Tổng hợp kiến thức ôn thi Đại học môn Toán 12: Kinh nghiệm và tài liệu

ạ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

Ả

ỳ Ổ Ợ

I GI I TÍCH T H P

n! = 1.2...n 1. Giai th a : ừ

0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n ắ ộ ườ ọ

ườ ề 2. Nguyên t c c ng : ọ ỗ ng h p 1 có m cách ch n, tr ợ ộ ườ ợ ộ ổ ố ợ ng h p 2 có n cách ng h p. Khi đó, t ng s cách

ọ ọ

ệ ượ ắ ọ ỗ ọ

ố ạ ệ ượ ế ổ ng 1 có m cách ch n, m i cách ch n này l Hi n t ọ ng 2. Khi đó, t ng s cách ch n liên ti p hai hi n t i có n ng là

n =

ậ ế ế ỗ ố ị Có n v t khác nhau, x p vào n ch khác nhau. S cách x p : P Tr ch n; m i cách ch n đ u thu c đúng m t tr ch n là : m + n. 3. Nguyên t c nhân : ệ ượ ọ cách ch n hi n t : m x n. 4. Hoán v :

n !.

Ck n

!n )!kn(!k

(cid:0) ậ ậ ọ ố ọ Có n v t khác nhau, ch n ra k v t. S cách ch n : ổ ợ 5. T h p : (cid:0)

, A

k n

k C .P n k

k n

ợ ỉ ọ ậ ế ậ ỗ ố 6. Ch nh h p :

cách : -

CCCCC

ợ ỉ Có n v t khác nhau. Ch n ra k v t, x p vào k ch khác nhau s n! (n k)! ổ ợ r i ồ hoán vị t h p Ch nh h p =

0 0 0 C 1 0 2 0 C 3 0 4

1 C 1 1 2 CCC 2 2 2 1 CC 3 3 1 2 4 4

4 4

3 C 3 3 4

7. Tam giác Pascal : 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 1 4 1

C,1C

n n

kn n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

k n k 1n

k n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Tính ch t :ấ 0 C n 1k n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ứ n )ba( *

n n

8. Nh th c Newton : 0n0 n a = b = 1 : ...

C,...,

(cid:0) ứ ượ ứ ứ ề ẳ c nhi u đ ng th c ch a :

0 n ớ V i a, b 1 0 C,C n n n n0 )xa( n

C,...,

11n1 n0n baC... baCbaC n n + = + + 1 n C C ... C 2 n {(cid:0) 1, (cid:0) 2, ...}, ta ch ng minh đ n n 1n1 xaCaC n ượ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) *

0 1 C,C n n

nn xC... n ẳ c nhi u đ ng th c ch a ầ

ứ ề ứ ứ ằ b ng cách :

n n (cid:0) 1, (cid:0) 2, ... a = (cid:0) 1, (cid:0) 2, ... ầ

ầ ạ

hay

...

ầ (cid:0) 1, (cid:0) 2, ... , a = (cid:0) 1, (cid:0) 2, ... (cid:0) (cid:0) b Ta ch ng minh đ Đ o hàm 1 l n, 2 l n, cho x = Nhân v i xớ k , đ o hàm 1 l n, 2 l n, cho x = ạ 1

1 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Cho a = (cid:0) 1, (cid:0) 2, ..., hay a

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

k n k

nC a

- ộ ậ ố ạ ứ ớ = b Kx

ả Chú ý : * (a + b)n : a, b ch a x. Tìm s h ng đ c l p v i x : c k. i pt : m = 0, ta đ Gi

ữ ỷ ố ạ ứ ượ * (a + b)n : a, b ch a căn . Tìm s h ng h u t .

k n k

m r q p b Kc d

- =

nC a Zp/m

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ ượ Gi i h pt : , tìm đ c k (cid:0) (cid:0)

...C,A

Zq/r k n

(cid:0) i pt , bpt ch a : đ t đi u ki n k, n ầ n. C n bi ế ơ t đ n

ứ ừ ừ ố N* ..., k (cid:0) gi n các giai th a, qui đ ng m u s , đ t th a s chung.

ặ ệ ề ẫ ố ặ ắ ệ ị ế ố * C n phân bi t : qui t c c ng và qui t c nhân; hoán v (x p, không b c), t ổ

k ả * Gi n ồ ả ắ ộ ầ ỉ ợ h p (b c, không x p), ch nh h p (b c r i x p). ể

ế ố ợ

ố ồ ế ợ ườ ơ ồ ặ ắ * Áp d ng s đ nhánh đ chia tr ế ng h p , tránh trùng l p ho c thi u

ợ ụ ng h p. tr

ườ ố ỏ

ườ ớ ấ ố ọ * V i bài toán tìm s cách ch n th a tính ch t p mà khi chia tr ỏ ườ ấ ọ ợ ơ ợ ng h p, ta ư ng h p h n, ta làm nh sau

ấ th y s cách ch n không th a tính ch t p ít tr :

ỏ

ọ ệ ế

ọ ậ ữ ố ể ứ ả ầ ừ ỏ t m nh đ ph đ nh p th t chính xác. * Vé s , s biên lai, b ng s xe ... : ch s 0 có th đ ng đ u (tính t trái

ọ ố s cách ch n th a p. ố ố = s cách ch n tùy ý s cách ch n không th a p. ề ủ ị ầ C n vi ố ố ố sang ph i).ả

ấ ệ * D u hi u chia h t :

ữ ố ố ợ ữ ố ố ợ ế ế ố ố

ữ ố ữ ố ế ế

ậ ậ ậ ổ ổ ậ

ế

ậ ế Cho 2 : t n cùng là 0, 2, 4, 6, 8. Cho 4 : t n cùng là 00 hay 2 ch s cu i h p thành s chia h t cho 4. Cho 8 : t n cùng là 000 hay 3 ch s cu i h p thành s chia h t cho 8. Cho 3 : t ng các ch s chia h t cho 3. Cho 9 : t ng các ch s chia h t cho 9. Cho 5 : t n cùng là 0 hay 5. Cho 6 : chia h t cho 2 và 3. Cho 25 : t n cùng là 00, 25, 50, 75.

0cb 0b

b/ca

II Đ I SẠ Ố (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ế a + b = c (cid:0) a = c – b; ab = c (cid:0) 1. Chuy n v : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1n2

1n2 a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/b = c (cid:0) ; (cid:0) (cid:0)

(cid:0) = b a = = a = 2n � � a b b, a b � (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 0

log

2 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ỳ

ạ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09) 0c,0b 0b

cba

ab;bca

b/ca 0b

b/ca

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

;}b,amax{

}b,amin{

2. Giao nghi m :ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) p (cid:0) G (cid:0) (cid:0) < < < (cid:0) (cid:0) p q a x b(ne�ua b) � ; � � � G (cid:0) (cid:0) (cid:0) > x a < x b VN(ne�ua b) (cid:0) q (cid:0) G (cid:0)

ề ệ

ấ ả ặ ươ ế ế ng n u 2 v không âm. Làm m t ề ph i đ t đi u ấ ứ ầ 3. Công th c c n nh : ỉ ượ a. ẽ ụ ể Nhi u d u v : v tr c đ giao nghi m. ớ c bình ph : ch đ

ba,

2 ba0

0b 2 ba

ki n.ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0b 2ba

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(b.a

)0b,aneáu

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a (cid:0)

2 a 2

. : phá . b ng cách bình ph

ằ ươ ằ b. ng : ị hay b ng đ nh nghĩa :

)0aneáu

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

� � b

� � a b

� � b

b 0hay

- ��

b 0 a

b a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 2 ba

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

y,0y,Rx,ay

y,1aneáu

.1a0neáu

+ m n

m/ n

m n

m.n

m m n 1/ a ; a .a =

n a ; a / b (a/ b)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c. Mũ : - = = a - = a

m n ; (a ) = m a .b (ab) ; a

= a 1; a = m n a / a n n = = < �� (m n,0 a 1) a = 1

alog

n a

n a � )1aneáu )1a0neáu

(nm (nm

3 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

d. 1, y (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ế

ạ R = logaa

(cid:0) (cid:0) ((cid:0) )

log : y = logax , x > 0 , 0 < a (cid:0) (cid:0) n u 0 < a < 1, y(cid:0) n u a > 1, y loga(MN) = logaM + logaN ( (cid:0) ) loga(M/N) = logaM – logaN ( (cid:0) ) Mlog2,Mlog2Mlog Mlog a logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc

log a

Mlog logbc = logac/logab, a loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

M = N > < < 0 M N(ne�ua 1) (cid:0) < log M log N > > < <

ị ế ệ i, tránh

M N 0(ne�u0 a 1) ớ ộ ị ề ẹ ề ề ả ứ ề ấ ặ ạ Khi làm toán log, n u mi n xác đ nh n i r ng : dùng đi u ki n ch n l ệ dùng công th c làm thu h p mi n xác đ nh. M t log ph i có đi u ki n.

t,0

x at,0xt,0x

t,0

log a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ổ ế 4. Đ i bi n : ả ơ a. Đ n gi n 2 xt,Rb

N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?

n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c.

ể ề ế ề ố ệ ệ ủ f(x) dùng BBT đ tìm đi u ki n c a t. N u x có thêm đi u ki n,

b. Hàm s : t = ề ị cho vào mi n xác đ nh c a ủ f.

ế ượ ể c. L ng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chi u l ng giác đ tìm

ượ ề

ướ c làm theo các cách trên.

ấ ả , d u A/B gi ng d u A.B; bên ph i cùng d u h

ệ ủ đi u ki n c a t. ừ ố ợ d. Hàm s h p : t ng b 5. Xét d u :ấ ứ ữ ỷ ấ a. Đa th c hay phân th c h u t ơ ệ ệ ố ộ ẻ ấ ổ ấ

ả

ứ b. Bi u th c f(x) vô t ứ c. Bi u th c f(x) vô t ẩ ơ ấ ủ ệ ứ ộ ố ậ s b c cao nh t; qua nghi m đ n (b i l ) : đ i d u; qua nghi m kép (b i ẵ ch n) : không đ i d u. ể : gi ệ ụ ể c : xét tính liên t c và đ n đi u mà cách b không làm đ ủ c a f, nh m 1 nghi m c a pt f(x) = 0, phác h a đ th c a f , suy ra d u c a f.

ươ ệ i f(x) < 0 hay f(x) > 0. ượ ọ ồ ị ủ : ấ ổ ấ ỷ ỷ ệ 6. So sánh nghi m ph ủ ớ (cid:0) ng trình b c 2 v i

f(x) = ax2 + bx + c = 0

* S = x1 + x2 = – b/a ;

1,x2) =

xS 1

x 2

ớ ẳ ứ ệ ể (cid:0) (cid:0) ậ (a (cid:0) 0) P = x1x2 = c/a ứ ố ứ ể Dùng S, P đ tính các bi u th c đ i x ng nghi m. V i đ ng th c g(x 0g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ứ ả ệ 0 không đ i x ng, gi i h pt : (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 – SX + P = 0

2 – 4P (cid:0) t S, P th a S ể

ỏ

x.xP 21 ừ pt : X , S, P đ so sánh nghi m v i 0 :

4 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

0, tìm x1, x2 t ệ ớ ế Bi * Dùng (cid:0)

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x1 < 0 < x2 (cid:0) P < 0, 0 < x1 < x2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x1 < x2 < 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0S ớ (cid:0) , af((cid:0) ), S/2 đ so sánh nghi m v i

0)(f.a

2/S

ệ * Dùng (cid:0) af((cid:0) ) < 0 < x2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) : x1 < (cid:0) 0 ể 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) < x1 < x2 (cid:0) ; x1 < x2 < (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0)(f.a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) < x1 < (cid:0) < x2 (cid:0) ; x1 < (cid:0) < x2 < (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b < a.f( ) 0 a > a.f( ) 0 a < b (cid:0) (cid:0)

ậ ng trình b c 3 :

ươ 7. Ph a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0

x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a t xế 1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C

3 – Ax2 + Bx – C = 0

ệ ng trình : x Bi thì x1, x2, x3 là 3 nghi m ph

ươ ươ ậ b. S nghi m ph

0)(f

ố (cid:0) x = (cid:0) ệ ng trình b c 3 : (cid:0) f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a (cid:0) 0) : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ 3 nghi m phân bi ệ (cid:0) t (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0)(f

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ 2 nghi m phân bi ệ (cid:0) t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0)(f = 0 ( )

D (cid:0) D (cid:0) (cid:0) < 0hay 1 nghi m ệ a = 0 f (cid:0)

ậ ươ ượ ệ ượ c 1 nghi m, m tách đ ế c sang 1 v :

ượ ượ ng trình b c 3 không nh m đ ữ ự ươ ng trình b c 3 không nh m đ c 1 nghi m, m không tách đ c sang 1

'y y.y CÑ

ự ươ ữ (cid:0) Ph dùng s t (cid:0) Ph ươ ế v : dùng s t ẩ ng giao gi a (C) : y = f(x) và (d) : y = m. ẩ ậ ệ m) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 ng giao gi a (C (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 nghi m ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0)

'y y.y CÑ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 nghi m ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0)

y' (cid:0)

'y y.y CÑ

5 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 nghi m ệ (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

uoán

ươ ệ ậ ậ c. Ph ng trình b c 3 có 3 nghi m l p thành CSC : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 ớ (cid:0) d. So sánh nghi m v i x = xo (cid:0) f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a (cid:0)

ệ : (cid:0) ệ ươ ậ 0) : so sánh nghi m ph ng trình b c 2

ẩ ệ ự ươ c 1 nghi m, m tách đ ế c sang 1 v : dùng s t ng giao

ượ vào BBT.

ượ ệ c 1 nghi m, m không tách đ ự

ẩ ủ f(x) v i ớ (cid:0) . (cid:0) Không nh m đ ượ ư (cid:0) ủ c a f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đ a (cid:0) Không nh m đ ươ ng giao c a (C t ế ượ c sang 1 v : dùng s m) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)

2 x

(cid:0) 0 D > y' (cid:0) < (cid:0) 0 a (cid:0) (cid:0) < x1 < x2 < x3 (cid:0) y .y C� CT a < y( ) 0 (cid:0) (cid:0) x a <(cid:0)

C￑ 0

'y y.y CÑ

2 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x1 < (cid:0) < x2 < x3 (cid:0)

ax

CT 0)(y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

CT 0

'y y.y CÑ

1 x

CT 0)(y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a (cid:0) x1 < x2 < (cid:0) < x3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x CÑ D > y'

(cid:0) 0 (cid:0) < (cid:0) 0 a (cid:0) (cid:0) x1 < x2 < x3 < (cid:0) (cid:0) (cid:0) y .y C� CT a > y( ) 0 < a x (cid:0)

ậ 8. Ph ng trình b c 2 có đi u ki n :

0)(f

ươ ề f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a (cid:0) ệ 0), x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 nghi m ệ (cid:0) , 1 nghi m ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 0)(f ớ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vô nghi m ệ (cid:0) (cid:0) < 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ườ ệ ợ N u a có tham s , xét thêm a = 0 v i các tr ng h p 1 nghi m, VN.

6 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ố ậ ế ươ 9. Ph ng trình b c 4 :

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

2 xt

0)t(f

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ a. Trùng ph ng : ax4 + bx2 + c = 0 (a (cid:0) 0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

t = x2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x = (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 nghi m ệ (cid:0) ; 3 nghi m ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

02/S

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 nghi m ệ (cid:0) ; 1 nghi m ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) VN (cid:0) (cid:0) < 0 (cid:0) (cid:0) < 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

t0 1

t 2

t 2 t3 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ 4 nghi m CSC (cid:0) (cid:0)

t9 1

t 2 tS 1

t 2

t.tP 21

2t (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ Gi i h pt : (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ặ ủ ằ b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đ t t = x + . Tìm đk c a t b ng BBT :

1 x 1 x

(cid:0) ặ ủ ằ c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đ t t = x – . Tìm đk c a t b ng BBT : t R.

2 + (a + b)x. Tìm đk

ặ ớ d.

ba 2

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e v i a + b = c + d. Đ t : t = x ằ ủ c a t b ng BBT. (cid:0) (cid:0) (cid:0) e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đ t : ặ , t (cid:0) R.

'cy'bx'a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ươ ậ . Tính : 10. H ph ng trình b c 1 : (cid:0) (cid:0) (cid:0)

D = , Dx = , Dy =

x/D , y = Dy/D.

0 : nghi m duy nh t x = D

ấ 0 : VN

ả ệ ớ ế i h v i m đã bi t).

ạ

ng trình đ i x ng theo x, y. Đ t S = x + y, P = xy.

ể 0;

7 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ả D (cid:0) ệ 0 (cid:0) Dy (cid:0) D = 0, Dx (cid:0) D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (gi ố ứ ệ ươ ng trình đ i x ng lo i 1 : 11. H ph ừ ố ứ ươ T ng ph ĐK : S2 – 4P (cid:0) Th S, P vào pt : X ạ 2 – 4P (cid:0) 0. Tìm S, P. Ki m tra đk S 2 – SX + P = 0, gi ệ i ra 2 nghi m là x và y. (cid:0) ệ ệ ệ , (cid:0) ) là nghi m thì ( , (cid:0) ) cũng là nghi m; nghi m duy nh t ấ ế ((cid:0)

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

m = ? ả ệ ệ = (cid:0) Thay m vào h , gi

ạ

ừ ươ ấ i xem có duy nh t nghi m không. ố ứ ng trình đ i x ng lo i 2 : ố ứ ươ 2 ph ng trình, dùng

ứ ư ề ươ ẳ ng trình kia. Tr ng trình tích A.B = 0.

ệ ươ ươ ng trình này đ i x ng v i ph ằ ệ

2 x'a

xy'b

2 y'c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 12. H ph ớ Ph các h ng đ ng th c đ a v ph ấ Nghi m duy nh t làm nh h đ i x ng lo i 1. 2 cy ư ệ ố ứ 2 ax ạ bxy (cid:0) ệ ươ ấ 13. H ph ẳ ng trình đ ng c p : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ặ ể 0 : đ t x = ty, chia 2 ph (cid:0) ươ ng trình đ kh t. Còn 1 ph ể ặ Xét y = 0. Xét y (cid:0) ả trình theo y, gi ử i ra y, suy ra t, suy ra x. Có th xét x = 0, xét x ươ ng 0, đ t y = tx.

ấ 14. B t ph

., ớ ấ

ứ ậ ơ ả ủ ạ

ấ ả , log, mũ ươ ng

ươ ề ấ

ươ ấ ẳ ng trình, b t đ ng th c : ươ ấ ậ * Ngoài các b t ph ng trình b c 1, b c 2, d ng c b n c a ầ ậ ế ể ả ự có th gi i tr c ti p, các d ng khác c n l p b ng xét d u. V i b t ph ồ ạ trình d ng tích AB < 0, xét d u A, B r i AB. ng : không đ i chi u * Nhân b t ph ề

ươ

ạ ấ ớ ố ươ ng trình v i s d s âmố ươ ng t ế ế ế ổ ổ : có đ i chi u ự . ế c nhân 2 b t pt v theo v , n u 2 v không âm.

ấ Chia b t ph ỉ ượ ấ ẳ ứ (cid:0) (cid:0) 0 : ng trình : t ấ * Ch đ * B t đ ng th c Côsi : ba a, b (cid:0) 2

3 abc

ấ ỉ D u = x y ra ch khi a = b. (cid:0) (cid:0) (cid:0) a, b, c (cid:0) 0 :

ả cba 3 ả ỉ ấ

ố

* B t đ ng th c Bunhiac pxki : a, b, c, d ả ấ ấ ẳ (ac + bd)2 (cid:0)

ệ 15. Bài toán tìm m đ ph

D u = x y ra ch khi a = b = c. ứ (a2 + b2).(c2 + d2); D u = x y ra ch khi a/b = c/d ỉ ng trình có k nghi m : ự ươ ượ ủ ế ng giao c a (C) : y = f(x) và (d) : y = m. S ố

(cid:0) (cid:0) ế ủ ậ ớ ể ươ c m, dùng s t N u tách đ ố ể ằ ệ nghi m b ng s đi m chung. ệ ủ ề N u có đi u ki n c a x I, l p BBT c a f v i x I. (cid:0) ể ấ ệ ệ ệ 16. Bài toán tìm m đ b t pt vô nghi m, luôn luôn nghi m, có nghi m x I : (cid:0) ớ ồ ị ậ c m, dùng đ th , l p BBT v i x I.

ướ

ế N u tách đ f(x) (cid:0) f(x) (cid:0) ượ m : (C) d i (d) m : (C) trên (d)

+ 0 2p

(hay c t)ắ (hay c t)ắ ƯỢ III L NG GIÁC p

ượ 1. Đ ng tròn l ng giác : (cid:0)

ượ ớ ể ồ c l p 2-

2p

8 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(cid:0) ạ ố ự ứ ớ ườ ấ ớ ng tròn l đ ng nh t v i cung Trên đ ng giác, góc ấ ể ượ AM, đ ng nh t v i đi m M. Ng i, 1 đi m trên ố ượ ườ ng giác ng v i vô s các s th c x + k2 đ ườ ồ ng tròn l .

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

ườ ượ ắ ặ Trên đ ệ t : (cid:0) (cid:0) ầ ư ộ ủ b i c a cung ph n t ) và ầ ư cung ph n t ) ( (

ạ ữ ng giác, n m v ng các góc đ c bi 1 2

6 k2 (cid:0) n

0A x+k2

ố ể ệ ạ x = (cid:0) + ng tròn l 1 3 : (cid:0) ề là 1 góc đ i di n, n : s đi m cách đ u tg

sin ng giác.

cotg

ườ ượ trên đ ng tròn l

M ng giác :

cos

ế

chi u xuyên tâm

chi u ế

ố ượ 2. Hàm s l

ố ổ ấ ư ( u tiên không đ i d u : sin bù,

3. Cung liên k t :ế ổ ấ ố ổ ổ ấ ụ ệ (cid:0) ổ * Đ i d u, không đ i hàm : đ i, bù, hi u ệ (cid:0) ). cos đ i, tg cotg hi u * Đ i hàm, không đ i d u : ph (cid:0) ổ ấ ệ ổ ấ ớ ổ * Đ i d u, đ i hàm : hi u ỏ (sin l n = cos nh : không đ i d u).

4. Công th c :ứ

ổ

(cid:0) ổ ơ ả ộ ổ b, ra a, b.

ứ ổ ậ ậ ừ ứ công th c

t (cid:0)

a. C b n : đ i hàm, không đ i góc. b. C ng : đ i góc a ổ c. Nhân đôi : đ i góc 2a ra a. ổ d. Nhân ba : đ i góc 3a ra a. ậ ổ ậ ạ ậ e. H b c : đ i b c 2 ra b c 1. Công th c đ i b c 3 ra b c 1 suy t nhân ba.

a 2

ư ượ ư ề f. Đ a v : đ a l ề ạ ố ng giác v đ i s .

(cid:0) ổ

(cid:0) ổ ổ ổ ổ ổ ổ ổ g. T ng thành tích : đ i t ng thành tích và đ i góc a, b thành (a h. Tích thành t ng : đ i tích thành t ng và đ i góc a, b thành a b) / 2. b.

5. Ph sin(cid:0)

ươ ơ ả sin(cid:0) = 0(cid:0) cos(cid:0) = – 1 hay cos(cid:0) = 1(cid:0) (cid:0) = k(cid:0) , (cid:0) (cid:0) = 1 (cid:0) ng trình c b n : + k2(cid:0) ; sin(cid:0) (cid:0) = = –1 (cid:0) (cid:0) = – + k2(cid:0) ,

2 + k(cid:0)

(cid:0) ,

= 2 + k2(cid:0)

(cid:0) = 1 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) – v + k2(cid:0) = – 1 (cid:0) (cid:0) u = (cid:0)

2 = –1 hay sin(cid:0) = k2(cid:0) , cos(cid:0) u = v + k2(cid:0) u = (cid:0) u = v + k(cid:0)

v + k2(cid:0)

sin(cid:0) = 0 (cid:0) cos(cid:0) cos(cid:0) (cid:0) = 1 (cid:0) sinu = sinv (cid:0) cosu = cosv (cid:0) tgu = tgv (cid:0) cotgu = cotgv (cid:0)

asinu + bcosu = c 6. Ph

ươ ề c2

2 + b2 (cid:0) ứ ộ , dùng công th c c ng đ a v ph

9 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ệ ế ư ề ươ ơ ả * Đi u ki n có nghi m : a * Chia 2 v cho ng trình c b n. u = v + k(cid:0) ậ ng trình b c 1 theo sin và cos : ệ a (cid:0) 2 b 2

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

t (cid:0)

u 2

ư ề ươ (cách khác : đ a v ph ậ ng trình b c 2 theo )

2sin u

2 t

= 2,sinu.cosu

2t 1 2

ươ 7. Ph ư ố ứ ố ứ ề ng trình đ i x ng theo sin, cos : Đ a các nhóm đ i x ng v sin + cos và sin.cos. p - - (cid:0) (cid:0) ặ Đ t : t = sinu + cosu =

ươ 8. Ph ng trình ch a

� �+ , � � 4 � � ứ (cid:0) sinu + cosu(cid:0) và sinu.cosu :

+ sin u cos u

sin u

,sin u.cos u

2 1 2

p � � + , 0 � � 4 � �

- (cid:0) (cid:0) Đ t : ặ

2,sinu.cosu

= t sinu cosu

2sin u

, 2 t

21 t 2

ươ ứ 9. Ph ng trình ch a sinu – cosu và sinu.cosu : p - - - - (cid:0) (cid:0) Đ t : ặ

ươ 10. Ph ng trình ch a - - - (cid:0) (cid:0)

� � � � 4 � � ứ (cid:0) sinu – cosu(cid:0) và sinu.cosu : = sin u cos u

sin u

= ,sin u.cos u

t 2

Đ t : ặ

ậ ươ

p � � , 0 � � 4 � � ậ ng (b c 2 và b c 0 theo sinu và cosu) :

11. Ph

2u, dùng công th c ứ

ế ươ 0, chia 2 v cho cos

ư ề ươ ậ ng trình b c 2 theo t = tgu.

ươ ng trình toàn ph Xét cosu = 0; xét cosu (cid:0) 1/cos2u = 1 + tg2u, đ a v ph 12. Ph ở ộ ng m r ng :

3u.

ế

ng trình toàn ph ậ ậ ế

* B c 3 và b c 1 theo sinu và cosu : chia 2 v cho cos * B c 1 và b c – 1 : chia 2 v cho cosu. ổ ế ươ ậ ậ i ph

ả 13. Gi ế

ng trình b ng cách đ i bi n : ề ạ ươ ử ặ ng trình v d ng tích, th đ t : ổ ở ng trình không đ i khi thay x b i – x. ở (cid:0) ổ ng trình không đ i khi thay x b i ở (cid:0) ổ ng trình không đ i khi thay x b i – x. + x.

ề ằ ươ ư ượ c ph N u không đ a đ ươ ế * t = cosx : n u ph ươ ế * t = sinx : n u ph ươ ế : n u ph * t = tgx ế ả * t = cos2x : n u c 3 cách trên đ u đúng

x 2

ế ả ề * t = tg : n u c 3 cách trên đ u không đúng.

2 u

2 v

ươ 14. Ph t : (cid:0) (cid:0) ệ ặ ng trình đ c bi 0u (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Au Bv

Au Bv BAvu

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1usin 1vcos

usin vcos

1 1

10 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * sinu.cosv = 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

1usin

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ạ usin

ỳ 1

vcos

(cid:0) (cid:0) (cid:0) * sinu.cosv = – 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1vcos 1 1, cosu.cosv = (cid:0)

(cid:0)

nyx

)2(

ự ươ ng t ệ ươ 1. V i F(x) là sin, cos, tg, cotg T 15. H ph cho : sinu.sinv = ng trình : (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ )1(m)y(F)x(F (cid:0) ạ a. D ng 1 : ứ ổ . Dùng công th c đ i + thành nhân, (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ayx

byx

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ư ề ệ ươ ế th (2) vào (1) đ a v h ph ng trình : (cid:0) (cid:0) (cid:0)

m)y(F).x(F

nyx

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự ạ ứ ổ ạ . T ng t d ng 1, dùng công th c đ i nhân b. D ng 2 : (cid:0) (cid:0) (cid:0)

m)y(F/)x(F

thành +. (cid:0) (cid:0) (cid:0) ạ c. D ng 3 : . (cid:0) (cid:0) (cid:0)

nyx a b

c d

ca db

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ỉ ệ ứ ế ổ ươ ồ Dùng t l th c : bi n đ i ph ng trình (1) r i dùng (cid:0) (cid:0)

ứ ổ công th c đ i + thành x.

ố ợ ươ ư ề ơ ả d. D ng khác : tìm cách ph i h p 2 ph ng trình, đ a v các pt c b n.

ạ 16. Toán (cid:0) : (cid:0) ẵ

ụ ớ

(0, (cid:0) /2)

(0, (cid:0) /2) ;

ớ (0, (cid:0) ) ; A/2, B/2, C/2 (cid:0) (0, (cid:0) ) ; (A + B)/2 (cid:0) (– (cid:0) , (cid:0) ) , (A – B)/2 (cid:0) (– (cid:0) /2, (cid:0) /2)

* Luôn có s n 1 pt theo A, B, C : A + B + C = * A + B bù v i C, (A + B)/2 ph v i C/2. * A, B, C (cid:0) A + B (cid:0) A – B (cid:0) ấ Dùng các tính ch t này đ ch n k.

ể ọ ổ ổ ạ ạ ị * Đ i c nh ra góc (đôi khi đ i góc ra c nh) : dùng đ nh lý hàm sin :

2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

ị a = 2RsinA hay đ nh lý hàm cos : a

Csinab

ah a

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) *

abc R4 )cp)(bp)(ap(p

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 2 c2b2

2 a

m a

1 2

bc2

cos

(cid:0) (cid:0) (cid:0) * Trung tuy n : ế

A 2

* Phân giác : ℓa = (cid:0)

IV TÍCH PHÂN

ị ứ ấ

ủ * F là 1 nguyên hàm c a ủ f (cid:0) f là đ o hàm c a F.

dx)x(f

ọ ấ ả H t

11 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(cid:0) 1. Đ nh nghĩa, công th c, tính ch t : ạ ủ f : t c các nguyên hàm c a = F(x) + C (C (cid:0) R)

ỳ

ạ

= +

du u C ; u du

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09) (cid:0)

a+ 1u a + 1

a * , (cid:0) – 1 (cid:0) (cid:0)

u dua

Caln/a

du � u

= -

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

sin udu

u � ln u C; e du e C; + cos u C

udu

Cusin

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ; (cid:0)

2 sin/du

cot

Cgu

/du

2 cos

tgu

cos ; (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

= f(x)dx F(x)

F(b) F(a)

b a

- (cid:0) *

a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)gf(

b fk a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

� vdu

ầ 2. Tích phân t ng ph n :

ợ ỗ Th

(cid:0)

a ừ -� = udv uv ườ xn n x,ex

n x;xsin

ng dùng khi tính tích phân các hàm h n h p. n xu:xcos (cid:0) (cid:0) (cid:0) a.

xlnu:xlnxn

(cid:0) (cid:0) b.

x e

x e,xsin

x eu:xcos

hay

x dxe

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c.

ầ ầ ả ươ ʃ ừ t ng ph n 2 l n, gi i ph ẩ ng trình n hàm

1n2

cos

ạ

1n2

(cid:0) 3. Các d ng th m sin a. ặ ng g p : : u = sinx.

m cos

sin.x

sin

cos

ườ (cid:0) x (cid:0) x (cid:0) u = cosx. :

cos

(cid:0) :

m2 sin/xgcot

(cid:0) : u = tgx 0) b.

(cid:0) : ạ ậ ề ậ h b c v b c 1 (n (cid:0) (n (cid:0) u = cotgx 0)

(cid:0) ch a aứ 2 – u2 : u = asint c.

(cid:0) ch a uứ 2 – a2 : u = a/cost

)xcos

(sinR

(cid:0) ch a aứ 2 + u2 : u = atgt

(cid:0) d.

: u = cosx : u = sinx : u = tgx (cid:0) u = cotgx

x 2

12 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

, R : hàm h u tữ ỷ R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) u (cid:0) ả ơ R đ n gi n :

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

thöû

uñaët

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

thöû

uñaët

q/pn

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

m a(x

)bx

q u:Zn/)1m(,

n bx

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e.

q/pn

m a(x

)bx

nq xu:Z

n bx

1m n

p q

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f.

/[(dx

2 ax

hx:c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g. (cid:0)

ax(,x(R

cx/()b

ax(

cx/()b

1 u ữ ỷ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) h. , R là hàm h u t :

k)m/n : th đ t u

ứ (cid:0) i. ch a (a + bx ử ặ n = a + bxk.

)x(Q/)x(P

ố ữ ỷ

4. Tích phân hàm s h u t : ậ ậ : b c P < b c Q (cid:0)

n, ax2 + bx + c ((cid:0) ả

ề ạ ủ < 0)

ừ ố ủ ứ ơ ề ạ ư ư ự ổ * Đ a Q v d ng tích c a x + a, (x + a) * Đ a P/Q v d ng t ng các phân th c đ n gi n, d a vào các th a s c a Q :

n )ax(,

...

A ax

A 2 )ax(

A n )ax(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 ax

(

2 :)au/(du

uñaët

atgt

ax2(A 2 ax

)b c

2 ax

A 1 ax B bx

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ệ

2 ax ẳ

5. Tính di n tích hình ph ng :

dx)x(f

S D

(cid:0) ớ ạ ở (cid:0) a. D gi i h n b i x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :

ữ ỉ ậ ứ ngượ

ủ ườ ể ở (cid:0) .(cid:0) ; f(x) : hàm l ượ ấ f(x) : phân th c h u t : l p BXD f(x) trên [a,b] đ m giác : xét d u f(x) trên cung [a, b] c a đ ng tròn l ng giác.

dx)x(g)x(f

S D

ớ ạ ở b. D gi i h n b i x = a, x = b , (C) : y = f(x) b (cid:0) (cid:0) (cid:0) (C') : y = g(x) :

ư ườ ợ ng h p a/.

1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0

c. D gi ấ Xét d u f(x) – g(x) nh tr ở ớ ạ i h n b i (C f(x)

f(x) g(x) dx

S D

g(x)

x=b

x=a

y=b

a - (cid:0) /

f(y) g(y) dy

S D

g(y)

f(y) y=a

13 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

b - (cid:0) /

ỳ

ạ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09) ắ i b gãy, ta c t D b ng các

ế ướ ị ằ V i tr

ườ ỗ đ

ả ắ ằ ị V i tr

ườ đ

ắ ị ỗ (cid:0) theo dx hay dy đ ể (cid:0)

ể

ễ d tính toán hay D ít b chia c t. ọ ộ ng trình t a đ giao đi m. ườ ơ ả ườ ặ ợ (cid:0) ) : n u biên trên hay biên d ớ ườ ng h p ẳ ứ ng th ng đ ng ngay ch gãy. ợ (cid:0) ) : n u biên ph i hay biên trái b gãy, ta c t D b ng các ớ ườ ế ng h p ng ngang ngay ch gãy. ọ Ch n tính ầ C n gi ầ C n bi ng g p : các hàm c b n, các đ ng tròn,

ệ ươ ả i các h ph ế ẽ ồ ị t v đ th các hình th ượ ng giác, hàm mũ, hàm

. . ứ

(E) , (H), (P), hàm l ế ừ ế t rút y theo x hay x theo y t công th c f(x,y) = 0 và bi

...

treân y,

...

x,döôùi

...

x,phaûi

...

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ (cid:0) t ch n traùi ầ C n bi hay (cid:0)

f(x)

ể ể

ư ậ 6. Tính th tích v t th tròn xoay : a. D nh 5.a/ xoay quanh (Ox) :

)x(f

2dx

f(y)

b a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)y(f

2dy

f(x)

g(x)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b.

dx)]x(g)x(f[

f(y)

g(y)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c.

dy)]y(g)y(f[

f(x)

g(x)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d.

2 dx)x(f

dx)x(g

g(x 0)

f(y)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e.

dy)y(g

2 dy)y(f

g(y)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f.

14 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

Chú ý : xoay quanh (Ox) : (cid:0) ...dx ; xoay quanh (Oy) : (cid:0) ... dy.

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

0 0

Ả Ố V KH O SÁT HÀM S (cid:0) 1. Tìm lim d ng ạ , d ng 1ạ :

( daïng

lim ax

lim)0/0 ax

lim ax

)x(P )x(Q

)x(P)ax( )x(Q)ax(

P 1 Q 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ữ ỷ a. Phân th c h u t : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

( daïng

),0/0

duøng

coâng

thöùc

lim 0u

lim ax

usin u

)x(f )x(g

( daïng

)0/0

(cid:0) b. Hàm lg : (cid:0) (cid:0)

lim ax(cid:0)

)x(f )x(g

ứ ượ ệ c. Hàm ch a căn : , dùng l ng liên hi p :

u/1

)u1(

ể ể a2 – b2 = (a – b)(a + b) đ phá (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ạ d. Hàm ch a mũ hay log (d ng 1 ) : dùng công th c ứ (cid:0) , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) đ phá lim 0u

)x(f

)x(f o

ạ 2. Đ o hàm : (cid:0) (cid:0) ằ ạ ị a. Tìm đ o hàm b ng đ nh nghĩa : (cid:0) (cid:0)

lim)x('f oxx ạ

xx o ừ

ứ ả o mà f đ i công th c, ph i tìm đ o hàm t ng phía :

/ )x(f o

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) N u ế ạ thì f có đ o hàm t ạ o. i x (cid:0) (cid:0) ể ạ T i đi m x / lim)x(f oxx ổ lim)x(f, oxx

b. Ý nghĩa hình h c :ọ

k = tg(cid:0) = f/(xM)

f(x)

f/ + : f (cid:0) , f// + : f lõm , iồ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ạ ạ d. f đ t CĐ t i M (cid:0) (cid:0) f/ – : f (cid:0) f// – : f l / 0)x(f M // 0)x(f M

/ 0)x(f M // 0)x(f M

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ạ ạ f đ t CT t i M (cid:0) (cid:0)

(cid:0) ố ủ M là đi m u n c a f (cid:0) ứ ằ e. Tính đ o hàm b ng công th c : C f//(xM) = 0 và f// đ i d u khi qua x M. (cid:0) –1 , (lnx)/ = 1/x , )/ = (cid:0) x ổ ấ / = 0, (x

(

) log x a

1 xlna

ể ạ (cid:0) = , (ex)/ = ex

of)/ = g/[f(x)] . f/(x)

v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,

ế ấ ạ

g(x) hay f(x) d ng tích, th

ế ứ n ạ ồ ạ ... ng, ch a

15 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u (cid:0) v)/ = u/ (cid:0) (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 ợ * Hàm h p : (g ụ ơ ố * Đ o hàm lôgarit : l y log (ln : c s e) 2 v , r i đ o hàm 2 v ; áp d ng ươ ớ v i hàm [f(x)] f. Vi phân : du = u/dx ậ ệ 3. Ti m c n :

ạ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

(cid:0) (cid:0)

ỳ x = a : tcđ

lim ax

(cid:0) (cid:0) x a

(cid:0) y (cid:0)

lim x

(cid:0) (cid:0) y = b : tcn (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x +(cid:0)

y b b

ax(y[

0)]b

lim x

- (cid:0) x +(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y = ax + b : tcx (cid:0) (cid:0) (cid:0) y (cid:0)

ệ ẽ ồ ị

ậ ế ng t c .

ầ ườ ng t c.

y (cid:0)

ế ườ thì đ ườ ầ ườ ng cong càng g n đ ầ ườ thì đ (cid:0) thì đ ng cong càng g n đ ườ ng cong càng g n đ ng t c.

* Xét * V đ th có ti m c n : (cid:0) ề (cid:0) t c đ : khi y càng ti n v ề (cid:0) ế t c x :khi x và y càng ti n v (cid:0) ề (cid:0) t c n :khi x càng ti n v )x(P )x(Q

0 (cid:0) (cid:0) ằ ấ b c Q : v i x (cid:0)

ớ ậ ố ạ , tìm lim y b ng cách l y s h ng ấ ủ (cid:0) Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) (cid:0) (cid:0) Có tcn khi b c P ậ ậ ố ạ ấ ủ ậ b c cao nh t c a P chia s h ng b c cao nh t c a Q.

)x(f

)x(P 1 )x(Q

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ậ ơ (cid:0) Có tcx khi P h n Q 1 b c, khi đó chia đa th c ta có : , tcx

(cid:0) ế , có th chia Honer.

+ +

y ax b

ể ậ ậ ậ ệ là y = ax + b. N u Q = x – ệ

0 )

a < 0

a = 0

a > 0

ậ * Bi n lu n ti m c n hàm b c 2 / b c 1 : c + ( d (cid:0) dx e 0 : có tcđ, tcx 0 : có tcn, tcđ. ế ườ ặ ng g p :

a > 0

a < 0

(cid:0) a (cid:0) 0, c (cid:0) (cid:0) a = 0, c (cid:0) (cid:0) c = 0 : (H) suy bi n thành đt, không có tc. ồ ị 4. Đ th các hàm th a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c c/ y = ax3 + bx2 + c + d

= 0

< 0

> 0

a> 0 :

a < 0 :

16 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

d/ y = ax4 + bx2 + c

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

ab < 0

ab > 0

a > 0

a < 0

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c (cid:0) 0)

ad bc > 0 ad bc < 0

ax2

bx e

= 0

> 0

(cid:0) (cid:0) f/ y = (ad (cid:0) 0) (cid:0)

< 0

ad > 0

x = a

ad < 0

y > b

x < a

a x > a

y = b

y < b

Ố Ứ Ồ Ị 5. Đ I X NG Đ TH :

g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)

ữ ấ ầ ầ : gi nguyên ph n (C) bên trên y = 0, l y ph n (C) bên d ướ i y

)x(f (C/) : y = ố ứ = 0 đ i x ng qua (Ox). )x(f (C/) : y = ố ứ = 0 đ i x ng qua (Oy).

ữ ầ ấ ầ ả : gi ả nguyên ph n (C) bên ph i x = 0, l y ph n (C) bên ph i x

Ể Ặ Ệ

o, yo) (cid:0)

0A 0B

0B 0C

17 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ể 6. ĐI M Đ C BI T C A (Cm) : y = f(x, m) (Cm), (cid:0) m (cid:0) Ủ ố ị a/ Đi m c đ nh : M(x Am + B = 0, (cid:0) (cid:0) yo = f(xo, m), (cid:0) m (cid:0) 0A (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m (hay Am2 + Bm + C = 0, (cid:0) m) (cid:0) ). Gi ả ệ ượ i h , đ c M. (hay (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ể b/ Đi m (Cm) không đi qua, (Cm), (cid:0) m (cid:0)

ạ ỳ (cid:0) m : M(xo, yo) (cid:0)

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09) f(xo,m), (cid:0) m

yo (cid:0) (cid:0) Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) (cid:0) yo = f(xo, m) VN m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (hay ). Gi ả ệ ượ i h , đ c M. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

A (cid:0) B

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Chú ý : VN (cid:0) B = 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

A ủ ọ ệ

ườ ng (Cm) qua M(x

ng cong c a h (Cm) đi qua : Có n đ ầ

(cid:0) ườ ệ ậ ữ ệ ươ ươ ậ ể c/ Đi m có n đ o, yo) (cid:0) ủ ắ yo = f(xo, m) có n nghi m m. C n n m v ng đi u ki n có n nghi m c a ề ạ ng. các lo i ph ậ ng trình : b c 2, b c 2 có đi u ki n x ệ , b c 3, trùng ph ề (cid:0)

ƯƠ Ế

y C / y

/C / y ế

Ế ệ ươ ệ 7. TI P XÚC, PH a. Ế NG TRÌNH TI P TUY N : (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi h ph ng trình sau có nghi m : (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ệ ộ ế ể ệ . Nghi m x c a h là hoành đ ti p đi m. (cid:0) (cid:0)

ớ ế b. Tìm ti p tuy n v i (C) : y = f(x)

ế ươ

o, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. ng trình đ t ph ố ượ

ề ế ế

o) + ng th ng qua M : (d) : y = k(x – x ậ ng ti p tuy n (n u f b c 3 ế ng ti p

ệ ậ ẳ ườ ố ượ ng k = s l ệ ươ ế ố ượ ng trình đk tx = s l

ờ (d) : y = ax + m. Tìm m nh đk tx.

1(cid:0) a

ờ ạ * T i M(x * Qua M (xo, yo): vi ệ yo. Dùng đi u ki n tx tìm k. S l ố ậ hay b c 2 / b c 1 thì s nghi m x trong h ph tuy n).ế * // ((cid:0) ((cid:0) * (cid:0) ) : y = ax + b : (d) // ((cid:0) ) : y = ax + b (a (cid:0) ) (cid:0) 0) : (d) (cid:0) ) (cid:0) ((cid:0) (d) : y = x + m. Tìm m nh đk tx.

(cid:0) ố ượ ừ ế c. Bài toán s l

y C / y

ế ế ế ượ ế ng ti p tuy n : tìm M c đ n (C) đúng n ti p tuy n (n = 0, 1, 2, ...), M(x (C/) (cid:0) đ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho t o,yo) (cid:0) ẻ M k g(xo,yo) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế (1). Th k vào (1) đ ượ c 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : (cid:0) (cid:0)

ặ ẩ ng trình này có n

y d k ươ ể ượ o hay yo. c x

ố ế

8. T

/) : y = g(x) là : f(x) =

ể ủ ng trình hđ đi m chung c a (C) : y = f(x) và (C

ố ể

ể

ể ệ ế

ộ ể ượ ề ệ ể ặ

ế t ng trình hoành đ đi m chung; đ t đk đ pt có n nghi m. N u pt hoành c m sang 1 v : F(x) = m : đ t đi u ki n đ (C) : y = ể

m) và (C/

m) :

ậ ự ươ ố o hay yo. Đ t đk đ ph ươ ng trình n x, tham s x ph ệ ố ế ệ nghi m x (s nghi m x = s ti p tuy n), tìm đ ƯƠ NG GIAO : ươ * Ph ệ ố g(x). S nghi m pt = s đi m chung. m) : y = f(x, m) và (C/ * Tìm m đ (Cể m) : y = g(x, m) có n giao đi m : Vi ặ ươ ph ế ộ ể đ đi m chung tách đ F(x) và (d) : y = m có n đi m chung. * Bi n lu n s t ng giao c a (C

ố ể ủ ể ủ ạ (cid:0) N u pt hđ đi m chung d ng : F(x) = m : l p BBT c a F; s đi m chung

18 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ố ể ủ ậ m) = s đi m chung c a (C) và (d). ệ ế m) và (C/ c a (Củ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

ạ ượ

ỳ ạ

2 + bx + c = 0 (x (cid:0) i pt f(x) = 0 đ bi

(cid:0) PThđ đi m chung, không tách đ (cid:0) ậ , gi ể ế t

(cid:0) f(x) = 0 : l p ậ (cid:0) ố ớ c m, d ng f(x) = ax , xét d u ấ (cid:0) ả ệ ị ớ ệ là nghi m c a f, v i m đó, s nghi m b b t đi 1.

ự ầ ể (cid:0) ) hay d ng b c 3 : x = ạ m nào thì (cid:0) ủ Ị Ự 9. C C TR : ị (cid:0) * f có đúng n c c tr (cid:0) (cid:0) (cid:0) * f đ t c c đ i t ạ ự ạ ạ o (cid:0) i x (cid:0) (cid:0) f/ đ i d u n l n. ổ ấ / 0)x(f o // 0)x(f o

/ 0)x(f o // 0)x(f o

(cid:0) (cid:0) (cid:0) f đ t c c ti u t ạ ự ể ạ o (cid:0) i x (cid:0) (cid:0)

D f có CĐ và CT (cid:0) > 0

ự ự ậ ậ ậ ậ ị (cid:0) * f b c 3 (hay b c 2 / b c 1) có c c tr ị * f b c 3 (hay b c 2 / b c 1) có c c tr : (cid:0) ậ ậ (cid:0)

1 < x2 < (cid:0)

(cid:0) Bên ph i (d) : x = ả (cid:0) Bên trái (d) : x = (cid:0) < x1 < x2. . (cid:0) y/ = 0 có 2 nghi m ệ (cid:0) y/ = 0 có 2 nghi m xệ 0 (cid:0) (cid:0) D > /f (cid:0) (cid:0) 1 bên (Ox) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

CT 0

y CD D > /f

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 bên (Ox) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

CĐ.yCT < 0 (>0) có th thay b i y = 0

y CD ậ ậ * V i hàm b c 2 / b c 1, các đi u ki n y ệ VN (có 2 nghi m.). * Tính yCĐ.yCT :

/ (Ax + B) + (Cx + D)

ớ ề ệ ể ở

/ = 0.

y (cid:0)

ớ (cid:0) Hàm b c 3 : y = y ậ yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète v i pt y

CÑ

ậ ậ (cid:0) Hàm b c 2/ b c 1 :

/ = 0.

/ x(u / x(v

u v )x(u). CT )x(v). CT

CÑ

ớ , dùng Viète v i pt y yCĐ.yCT =

ẳ ườ

ậ ậ ậ

ự * Đ ng th ng qua CĐ, CT : (cid:0) Hàm b c 3 : y = Cx + D (cid:0) Hàm b c 2 / b c 1 : y = u / / v/ ị (cid:0) * y = ax4 + bx2 + c có 1 c c tr ab (cid:0) ị (cid:0) ự 0, 3 c c tr ab < 0

Ệ

Ơ ệ ậ ự ế ậ 10. Đ N ĐI U : a. Bi n lu n s bi n thiên c a hàm b c 3 :

ố ố ả ế ị hàm s tăng trên R (luôn luôn tăng) hàm s gi m (ngh ch bi n) trên R (luôn luôn

ủ i) a > 0 và y’ = 0 vô nghi m ệ (cid:0) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghi m ệ (cid:0) gi m)ả iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t x ệ 1, x2 v i xớ 1 < x2 (cid:0) hàm s đ t c c đ i t i x ệ ố ạ ự ạ ạ 1 và đ t c c ti u t i x ạ ự ể ạ 2.

19 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ộ ể ố Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 v i xớ 0 là hoành đ đi m u n.

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

(cid:0) (cid:0)

ố + hàm s tăng trên ( ố + hàm s tăng trên (x ố ả + hàm s gi m trên (x

1 + x2 = 2x0

iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t x (cid:0) ệ 1, x2 v i xớ 1 < x2 ỏ ề ệ ạ ự hàm đ t c c ti u t i x ể ạ 1 và đ t c c đ i t ạ ự ạ ạ 2 th a đi u ki n x

, x1) 2, +(cid:0) ) 1, x2) ệ i x ố ộ ể

(cid:0) (cid:0)

, x1) )

2, +(cid:0) 1, x2)

(x0 là hoành đ đi m u n). Ta cũng có : ố ả + hàm s gi m trên ( ố ả + hàm s gi m trên (x ố + hàm s tăng trên (x

2baäc 1baäc

ậ ự ế ủ ệ b. Bi n lu n s bi n thiên c a y =

/ = 0 vô nghi m thì hàm tăng ( đ ng bi n) trên t ng kh ang

ừ ệ ế ồ ỏ

/ = 0 vô nghi m thì hàm gi m ( ngh ch bi n) trên t ng ừ ả

ế ệ ị

ỏ ị

/ = 0 có 2 nghi m phân bi ệ 1, x2 thì hàm đ t c c đ i t x 2

ệ ế i) N u a.m > 0 và y ị xác đ nh. ế ii) N u a.m < 0 và y kh ang xác đ nh. ế iii) N u a.m > 0 và y ạ ự ạ ạ 1 i x

x ạ ự ể ạ 2 th a xỏ 1 < x2 và 1

p m

t x = - và đ t c c ti u t i x .

2 / = 0 có 2 nghi m phân bi +

ế ệ ạ ự iv) N u a.m < 0 và y ể ạ 1 i x

x ạ ự ạ ạ 2 th a xỏ 1 < x2 và 1

p m

ệ 1, x2 thì hàm đ t c c ti u t t x x 2 = - và đ t c c đ i t i x .

(cid:0) ậ ể ề c. Tìm m đ hàm s b c 3, b c 2/b c 1 đ ng bi n (ngh ch bi n) trên mi n x

ặ ố ậ ằ ế ủ ế ị ị ế

ậ ồ .

ồ I ế ể : đ t đk đ I n m trong mi n đ ng bi n (ngh ch bi n) c a các BBT trên; so ệ ậ sánh nghi m pt b c 2 y Ậ Ố ề / = 0 v i ớ (cid:0) Ệ Ồ Ị Ằ Ệ

ủ ế ậ 11. BI N LU N S NGHI M PT B NG Đ TH : a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 v : f(x) = m; l p BBT c a f (n u f đã

ố

ế kh o sát thì dùng đ th c a f), s nghi m = s đi m chung. ỗ ế ớ b. V i pt mũ, log, ế t m i bi n m i t đ ượ c

ầ ế ả ớ ấ ủ

Ỹ

ự

ể (C) : F(x, y) = 0; gi ứ o, yo, m; kh m, đ ử ứ ồ ạ (cid:0) ớ ạ i i h n qu tích : M t n t ượ c F(x m ? (cid:0)

ế ố ể ệ ồ ị ủ ầ ổ ượ ., ng giác : đ i bi n; c n bi , l ể ắ ớ ồ ị ế t đk c a t đ c t b t đ th f. m y bi n cũ x; c n bi Ộ Ể 12. QU TÍCH ĐI M DI Đ NG M(x o, yo) : ẳ ấ D a vào tính ch t đi m M, tìm 2 đ ng th c ch a x yo) = 0; suy ra M (cid:0) ỹ xo ? (hay yo ?) (cid:0) N u xế (cid:0) N u yế (d) : x = a. (d) : y = b.

Ể

ể ậ

o = a thì M (cid:0) o = b thì M (cid:0) Ặ Ụ ậ ổ ọ ộ i I : đ i t a đ : x = X + x

I, y = Y + yI; th vào hàm s : Y = F(X), cm :

ậ ố ố ọ ộ , đ th có tđx là g c t a đ I.

ụ ệ Ố Ứ 13. TÂM, TR C, C P ĐI M Đ I X NG : ố a. CM hàm b c 3 có tâm đx (đi m u n), hàm b c 2/b c 1 có tâm đx (gđ 2 tc) ạ t F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm l b. CM hàm b c 4 có tr c đx // (Oy) : gi i pt y

/ = 0; n u x = a là nghi m duy nh t ấ ế ổ ọ ộ hay là nghi m chính gi a c a 3 nghi m : đ i t a đ x = X + a, y = Y; th vào

20 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ế ẻ ồ ị ả ệ ữ ủ ậ ệ ế

ỳ

ồ ị ố

ụ

ạ Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09) ụ ố ẵ hàm s : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm ch n, đ th có tr c đ i ứ x ng là tr c tung X = 0, t c x = a.

ố ứ ả ệ ẩ i h 4 pt 4 n : ứ c. Tìm trên (C) : y = f(x) c p đi m M, N đ i x ng qua I : gi + = (cid:0) (cid:0) = + (cid:0) 2x I 2y I (cid:0) = (cid:0) (cid:0) = (cid:0) ể x N y N f(x ) M f(x ) N

(cid:0) ặ x M y M y M y N ặ ể d. Tìm trên (C) : y = f(x) c p đi m đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt (d) là

1 a

ủ ể ậ ả ử (d') : y = – x + m; l p pt hđ đi m chung c a (C) và (d'); gi

(cid:0) ố ứ ủ ể ọ ộ ệ s pt có 2 nghi m I (cid:0)

A, xB, suy ra yA, yB.

xA, xB, tính t a đ trung đi m I c a AB theo m; A, B đ i x ng qua (d) (d) (cid:0) ể ả m?; thay m vào pthđ đi m chung, gi

ax M

dx M

y,x

,x M

dx M

(cid:0) (cid:0) ể ọ ộ (C) : y = ax + b + có t a đ nguyên (a, b, c, d, e Z) : 14. Tìm đi m M (cid:0) i tìm x c dx (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) gi ả ệ i h (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ax M

ccuûa

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

dx e M öôùc soá ố

dx,Z M ủ 15. Tìm min, max c a hàm s y = f(x)

ề L p BBT, suy ra mi n giá tr và min, max.

ồ ị ươ ậ ả ấ 16. Gi ị ằ ng trình b ng đ th : i b t ph (cid:0) (cid:0) f < g (cid:0) a < x < b, f > g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) f (cid:0) g (cid:0) a (cid:0) x (cid:0) b , f (cid:0) g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ả Ọ VI HÌNH H C GI I TÍCH

ọ ộ ơ 1. T a đ , vect

: (a/, b/) = (a (cid:0) * (a,b) (cid:0) a/, b (cid:0) b/)

/ aa

/ bb

k(a, b) = (ka, kb) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (a, b) = (a/, b/) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

r r /

cos( v ,v )

(cid:0) (cid:0)

21 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ 2 b 2 )b,a( a r r / v.v r r / v . v

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

AB),y

x( B

y,x A B

A ỉ ố (cid:0) M chia AB theo t s k

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

MBk (k (cid:0)

x kx A B k1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1) (cid:0) (cid:0)

MA (cid:0) y ky A B k1 x A

x B

y A

y B

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể M : trung đi m AB

2 x A

x C

y A

y C

x B 3 y B 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ M : tr ng tâm (cid:0) ABC (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ự ề cho vect 3 chi u).

ng t ơ ề ướ ỗ ợ ươ (t * Vect ơ 3 chi u có thêm tích có h ng và tích h n h p :

/ (cid:0) v),c,b,a(v

)'c,'b,'a(

(cid:0)

rr / v,v

b / b

c / c

a / a

a / a r r /

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

r r / v // v

r r / [ v ,v ]

rrr // / v,v,v

(cid:0) ẳ ồ * = 0 ; đ ng ph ng

(cid:0) = 0 ; 0

S ABC

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)AC,AB (cid:0) AS.AC,AB

V ABC.S

b c / / b c r r r r / / [ v ,v ] v . v .sin( v ,v ) rr rr / / v,v]v,v[ rr r (cid:0) r (cid:0) /vv /v.v (cid:0)rrr / // v].v,v[ 1 2 1 6

AA].AD,AB[

ABCD

'D'C'B'A.

(cid:0)

uuur uuur AB // AC

BC.AH

AC.BH

(cid:0) ẳ A, B, C th ng hàng (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ự * (cid:0) trong mp : H là tr c tâm (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a (cid:0)

BC.AH BC//BH

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ H là chân đ ng cao h (cid:0) (cid:0)

MB (cid:0)

A (cid:0)

(cid:0) (cid:0) M là chân phân giác trong

MB (cid:0)

AB AC AB AC

(cid:0) (cid:0) M là chân phân giác ngòai

A (cid:0) ạ ế (cid:0) ng tròn ngo i ti p

B c a ủ (cid:0) ABM v iớ

A c a ủ (cid:0) ABC.

ườ I là tâm đ IA = IB = IC. (cid:0) ườ I là tâm đ ộ ế (cid:0) ng tròn n i ti p I là chân phân giác trong (cid:0) M là chân phân giác trong

22 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ườ ẳ 2. Đ ng th ng trong mp :

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

o,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay 1 pháp vect

ơ ể (A,B) :

:)d(,

xx o a

yy o b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (d) : (cid:0) (cid:0) (cid:0) ở ị * Xác đ nh b i 1 đi m M(x xx o yy o

bt (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0 y b

x a

(cid:0) (cid:0) * (d) qua A(a, 0); B(0,b) :

xx A x x B A

(cid:0) (cid:0) (cid:0) * (AB) : (cid:0) (cid:0)

)B,A(n;)A,B(v

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(d) : Ax + By + C(cid:0) = 0

(d) : – Bx + Ay + C/ = 0

)

uur uuur cos( n ,n ) d

(cid:0) thì : ( cos(cid:0) =

yy A y y A B * (d) : Ax + By + C = 0 có ) : Ax + By + C = 0 (cid:0) * (d) // ((cid:0) ) (cid:0) * (d) (cid:0) ((cid:0) ọ (cid:0) * (d), (d/) t o góc nh n ạ uur uuur n .n d d uur uuur n . n d d By

2 B

/) : A/x + B/y + C/ = 0 là :

(cid:0) (cid:0) * d(M,(d)) = (cid:0)

CyBxA 2/ 2/

By 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ Ax (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Phân giác c a (d) : Ax + By + C = 0 và (d C 2 B

/dd n.n /dd n.n ươ

> 0 : phân giác góc tù + , nh n –ọ

ể

< 0 : phân giác góc tù – , nh n +ọ ng giao : Xét hpt t a đ giao đi m. ẳ

n = (A, B, C) hay 2

o, yo, zo) và 1 pháp vect

'v,v

ể ị ọ ộ * T ặ 3. M t ph ng trong không gian : ở * Xác đ nh b i 1 đi m M(x : ơ

'v,v

vtcp .

(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 n = [ ]

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C). (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) (cid:0) (P) : x/a + y/b + z/c = 1

Ax o

By o

Cz o

2 2 CB

* Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) d(M,(P)) = (cid:0) (cid:0)

)n,ncos( )P( )'P(

n//

j =

n (cid:0) )P(

)'P(

)P(

)'P(

thì : cos , (P) // (P/) (cid:0)

23 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ọ (cid:0) * (P) , (P/) t o góc nh n ạ (P/) (cid:0) * (P) (cid:0) ẳ ườ 4. Đ ng th ng trong không gian :

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09) :ơ

o, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vect

'n,n

ể ị ở * Xác đ nh b i 1 đi m M (x

:)d(,

xx o yy o

xx o a

yy o b

zz o c

zz o

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (d) : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

z A z

x x

x A x

y y

A +

- - - * (AB) : - - -

]'n,n[v (cid:0) z y A z y B + Ax By Cz D

0 + A' x B' y C' z D'

(cid:0) (cid:0) * (d) = (P) (cid:0) (P/) : (cid:0)

]v,AM[

* (d) qua A, vtcp v thì :

d(M,(d)) =

/) thì :

cos(

)v,v

ữ * (cid:0) là góc nh n gi a (d), (d

cos(

)n,v p

* (cid:0) ữ là góc nh n gi a (d), (P) thì :

ọ cos(cid:0) ọ sin(cid:0) =

* (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n :

n.v

(cid:0) (cid:0)

n.v

n.v (P)

ắ (d) c t (P) (d) // (P) (cid:0) (P) (cid:0) (d) (cid:0) 0 = 0 và M (cid:0) = 0 và M (cid:0) (P)

'v :

'v,v

AB]'v,v[

/) (cid:0)

* (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp

'v,v

[ ] (cid:0) = 0

'v,v

AB]'v,v[

(d/)

'v,v

[ (cid:0) 0

AB]'v,v[

(d) c t (dắ (d) // (d/) (cid:0) [ (d) chéo (d/) (cid:0) (d/) (cid:0) (d) (cid:0) [ 0 , ] = 0 , A (cid:0) ] (cid:0) 0 , ] = 0 , A (cid:0) (d/)

]'v,v[

* (d) chéo (d/) : d(d, d/) =

]'v,v[n (cid:0)

(cid:0) ứ ; tìm (P) ch a (d), //

chung ((cid:0) ) = (P) (cid:0) ) : tìm (P/).

/).

(cid:0) (d) n m trong mp

/).

ằ (P), ch a (dứ ứ

24 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ứ ứ ằ ằ * (d) chéo (d/) , tìm đ ườ ng /), // n ; ((cid:0) n ; tìm (P/) ch a (dứ * (d) (cid:0) /) (cid:0) ằ (P), c t (dắ * (d) qua A, // (P) (cid:0) /) (cid:0) * (d) qua A, c t (dắ /), // (d//) (cid:0) * (d) c t (dắ (d) n m trong mp ch a A, // (P). ứ (d) n m trong mp ch a A, ch a (d /), // (d//). (d) n m trong mp ch a (d

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

(cid:0) ằ

(cid:0)

(cid:0) (d), H = (d) (cid:0) (P) : H = (d) (cid:0) (P). (P). (cid:0) (d) n m trong mp ch a A, ế ố ố ế ủ (d/). ứ t pt mp (P) qua M, t pt đt (d) qua M, ế ứ * (d) qua A, (cid:0) (d/) (cid:0) ủ * Tìm hc H c a M xu ng (d) : vi ủ * Tìm hc H c a M xu ng (P) : vi ố * Tìm hc vuông góc c a (d) xu ng (P) : vi t pt mp (Q) ch a (d), (P);

(d/) = (P) (cid:0) (Q) (cid:0) ủ ươ ố ế ng ( ) xu ng (P) : vi ứ t pt mp (Q) ch a

* Tìm hc song song c a (d) theo ph (d)

(Q). ); (d/) = (P) (cid:0)

ị

2 + (y – b)2 = R2 2 A CB

(cid:0) (cid:0)

> R.

o,yo) : phân đôi t/đ trong (C) :

d(I, (d)) = R, c t ắ (cid:0) ạ ớ < R, không c t ắ (cid:0) ộ // ((cid:0) ườ 5. Đ ng tròn : ở ườ * Đ ng tròn (C) xác đ nh b i tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a) * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = * (d) tx (C) (cid:0) ế ế * Ti p tuy n v i (C) t i M(x

(cid:0) ế ế ế (C) (cid:0)

> 0. ớ PM/(C) < 0, ngoài (cid:0)

/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0

ươ ng c a (C) và (C (cid:0) ế ế II/ > R + R/ : (có 4 ti p tuy n chung); tx ngoài

/RR (cid:0)

= R ế (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = = MT2 = MI2 – R2 v i MAB : cát tuy n, MT : ti p tuy n ; M MB.MA PM/(C) = 0 , M trong (C) (cid:0) ủ ụ ẳ * Tr c đ ng ph * (C), (C/) ngoài nhau (cid:0) ắ (cid:0) + R/ (3 ti p tuy n chung); c t ế < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong (cid:0)

/RR (cid:0)

(cid:0) ụ ẳ ươ = (1 tt chung là tr c đ ng ph ứ ng) ch a nhau < (không có

2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2.

ở

tt chung). ặ ầ 6. M t c u : * Mc (S) xđ b i tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a) * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R =

DCB

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

> R.

2 d(I,(P)) = R, c t ắ (cid:0) ạ

ớ < R, không c t ắ (cid:0) ộ i M : phân đôi tđ (S).

M (cid:0) (S), < 0 (cid:0)

2 2 A * (P) tx (S) (cid:0) ệ ế * Pt ti p di n v i (S) t * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 (cid:0) M ngoài (S). /) :

ươ ủ M trong (S), > 0 (cid:0) ặ ẳ * M t đ ng ph

ng c a (S) và (S 2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0

/).

/) : nh (C), (C ư ệ

ươ ữ ng giao gi a (S), (S

ặ ẳ ế

t di n chung là m t đ ng ph ế ặ ẳ ng. ươ ng.

* T * Khi (S), (S/) tx trong thì ti ươ * Khi (S), (S/) c t nhau thì mp qua giao tuy n là m t đ ng ph ắ cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0

(E) (cid:0) 7. Elip : MF1 + MF2 = 2a.

1(–c,0), F2(c,0); đ nh Aỉ

1(–a,0);

x (cid:0) 2 a

ể * (E) : = 1 (a > b > 0) : tiêu đi m : F * M (cid:0) 2 y 2 b

1F2 = 2c, tr c l n A

25 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ụ ớ ụ A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu c : Fự ỏ 1A2 = 2a; tr c nh

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09)

(cid:0) ẩ ng chu n x = a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM,

ớ ườ i M : phân đôi t a đ (E),

ọ ộ a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2.

1(0,–c), F2(0,c);

2 y 2 a

(cid:0) (cid:0) ể ắ * (E) : (a > b > 0) : không chính t c; tiêu đi m : F B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đ ạ MF2 = a – exM; tt v i (E) t (E) tx (d) : Ax + By + C = 0 (cid:0) 2 x 2 b

1F2 = 2c; tr c l n A

ụ ớ

1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu c : Fự ỏ 1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đ

(cid:0) ẩ ng chu n y =

ườ ế ạ ớ ộ

(cid:0) ế

1A2 = 2a; a/e; bán kính qua tiêu ọ i M : phân đôi t a đ (E); tấ ằ ng h p chính t c trên b ng

a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chú ý : t ợ ế ắ ợ ng h p này suy t ừ ườ tr

đ nh Aỉ ụ tr c nh B ế MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; ti p tuy n v i (E) t (E) ti p xúc (d) : Ax + By + C = 0 ườ ả ủ ả c các k t qu c a tr ở ở cách thay x b i y, y b i x).

8. Hypebol :

MF (cid:0)

* Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c.

M (cid:0) (H) (cid:0)

1 MF 2 2 x (cid:0) 2 a

(H) : = 1 (pt chính t c)ắ = 2a 2 y 2 b

1(–c,0), F2(c,0); đ nh tr.th c A ụ

ỉ ự ỉ ụ ả tiêu đi m Fể

1(–a,0), A2(a,0); đ nh tr c o ụ ả

ộ

(cid:0) ườ B1(0,–b), B2(0,b); tiêu c Fự 1F2 = 2c; đ dài tr c th c A B1B2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đ

ả

ế ạ ớ ộ 1A2 = 2a; đ dài tr c o a/e; bán kính qua tiêu : M (cid:0) nhánh trái MF1 = – exM – a, ọ ộ i M : phân đôi t a đ (H);

b a

(cid:0) ệ ậ ự ẩ ng chu n : x = 1 = exM + a , MF2 = exM – a , M (cid:0) nhánh ph i MF ế MF2 = –exM + a; ti p tuy n v i (H) t (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 (cid:0) a2A2 – b2B2 = C2 > 0; ti m c n y = x

(cid:0) b; c2 = a2 + b2.

(cid:0) (cid:0) (H) : (pt không chính t c)ắ ữ ậ ơ ở hình ch nh t c s : x = 2 y 2 a a, y = (cid:0) 2 x 2 b

ự tiêu đi m Fể ỉ 1(0,–c), F2(0,c); đ nh tr c th c A

ụ ộ ụ

1 = –eyM – a,

(cid:0) ườ

ướ ọ ộ ế ạ ớ ụ ả ỉ 1(0,–a), A2(0,a); đ nh tr c o ụ ả ự ộ 1A2 = 2a; đ dài tr c o a/e; bán kính qua tiêu : M (cid:0) i MF nhánh d i M : phân đôi t a đ (H); B1(–b,0), B2(b,0); tiêu c Fự 1F2 = 2c; đ dài tr c th c A ẩ B1B1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đ ng chu n : y = nhánh trên MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M (cid:0) ế MF2 = – eyM + a; ti p tuy n v i (H) t

(cid:0) ệ ậ (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 (cid:0) a2B2 – b2A2 = C2 > 0; ti m c n x = y

(cid:0) ấ ả ế hình ch nh t c s : y= a, x = (cid:0)

b a t c các k t qu ở

ợ ườ b; c2 = a2 + b2 (chú ý : t ắ ằ ợ ữ ậ ơ ở ng h p này suy t ừ ườ tr ả ở ng h p chính t c b ng cách thay x b i y, y b i

ủ c a tr x).

((cid:0) )

9. Parabol : * Cho F, F (cid:0) MF = d(M,((cid:0) (P) (cid:0) M (cid:0) ))

ươ ắ ng trình chính t c).

ể

M; i M : phân đôi t a đ ; (P) tx (d) : Ax + By +

26 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

(P) : y2 = 2px (p > 0) (ph ườ tiêu đi m (p/2, 0), đ ế ng chu n x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + x ớ ọ ộ ẩ ạ ế tâm sai e = 1, ti p tuy n v i (P) t

ạ

ỳ

Ph m Thu Linh – 12A10 THPT KT(06 – 09) pB2 = 2AC (p : h s c a x trong (P) đi v i B : h s c a y trong

ệ ố ủ ệ ố ủ ớ

C = 0 (cid:0) (d)); tham s tiêu : p.

ươ ắ ng trình không chính t c).

ể

ố (P) : y2 = – 2px (p > 0) (ph ườ ng chu n x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – x ọ ộ ớ ẩ M; ạ i M : phân đôi t a đ ; (P) tx (d) : Ax + By +

tiêu đi m (–p/2, 0), đ ế ế tâm sai e = 1, ti p tuy n v i (P) t C = 0 (cid:0) pB2 = – 2AC.

ươ ắ

ể

(P) : x2 = 2py (p > 0) (ph ườ tiêu đi m (0, p/2), đ ế

M; i M : phân đôi t a đ ; (P) tx (d) : Ax + By + pA2 = 2BC (p : h s c a y trong (P) đi v i A : h s c a x trong

ọ ộ ớ ệ ố ủ

ng trình không chính t c). ẩ ng chu n y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + y ớ ạ ế tâm sai e = 1, ti p tuy n v i (P) t C = 0 (cid:0) ệ ố ủ (d)).

ươ ắ (P) : x2 = – 2py (p > 0) (ph

ể tiêu đi m (0, – p/2), đ

ng trình không chính t c). ng chu n y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – y ọ ộ ế tâm sai e = 1, ti p tuy n v i (P) t

ườ ẩ ạ ớ i M : phân đôi t a đ ; pA2 = – 2BC .

ế (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 (cid:0) CHÚ Ý : ầ ể ả ặ

ẩ ể ể ỏ ầ i tích khi làm toán hình gi o,yo) : 2 n ; đi m trong không gian (3 n); đ

ẩ ẩ

ầ

ẳ ẩ ẩ ầ ẩ

(cid:0) ế ạ ườ i tích : đ t câu h i c n tìm ườ ng ự ng tròn : ế ạ t d ng ; (H) : nh (E); (P) : t d ng; mp (P) : 4 n A, B, C, D; m t c u (S) : 4 n a, b, c, ng tròn ặ ầ ng th ng trong không gian (d) = (P) (Q); đ

27 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info

ầ ậ ớ ả * C n có quan đi m gi ẩ gì? (đi m trong mp M(x ườ th ng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 n A, B, C th c ra là 2 n; đ ư ẩ 3 n a, b, R hay A, B, C; (E) : 2 n a, b và c n bi ẩ 1 n p và c n bi ẳ ườ R hay A, B, C, D; đ trong không gian (C) = (P) (cid:0) (S). ệ ụ ọ ộ * V i các bài toán hình không gian : c n l p h tr c t a đ .