Tuyển chọn 50 bài Toán giải bất phương trình

CẨM NANG CHO MÙA THI<br /> <br /> TUYỂN CHỌN<br /> 50 BÀI TOÁN<br /> <br /> GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH<br /> (ÔN THI THPT QUỐC GIA)<br /> <br /> NGUYỄN HỮU BIỂN<br /> <br /> TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA<br /> <br /> Bài 1: Giải bất phương trình<br /> <br /> x  1  x2 <br /> <br /> 2  3x  4x 2 .<br /> <br /> Hướng dẫn<br /> <br />  x 0<br /> 0  x  1<br /> 3  41<br /> <br /> <br /> - Điều kiện: 1 x 2  0<br />  3  41<br /> .<br /> 3  41  0  x <br /> 8<br /> x<br /> <br /> <br /> 2<br /> 8<br /> 8<br /> <br /> 2  3x  4x  0<br /> <br /> - Bất phương trình đã cho tương đương với<br /> <br /> x 1  x2  2 x(1 x2 )  2  3x  4x 2  3(x2  x)  (1 x)  2 (x  x2 )(1 x)  0<br /> <br /> 3<br /> <br /> x x<br /> x x<br /> 2<br /> 1  0 <br /> 1 x<br /> 1 x<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> 5  34<br /> x <br /> x x 1<br /> 9<br />   9x 2 10x 1  0  <br /> <br /> 1 x<br /> 3<br /> 5  34<br /> .<br /> x <br /> 9<br /> <br /> 2<br /> <br /> - Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 5  34  x  3 <br /> 9<br /> <br /> 41<br /> <br /> 8<br /> <br /> .<br /> <br /> Bài 2: Giải bất phương trình x 1  2 3x  2  9x 2  24x 2 10x 1  0,(x  R)<br /> Hướng dẫn: Điều kiện: x  1<br /> - Bất phương trình đã cho tương đương với<br /> x 1 1 2 3x  2  4  9x 2  24x2 10x  4  0<br /> <br />  ( x 1 1)  2( 3x  2  2)(x  2)(9x2  6x  2)  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x2<br /> 2(3x  6)<br /> <br />  (x  2) (3x 1)2  3  0<br /> x 1 1<br /> 3x  2  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 6<br /> <br /> <br />  (x  2) <br />  (3x 1)2  3  0(1)<br /> 3x  2  2<br />  x 1 1<br /> <br /> 1<br /> 6<br /> - Dễ thấy<br /> <br />  3x 12  3  (3.11) 2  3  1  0,x  1<br /> x 1 1<br /> 3x  2  2<br /> - Hơn nữa (1)  x  2  0  x  2. Kết hợp điều kiện thu được x  2.<br /> <br /> Bài 3: Giải bất phương trình sau: 1  log2 x  log2  x  2  log 2 6  x<br /> <br /> Hướng dẫn: ĐK: 0  x  6 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  log2 2x  4x  log2 6  x 2  2x  4x  6  x 2  x 16x  36  0<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy: x  18 hay 2  x<br /> So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2  x  6 .<br /> 3<br /> 2<br /> 19x  x 1  7<br /> Bài 4: Giải bất phương trình 9x  22x<br />  1,(x  R)<br /> 3<br /> 2<br /> <br /> x  2x  2x  4<br /> <br /> x 1<br /> <br /> Hướng dẫn: Điều kiện <br /> <br /> 3<br /> 2<br /> x  2x  2x  4  0<br /> - Nhận xét x3  2x 2  2x  4  1 2  2  4  1  0,x  1 .<br /> <br /> - Bất phương trình đã cho tương đương với<br /> 9x 3  22x2 19x  x 1  7  x3  2x 2  2x  4 <br /> <br /> x 1 1 8x3  24x2 17x  2  0<br /> <br /> Trang 1<br /> <br /> TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA<br /> <br /> x<br /> 2<br /> <br />  (x  2)(8x 2  8x 1)  0  (x  2) <br />  2(2x 1)2 1  0(1)<br />  x 1<br /> 1 1<br />  x 1 1<br /> <br /> 1<br /> - Rõ ràng<br />  2(2x 1)2 1  2(2 1)2 1  1  0,x  1 nên (1)  x  2  0  x  2<br /> x 1 1<br /> Bài 5: Giải bất phương trình: log 4x 1  log 7  2x  1 log 3x  2<br /> <br /> <br /> 5<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1<br /> 5<br /> <br /> Hướng dẫn: + Điều kiện:  1  x  7<br /> 4<br /> 2<br />  log5 4x 1  log5 3x  2  1 log5 7  2x<br /> <br />  log5 4x 13x  2  log5 5 7  2x<br />  4x 13x  2  57  2x<br />  12x2  21x  33  0<br /> 33<br />    x 1<br /> 12<br /> <br /> Giao với điều kiện, ta được:  1  x  1. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là  1  x  1<br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> Bài 6: Giải bất phương trình (x 1) x2  2x  5  4x x2 1  2x  2(x  R)<br /> Hướng dẫn: Điều kiện: x  R. Khi đó :<br />  (x 1)(2  x 2  2x  5)  2x(2 x2 1  x 2  2x  5)  0<br />  (x 1)(2  x 2  2x  5) <br /> <br /> 2x(4x 2  4  x 2  2x  5)<br /> <br /> 0<br /> 2 x 2 1  x 2  2x  5<br /> 2x(x 1)(3x 1)<br /> 0<br />  (x 1)(2  x 2  2x  5) <br /> 2<br /> 2<br /> 2 x 1  x  2x  5<br /> 2x(3x 1)<br />  (x 1)(2  x 2  2x  5 <br /> ) 0<br /> 2<br /> 2<br /> 2 x 1  x  2x  5<br />  4 x 2 1  2 x 2  2x  5  2 (x 2 1)(x 2  2x  5)  7x 2  4x  5 <br />  0<br />  (x 1) <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 2 x 1  x  2x  5<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> - Do 7x  4x  5  (x  2)  6x 1  0 nên (2)  x 1  0  x  1  x (;1)<br /> <br /> Bài 7: Giải bất phương trình : x 1 x 2  5  x  x 2 1<br /> Hướng dẫn:<br /> x  1 : loại<br /> x 2 x 1<br /> 1<br /> 1<br />  x2  5  x <br />  x 2  5  x<br /> x  1: x  5 <br /> x 1<br /> x 1<br /> x 1<br /> 5<br /> 1<br />  5x 1  x 2  5  x  4x 5  x 2  5<br /> <br /> <br /> 2<br /> x  5 x x 1<br /> 2<br /> <br /> x  5<br /> <br /> <br />  x 2<br /> 4<br /> 15x 2 40x  20  0<br /> <br /> Trang 2<br /> <br /> TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA<br /> <br /> Bài 8: Giải bất phương trình: x2  5x  4 1<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> 2 4) (*)<br /> Hướng dẫn: x 2  5x  4 1 x(x 2  x(x<br /> 2x <br />  2x  4) (x R).<br /> <br />  1 5  x  0<br /> - ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0  <br />  x  1  5<br /> - (*)  4 x(x2  2x  4)  x2  5x  4 4 x(x 2  2x  4)  (x 2  2x  4)  3x (**)<br /> x2  2x  4 x2  2x 4<br /> TH 1: x  1  5 , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**)  4<br /> 3<br /> <br /> x<br /> x<br /> x2  2x 4<br /> Đặt t <br /> , t  0 , ta có bpt: t 2  4t  3  0  1  t  3<br /> x<br /> x2  7x  4  0<br /> x2  2x 4<br /> 1 17<br /> 7  65<br /> 1<br />  3 <br />  x<br /> <br /> x<br /> 2<br /> 2<br /> x2  x  4  0<br /> TH 2: 1  5  x  0 , x2  5x  4  0 , (**) luôn thỏa mãn<br />  1 17 7  65 <br /> <br /> <br /> Vậy tập nghiệm BPT (*) là S  1 5;0   <br /> ;<br /> <br /> 2<br /> 2 <br /> <br /> Bài 9: Giải bất phương trình sau : 2x  5  3x 2  4x 1  5x  6<br /> Hướng dẫn:<br /> BPT  2x 5  4x 1  3x  2  5x  6  0<br /> 1<br /> 1<br />  (2x  4)[<br /> <br /> ] 0<br /> 2x  5  4x 1<br /> 3x 2  5x  6<br /> x2<br /> <br /> Bài 10: Giải bất phương trình (x +2)(x −2 2x +5)−9 ≤(x +2)(3 x2 +5 −x2 −12)+3 5x2 +7<br /> <br /> Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x   5 . Khi đó ta có<br /> 2<br /> (1)  x 3  3x 2  14x  15  2(x  2) 2x  5  3(x  2) x2  5  3 5x 2  7  0<br />  x 3  3x2  x  18  2(x  2)( 2x  5  3)  3(x  2)( x2  5  3)  3  3 5x2  7  0<br /> (x  2)(x 2  5x  9)<br /> <br /> 2(x  2)(2x  4) 3(x  2)(x2  4)<br /> 5(4 x2)<br /> <br /> <br /> 2x  5  3<br /> x2 5  3<br /> 9  33 5x2  7  3 5x2  7<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> 4(x  2)<br /> 3(x  2)<br /> 5(x  2)<br />  (x  2) x2  5x  9 <br /> <br /> <br />   0(*)<br /> 2<br /> <br /> 2x  5  3<br /> x2  5  3 9  33 5x2  7  3 5x2 7 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Trang 3<br /> <br /> TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA<br /> <br />  4(x  2)<br /> 4<br /> 3(x  2) 2<br /> 3<br /> <br /> (x<br /> <br /> 2);<br />  (x  2)2<br /> <br /> x2 53 5<br />  2x  5  3 3<br /> 5<br /> - Ta có với x    <br /> 5(x  2)<br /> 5(x  2)<br /> 2<br /> <br /> <br /> 2<br /> 9<br />  9  3 3 5x 2  7  3 5x 2  7<br /> <br /> 4(x  2)<br /> 3(x  2)2<br /> 5(x  2)<br />  x 2  5x  9 <br /> <br /> <br /> 2x  5  3<br /> x 2  5  3 9  3 3 5x 2  7  3 5x 2  7<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 18x 2  57x  127<br /> 5<br />  0, x  <br /> 45<br /> 2<br /> <br /> - Do đó (*)  x  2  0  x  2 , kết hợp với điều kiện x   5 ta suy ra bất phương<br /> 2<br /> <br /> trình đã cho có nghiệm là  5  x  2<br /> 2<br /> <br /> Bài 11: Giải bất phương trình 2(x  2)  2(x 1)2 <br /> 2x  5 1<br /> <br /> x  6  7(x  R)<br /> <br /> Hướng dẫn: Điều kiện: x   5<br /> 2<br /> <br /> Bất phương trình đã cho tương đương với<br />  2x  5 1 2x 2  4x  2  x  6  7  2x 5  x  6  2(x 2  2x  3)  0<br /> x 1<br /> <br /> 1<br /> <br />  2(x 1)(x  3)  0  (x 1)<br />  2(x  3)  0(1)<br /> 2x 5  x  6<br />  2x 5  x  6<br /> <br /> 1<br /> 5<br /> Chú ý rằng<br />  2(x  3)  0,x   nên (1)  x 1  0  x  1<br /> 2<br /> 2x 5  x  5<br /> Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x  1<br /> <br /> Bài 12: Giải bất phương trình<br /> <br /> 2 1−<br /> <br /> 2<br /> 8<br /> + 2x − ≥x<br /> x<br /> x<br /> <br />  x  2<br />  2<br /> 1<br /> <br /> 0<br />  x  0<br />  x<br /> 2  x 0<br /> <br /> <br /> <br /> Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình: <br /> <br /> x  2<br />  x  2<br /> 2x  8 0<br /> <br /> 2  x 0<br /> x<br /> <br /> <br /> - Với 2  x  0  bất phương trình đã cho luôn đúng<br /> - Với x  2  bất phương trình đã cho  2 x 2  2(x  2)(x  2)  x x<br />  4(x  2)  2(x2  4)  4 (x  2)2 (x  2)  x3<br />  x3  2x 2  4x 16  4 2(x3  2x 2  4x 8)  0<br />  2(x3  2x 2  4x  8)  8 2(x3  2x 2  4x  8) 16  0<br /> <br /> Trang 4<br /> <br />