TS. ĐẶNG VĂN HIẾU - BỘ MÔN CƠ HỌC phần 6

Chia sẻ: 3389 Computer | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Do Ω1 gần Ω2 nên B1(t), B2(t) là các hàm thay đổi chậm theo t. Nghiệm của phương trình (1) được viết dưới dạng: q(t ) = Asin(Ωt + α ) = B1 sin Ωt + B2cosΩt Trong đó: 2 A = B12 + B2 : Biên độ thay đổi chậm theo thời gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TS. ĐẶNG VĂN HIẾU - BỘ MÔN CƠ HỌC phần 6

Do Ω1 gần Ω2 nên B1(t), B2(t) là các hàm thay đổi chậm theo t. Nghiệm của phương trình (1) được viết dưới dạng: q(t ) = Asin(Ωt + α ) = B1 sin Ωt + B2cosΩt Trong đó: A = B12 + B2 : Biên độ thay đổi chậm theo thời gian. 2 Ω1 + Ω 2 Ω= : Giá trị trung bình của hai tần số. 2 ⎛ B1 ⎞ α = arctg ⎜ ⎟ : Pha thay đổi chậm theo thời gian. ⎝ B2 ⎠ 66
Như thế chuyển động của hệ có tính chất điều hoà với biên độ dao động A là hàm thay đổi theo thời gian. Chu kỳ thay đổi theo thời gian là: 4π Ta = Ω1 − Ω 2 Vì hiệu số Ω1 –Ω2 nhỏ nên chu kỳ Ta có giá trị lớn hơn nhiều so với chu kỳ của hệ: 4π T= Ω1 + Ω 2 67
Đồ thị dao động biểu thị trên hình vẽ dưới đây. Hiện tượng dao động như hình vẽ này gọi là hiện tượng phách. Như vậy, hiện tượng phách là hiện tượng biên độ dao động thay đổi tuần hoàn chậm theo thời gian. 0.08 0.06 0.04 0.02 q(m) 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t(s) 68
Hiện tượng phách ở đây xuất hiện khi tần số kích động Ω1 khá gần tần số kích động Ω2. Và ở phần trước ta cũng thấy: hiện tượng phách xuất hiện khi tần số của lực kích động Ω khá gần tần số riêng ωo của hệ. Tuy nhiên, nếu quan tâm đến lực cản thì dao động tự do sẽ tắt dần, và do đó theo thời gian hiện tượng phách cũng sẽ mất đi.(hình vẽ dưới): 2 1.5 1 0.5 q(m) 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 t(s) 69
§5. Dao động cưỡng bức của hệ chịu kích động bất kỳ Giả sử hàm kích động được biểu diễn bởi hàm khả vi nào đó, thì phương trình dao động của hệ có dạng: m q + b q + c q = f (t ) && & (1) Biến đổi (1) về dạng: f (t ) q + 2δ q + ω q = = g ( t ) (2) 2 && & o m Nghiệm của (2) gồm : nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng và một nghiệm riêng của nó. 70
Nghiệm thuần nhất: trong trường hợp cản nhỏ, nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất có dạng: q (t ) = Ae −δ t sin(ωt + α ) = e −δ t (C1cosωt + C2 sin ωt ) (3) Nghiệm (3) còn có thể viết dưới dạng: q (t ) = C1 q1 (t ) + C 2 q 2 (t ) (4) Trong đó: q1 (t ) = e − δ t c os ω t q 2 (t ) = e − δ t sin ω t 71
Phương pháp bién thiên hằng số Lagrange: Tìm nghiệm của (2) dưới dạng tương tự(4) nhưng C1 và C2 là hàm của thời gian: q(t ) = C1 (t ) q1 (t ) + C2 (t ) q2 (t ) (5) Đạo hàm (5) theo thời gian ta có: & & q(t ) = C1 q1 + C2 q2 + C1 q1 + C2 q2 (6) & & & Nếu ta đưa vào điều kiện: & & C1 q1 + C2 q2 = 0 (7) Thì biểu thức (6) có dạng: (8) q (t ) = C1 q1 + C2 q2 & & & 72
Đạo hàm biểu thức (8) theo thời gian, ta có: && && q(t ) = C1 q1 + C2 q2 + C1 q1 + C2 q2 && && && (9) Thế (5), (8) và (9) vào (2) ta nhận được phương trình: && && C1 q1 + C 2 q2 = g (t ) (10) Từ (7) và (10) ta có hệ: & & C1 q1 + C 2 q2 = 0 && && C1 q1 + C 2 q2 = g (t ) Giải hệ này: q2 & C1 = − g (t ) q1q2 − q1q2 & & (11) q1 &= g (t ) C2 q1q2 − q1q2 & & 73
Thế các biểu thức q 2 (t ) = e − δ t sin ω t c os ω t và −δ t q1 (t ) = e vào (11) ta được: & = − 1 eδ t sin ω t g (t ) C1 ω (12) & = 1 eδ t cosω t g (t ) C2 ω Tích phân (12) ta được: t 1 ∫ eδ τ sin ω τ g (τ ) dτ C1 (t ) = A − ω (13) 0 t 1 ∫ eδ τ cosω τ g (τ ) dτ C 2 (t ) = B + ω 0 74
Thế biểu thức (12) này vào (5) ta được nghiệm tổng quát của (2): q (t ) = e − δ t ( Acosω t + B sin ω t ) + (14) t 1 ∫ e − δ ( t −τ ) sin ω (t − τ )g (τ ) dτ + ω 0 Biểu thức nghiệm (14) có hai thành phần: Thành phần: (15) q h (t ) = e − δ t ( Acosω t + B sin ω t ) là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng. 75
Thành phần: t 1 ∫ e − δ ( t −τ ) sin ω (t − τ )g (τ ) dτ q r (t ) = (16) ω 0 là nghiệm riêng của phương trình (2). Các hằng số A và B trong nghiệm (14) được xác định từ điều kiện ban đầu. Giả sử điều kiện đầu: q (0) = qo ; q (0) = qo & & Ta xác định được: 1 ( qo + δ qo ) A = qo ; B = & ω 76
Cuối cùng ta có biểu thức nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2): 1 −δ t ( qo cosω t + ( qo + δ qo ) sin ω t ) + q (t ) = e & ω (17) t 1 ∫ e − δ ( t −τ ) sin ω (t − τ )g (τ ) dτ + ω 0 77
Chương 2 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 1. Thành lập phương trình vi phân dao động 2. Dao động tự do không cản 3. Dao động tự do có cản 4. Dao động cưỡng bức 78