og song. D6 th{.v reng. + rl2 + (3) * \6u .?.? ( rlrz thi "i2)"? + "B (1) ba crip rnnt ph&ng song song niy xic clinh cho t:r rirgt htnh h6p, rn6i m5.t c&a hinh hdp niv do (gi nen alrrsc chrlng minli ehtia nri)t canh cfia tu diin cli cho, Ta goi hinh o or hQp n:iy 1A hinh- h$p ngocri tiip ta di6n cii cho, - i\eLl !'tt'.2 ) rl!"2 thr tlrra (l) vE fidt rlinx' rgrroc lai" tu ttri6l goi 1a noi ti6p hinh hdp. thrie tucrng ilucrng (ri -.3i2 + rtri ) (rr (l'i lr) "f ii ,:lo iiLry ra cAch du rg iliirin .\{ nhu sau. - rai2 + rtre. Dung. cic rnirL trurig di6n r-:i hinh hQp A B' DC.' Do (2) n0n (1') rlirgc cirririg rnirih. D'C A R irq
f{q,.r2,..., r,.) = (atxt n fr)? * krz:r2 + b2\z Lbi gtdi. Ldy .y chia cho n, k6t qu6. cta ph6p +.... + (aor,, * bo)z + {rpt * ,:z t'z + ... 'f cr,ro)?. chia IA N=np *r v6,irrrguydn.0(r.-(n-t' 'Ihd th i Lbi qidi. 'theo bdt din g tht'c C6si - Bunhia k6pxki, ta Ci1 Pmax-pu-'{p+1) ( ct bt L b.:_ Drc, \2 ung r,6i b6 s6 -.c2 t- \or'or-r -t I rrn tp.p.."..tr, bAfrrr'.;,+iav*&# p*1....,p*l) (1, n-r s6 rs6 = [ -tt- ror .rr * br) + "2 {az xz+ bz) + ..* . L ot q,) Qui viv, ndu r =0" tuc IA N cliia hdl. rho n, jL thi theo b{t ding ihue COsi (uo r, * bo) - (cr rl -l cz r:i + ... + ,"rrll'( t t- cl / atl-az*.. +,rr) \n -' (.\'in) n p iltoq.,.an\a {--.i-:.::---:-----r--l \nl = * s--I [-, * c2 ;- *... + . r) r ut,r2..., r1). ddu rling thfe chi :rfi1' ra khi \(I1 AZ * Al: AZ: ... E Oo = p. Yi vf,y Gia thfrNkhOng chirL lritcho r, tire lA rbl. f (rt, .r2,..,, x") 2 (+1 .+" *-'f)' Ta h["_v xef rnOt b0 n s6 tu nl.riOn (r:t, a2,...,ao) c6 tbng at* az+... * dn:N vi c6 tich P: ataz...an l6n nhdt. Yi l' kh6ng chia h6t cho n, n€n n s6 al, o2,...,ca khdng thb ddng thdi bing rr c! r cfi *-2 r uL nhau. Ta hiv chung t6 ring -_rl , oi az (ln ma* loi - all :1 (2) .i. DD-.chung to rang vd phii ld giA tri rh6 nhdt r7.l , cua /(r1,,r'2,...,-rn), ta cin chung t6 rdng d{u Qrrir vAv gi:i thidt trrii lai: ta c6 th6 eoi ring tlfrng thuc c6 th6 xlr- ra : qui -vi.y. cl{u-ding ,r1 thric xi.-y ra khi ta c6 - o2)ro 2, Iihi do tlat awl * bt oor., * b6 ai = al - l, oiaa2 * 1. 9l cn ta duoc ai + a2 : aI + ri2 va ddng thoi al dn aiai: (ar - * l) =arriz :.a7 - a2 - 1 ) arcz* I 1)(oz = *(cl,rl * c\xz * ... * r:ncn) Thdnh thri' bO sd (at -1, az * l, as,. .,crn) c6 (vdi quv ucrc n6ri miu sd nAo bang l
a- VA1- br: I sij tn nhi6u ial. flZ,, tr..s) c6 tbrrg In nhfrng sd drrorrg..(ciii:u kiQn cia bai toirn li: . biing N vril c6 tich P l6'rt rrh,it. lir b6 c6 n r sd n.gugCn duonq), n6n dI di ddn < cl6p s6 > mOt st5 blng p v:l r sd trrii,g p * 1. r1o lA ho (t) dh - cAcir qud d6dii g iot: a25.., = cn = N1/p (l) Ddi nOu ii tr6n. v6i cric Itan cri dirp sd dririu, phit rr ridng lAp Nltdtt ,t;il: B.-iri loal li:' clu.ur: r.iit nliidir ban Iuiin iicri ddi dirng, liir
Eni 31124. Giii vd bien luin h6 phuong b)'l'r6u mlt plrfing toa dg, ttrn tdt ci cac di6m t rinh nrd db thi h{rn s6 kh6ng th6 di qua, dt m l6y biit cr'r i.lia fri nAo. {rr+n2=!:24i,2=12*r' l,r*,J2+:2=o2+b2+,,2 . l)han.:Etic (;hitth Chung minh rirng n6u a, b, c lt ba sd duong bi6u thi aIO dai c{c canh cria m6t tam gi5c thi Bdi 71L24. Ciro /(.r. ,7) * a.rz -l 2blt.a + cgz, ,6i hd phuong trlnh di cho c6 ba nghi€.rn vi khi e,b, c Id c{e sd thuc .rir l): dc-b' } O, Ctrtng tl6 cAc nghigm duorrg t. lJt I ctng biBu thi d6 nrinh ring tdn tai mQt ciip sd uguy€n khdng dii cdc canh cfia m6t tam gidc ndo ilo. Arn (a, u) ktr6ng dbng thoi bP.rng 0, sflo cho N11w1?.n Dtr.ng Phdt (Ha NOit i/tu. ,,)l ',' z\l Dl-r. Ny;6 fiui Nrrrh (Qui Nhon) { B:ii 41124. Giii vir hidn luan rheo a bdt .h phuong trinir Bai 8/124. Ngucri ta dung ra phia ngoAi .,.2 - r',, .a < n. ritirt tarn {iac ^-lB( nl'rilr:g irinh vudrrg BCKL, (.A.11N. AIIPQ.'l'am *iAc ABC phii thria rndn diEu f'han Attc (lrtinft (fld N6i) liien gi dii cic clibnr .I(, L, M,;Y. P. Q ctng thudc m6t drrong tron. Bni 5/f2!r. Tr6n mat phi,rrrg tna dQ, xer. ho dltrdng lypebdn (IJm) 16 phurrr:g trinh -\-rTilyar Cr)r;g Qtry v=-4111-, Ani 9 124. 'i r.ong rn[t phing cho iluirng trdn duo'ng hinh iB = 2R va ducrng thing A vu0ng voi m Id tham sd. I g6c v6i lB tai alibnr J/ sao clro AH : NB=S:3. ic6 dinh rrrn rnit ct hypebdn 1{- r do. ;:"fh JI" u,o,[]Jn ;i i}t l'I6t di6m N cha.v tr6n A, A.\ c[.t duong trdn & giao di6m thir hai M. Buong thing vudng g6c vdi dN & N cit drrong tron 6 hai dibm P vA Izhan Di.c Chinlt Q.'l'ir.n qui Lich cAc trung di6m citr eic ddv cung }I P, IIQ, Be,i 61124. Cho hi.m sd .\'grryin Dong Ph?it tt= 2tz + (m *'2)r r-1 Bii 1011?4. Cno tri. diQn AtlLD. Tim cti6u trong 116 m ld tham s6. ki€n cAn vd di dA cdr: cluong thing, m6i cludng n6i mdt dtinh ciia tri' di6n ltri tAm riuong trdn a) V6i rrhirng gia tri nAo cira m ilri him s6 ndi ti6p rrr'iitd6i tli6n, di)ng r1rri. cd cr.rc dqi vi cue tiEu ? Khi dd' h5-r, tim qrri tieh cria di6m r:uc ilai vir qui tictr cria diBm crlc ti6u 1'rl ydn 7'ran17 (Lii Ndi) cria db th i. sru thm i Tim hibu s0u thOm 1_"u1*!e" phb thong Sr cuc a6 vxx sr p.f.i nay nhhc lai cAch vd dtrrlng il6i clrc cria I. Tarn gi6e tu ddi cgc. e m6t rlibm d6i voi llrrd'ng trdn (xem dutirq dt6i cuc cia mgt dibnr aI6i v6-i hai tlud.ng thlni Cho m6t dibrn A ir ngoii har.- trong dudng tl6ug qui, d6i v(ri dudng trdn - Bao 'lo6n hoc tron (O). TLi A ve hai cAt tuy6n AilIN vd APe, vi tubi tr6 s6 4-1981). tt ilay ndu l€n dinh PM vit,0N cit nhan tai B, PN vd QM cit nhau nghia tam giAe lW dcii cuc vd dua la mQt vAi tai C. Euong thing BJ li rlunng ddi crlc efia tlrrh ch6t vd bi.i toan c6 lidn quau, tli6m .{ d6i voi iludrig rrdn (al). (}Iinh 1) ,1
r'-- I l 't l : - BAy gin ta xit quan h6 giira du.ong AIi vA l l diErn C cLrrg rrlru grra,, lrA giua dudni A(,. r.a diFm a. Vi BC lA ilLrr)ng dl6i cu
E. be cil ttrr&ng trdn tai N, ggi A' lA giao di6m c&a B il6i vdi (O) cria DE va .i4N. 'fheo tinh duv nhdt cria cluong tl6i Cuc eria .A'C ld cludng il6i euc cria tli6m B dor vC,1 rndt cti6m cldi v6i dlurlng trdn n6n ,4C trriing vdi du'trrlg trdn (O). \-i tam giAc 'dBC tu tl6i cuc ,{'C, din t6i A rrrins v6i .4'r.i ba di0m A, D, E ddi vcri clrorig tron (O) ndn AC lA cluong 11,5i. e rrc lhang hdng. DINH Lf VE CAC T#NC [}iNH PHI,rtrNC NGo DUY NII{H (Ouy tr,/rsn) llJl t'H\ryll'Z dii chung minhctucrc : Tbng cfiu n T'itth chtit 1' : Zifi Zj= Q fi*-i, tftc td hat td.p m sd binh phronq nhdn uoi tbng cita n sd hqp kltdc nhou b?;t ki d\u kh6ng co phdn t* binh ph*ong thi b&ng tbng ctta n sd btnh chung plttto'nJ1 t\eo ngltia : Tinh chdt 2:7'rcnt1 trtp Zi l:hdnE thi' chtra dbng I I c o\i/ .) .) \ 'i * ,;+ " +,;)\ r, + t6)' .. o\ r e;) thdi hai s6 .r'ir75, r,ri .r.iy6, hafic ryyi ud ry,yi odi r- -l- t' A-7-^. ,ro t -. =---L--_-l (t) Chttng minh: 'l a chi ciin churg nrinh ,-j r), r;yr, o;gr.'f kh6ng nirm troirg Zi Pa d.fi. f , udi zi: Z I aiit ..1 gr, trong d6 qity khdng Gi[. sri nguoc lai co lr;vu , rjgk,l C Zi vdi 'l'i k =f k' . Khdng mdt tinh tbug qr-r5.t c6 thb eia j=1 k-l i phu thuQc rj, gk A'fti lti ciri A'li n:1. 2,4, 8. thi€t .r'1g1 * ,WzC Zt Ta l{v lr = I/i =0 Vi:lJ, ,1,...,,-r thi (I) tr& O'nai ndy chirng ta thi6t lip chc h&ng c1.iL,rg thdnh: ,l thirc vi! c6c tiing binh phuor g cho n -2, 4,8 I c 1l/ r ,- c\ \ "i + ,il. ,r; -r-2 vA.'n6u hhdng gii thi6t cAc hQ sri tri.;r dEu nguvdn ui = ,, '- -f , -D -l. rtlr l-n /.)\ t"' ttri sd cd ldr giii khi n 16. l 'l'u dAy sti\,- r2l .j X6t nrdt s6 tinh chdi cria cAc :i viri giir ihi6i circ oiir rlFrr rgu,i:en. i:. xl L :2 U... L, :n - i., il-lt, r1g2, :t:ztll, i:z1zl a 'flreo tinli r.lrtit 1':! Tinh chdt 1: Edt odi.mdt ct1p chi sd ( j, /c) rdc (linh cllt tbn tai m,t chi s6' tlug nhdt i db cho :i:j :2 t i+ i) r'a lt'ti/t, tryzlC Zt, d failtl : 1 ud con lai oi'1k:0 uoi nryi i'$i. rrin tir (2) tr, ,',1 t.ir. Ir.,r,rr:g !11.r1y I Chtrng minh: Ddi r.ir-i m6t c5p chi s6 (7. fr) .. i) tix2i,,l. ))-il1\LZr t t .1 t;,i rrr6l i rrao rlo x6.c dirih ta ldy a'j:t vA ,r'i :U. Vi':t,l; ur: 1 vd yk' = 0, Vf'+ k: j. j'', /r. ,lc' € if,. .,"1. -l N6u i:l thi: I(hi il/r (t) triv tlrAnh: L nrl,t o1 n \ 'l + ";)t,; + tt.j ol., (tlo --i = o,ll) = (otltrtUl *'atlzrtVr -|- otzt:cllt -f alzzr,zEz)Z. I.l K i=1 Ldy rt = l, :r2 = 0, g;t, : {{lll, 92: al1 thi rltroc: Vi atlr ilbu ugu_vtn ndn tri ding thiic trtln '.r \r , ^!2 u11r i,,]l.lf-._-=l suy ra chi tbrr tai duy nhf,t rnOt i sno cho ,:\ virlyl lrijrl : 1 vtr er)n lai ni'is : 0, Vi' t= i. -i\dui; lriri : Ta _gpi Zi lA ttp hop e{c s6 r.;ys c6 rn{t trong I 4. /fl .'i tbng fi. * ,_i(ri -r u;)- ', \,i(orrrrrgr Tt tinh chf,t I sur ra: = * attzr:4lt)z * taiztrzat * aiZZizUZ)Z 13
ry:1J.. . :i:+15i.41. --= ri::.., il Ldy u - 7, ri = 0, yt: oi1, U2 = cllt thi il,t4i, : t,j + ,iltu1 + ,1f,i= (*jyj+ r,*sa)z * , = (oit, * airr)' = + V6 l_f .) ) q : 22 t'riuy 22 . Zi, r2gz t' Zi viti 2) .czgie" nr6t i nio cl6 r }kgj *N6ua=1thitae6:
F :'- - ": tlgt 12!12. . :L-nyn fa xAy dung m6t blng (*) (khOng kb d6rr d{g) rtg2 :t:"ZA n(2) r"ur,,(.r) th6a man al *dlbing qui uap theo k v6i n:2k, (*). EA lAf! tltroc l,.irrg nhu viy khi Ii: I (n=:2). ;u1yn :L2Utr/ r) t*9rn(n) liii sir d[ xSy ditng duoc mOt b&ng (9 Xtrl n = 2k goi ld bAng (2k), lLic ndv ta d[i vd b6n a/ C6c clii s6f; (t) f i Q), ..., fi(d la m6t ho6n vi phli cria b&rig (2ki m6t bing (21.)', gi6ng y het cria ddy 1, ?'..., ii v6'i moi i:1,2,..., n. riiru b&ng 12k) nhung riyi lirc niy lir ri+zkgi+? , 111 11(i),,r:(it.... /* (it li = 1,....rr) la hr,i', vi dnt vB phia d.rrdi bAng t2F) mgt bing (2k)" gi6ng {; +, eIir tii-r' 1,2.....tr, nhu bing (28) nhung riyi bAy gid In ..,',yr+r", c/. Ndu trong- m6t h*nq c6 .r'14t thi nh{l thidt ttdr. kE v6i bing (2k)" td bing (zk)"'vd b6n phii Iilg do r'irrrg co.r'6r7j gi6rr_g nhtr b&ng (2k) nhung cAc s6 :r.igr thay h&i a' d/ f; ! j): fj(l) tric la t:hi sd cira g eldi x(rrs tlua ..r+z*yi. iluo rrg ch6o chinh c&r bir,g. h Edn bi.ug (21). ('rk)'i2t;", i2t
;::1'l -q rnA n6i dung efra n6 ctuoc ph{t biEu dudi danS (s,,ko m6l dinlr lr? sau dA.v. - t)lq- s - t/uko-.s-t/u;: Dinh li. N6u A = lur, u1t..., Ltn,,.. I ta mot tap hop nhtng s6 tu nhi6n l6n hon l, tl6nh s6 theo -1/rrr + ... *Lltr.r-I + 11u.ltl. - *...'7luo. thu t+ td"ng dAn, th6a m6n hai tinh ehdt: 1) ne A, bGA thi abGe, PhAn sd fs a.k'* t)i ulio t,, phin sd tiii giin". 'D aCA, b ii s6 tu nhi€n 16n hon l rri aDG.4 II thi DG/, Cdn tbng I/ul *... * I/u.-, * 1lu.*, *...*1i an thi l/ur ]1iu2 * ... 't 1f ualih6ng IA mot s6 nguypn. b&rg mOt phin s6 c6 m[u sd ld BSCNN cria c6c Chang nrinlr. Trl tinh chflt cria s6 tu uhi6n .