Tóm tắt bài giảng Toán V - Xác suất thống kê: Phạm Xuân Đồng

Chia sẻ: Hấp Hấp | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

217
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt bài giảng "Toán V - Xác suất thống kê" cung cấp cho người học những kiến thức tóm tắt các khái niệm cơ bản về xác suất, các định lý về phép toán xác suất, biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất, biến ngẫu nhiên hai chiều và phân phối xác suất đồng thời,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt bài giảng Toán V - Xác suất thống kê: Phạm Xuân Đồng

MATHEDUCARE.COM PHẠM XUÂN ðỒNG TÓM TẮT BÀI GIẢNG TOÁN V XÁC SUẤT THỐNG KÊ Hà Nội, 2011− − 2012 1
MATHEDUCARE.COM MỤC LỤC Trang $1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 3 $2. CÁC ðỊNH LÝ VỀ PHÉP TOÁN XÁC SUẤT 9 $3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 13 $4. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ðỒNG 17 THỜI $5. KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI 21 $6. COVARIANCE VÀ HỆ SỐ TƯƠNG QUAN 25 NỘI DUNG KIỂM TRA GIỮA KỲ $7. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP 29 $8. MẪU NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI MẪU CỦA CÁC THỐNG KÊ 33 THƯỜNG GẶP $9. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH 37 $10. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ 41 $11. KIỂM ðỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TRUNG BÌNH 45 $12. KIỂM ðỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỶ LỆ 51 $13. HỒI QUY TUYẾN TÍNH ðƠN 55 $14. KHOẢNG TIN CẬY VÀ KIỂM ðỊNH GIẢ THIẾT CÁC HỆ SỐ ðƯỜNG 58 HỒI QUY – BÀI TOÁN DỰ ðOÁN $15. TỔNG KẾT VÀ CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP 63 $16. BÀI TẬP THEO 14 MỤC CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN V (XSTK) 67 $17. PHỤ LỤC 1: TÍNH BẰNG MÁY TÍNH CASIO 68 $18. PHỤ LỤC 2: BẢNG TRA THƯỜNG SỬ DỤNG. 69 2
MATHEDUCARE.COM TÓM TẮT BÀI GIẢNG TOÁN V ( XÁC SUẤT THỐNG KÊ ) $1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT PHẠM XUÂN ðỒNG MỞ ðẦU Thống kê là khoa học và cách thức quen thuộc ñể trình bày sự hiểu biết của con người bằng dữ liệu thực nghiệm. Trong lý thuyết thống kê, tính ngẫu nhiên và sự không chắc chắn ñược lấy từ các mô hình của lý thuyết xác suất. Vì mục ñích của khoa học thống kê là ñể tìm ra thông tin "ñúng nhất" theo dữ liệu có sẵn nên có thể thấy thống kê ñược ứng dụng thực tế rất rộng trong nhiều lĩnh vực xã hội, sản suất,… Giáo trình “Xác suất và Thống kê dành cho kỹ sư và các nhà khoa học” của nhóm tác giả Ronal, Raymond, Sharon trình bày các ñặc tính của lý thuyết thống kê và phân tích dữ liệu trên nền tảng những vấn ñề cơ bản của xác suất và các phân phối xác suất, ñể dẫn ñến những kết luận về thống kê. Những yếu tố xác suất cho phép chúng ta xác ñịnh ñược sự “tin cậy” trong những kết luận của mình. ðó cũng là lý do học xác suất trước khi học thống kê suy luận. Sử dụng các phương pháp thống kê ñòi hỏi phải thu thập dữ liệu như là “nguồn vật liệu” ban ñầu. Tuy nhiên từ ñó ñể ñưa ra những kết luận còn có một khoảng cách khá lớn. Chính vì thế, thống kê suy luận tạo ra những công cụ phân tích, vượt qua khỏi việc chỉ ñưa thông tin mô tả về dữ liệu, ñã rút ra các kết luận hoặc các suy luận về hệ thống sinh ra dữ liệu ñó. Từ ñó mới có thể hiểu ñược bản chất của dữ liệu, ước lượng và dự ñoán dữ liệu có thể sinh ra. 1.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ. I. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU. + Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình sinh ra một tập dữ liệu mà không thể dự báo trước ñược sự xẩy ra của mỗi dữ liệu (mặc dù có thể biết toàn bộ tập dữ liệu ñó). + Tập hợp tất cả kết quả có thể của một phép thử ñược gọi là không gian mẫu, ký hiệu S hoặc Ω. + Mỗi kết quả trong không gian mẫu gọi là một phần tử của không gian mẫu, hoặc là một ñiểm mẫu. + Mô tả không gian mẫu bằng liệt kê (nếu hữu hạn phần tử) hoặc bằng một mệnh ñề, quy tắc (nếu có thuộc tính chung hoặc vô hạn). Có thể dùng sơ ñồ cây liệt kê những phần tử của không gian mẫu ñể có nhiều thông tin hơn. Ví dụ 1 Tìm không gian mẫu S của phép thử là tung một ñồng xu. Giải: Những kết quả không gian mẫu là S = {ngửa, sấp} Ví dụ 2 Tìm không gian mẫu của phép thử là tung một xúc xắc. Giải: Nếu ta quan tâm ñến số chấm xuất hiện của mặt trên, không gian mẫu là S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Nếu ta chỉ quan tâm tới số chấm xuất hiện chẵn hoặc lẻ, không gian mẫu ñơn giản là S2 = {chẵn, lẻ}. 3
MATHEDUCARE.COM Ví dụ 3 Tìm không gian mẫu của một phép thử là tung một ñồng xu. Nếu xuất hiện mặt sấp thì tung nó lần thứ hai, còn xuất hiện mặt ngửa, thì tung một con xúc xắc lên. Giải: Không gian mẫu liệt kê theo sơ ñồ cây như sau: Ω = {SS, SN, N1, N2, N3, N4, N5, N6} Ví dụ 4 Một lô hàng có 6 sản phẩm, trong ñó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 sản phẩm. Tìm không gian mẫu của phép thử. Giải: Cách 1: Gọi T = ”thành phẩm” , X = ”phế phẩm”. không gian mẫu là: S1 = {TTT, TTX, TXX} (quan tâm ñến kết quả cuối cùng, không xét quá trình lấy: 3 ñiểm mẫu) Cách 2: Gọi Ti = ”lần thứ i lấy ñược thành phẩm”, Xi = ” lần thứ i lấy ñược phế phẩm ” với i =1, 2, 3. Không gian mẫu: S2={T1T2T3, T1T2X3, T1X2T3, X1T2T3, T1X2X3, X1T2X3, X1X2T3} (quan tâm ñến quá trình nên xét ñến thứ tự xẩy ra kết quả: 7 ñiểm mẫu) Chú ý 1: Có nhiều hơn một không gian mẫu mô tả kết quả của một phép thử. ðiều mong muốn là sử dụng một không gian mẫu cho thông tin nhiều nhất. Cách tìm không gian mẫu: ðặt tên các loại phần tử có mặt hoặc các bước hình thành phép thử. Sau ñó mô tả ñiểm mẫu theo kết quả xẩy ra trong phép thử. II. BIẾN CỐ + Biến cố là một tập con của không gian mẫu. + Dùng A, B, C, A1 , A2,… ñể ký hiệu cho biến cố. + Một tập con của S không chứa bất kỳ một phần tử nào gọi là biến cố không thể, ký hiệu ∅. + Tập hợp là toàn bộ không gian mẫu S gọi là biến cố chắc chắc. 1.2 PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ CÁC BIẾN CỐ Phép toán các biến cố giúp ta nhận ñược thông tin về biến cố mới thông qua các biến cố trong một phép thử, tức là một biến cố phức hợp ñược biểu diễn qua các biến cố ñơn giản hơn, ñã có trong S. Giả sử A và B là hai biến cố trong một phép thử, hay là tập con của không gian mẫu S. 1. Phần bù của một biến cố A trong S là tập con gồm tất cả những phần tử của S mà không nằm trong A. Ký hiệu phần bù của A là A hoặc A' . 2. Giao của hai biến cố A và B, ký hiệu A ∩ B hoặc AB, là biến cố chứa tất cả những phần tử chung của A và B . (hay ñồng thời trong A và B) 3. Hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu A ∪ B hoặc A + B , là biến cố chứa tất cả những phần tử mà thuộc A hoặc thuộc B hoặc thuộc cả hai. (hay ít nhất trong A hoặc B) 4. Hai biến cố A và B là xung khắc, hay rời nhau nếu A ∩ B = ∅ , tức là A và B không có phần tử chung Ví dụ 5 Cho không gian mẫu S ={1,2,3,4,5,6} và A ={2,4,6}, B ={4,5,6} là các tập con của S. Tìm A , A∪B , A ∩ B Chú ý 2: 1) Biểu ñồ Venn ñể mô tả các phép toán và quan hệ giữa 2 biến cố. 4
MATHEDUCARE.COM 2) Hằng ñẳng thức: * A∪A=A, A∪S=S, A∪∅=A, A ∩ A = A , A ∩ S = A , A ∩ ∅ = ∅ , A = A , A ∪ A = S , A ∩ A = ∅ 3) Tính chất : * Giao hoán A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A . * Kết hợp: (A∪B)∪C = A∪(B∪C), ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) . * Phân phối: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) , A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) 4) ðịnh lý De Morgan: A1 ∩ ... ∩ An = A1 ∪ ... ∪ An , A1 ∪ ... ∪ An = A1 ∩ ... ∩ A n Ví dụ 6 Dùng biểu ñồ Venn gạch chéo miền chứa biến cố (a) A ∩ B (b) A ∩ B (c) A ∪ B (d) A ∪ B Ví dụ 7 Dùng biểu ñồ Venn gạch chéo miền chứa biến cố (a) ( A ∩ B) ∪ C (b) A ∩ ( B ∪ C ) (c) A ∩ B ∩ C (d) A ∪ B ∪ C Ví dụ 8 Lấy ra 4 sản phẩm trong kho có nhiều phế phẩm. Hãy ñặt tên các ñiểm mẫu và biểu diễn các biến cố sau qua các ñiểm mẫu. A = ”có nhiều nhất một phế phẩm”. B = ”có ít nhất 1 phế phẩm”. Giải: Gọi biến cố Ci = ”có i phế phẩm trong 4 sản phẩm lấy ra” với i = 0, 1 , 2, 3, 4. Ta có: A = C 0 ∪ C1 , B = C1 ∪ C 2 ∪ C3 ∪ C 4 = C0 Ví dụ 9 Hai xạ thủ A, B cùng bắn vào một mục tiêu mỗi người 1 viên ñạn. Hãy ñặt tên các ñiểm mẫu và biểu diễn các biến cố sau qua các ñiểm mẫu. M = ”mục tiêu bắn trúng”, N = ”mục tiêu bắn trượt”, H = ”chỉ một viên bắn trúng”. Giải: Gọi biến cố A = ”Xạ thủ A bắn trúng”, B = ”Xạ thủ B bắn trúng”. M = A ∪ B = AB ∪ B A ∪ AB , N = A ∪ B = AB , H = AB ∪ B A Ví dụ 10 Hai cầu thủ bóng rổ A, B mỗi người lần lượt ném 2 quả bóng vào rổ. Hãy ñặt tên các ñiểm mẫu và biểu diễn các biến cố sau qua các ñiểm mấu. X = ”số bóng trúng rổ của 2 cầu thủ bằng nhau”, Y = ”số bóng trúng rổ của 2 cầu thủ bằng 3” Giải: Cách 1: Gọi biến cố Ai* = ”người A ném i quả bóng trúng rổ”, Bi* = ”người B ném i quả bóng trúng rổ” với i = 0,1,2 thì X = A0* B0* ∪ A1* B1* ∪ A2* B2* , Y = A1* B2* ∪ A2* B1* Cách 2: Gọi biến cố Ai = ”người A ném quả bóng thứ i trúng rổ”, Bi = ”người B ném quả bóng thứ i trúng rổ” với i = 1,2. X = A1 A2 B1 B2 ∪ A1 A2 B1 B2 ∪ A1 A2 B1 B2 ∪ A1 A2 B1 B2 ∪ A1 A2 B1 B2 ∪ A1 A2 B1 B2 Y = A1 A2 B1 B2 ∪ A1 A2 B1 B2 ∪ A1 A2 B1 B2 ∪ A1 A2 B1 B2 5
MATHEDUCARE.COM Ví dụ 11 Ba xạ thủ A, B, C cùng bắn vào một mục tiêu. Hãy ñặt tên các ñiểm mẫu và biểu diễn các biến cố sau : H = ”có ñúng hai xạ thủ bắn trúng” , T = ”ít nhất một xạ thủ bắn trúng” , D = ”cả ba xạ thủ bắn trượt” (ðS: H = ABC ∪ ABC ∪ ABC , T = A ∪ B ∪ C , D = T = A.B.C ) Chú ý 3: 1) Có nhiều cách chọn các ñiểm mẫu của phép thử như sau: + Chọn số viên trúng của từng người : Ai = ” có i viên bắn trúng” với i = 0, 1, 2. + Chọn lần bắn trúng của từng người : Ai = ” lần bắn thứ i trúng” với i = 1, 2. + Chọn thuộc tính bắn trúng, trượt chung của hai người : AB, AB, AB, A.B + Chọn thuộc tính bắn trúng, trượt của từng người : A, A, B, B + Chọn thuộc tính bắn trúng của từng người : A, B và suy ra thuộc tính bắn trượt A, B 2) Khi phép thử có nhiều bước thực hiện thì dùng sơ ñồ cây sẽ cho ñiểm mẫu nhiều thông tin hơn thì mô tả biến cố mới sẽ ñơn giản hơn, nhưng cũng có thể dài hơn. 1.3 ðẾM CÁC ðIỂM MẪU I. QUY TẮC NHÂN: Nếu một công việc chia ra k giai ñoạn, giai ñoạn 1 có n1 cách , giai ñoạn 2 có n2 cách ,..., giai ñoạn k có nk cách thực hiện, thì có n1n2…nk cách thực hiện xong công việc. II. QUY TẮC CỘNG: Nếu một công việc ñược chia ra k trường hợp ñể thực hiện, trường hợp 1 có n1 cách, trường hợp 2 có n2 cách ,..., trường hợp k có nk cách thực hiện và không có bất kỳ một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với cách thực hiện ở trường hợp khác, thì có n1 + n2 +…+ nk cách thực hiện xong công việc. Ví dụ 12 Một thiết bị ñược tạo bởi 2 bộ phận. Bộ phận 1 có 3 loại, bộ phận 2 có 5 loại. Hỏi thiết bị trên có bao nhiêu loại. (ðS: 15) Ví dụ 13 Có bao nhiêu số có 3 chữ số có tổng bằng 4. Giải: Số cần tìm là abc + Nếu a = 4 : có 1 số 400 . + Nếu a = 3 : có 2 số 310, 301 . + Nếu a = 2 : có 3 số 211, 202, 220 . + Nếu a = 1 : có 4 số 103, 112, 121, 130. Vậy có 1+2+3+4=10 số. III. HOÁN VỊ Ta thường quan tâm ñến không gian mẫu mà các phần tử là tất cả những cách sắp thứ tự hoặc chỉ sắp xếp của một nhóm ñối tượng. Những sắp xếp khác nhau ñược gọi là các hoán vị. Những hoán vị xuất hiện khi sắp xếp các phần tử theo một vòng tròn ñược gọi là những hoán vị vòng quanh. Hai hoán vị vòng quanh ñược coi là khác nhau nếu các phần tử ñứng trước hoặc ñứng sau một phần tử trong hai cách sắp xếp theo chiều kim ñồng hồ là khác nhau. 1. ðịnh nghĩa: Một hoán vị là một sắp xếp toàn bộ hoặc một bộ phận của một tập phần tử. 2. ðịnh lý 1.1 : (a) Số những hoán vị của n phần tử phân biệt là . Pn = n.(n − 1)...2.1 = n! . (b) Số những hoán vị của k phần tử phân biệt trong n phần tử (gọi là chỉnh hợp chập k của n) là n! . Ank = n.( n − 1)....(n − k + 1) = . ( n − k )! 6
MATHEDUCARE.COM (c) Số những hoán vị của n phần tử phân biệt ñược sắp xếp theo một vòng tròn là (n − 1)! (d) Số những hoán vị phân biệt của n phần tử mà trong ñó n1 phần tử thuộc kiểu thứ nhất, n2 n! phần tử thuộc kiểu thứ hai, ... , nk phần tử thuộc kiểu thứ k là . . n1! n 2 !⋯ n k ! Ví dụ 14 Có 5 người xin làm 2 việc A, B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp mỗi người một việc? (ðS: A52 = 20 ) Ví dụ 15 Có bao nhiêu xếp sắp 4 người vào một bàn ăn có 4 chỗ ngồi? (ðS: 4!) Ví dụ 16 Có bao nhiêu cách sắp khác nhau ñể tạo thành một xâu ñèn của cây thông Noel có 3 bóng ñèn ñỏ, 4 bóng ñèn vàng, và 2 bóng ñèn xanh vào 9 ñui ñèn? (ðS: 9! /(3!4!2!) = 1260 ) IV. PHÂN HOẠCH Ta thường quan tâm ñến số cách phân hoạch một tập gồm n phần tử thành r tập con (nhóm) ñược gọi là các ngăn. Một phân hoạch ñược hoàn thành khi giao của mọi cặp trong r tập con là tập rỗng ∅ và hợp của tất cả những tập con là tập ban ñầu. Thứ tự của các phần tử bên trong một ngăn là không quan trọng. Nếu ta quan tâm ñến số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm ñến thứ tự, gọi là các tổ hợp. Một tổ hợp thực chất là một phân hoạch có hai ngăn, một ngăn chứa k phần tử ñược chọn còn ngăn kia chứa (n − k) phần tử còn lại. ðịnh lý 1.2: (a) Số cách phân hoạch một tập gồm n phần tử thành r ngăn mà có n1 phần tử trong ngăn thứ nhất, n2 phần tử trong ngăn thứ hai,..., là n! . Cnn1 ,n2 ,...,nr = = , trong ñó n1 + n2 + ... + nr = n . n1 !n2 !⋯ nr ! (b) Số các tổ hợp ñược tạo ra khi lấy k phần tử cùng một lúc từ n phần tử phân biệt là n! . Cnk = . k !( n − k )! Ví dụ 17 Có bao nhiêu ñường chéo trong thập giác lồi ? (ðS: C102 − 10 = 45 − 10 = 35 ) Ví dụ 18 Một ñồn có 9 người, bố trí 2 người trực, 3 người chốt ở ñiểm A, 4 người chốt ở ñiểm B. Hỏi có bao nhiêu cách phân công. (ðS: C 92,3, 4 = C 92 .C 73 .C 44 = 1260 ) 1.4. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ. Ta chỉ xét những phép thử mà không gian mẫu có hữu hạn phần tử. ðối với mọi ñiểm trong không gian mẫu, ta gán một xác suất sao cho tổng tất cả các xác suất bằng 1. ðể tìm xác suất của một biến cố A, ta lấy tổng tất cả những xác suất ñược gán cho các ñiểm mẫu trong A. Tổng này ñược gọi là xác suất của A và ký hiệu là P(A). 1. ðịnh nghĩa: Xác suất của một biến cố A là tổng của khối lượng của toàn bộ ñiểm mẫu trong A. Bởi vậy: 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0, P(S) = 1. 7
MATHEDUCARE.COM Ví dụ 19 Một con súc sắc ñược ñổ chì sao cho khả năng xuất hiện một chấm chẵn gấp 2 lần khả năng xuất hiện một chấm lẻ. Nếu E là biến cố số chấm nhỏ hơn 4 xuất hiện trong một lần tung xúc xắc, hãy tìm P(E)? Giải: Không gian mẫu là S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ta gán một xác suất w cho mỗi số chấm lẻ và một xác suất 2w cho mỗi số chấm chẵn. Do tổng của các xác suất phải bằng 1, ta có 9w = 1 hay w = 1/9. Từ ñó, các xác suất 1/9 và 2/9 ñược gán cho mỗi số chấm chẵn và lẻ tương ứng. 1 2 1 4 Do ñó: E = {1, 2, 3} và P ( E ) = + + = . 9 9 9 9 Ví dụ 20 Trong Ví dụ 20 cho A là biến cố ñể xuất hiện số chấm chẵn và cho B là biến cố ñể xuất hiện số chấm chia hết cho 3. Hãy tìm P(A∪B) và P(AB). Giải: ðối với các biến cố A = {2, 4, 6} và B = {3, 6}, ta có A∪B = {2, 3, 4, 6} và AB = {6}. Bằng cách gán xác suất 1/9 cho mỗi số chấm lẻ và 2/9 cho mỗi số chấm chẵn, ta có 2 1 2 2 7 2 P ( A ∪ B) = + + + = và P ( AB) = . 9 9 9 9 9 9 2. ðịnh lý 1.3 Nếu một phép thử có thể dẫn ñến bất kỳ một trong N kết quả phân biệt ñồng khả năng, và trong ñó có ñúng n kết quả thuận lợi cho biến cố A, thì xác suất của biến cố A là n . P ( A) = . N Ví dụ 21 Trong tay cầm 5 cây bài, hãy tìm xác suất ñể trong ñó có 2 cây Át và 3 cây J. (ðS:9,23.10-6) Ví dụ 22 Xếp ngẫu nhiên 5 người vào 5 chỗ. Tính xác suất ñể hai người A, B ngồi cạnh nhau (a) trong một bàn dài. (b) trong một bàn tròn. (ðS: (a): 0,4 (b): 0,5) Giải: (a) Gọi X = ”A,B ngồi cạnh nhau trong một bàn dài”. Số ñiểm mẫu xếp 5 người vào 5 chỗ là: N = 5!=120. Xếp 5 người có A,B ngồi cạnh nhau qua 2 bước: + Coi A,B cạnh nhau là chỗ kép thì xếp 5 người có 4! cách. + Xếp A,B trong chỗ kép có 2! cách. Số ñiểm mẫu thuận lợi cho X là: nX = 4!.2!=48. nên P(X) = 48/120 = 0,4. (b) Y = ”A,B ngồi cạnh nhau trong một bàn tròn”. Số trường hợp có thể xếp 5 người vào 5 chỗ là 5!=120. Xếp 5 người có A, B ngồi cạnh nhau qua 3 bước: + Xếp A có 5 cách. + Xếp B theo A có 2 cách + Xếp 3 người còn lại 3!=6 cách. Số ñiểm mẫu thuận lợi cho Y là: nY = 5.2.6=60 nên P(Y)=60/120=0,5. Ví dụ 23 Một bình có 10 viên bi, trong ñó 6 bi ñỏ, 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất của biến cố: (a) A = ”Không có quá 1 viên bi xanh” , (b) B = ”Có ít nhất 1 xanh, 1 ñỏ”. ðS: (a) P( A) = (C 40 .C63 + C 14C 62 ) / C103 = 0,6666 (b) P( B ) = (C 61 .C 42 + C 62 .C 41 ) / C103 = 0,8 8
MATHEDUCARE.COM TÓM TẮT BÀI GIẢNG TOÁN V ( XÁC SUẤT THỐNG KÊ ) $2. CÁC ðỊNH LÝ VỀ PHÉP TOÁN XÁC SUẤT PHẠM XUÂN ðỒNG MỞ ðẦU Từ quan hệ giữa các biến cố qua các phép toán hợp, giao, phần bù, chúng ta tìm quy tắc tính xác suất của những biến cố phức hợp. ðiều này rất có ích, giúp cho chúng ta tính ñược xác suất của một biến cố chưa biết thông qua các biến cố ñã biết. 2.1 QUY TẮC CỘNG. 1. ðịnh lý 2.1 Nếu A và B là hai biến cố tùy ý thì . . P ( A + B ) = P ( A) + P ( B) − P ( AB) . . Hệ quả 1 Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì . P ( A + B ) = P ( A) + P( B) ... Hệ qủa 2 Nếu A1, … An xung khắc với nhau thì . P ( A1 + A2 + ... + An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( An ) . Hệ quả 3 Nếu A1, … An là một phân hoạch của không gian mẫu S, thì: . P ( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( An ) = P ( S ) = 1 . 2. ðịnh lý 2.2 Với 3 biến cố A, B, C ta có: . P ( A + B + C ) = P( A) + P ( B ) + P(C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P( ABC ) . . 3. ðịnh lý 2.3 Nếu A và A là hai biến cố phần bù của nhau thì . P ( A) + P ( A ) = 1 . Ví dụ 1 Trong kỳ thi 2 môn Toán và tiếng Anh, xác suất ñể Paula thi ñỗ môn toán là 2/3 và xác suất ñể cô ta thi ñỗ môn tiếng Anh là 4/9, xác xuất ñể thi ñỗ cả 2 môn là 1/4. Tính xác suất ñể Paula (a) thi ñỗ ít nhất một môn. (b) không ñỗ môn nào. (c) thi trượt ít nhất một môn. (d) thi ñỗ ñúng một môn. Giải: * Gọi tên biến cố ñã biết (hay các ñiểm mẫu): Gọi M = “thi ñỗ môn toán” , E = “thi ñỗ môn tiếng Anh”⇒ Biến cố ñỗ cả 2 môn là ME * Gọi tên biến cố cần tìm: A = “thi ñỗ ít nhất một môn” B = “không ñỗ môn nào” C = “thi trượt ít nhất một môn”. D = “thi ñỗ ñúng một môn”. 2 4 1 * Xác ñịnh các xác suất ñã biết: P ( M ) = , P ( E ) = , P ( ME ) = 3 9 4 * Thiết lập phép toán giữa biến cố cần tìm với các biến cố ñã biết: A = M + E , B = M E = A , C = M + E = ME , D = M E + M E * Áp dụng công thức tính xác suất : 2 4 1 31 P ( A) = P ( M + E ) = P ( M ) + P ( E ) − P ( ME ) = + − = 3 9 4 36 P ( B ) = 1 − P ( A) = 5 / 36 , P (C ) = 1 − P ( ME ) = 3 / 4 Do A = D + ME và D, ME xung khắc nhau nên P( A) = P( D ) + P( ME ) ⇒ P( D ) = 11 / 18 Chú ý 1: S = {ít nhất một} ∪ {không có} 9
MATHEDUCARE.COM 2.2 XÁC SUẤT CÓ ðIỀU KIỆN. Xác suất của biến cố B xẩy ra khi biết biến cố A nào ñó ñã xảy ra ñược gọi là xác suất có ñiều kiện , ký hiệu là P(B|A), thường ñược ñọc là “ xác suất ñể B xảy ra với ñiều kiện A ñã xảy ra” hoặc ñơn giản là “xác suất của B với ñiều kiện A”. 1. ðịnh nghĩa Xác suất có ñiều kiện của B với ñiều kiện A, ký hiệu P(B|A), ñược xác ñịnh như sau: P( AB) . P( B | A) = nếu P(A) > 0 . P( A) 2. ðịnh nghĩa Hai biến cố A và B ñược gọi là ñộc lập với nhau khi và chỉ khi P ( B | A) = P ( B ) hoặc P ( A | B ) = P ( A) . Trong trường hợp ngược lại ta nói A và B phụ thuộc nhau. Ví dụ 2 Xác suất ñể một chuyến bay khởi hành ñúng giờ là P(A) = 0,83, xác suất ñể nó ñến ñúng giờ là P(B) = 0,82, xác suất ñể nó khởi hành và ñến ñều ñúng giờ là P( AB ) = 0,78 . Tính xác suất ñể một chiếc máy bay: (a) ñến ñúng giờ biết rằng nó ñã khởi hành ñúng giờ; (b) khởi hành ñúng giờ biết rằng nó ñã ñến ñúng giờ. (c) Xác suất ñể một máy bay ñến ñúng giờ, biết rằng nó ñã khởi hành không ñúng giờ Giải: (a) Xác suất ñể một máy bay ñến ñúng giờ biết rằng nó ñã khởi hành ñúng giờ là: P ( AB) 0,78 P ( B | A) = = = 0,94 P( A) 0,83 (b) Xác suất ñể một máy bay khởi hành ñúng giờ biết rằng nó ñã ñến ñúng giờ là: P ( AB) 0,78 P ( A | B) = = = 0,95 P( B ) 0,82 (c) Xác suất ñể một máy bay ñến ñúng giờ, biết rằng nó ñã khởi hành không ñúng giờ là: P( AB) P ( B | A) = P( A) Ta có: P( A) = 1 − P( A) = 1 − 0,83 = 0,17 và ( AB) + ( AB) = ( A + A) B = SB = B . 0,04 Vậy P( AB) + P( AB) = P( B) ⇒ P( AB) = 0,82 − 0,78 = 0,04 nên P ( B | A) = = 0,235 0,17 Chú ý 2: P( AB) = P(B) − P( AB) Ví dụ 3 Trong một thí nghiệm nhằm nghiên cứu mối liên hệ giữa bệnh cao huyết áp với thói quen hút thuốc lá, số liệu thu thập ñược từ 180 người như sau: Không Hút thuốc Nghiện thuốc hút thuốc nhưng không nghiện Huyết áp cao 21 36 30 Bình thường 48 26 19 Nếu chọn ngẫu nhiên một trong những người này, hãy tìm xác suất ñể người ñó bị cao huyết áp, biết rằng người ñó nghiện thuốc; Giải: Gọi A = “huyết áp cao” , B = “nghiện thuốc” , C = “không hút thuốc”. 21 + 36 + 30 87 49 P ( A) = = = 0,4833 , P ( B ) = = 0,2722 21 + 36 + 30 + 48 + 26 + 19 180 180 30 P( AB) 30 P ( AB ) = nên P( A | B) = = 180 P( B) 49 10
MATHEDUCARE.COM 2.3 QUY TẮC NHÂN 1. ðịnh lý 2.4 Nếu trong một phép thử, các biến cố A và B có thể cùng xảy ra thì P ( AB ) = P ( A).P ( B | A) . 2. ðịnh lý 2.5 Hai biến cố A và B là ñộc lập với nhau khi và chỉ khi . P ( AB ) = P ( A).P ( B ) . 3. ðịnh lý 2.6 Nếu trong một phép thử, các biến cố A1 , A2 ,..., Ak có thể xảy ra thì . P ( A1 A2 ... Ak ) = P ( A1 ).P ( A2 | A1 )...P ( Ak | A1 A2 ... Ak −1 ) . Nếu các biến cố A1 , A2 ,..., Ak ñộc lập thì . P ( A1 A2 ... Ak ) = P ( A1 ).P ( A2 )...P ( Ak ) . Ví dụ 4 Trong một cuộc thi Olympic Toán, ban tổ chức chọn 1/5 số sinh viên ñạt giải. Trong ñó giải nhất chiếm 5% số giải. Tìm xác suất ñể một người tham gia cuộc thi ñược giải Nhất. Giải: Gọi A = “ñạt giải” , B = “ñạt giải Nhất”. P(A)= 0,2 , P(B|A) = 0,05 . Vậy xác suất ñể một người tham gia cuộc thi ñạt giải Nhất là: P(B) = P(AB) = P(A).P(B|A) = 0,2 . 0,05 = 0,01. Chú ý: Giải thích tại sao có tính chất P(B) = P(AB). Ví dụ 5 Trong lô hàng có 100 sản phẩm, trong ñó có 80 sản phẩm loại A. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm lần lượt từng chiếc không hoàn lại . Tính xác suất ñể 3 sản phẩm ñều loại A. HD: Gọi Ai = “lần lấy thứ i ñược sản phẩm loại A”, A = “ 3 sản phẩm ñều loại A”. 80 79 78 A = A1 A2 A3 ⇒ P( A) = P ( A1 ).P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) = . . = 0,508 . 100 99 98 Ví dụ 6 Trong một kho hàng, xác suất lấy ñược sản phẩm loại A là 0,8. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm lần lượt từng chiếc không hoàn lại . Tính xác suất ñể 3 sản phẩm ñều loại A. HD: Gọi Ai = “lần lấy thứ i ñược sản phẩm loại A”, A = “ 3 sản phẩm ñều loại A”. A = A1 A2 A3 ⇒ P( A) = P( A1 ).P( A2 ) P( A3 ) = 0,83 = 0,512 . Chú ý 3: Với mẫu nhỏ thì cách chọn sau phụ thuộc vào các chọn trước, khi ñó tính theo xác suất có ñiều kiện. Với mẫu lớn thì xác suất mỗi lần chọn có thể coi không ñổi, thường gặp ở dãy Becnuli, mỗi lần chọn ñộc lập nhau. Ví dụ 7 Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi ñỏ và 10 bi xanh. Hộp thứ 2 chứa 5 bi trắng, 2 bi ñỏ và 3 bi xanh. Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. (a) Tìm xác suất ñể viên lấy ra là cùng màu. (b) Khi hai viên bi lấy ra là cùng màu, hãy tìm xác suất ñể hai viên bi ñó là màu xanh. HD: a) A = T1T2 + D1 D2 + X 1 X 2 . b) P ( B / A) = P ( BA) / P ( A) = P ( X 1 X 2 ) / P ( A) 2.4 QUY TẮC BAYES 1. ðịnh lý 2.7 (ðịnh lý xác suất ñầy ñủ) Nếu các biến cố B1, B2, …, Bk là một phân hoạch của không gian mẫu S, trong ñó P ( Bi ) ≠ 0 với mọi i = 1,2, …, k thì với biến cố A bất kì của S ta có: k k . P( A) = ∑ P( Bi A) = ∑ P( Bi )P( A | Bi ) . i =1 i =1 11
MATHEDUCARE.COM 2. ðịnh lý 2.8 (Quy tắc Bayes) Nếu các biến cố B1,B2, …, Bk là một phân hoạch của không gian mẫu S, trong ñó P ( Bi ) ≠ 0 với mọi i = 1, 2, …, k, thì với biến cố A bất kì của S mà P( A) ≠ 0 , ta có P ( Bi A) . P ( Bi | A) = , với i = 1, 2, …, k . P( A) Chú ý: Phân biệt sự khác nhau giữa P( B1 | A) và P( A | B1 ) Tỉ lệ B1 có mặt trong A. Tỉ lệ A có mặt trong B1 Ví dụ 8 Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1, B2, và B3 tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm tương ứng. Theo số liệu kiểm tra cho biết tỷ lệ phế phẩm do mỗi máy tương ứng là 2%, 3% và 2%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. (a) Tính xác suất ñể nó là phế phẩm. (b) Nếu sản phẩm lấy ra là phế phẩm, thì xác suất ñể sản phẩm ñó thuộc máy B3 là bao nhiêu? Giải: (a) Gọi A là biến cố sản phẩm ñược chọn là phế phẩm , B1: sản phẩm ñược làm bởi máy B1 , B2: sản phẩm ñược làm bởi máy B2, B3: sản phẩm ñược làm bởi máy B3. Ta có P(B1) = 0,3 , P(B2) = 0,45 , P(B3) = 0,25 P(A|B1) = 0,02 , P(A|B2) = 0,03 , P(A|B3) = 0,02 , Áp dụng ñịnh lý xác suất ñầy ñủ, ta có xác suất ñể sản phẩm ñó là phế phẩm là: P(A) = P(B1).P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) = 0,3×0,02 + 0,45×0,03 + 0,25×0,02 = 0,006 + 0,0135 + 0,005= 0,0245 (b) Sử dụng Quy tắc Bayes ta có P ( B3 ) P ( A | B3 ) 0,005 P ( B3 | A) = = = 0,2041 P( A) 0,0245 Ví dụ 9 Túi thứ nhất có 4 quả bóng trắng và 3 quả bóng ñen, túi thứ hai có 3 quả bóng trắng và 5 quả bóng ñen. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ túi thứ nhất bỏ sang túi thứ hai. Tính xác suất ñể một quả bóng ñược lấy ra từ túi thứ hai có màu ñen. Giải: Gọi D1, T1 là biến cố lấy ñược 1 quả bóng ñen, trắng từ túi thứ nhất bỏ sang túi thứ hai, A là biến cố lấy ñược 1 quả bóng ñen từ túi thứ hai. Ta có: P(D1) = 3/7 , P(T1) = 4/7 , P(A|D1) = 6/9 , P(A|T1)= 5/9 Áp dụng ñịnh lý xác suất ñầy ñủ, ta có xác suất ñể một quả bóng ñược lấy ra từ túi thứ hai có màu ñen là: 3 6 4 5 38 P ( A) = P ( D1 ) P ( A | D1 ) + P (T1 ) P ( A | T1 ) = . + . = 7 9 7 9 63 12
MATHEDUCARE.COM TÓM TẮT BÀI GIẢNG TOÁN V ( XÁC SUẤT THỐNG KÊ ) $3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT PHẠM XUÂN ðỒNG MỞ ðẦU Từ các kết cục của phép thử ngẫu nhiên, chúng ta có thể mô tả các ñiểm mẫu của không gian mẫu bằng ñịnh tính hoặc ñịnh lượng, như ví dụ sau: Ví dụ 1 Ba quả bóng ñược lấy lần lượt theo cách không hoàn lại từ một bình chứa 4 quả bóng ñỏ và 2 quả bóng trắng. Hãy mô tả không gian mẫu qua: (a) biến cố ð = “lấy bóng ñỏ” , T = “lấy bóng trắng”. (b) biến ngẫu nhiên X là số bóng ñỏ. Không gian mẫu X ððð 3 ððT, ðTð , Tðð 2 ðTT, TðT, TTð 1 Việc số hóa các ñiểm mẫu tạo thuận lợi cho mô tả cũng như sử dụng các công cụ khác của Toán học hiệu quả hơn. 3.1 BIẾN NGẪU NHIÊN 1. Biến ngẫu nhiên là một hàm số ñặt tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu với một số thực. Tên biến ngẫu nhiên viết chữ in hoa, ví dụ X. Các giá trị của nó viết chữ thường, ví dụ x. 2. Biến ngẫu nhiên ñược gọi là rời rạc nếu tập các kết cục có thể xảy ra của nó là ñếm ñược. Biến ngẫu nhiên ñược gọi là liên tục nếu tập giá trị của nó là một khoảng thực nào ñó. Trong thực tế, biến ngẫu nhiên liên tục biểu diễn các dữ liệu ño ñược như chiều cao, cân nặng, nhiệt ñộ, khoảng cách. Còn biến ngẫu nhiên rời rạc biểu diễn các dữ liệu ñếm ñược như số sản phẩm bị lỗi trong một mẫu gồm k sản phẩm hay số tai nạn giao thông trong một năm ở một tỉnh nào ñó. 3.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC. 1. Hàm phân phối xác suất: Tập hợp các cặp có thứ tự ( x, f ( x )) là một hàm xác suất hay phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X nếu với mỗi kết cục có thể có x , ta có: . 1) f ( x ) ≥ 0 2) ∑ f ( x) = 1 3) P( X = x) = f ( x) . x Ví dụ 2 Một kiện hàng gồm 8 chiếc máy vi tính giống nhau trong ñó có 3 chiếc bị lỗi. Một trường học mua ngẫu nhiên 2 trong những chiếc máy vi tính này, tìm phân phối xác suất của X là số chiếc bị lỗi Giải: * ðặt tên biến ngẫu nhiên: Gọi X là số máy vi tính bị lỗi trường học ñó mua. * Tập giá trị biến ngẫu nhiên: X = {0, 1, 2} * Tính xác suất của biến X tại mỗi giá trị: 13
MATHEDUCARE.COM 0 2 C C 10 C 31C 51 15 C 32 C 50 3 f (0) = P( X = 0) = 2 3 = 5 , f (1) = P( X = 1) = 2 = , f (2) = P( X = 2) = 2 = . C8 28 C8 28 C8 28 * Hàm phân phối xác suất: x 0 1 2 10 15 3 f(x) 28 28 28 Ví dụ 3 Một người bắn ba viên ñạn ñộc lập nhau vào một mục tiêu với xác suất bắn một viên trúng mục tiêu là 0,6. (a) Gọi X là số viên ñạn bắn trúng mục tiêu. Tìm phân phối xác suất f (x) của X. (b) Gọi Y là số viên ñạn ñã bắn cho ñến khi trúng mục tiêu hoặc hết ñạn thì dừng lại. Tìm phân phối xác suất g(y) của Y. Giải: (a) Ta thấy X = {0, 1, 2, 3}. Gọi Ai = “lần thứ i bắn trúng mục tiêu”. f (0) = P ( A1 A2 A3 ) = 0,4 3 = 0,064 f (1) = P( A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ) = C31 .0,6.0,4 2 = 0,288 f (2) = P( A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ) = C32 .0,6 2.0,4 = 0,432 f (3) = P( A1 A2 A3 ) = C33 .0,6 3 = 0, 216 x 0 1 2 3 f (x) 0,064 0,288 0,432 0,216 (b) Y = {1, 2, 3}. Ta có: g (1) = P( A1 ) = 0,6 g (2) = P( A1 A2 ) = 0,4.0,6 = 0, 24 , g (3) = P ( A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ) = P( A1 A2 ) = 0,4 2 = 0,16 y 0 1 2 g (y) 0,6 0,24 0,16 Ví dụ 4 Một lô hàng có 10 sản phẩm trong ñó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ñồng thời 3 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm ñược lấy ra. Tìm phân phối xác suất f (x) của X. Giải: Ta có X = {0, 1, 2}. Số cách lấy 3 sản phẩm trong 10 sản phẩm là C103 , số cách lấy x C2x .C83− x phế phẩm trong 3 sản phẩm là C2x .C83− x . Phân phối xác suất của X là f ( x) = C103 Ví dụ 5 Một hộp ñựng 6 sản phẩm trong ñó có 2 phế phẩm. Người ta kiểm tra từng sản phẩm không hoàn lại cho tới khi thấy phế phẩm thì thôi. Gọi X là số sản phẩm ñược kiểm tra. Tìm phân phối xác suất của X. Giải: Gọi Ai = “lần kiểm tra thứ i thấy phế phẩm”. Ta có X = {1, 2, 3, 4, 5}. 2 1 4 2 4 f (1) = P ( A1 ) = = , f (2) = P( A1 A2 ) = P ( A1 ).P( A2 | A1 ) = . = , 6 3 6 5 15 1 2 1 f (3) = P( A1 A2 A3 ) = , f ( 4) = P ( A1 A2 A3 A4 ) = , f (5) = P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) = 5 15 15 Hàm phân phối xác suất: x 1 2 3 4 5 f (x) 5 / 15 4 / 15 3 / 15 2 / 15 1 / 15 14
MATHEDUCARE.COM 2. Hàm phân phối tích lũy F(x) của biến ngẫu nhiên rời rạc X với phân phối xác suất f (x) là: . F ( x) = P( X ≤ x) = ∑ f (t ) , với − ∞ < x < +∞ . t≤ x Hệ quả: . P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a ) , P (a < X < b) = F (b) − F ( a) − P ( X = b) . Ý nghĩa: Từ tổng các giá trị xác suất trong miền (−∞, x] sẽ tính ñược xác suất trong miền [ a, b] bất kỳ trong khoảng ñó. Ví dụ 6 Tìm hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên X trong Ví dụ 2. Tính P (0,2 < X ≤ 1,5)  0 , x
MATHEDUCARE.COM Ví dụ 7 Giả sử sai số của nhiệt ñộ phản ứng (ñơn vị 0C) trong một thí nghiệm là biến ngẫu  kx 2 , − 1 < x < 2 nhiên liên tục X có hàm mật ñộ xác suất f ( x) =   0 , x ∉ ( −1,2) (a) Tìm hằng số k. (b) Tìm P(0 < X ≤ 1). (ðS: k = 1/3) 2. Hàm phân phối tích lũy F(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật ñộ f(x) là: x . F ( x) = P( X ≤ x) = ∫ f (t )dt , với - ∞ < x < ∞ . −∞ dF ( x ) Hệ quả: . P( a < X < b ) = F(b) – F(a) và f ( x) = (nếu ñạo hàm tồn tại) . dx  0 , x
MATHEDUCARE.COM TÓM TẮT BÀI GIẢNG TOÁN V ( XÁC SUẤT THỐNG KÊ ) $4. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ðỒNG THỜI PHẠM XUÂN ðỒNG MỞ ðẦU Trong một phép thử có những kết cục xẩy ra nhiều biến ngẫu nhiên cùng một lúc. Việc nghiên cứu có thể riêng rẽ với từng biến ngẫu nhiên như phần trước, cũng có thể xét quan hệ giữa hai hay nhiều biến ngẫu nhiên ñồng thời, ta gọi là biến ngẫu nhiên hai chiều hay nhiều chiều. 4.1 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ðỒNG THỜI CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC. ðịnh nghĩa: Hàm f(x, y) là phân phối xác suất ñồng thời của các biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y nếu: . 1) f ( x, y ) ≥ 0 , ∀( x, y ) 2) ∑∑ f ( x, y) = 1 3) P( X = x, Y = y ) = f ( x, y ) . x y Công thức tính xác suất trên miền A trong mặt phẳng Oxy: . P[( X , Y ) ∈ A] = ΣΣ f ( x, y) . A Ví dụ 1 Hai chiếc ruột bút bi ñược chọn ngẫu nhiên từ 1 hộp gồm 3 ruột bút xanh, 2 ruột bút ñỏ, 3 ruột bút vàng. Gọi X là số ruột bút xanh, Y là số ruột bút ñỏ ñược chọn, tìm (a) phân phối xác suất ñồng thời f (x, y). (b) P[(X, Y) ∈ A] với A = {(x, y) | x + y ≤ 1}. Giải: (a) Cặp giá trị (x, y) có thể là: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (0, 2) và (2, 0) Số cách chọn 2 ruột bút từ 8 chiếc là C 82 = 28. Số cách chọn x ruột bút xanh từ 3 chiếc và y ruột bút ñỏ từ 2 chiếc và (2−x− y) ruột bi vàng từ 3 chiếc là C3x C 2y .C32− x − y . Ta có phân phối C3x C2y C32− x − y xác suất ñồng thời là f ( x, y ) = với x = 0, 1 ,2; y = 0, 1, 2; 0 ≤ x + y ≤ 2. Bảng C82 phân phối xác suất: X 0 1 2 Y 0 3 / 28 9 / 28 3 / 28 1 3 / 14 3 / 14 0 2 1 / 28 0 0 3 3 9 9 (b) P[(X, Y) ∈ A] = P(X + Y ≤ 1) = f(0, 0) + f(0,1) + f (1, 0) = + + = . 28 14 28 14 4.2 HÀM MẬT ðỘ ðỒNG THỜI CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC. ðịnh nghĩa: Hàm f (x, y) ñược gọi là hàm mật ñộ ñồng thời của các biến ngẫu nhiên liên tục X và Y nếu: +∞ +∞ . 1) f ( x, y ) ≥ 0 , ∀( x, y ) 2) ∫ ∫ f ( x, y )dxdy = 1 − ∞− ∞ 3) P[( X , Y ) ∈ A] = ∫∫ f ( x, y ) dxdy với A là miền tùy ý trong mặt phẳng Oxy . A Ví dụ 2 Một công ty kẹo phân phối các hộp kẹo sôcôla tổng hợp với các loại nhân kem, nhân bơ cứng và nhân quả hạch ñược phủ cả sôcôla ñen và sôcôla trắng. Chọn ngẫu nhiên một hộp, 17
MATHEDUCARE.COM gọi X, Y lần lượt là tỷ lệ sôcôla trắng nhân kem và sôcôla ñen nhân kem. Giả sử hàm mật ñộ ñồng thời của X, Y là: 2  ( 2 x + 3 y ) , ( x, y ) ∈ D = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} f ( x, y ) =  5  0 , ( x, y ) ∉ D 1 1 1 Tìm P[(X, Y) ∈ A] , A = {(x, y) | 0 < x < , < y < }. 2 4 2 1/ 2 1 / 2 1 1 1 2 Giải: P[(X, Y) ∈ A] = P(0 < X < ,
MATHEDUCARE.COM Ví dụ 5 Biến ngẫu nhiên (X,Y), trong ñó X là sự thay ñổi nhiệt ñộ, Y là tỷ lệ thay ñổi quang phổ mà một nguyên tử tạo ra, có hàm mật ñộ ñồng thời như sau:  10 xy 2 , ( x, y) ∈ D f ( x, y) =  với D = {( x, y) | 0 < x < y < 1}  0 , ( x , y ) ∉ D Tìm hàm mật ñộ biên duyên g(x), h(y). Giải : * Nếu x ∉ [0, 1] : g(x) = 0 . 1 ∞ 10 y = 1 10 * Nếu x ∈ [0, 1] : g ( x) = ∫ f ( x, y )dy = ∫10 xy 2 dy = xy 3 = x (1 − x 3 ) −∞ x 3 y=x 3 10 3  x(1 − x ) , x ∈ [0, 1]  5 y 4 , y ∈ [0, 1] Ta có : g ( x) =  3 . Tương tự h( y ) =   0 , x ∉ [0, 1]  0 , y ∉ [0, 1] 4.4 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ðIỀU KIỆN. Nhắc lại: Xác suất có ñiều kiện của biến cố B với ñiều kiện biến cố A xẩy ra: P( AB) . P ( B | A) = , P(A) > 0 . P ( A) ðịnh nghĩa: Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc hoặc liên tục. Phân phối xác suất f ( x, y ) có ñiều kiện của biến ngẫu nhiên Y với ñiều kiện X = x là . f ( y | x) = , g ( x) > 0 . g ( x) Phân phối có ñiều kiện của biến ngẫu nhiên X với ñiều kiện Y = y là f ( x, y ) . f ( x | y) = , h( y ) > 0 . h( y ) Hệ quả: Xác suất ñể biến ngẫu nhiên rời rạc X lấy giá trị trong khoảng (a,b) khi ñã biết biến ngẫu nhiên rời rạc Y = y là: . P (a < X < b | Y = y ) = ∑ f ( x | y ) . , trong ñó tổng ñược lấy trên x tất cả các giá trị của X nằm giữa a và b. b Khi X và Y liên tục thì . P (a < X < b | Y = y ) = ∫ f ( x | y )dx . a  x(1 + 3 y 2 )  , 0 < x < 2, 0 < y < 1 Ví dụ 6 Cho hàm mật ñộ ñồng thời f ( x, y ) =  4  0 , ( x, y ) ∉ (0, 2) × (0,1)  1 1 1 Tìm g(x), h(y), f(x | y) và P( < X < | Y = ). 4 2 3 Giải: Theo ñịnh nghĩa ta có: 1 ∞ x(1 + 3 y 2 )  xy xy 3  y = 1 x g ( x) = ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy =  +  = ,0< x
MATHEDUCARE.COM Chú ý: Nếu f(x | y) không phụ thuộc vào y thì f ( x | y ) = g ( x) Nếu f(x,y) ≠ g(x)h(y) thì biến ngẫu nhiên X và Y không ñộc lập thống kê. Liên hệ với 2 biến cố A, B ñộc lập nhau ⇔ P(A|B) = P(A) ⇔ P(AB) = P(A).P(B) Ví dụ 7 Cho phân phối xác suất ñồng thời X 0 1 2 Y −1 0,12 0,18 0,3 3 0,08 0,12 0,2 (a) Tính f ( X = x | Y = 3) với X = 0,1,2 (b) Hỏi X, Y có ñộc lập thống kê không? 2 f ( x,3) Giải: (a) Ta có h(3) = ∑ f ( x,3) = 0,08 + 0,12 + 0,2 = 0,4 nên f ( x | 3) = x =0 h(3) x 0 1 2 * f(x | 3) 0,2 0,3 0,5 (b) x 0 1 2 y −1 3 g(x) 0,2 0,3 0,5 h(y) 0,6 0,4 Kiểm tra ta thấy f ( x, y ) = g ( x ).h( y ) ∀( x, y ) nên X, Y ñộc lập thống kê. 4.6 HÀM CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN. Biết X là một biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f(x) và giả sử Y = u(X) là phép ñặt tương ứng một một giữa biến X và Y. Chúng ta mong muốn tìm phân phối xác suất của Y. ðịnh lý: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là f (x). Giả sử Y = u (X ) xác ñịnh phép biến ñổi một một giữa các giá trị của X và Y sao cho y = u(x) giải ñược duy nhất nghiệm x tính theo y, gọi là x = w(y). Khi ñó phân phối xác suất của Y là: (a) . g ( y ) = f [ w( y )] . , X là biến ngẫu nhiên rời rạc (b) . g ( y ) = f [ w( y )] J . , X là biến ngẫu nhiên liên tục, J = w′( y ) gọi là Jacobian của phép ñổi biến Chứng minh (a) : Phép tương ứng một một chỉ ra rằng mỗi giá trị x chỉ liên quan ñến một và chỉ một giá trị y và ngược lai. Từ phân phối xác suất rời rạc, rõ ràng rằng biến ngẫu nhiên Y nhận giá trị y khi biến ngẫu nhiên X nhận giá trị w(y). Suy ra là phân phối xác suất của Y là: g ( y ) = P (Y = y ) = P ( X = w( y )) = f ( w( y )). Ví dụ 8 Cho X là biến ngẫu nhiên hình học với phân phối xác suất là x −1 31 f ( x) =   , x = 1,2,3,.... Tìm phân phối xác suất của biến Y = X 2 . 44 Giải: Do biến ngẫu nhiên X chỉ nhận các giá trị dương, nên phép tương ứng một một giữa x y −1 2 31 và y là y = x ⇔ x = y . Do ñó g ( y ) = f ( y ) =   , y = 1,4,9,... 44  x / 12, x ∈ (1,5) Ví dụ 9 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với phân phối xác suất f ( x) =   0, x ∉ (1,5) Tìm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = 2 X − 3. Giải: Hàm ngược của y = 2 x − 3 là x = ( y + 3) / 2, từ ñó chúng ta có J = w′( y ) = 1 / 2.  ( y + 3) / 2 1 y + 3  . = , y ∈ (−1,7) Do ñó hàm mật ñộ của Y là g ( y ) =  12 2 48  0, y ∉ ( −1,7) 20