Tuyển chọn 410 bài hệ phương trình đại số - Nguyễn Minh Tuấn

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:229

Thêm vào BST

Báo xấu

613
lượt xem 212
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự các kỳ thi. Mời các em và giáo viên tham khảo tuyển chọn 410 bài hệ phương trình đại số - Nguyễn Minh Tuấn sẽ giúp bạn định hướng kiến thức ôn tập và rèn luyện kỹ năng, tư duy làm bài thi đạt điểm cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển chọn 410 bài hệ phương trình đại số - Nguyễn Minh Tuấn

Nguy n Minh Tu n Sinh viên K62CLC - Khoa Toán Tin ĐHSPHN TUY N CH N 410 BÀI H PHƯƠNG TRÌNH Đ I S B I DƯ NG H C SINH GI I VÀ LUY N THI Đ I H C - CAO Đ NG
Hà N i, ngày 9 tháng 10 năm 2013
M cl c L i nói đ u 4 1 M t s phương pháp và các lo i h cơ b n 5 1.1 Các phương pháp chính đ gi i h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 M t s lo i h cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Tuy n t p nh ng bài h đ c s c 7 2.1 Câu 1 đ n câu 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Câu 31 đ n câu 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Câu 61 đ n câu 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Câu 91 đ n câu 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5 Câu 121 đ n câu 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.6 Câu 151 đ n câu 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.7 Câu 181 đ n câu 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.8 Câu 211 đ n câu 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.9 Câu 241 đ n câu 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.10 Câu 271 đ n câu 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.11 Câu 301 đ n câu 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 2.12 Câu 331 đ n câu 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2.13 Câu 361 đ n câu 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 2.14 Câu 391 đ n câu 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Tài li u tham kh o 228
L i nói đ u H phương trình Đ i s nói chung và h phương trình Đ i s hai n nói riêng là m t ph n quan tr ng c a ph n Đ i s gi ng d y THPT . Nó thư ng hay xu t hi n trong các kì thi h c sinh gi i và kì thi tuy n sinh Đ i h c - Cao đ ng. T t nhiên đ gi i t t h phương trình hai n không ph i đơn gi n . C n ph i v n d ng t t các phương pháp, hình thành các kĩ năng trong quá trình làm bài. Trong các kì thi Đ i h c, câu h thư ng là câu l y đi m 8 ho c 9. Đây là m t tài li u tuy n t p nhưng khá dày nên tôi trình bày nó dư i d ng m t cu n sách có m c l c rõ ràng cho b n đ c d tra c u. Cu n sách là tuy n t p kho ng 400 câu h đ c s c, t đơn gi n, bình thư ng, khó, th m chí đ n đánh đ và kinh đi n. Đ c bi t, đây hoàn toàn là h Đ i s 2 n. Tôi mu n khai thác th t sâu m t khía c nh c a Đ i s . N u coi B t đ ng th c 3 bi n là ph n đ p nh t c a B t đ ng th c, mang trong mình s uy nghi c a m t ông hoàng thì H phương trình Đ i s 2 n l i mang trong mình v đ p gi n d , trong sáng c a cô gái thôn quê làm say đ m bi t bao gã si tình. Xin c m ơn các b n, anh, ch , th y cô trên các di n đàn toán, trên facebook đã đóng góp và cung c p r t nhi u bài h hay. Trong cu n sách ngoài vi c đưa ra các bài h tôi còn l ng thêm m t s phương pháp r t t t đ gi i. Ngoài ra tôi còn gi i thi u cho các b n nh ng phương pháp đ c s c c a các tác gi khác . Mong đây s là m t ngu n cung c p t t nh ng bài h hay cho giáo viên và h c sinh. Trong quá trình biên so n cu n sách t t nhiên không tránh kh i sai sót.Th nh t, khá nhi u bài toán tôi không th nêu rõ ngu n g c và tác gi c a nó. Th hai : m t s l i này sinh trong quá trình biên so n, có th do l i đánh máy, cách làm chưa chu n, ho c trình bày chưa đ p do ki n th c v LTEX còn h n ch . Tác gi xin b n đ c lư ng th . Mong r ng cu n sách s hoàn A ch nh và thêm ph n đ s . M i ý ki n đóng góp và s a đ i xin g i v theo đ a ch sau đây : Nguy n Minh Tu n Sinh Viên L p K62CLC Khoa Toán Tin Trư ng ĐHSP Hà N i Facebook :https://www.facebook.com/popeye.nguyen.5 S đi n tho i : 01687773876 Nick k2pi, BoxMath : Popeye
Chương 1 M t s phương pháp và các lo i h cơ b n 1.1 Các phương pháp chính đ gi i h phương trình I. Rút x theo y ho c ngư c l i t m t phương trình II. Phương pháp th 1. Th h ng s t m t phương trình vào phương trình còn l i 2. Th m t bi u th c t m t phương trình vào phương trình còn l i 3. S d ng phép th đ i v i c 2 phương trình ho c th nhi u l n. III. Phương pháp h s b t đ nh 1. C ng tr 2 phương trình cho nhau 2. Nhân h ng s vào các phương trình r i đem c ng tr cho nhau. 3. Nhân các bi u th c c a bi n vào các phương trình r i c ng tr cho nhau IV. Phương pháp đ t n ph V. Phương pháp s d ng tính đơn đi u c a hàm s VI. Phương pháp lư ng giác hóa VII. Phương pháp nhân chia các phương trình cho nhau VIII. Phương pháp đánh giá 1. Bi n đ i v t ng các đ i lư ng không âm 2. Đánh giá s ràng bu c trái ngư c c a n, c a bi u th c, c a m t phương trình 3. Đánh giá d a vào tam th c b c 2 4. S d ng các b t đ ng th c thông d ng đ đánh giá IX. Phương pháp ph c hóa X. K t h p các phương pháp trên
6 M t s phương pháp và các lo i h cơ b n 1.2 M t s lo i h cơ b n A. H phương trình b c nh t 2 n ax + by = c (a2 + b2 = 0) I. D ng a x + b y = c (a 2 + b 2 = 0) II. Cách gi i 1. Th 2. C ng đ i s 3. Dùng đ th 4. Phương pháp đ nh th c c p 2 B. H phương trình g m m t phương trình b c nh t và m t phương trình b c hai ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 I. D ng ax+by =c II. Cách gi i: Th t phương trình b c nh t vào phương trình b c hai C. H phương trình đ i x ng lo i I I. D u hi u Đ i vai trò c a x và y cho nhau thì h đã cho không đ i II. Cách gi i: Thư ng ta s đ t n ph t ng tích x + y = S, xy = P (S 2 ≥ 4P ) D. H phương trình đ i x ng lo i II I. D u hi u Đ i vai trò c a x và y cho nhau thì phương trình này bi n thành phương trình kia II. Cách gi i: Thư ng ta s tr hai phương trình cho nhau E. H đ ng c p I. D u hi u ax2 + bxy + cy 2 = d Đ ng c p b c 2 a x2 + b xy + c y 2 = d ax3 + bx2 y + cxy 2 + dy 3 = e Đ ng c p b c 3 a x3 + b x2 y + c xy 2 + d y 3 = e II. Cách gi i: Thư ng ta s đ t x = ty ho c y = tx Ngoài ra còn m t lo i h n a tôi t m g i nó là bán đ ng c p, t c là hoàn toàn có th đưa v d ng đ ng c p đư c .Lo i h này không khó làm, nhưng nhìn nh n ra đư c nó c n ph i khéo léo s p x p các h ng t c a phương trình l i. Tôi l y m t ví d đơn gi n cho b n đ c x3 − y 3 = 8x + 2y Gi i h : x2 − 3y 2 = 6 V i h này ta ch vi c nhân chéo v v i v s t o thành đ ng c p. Và khi đó ta có quy n ch n l a gi a chia c 2 v cho y 3 ho c đ t x = ty Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
Chương 2 Tuy n t p nh ng bài h đ c s c 2.1 Câu 1 đ n câu 30 (x − y) (x2 + y 2 ) = 13 Câu 1 (x + y) (x2 − y 2 ) = 25 Gi i D dàng nh n th y đây là m t h đ ng c p b c 3, bình thư ng ta c nhân chéo lên r i chia 2 v cho x3 ho c y 3 . Nhưng hãy xem m t cách gi i tinh t sau đây: L y (2) − (1) ta đư c : 2xy(x − y) = 12 (3) L y (1) − (3) ta đư c : (x − y)3 = 1 ⇔ x = y + 1 Vì sao có th có hư ng này ? Xin thưa đó là d a vào hình th c đ i x ng c a h . Ngon lành r i. Thay vào phương trình đ u ta đư c y=2 (y + 1)2 + y 2 = 13 ⇔ y = −3 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (3; 2), (−2; −3) x3 − 8x = y 3 + 2y Câu 2 x2 − 3 = 3 (y 2 + 1) Gi i Đ ý như sau : Phương trình 1 g m b c ba và b c nh t. Phương trình 2 g m b c 2 và b c 0 (h ng s ). Rõ ràng đây là m t h d ng n a đ ng c p. Ta s vi t l i nó đ đưa v đ ng c p H đã cho tương đương : x3 − y 3 = 8x + 2y x2 − 3y 2 = 6 Gi ta nhân chéo hai v đ đưa nó v d ng đ ng c p ⇔ 6 x3 − y 3 = (8x + 2y) x2 − 3y 2 ⇔ 2x (3y − x) (4y + x) = 0
8 Tuy n t p nh ng bài h đ c s c TH1 : x = 0 thay vào (2) vô nghi m TH2 : x = 3y thay vào (2) ta có: y = 1, x = 3 6y 2 = 6 ⇔ y = −1, x = −3 TH3 : x = −4y thay vào (2) ta có:  6 6  y = 13 , x = −4 13 13y 2 = 6 ⇔   6 6 y=− ,x = 4 13 13 6 6 6 6 V y h đã cho có nghi m :(x; y) = (3; 1), (−3; −1), −4 ; , 4 ;− 13 13 13 13 x2 + y 2 − 3x + 4y = 1 Câu 3 3x2 − 2y 2 − 9x − 8y = 3 Gi i Đ ý khi nhân 3 vào PT(1) r i tr đi PT(2) s ch còn y . V y √ 3± 7   y=0⇔x= 2 √ 3.P T (1) − P T (2) ⇔ y 2 + 4y = 0 ⇔  3± 7 y = −4 ⇔ x = 2 √ √ 3± 7 3± 7 V y h đã cho có nghi m : (x; y) = ;0 , ; −4 2 2 x2 + xy + y 2 = 19(x − y)2 Câu 4 x2 − xy + y 2 = 7 (x − y) Gi i Nh n xét v trái đang có d ng bình phương thi u, v y ta th thêm b t đ đưa v d ng bình phương xem sao. Nên đưa v (x − y)2 hay (x + y)2 . Hi n nhiên khi nhìn sang v ph i ta s ch n phương án đ u (x − y)2 + 3xy = 19(x − y)2 H đã cho tương đương (x − y)2 + xy = 7 (x − y) Đ t x − y = a và xy = b ta có h m i Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
2.1 Câu 1 đ n câu 30 9  x−y =0  2 x = 0, y = 0 b = 6a a = 0, b = 0  xy = 0 ⇔ ⇔ ⇔  x = 3, y = 2 a2 + b = 7a a = 1, b = 6  x−y =1 x = −2, y = −3 xy = 6 V y h đã cho có nghi m :(x; y) = (0; 0) , (3; 2) (−2; −3) x3 + x3 y 3 + y 3 = 17 Câu 5 x + xy + y = 5 Gi i H đ i x ng lo i I r i. No problem!!! (x + y)3 − 3xy(x + y) + (xy)3 = 17 H đã cho tương đương (x + y) + xy = 5 Đ t x + y = a và xy = b ta có h m i  x+y =2 3 3 a − 3ab + b = 17 a = 2, b = 3  xy = 3 x = 2, y = 1 ⇔ ⇔ ⇔ a+b=5 a = 3, b = 2  x+y =3 x = 1, y = 2 xy = 2 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (1; 2), (2; 1) x(x + 2)(2x + y) = 9 Câu 6 x2 + 4x + y = 6 Gi i Đây là lo i h đ t n t ng tích r t quen thu c (x2 + 2x) (2x + y) = 9 H đã cho tương đương (x2 + 2x) + (2x + y) = 6 Đ t x2 + 2x = a và 2x + y = b ta có h m i ab = 9 x2 + 2x = 3 x = 1, y = 1 ⇔a=b=3⇔ ⇔ a+b=6 2x + y = 3 x = −3, y = 9 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (1; 1), (−3; 9) √ x + y − xy = 3 √ Câu 7 √ x+1+ y+1=4 Gi i Không làm ăn gì đư c c 2 phương trình, tr c giác đ u tiên c a ta là bình phương đ phá s khó ch u c a căn th c Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
10 Tuy n t p nh ng bài h đ c s c (2) ⇔ x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = 16 √ Mà t (1) ta có x + y = 3 + xy nên √ √ √ xy = 9 (2) ⇔ 3 + xy + 2 + 2 xy + xy + 4 = 16 ⇔ xy = 3 ⇔ ⇔x=y=3 x+y =6 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (3; 3) √ √ √x + 5 + √y − 2 = 7 Câu 8 x−2+ y+5=7 Gi i Đ i x ng lo i II. Không còn gì đ nói. Cho 2 phương trình b ng nhau r i bình phương tung tóe đ phá s khó ch u c a căn th c Đi u ki n : x, y ≥ 2 T 2 phương trình ta có √ √ x+5+ y−2= x−2+ y−5 ⇔ x + y + 3 + 2 (x + 5)(y − 2) = x + y + 3 + 2 (x − 2)(y + 5) ⇔ (x + 5)(y − 2) = (x − 2)(y + 5) ⇔ x = y Thay l i ta có √ √ x+5+ x − 2 = 7 ⇔ x = 11 V y h đã cho có nghi m : (x; y) = (11; 11) √ √ √ x2 + y 2 + 2xy = 8 2 Câu 9 √ x+ y =4 Gi i H đã cho có v là n a đ i x ng n a đ ng c p, đ ý b c c a PT(2) đang nh hơn PT(1) m t chút. Ch c n phép bi n đ i bình phương (2) s v a bi n h tr thành đ ng c p v a phá b b t đi căn Đi u ki n : x, y ≥ 0 H đã cho √ 2(x2 + y 2 ) + 2 xy = 16 ⇔ √ ⇔ 2 (x2 + y 2 ) = x + y ⇔ x = y x + y + 2 xy = 16 √ Thay l i ta có : 2 x = 4 ⇔ x = 4 Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
2.1 Câu 1 đ n câu 30 11 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (4; 4) 6x2 − 3xy + x = 1 − y Câu 10 x2 + y 2 = 1 Gi i M t cách tr c giác khi nhìn th y h ch a tam th c b c 2 đó là th xem li u có phân tích đư c thành nhân t hay không ? Ta s th b ng cách tính ∆ theo m t n có chính phương hay không. Ngon lành là PT(1) ∆x đ p như tiên. Phương trình đ u tương đương (3x − 1)(2x − y + 1) = 0 √ 1 2 2 V ix= ⇒y=± 3 3 x = 0, y = 1 V i y = 2x + 1 ⇒ x2 + (2x + 1)2 = 1 ⇔ 4 −3 x = − ,y = √ 5 5 1 2 2 4 3 V y h đã cho có nghi m (x; y) = ;± , (0, 1), − ; − 3 3 5 5 √ x − 2y − √ = 0 √ xy Câu 11 x − 1 + 4y − 1 = 2 Gi i Phương trình đ u là d ng đ ng c p r i 1 Đi u ki n x ≥ 1, y ≥ 4 √ √ √ √ T phương trình đ u ta có : x+ y x − 2 y = 0 ⇔ x = 4y Thay vào (2) ta có √ √ x−1+ x−1=2⇔x=2 1 V y h đã cho có nghi m (x; y) = 2; 2 xy + x + y = x2 − 2y 2 √ √ Câu 12 x 2y − y x − 1 = 2x − 2y Gi i Đi u ki n : x ≥ 1, y ≥ 0 Phương trình đ u tương đương x = −y (x + y) (2y − x + 1) = 0 ⇔ x = 2y + 1 Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
12 Tuy n t p nh ng bài h đ c s c V i x = −y lo i vì theo đi u ki n thì x, y ph i cùng d u V i x = 2y + 1 thì phương trình 2 s tương đương (2y + 1) 2y − y 2y = 2y + 2 ⇔ 2y(y + 1) = 2y + 2 ⇔ y = 2 ⇒ x = 5 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (5; 2) √ √ x+1+ y+2=6 Câu 13 x + y = 17 Gi i Đi u ki n x, y ≥ −1 √ √ x+1+ y+2=6 H đã cho tương đương (x + 1) + (y + 2) = 20 √ √ Đ t x + 1 = a ≥ 0, y + 2 = b ≥ 0. H đã cho tương đương a+b=6 a = 4, b = 2 x = 15, y = 2 ⇔ ⇔ a2 + b2 = 20 a = 2, b = 4 x = 3, y = 14 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (15; 2), (3; 14) y 2 = (5x + 4)(4 − x) Câu 14 y 2 − 5x2 − 4xy + 16x − 8y + 16 = 0 Gi i Phương trình 2 tương đương y=0 y 2 + (5x + 4)(4 − x) − 4xy − 8y = 0 ⇔ 2y 2 − 4xy − 8y = 0 ⇔ y = 2x + 4 x=4 V i y = 0 thì suy ra : (5x + 4) (4 − x) = 0 ⇔ 4 x=− 5 V i y = 2x + 4 thì suy ra (2x + 4)2 = (5x + 4)(4 − x) ⇔ x = 0 4 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (4; 0), − ; 0 , (0; 4) 5 x2 − 2xy + x + y = 0 Câu 15 x4 − 4x2 y + 3x2 + y 2 = 0 Gi i H đã cho tương đương Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
2.1 Câu 1 đ n câu 30 13 x2 + y = x(2y − 1) 2 ⇒ x2 (2y − 1)2 + 3x2 (2y − 1) = 0 ⇔ x2 (2y − 1)(2y − 4) = 0 (x2 + y) + 3x2 (1 − 2y) = 0  x = 0, y = 0 1 ⇔  y = (L)  2 y = 2, x = 1 ∪ 2 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (0; 0), (1; 2), (2; 2) x + y + xy(2x + y) = 5xy Câu 16 x + y + xy(3x − y) = 4xy Gi i xy = 0 P T (1) − P T (2) ⇔ xy(2y − x) = xy ⇔ x = 2y − 1 V i xy = 0 ⇒ x + y = 0 ⇔ x = y = 0 V i x = 2y − 1 y = 1, x = 1  √ √  y = 9 − 41 , x = − 1 + 41  ⇒ (2y − 1) + y + (2y − 1)y(5y − 2) = 5(2y − 1)y ⇔  20 √ √ 10 9 + 41 41 − 1  y= ,x = 20 10 √ √ √ √ 1 + 41 9 − 41 41 − 1 9 + 41 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (0; 0), (1; 1), − ; , ; 10 20 10 20 x2 − xy + y 2 = 3 Câu 17 2x3 − 9y 3 = (x − y)(2xy + 3) Gi i N u ch xét t ng phương trình m t s không làm ăn đư c gì. Nhưng đ ý 2 ngư i này b ràng bu c v i nhau b i con s 3 bí n. Phép th chăng ? Đúng v y, thay 3 xu ng dư i ta s ra m t phương trình đ ng c p và k t qu đ p hơn c mong đ i Th 3 t trên xu ng dư i ta có 2x3 − 9y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2 ⇔ x3 = 8y 3 ⇔ x = 2y (1) ⇔ 3y 2 = 3 ⇔ y = ±1, x = ±2 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (2; 1), (−2; −1) Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
14 Tuy n t p nh ng bài h đ c s c √ √ √x + y + x − y = 1 + x2 − y 2 Câu 18 √ x+ y =1 Gi i Đi u ki n :x ≥ y ≥ 0 Phương trình đ u tương đương √ √ √ √ √ x+y =1 x = √1 − y x+y−1= x−y x+y−1 ⇔ √ ⇔ x−y =1 x= 1+y √  √ y = 0, x = 1 T đó ⇒ √1 − y + √y = 1 ⇔  y = 1, x = 0(L) y+1+ y =1 y = 0, x = 1 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (1; 0) 2x − y = 1 + x(y + 1) Câu 19 x3 − y 2 = 7 Gi i Đi u ki n : x(y + 1) ≥ 0 T (2) d th y x > 0 ⇒ √ ≥ −1 √ √ y √ (1) ⇔ x− y+1 2 x+ y+1 =0⇔x=y+1 ⇒ (y + 1)3 − y 2 = 7 ⇔ y = 1, x = 2 V y h đã cho có nghi m (x; y) = (2; 1) T câu 20 tr đi tôi xin gi i thi u cho các b n m t phương pháp r t m nh đ gi i quy t g n đ p r t nhi u các h phương trình h u t . Đó g i h s b t đ nh (trong đây tôi s g i nó b ng tên khác : UCT). S m t kho ng hơn ch c ví d đ di n t tr n v n phương pháp này Trư c h t đi m qua m t m o phân tích nhân t c a đa th c hai bi n r t nhanh b ng máy tính Casio. Bài vi t c a tác gi nthoangcute. Ví d 1 : A = x2 + xy − 2y 2 + 3x + 36y − 130 Th c ra đây là tam th c b c 2 thì có th tính ∆ phân tích cũng đư c. Nhưng th phân tích b ng Casio xem . Nhìn th y b c c a x và y đ u b ng 2 nên ta ch n cái nào cũng đư c Cho y = 1000 ta đư c A = x2 + 1003x − 1964130 = (x + 1990) (x − 987) Cho 1990 = 2y – 10 và 987 = y – 13 A = (x + 2y − 10) (x − y + 13) Ví d 2 : B = 6x2 y − 13xy 2 + 2y 3 − 18x2 + 10xy − 3y 2 + 87x − 14y + 15 Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
2.1 Câu 1 đ n câu 30 15 Nhìn th y b c c a x nh hơn, cho ngay y = 1000 B = 5982x2 − 12989913x + 1996986015 = 2991 (2x − 333) (x − 2005) y−1 Cho 2991 = 3y – 9 ,333 = , 2005 = 2y + 5 3 y−1 B = (3y − 9) 2x − (x − 2y − 5) = (y − 3) (6x − y + 1) (x − 2y − 5) 3 Ví d 3 : C = x3 − 3xy 2 − 2y 3 − 7x2 + 10xy + 17y 2 + 8x − 40y + 16 B c c a x và y như nhau Cho y = 1000 ta đư c C = x3 − 7x2 − 2989992x − 1983039984 Phân tích C= (x − 1999) (x + 996)2 Cho 1999 = 2y − 1 và 996 = y − 4 C = (x − 2y + 1) (x + y − 4)2 Ví d 4 : D = 2x2 y 2 + x3 + 2y 3 + 4x2 + xy + 6y 2 + 3x + 4y + 12 B c c a x và y như nhau Cho y = 1000 ta đư c D = (x + 2000004) (x2 + 1003) Cho 2000004 = 2y 2 + 4 và 1003 = y + 3 D = (x + 2y 2 + 4) (x2 + y + 3) Ví d 5 : E = x3 y + 2x2 y 2 + 6x3 + 11x2 y − xy 2 − 6x2 − 7xy − y 2 − 6x − 5y + 6 B c c a y nh hơn Cho x = 1000 ta đư c E = 1998999y 2 + 1010992995y + 5993994006 = 2997 (667y + 333333) (y + 6) o hóa E=999 (2001y + 999999) (y + 6) Cho 999 = x − 1, 2001 = 2y + 1, 999999 = x2 − 1 E = (x − 1) (y + 6) (x2 + 2xy + y − 1) Ví d 6 : F = 6x4 y + 12x3 y 2 + 5x3 y − 5x2 y 2 + 6xy 3 + x3 + 7x2 y + 4xy 2 − 3y 3 − 2x2 − 8xy + 3y 2 − 2x + 3y − 3 B c c a y nh hơn Cho x = 1000 ta đư c F = 5997y 3 + 11995004003y 2 + 6005006992003y + 997997997 Phân tích F= (1999y + 1001001) (3y 2 + 5999000y + 997) Cho 1999 = 2x − 1, 1001001 = x2 + x + 1, 5999000 = 6x2 − x, 997 = x − 3 F = (x2 + 2xy + x − y + 1) (6x2 y − xy + 3y 2 + x − 3) Làm quen đư c r i ch ? B t đ u nào   x + y2 = 1  2 Câu 20 5  4x2 + 3x − 57 = −y(3x + 1)  25 Gi i Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
16 Tuy n t p nh ng bài h đ c s c L i gi i g n đ p nh t c a bài trên là 25.P T (1) + 50.P T (2) ⇔ (15x + 5y − 7)(15x + 5y + 17) = 0 2 1 11 2 Đ n đây d dàng tìm đư c nghi m c a h : (x; y) = ; , ; 5 5 25 25 14x2 − 21y 2 − 6x + 45y − 14 = 0 Câu 21 35x2 + 28y 2 + 41x − 122y + 56 = 0 Gi i L i gi i g n đ p nh t c a bài này là 49.P T (1) − 15.P T (2) ⇔ (161x − 483y + 218)(x + 3y − 7) = 0 Và đ n đây cũng d dàng tìm ra nghi m (x; y) = (−2; 3), (1; 2) Qua 2 ví d trên ta đ t ra câu h i : Vì sao l i th ? Cái nhóm thành nhân t thì tôi không nói b i t h n các b n đã đ c nó trên r i. Vì sao đây là t i sao l i nghĩ ra nh ng h ng s kia nhân vào các phương trình, m t s tình c may m n hay là c m t phương pháp. Xin thưa đó chính là m t ví d c a UCT. UCT là m t công c r t m nh có th quét s ch g n như toàn b nh ng bài h d ng là hai tam th c. Cách tìm nh ng h ng s như th nào. Tôi xin trình bày ngay sau đây. Bài vi t c a tác gi nthoangcute. a1 x2 + b1 y 2 + c1 xy + d1 x + e1 y + f1 = 0 T ng Quát: a2 x2 + b2 y 2 + c2 xy + d2 x + e2 y + f2 = 0 Gi i Hi n nhiên nh n xét đây là h g m hai tam th c b c hai. Mà nh c đ n tam th c thì không th không nh c t i m t đ i tư ng đó là ∆. M t tam th c phân tích đư c nhân t hay không ph i xem ∆x ho c ∆y c a nó có chính phương hay không. N u h lo i này mà t ngay m t phương trình ∆ ra kì di u thì ch ng nói làm gì, th nhưng c hai phương trình ∆ đ u ra r t kì c c thì ta s làm như nào. Khi đó UCT s lên ti ng. Ta s ch n h ng s thích h p nhân vào m t (ho c c hai phương trình) đ ép sao cho ∆ chính phương. Như v y ph i tìm h ng s k sao cho P T (1) + k.P T (2) có th phân tích thành nhân t Đ t a = a1 + ka2 , b = b1 + kb2 , c = c1 + kc2 , d = d1 + kd2 , e = e1 + ke2 , f = f1 + kf2 S k là nghi m c a phương trình sau v i a = 0 cde + 4abf = ae2 + bd2 + f c2 D vâng có h n m t công th c đ gi i h phương trình lo i này. Tác gi c a nó khá xu t s c !!!. Th ki m ch ng l i ví d 21 nhé a = 14 + 35k, b = −21 + 28k, c = 0, d = −6 + 41k, e = 45 − 122k, f = −14 + 56k S k s là nghi m c a phương trình 15 4(14+35k)(−21+28k)(−14+56k) = (14+35k)(45−122k)2 +(−21+28k)(−6+41k)2 ⇔ k = − 49 Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
2.1 Câu 1 đ n câu 30 17 15 Như v y là P T (1) − .P T (2) hay 49.P T (1) − 15.P T (2) 49 M t chút lưu ý là không ph i h nào cũng đ y đ các h ng s . N u khuy t thi u ph n nào thì cho h ng s đó là 0. Ok!! Xong d ng này r i. Hãy làm bài t p v n d ng. Đây là nh ng bài h tôi t ng h p t nhi u ngu n. x2 + 8y 2 − 6xy + x − 3y − 624 = 0 1. 21x2 − 24y 2 − 30xy − 83x + 49y + 585 = 0 x2 + y 2 − 3x + 4y = 1 2. 3x2 − 2y 2 − 9x − 8y = 3 y 2 = (4x + 4)(4 − x) 3. y 2 − 5x2 − 4xy + 16x − 8y + 16 = 0 xy − 3x − 2y = 16 4. x2 + y 2 − 2x − 4y = 33 x2 + xy + y 2 = 3 5. x2 + 2xy − 7x − 5y + 9 = 0 (2x + 1)2 + y 2 + y = 2x + 3 6. xy + x = −1 x2 + 2y 2 = 2y − 2xy + 1 7. 3x2 + 2xy − y 2 = 2x − y + 5 (x − 1)2 + 6(x − 1)y + 4y 2 = 20 8. x2 + (2y + 1)2 = 2 2x2 + 4xy + 2y 2 + 3x + 3y − 2 = 0 9. x2 + y 2 + 4xy + 2y = 0 2x2 + 3xy = 3y − 13 10. 3y 2 + 2xy = 2x + 11 4x2 + 3y(x − 1) = 7 11. 3y 2 + 4x(y − 1) = 3 x2 + 2 = x(y − 1) 12. y 2 − 7 = y(x − 1) x2 + 2xy + 2y 2 + 3x = 0 13. xy + y 2 + 3y + 1 = 0 x3 − y 3 = 35 Câu 22 2x2 + 3y 2 = 4x − 9y Gi i L i gi i ng n g n cho bài toán trên đó là P T (1) − 3.P T (2) ⇔ (x − 2)3 = (y + 3)3 ⇔ x = y + 5 Thay vào (2) ta d dàng tìm ra nghi m (x; y) = (2; −3), (3; −2) Câu h i đ t ra đây là s d ng UCT như th nào ? T t nhiên đây không ph i d ng trên n a r i. Trư c h t đánh giá cái h này đã Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
18 Tuy n t p nh ng bài h đ c s c - B c c a x và y là như nhau - Các bi n x,y đ c l p v i nhau - Phương trình m t có b c cao hơn PT(2) Nh ng nh n xét trên đưa ta đ n ý tư ng nhân h ng s vào PT(2) đ P T (1) + a.P T (2) đưa đư c v d ng h ng đ ng th c A3 = B 3 P T (1) + a.P T (2) ⇔ x3 + 2ax2 − 4ax − y 3 + 3ay 2 + 9ay − 35 = 0 C n tìm a sao cho vtrái có d ng (x + α)3 (y + β)3 = 0 −  α3 − β 3 = −35  a = −3 Cân b ng ta đư c : 3α = 2a ⇔ α = −2 3α2 = −4a β=3   3 3 V y P T (1) − 3.P T (2) ⇔ (x − 2) = (y + 3) OK ?? Th m t ví d tương t nhé x3 + y 3 = 91 Gi i h : 4x2 + 3y 2 = 16x + 9y G i ý : P T (1) − 3.P T (2) ⇔ (x − 4)3 = (y + 3)3 x3 + y 2 = (x − y)(xy − 1) Câu 23 x3 − x2 + y + 1 = xy(x − y + 1) Gi i Hãy cùng tôi phân tích bài toán này. Ti p t c s d ng UCT Đánh giá h : -B c c a x cao hơn b c c a y -Các bi n x,y không đ c l p v i nhau -Hai phương trình có b c cao nh t c a x và y như nhau Vì b c x đang cao hơn b c y và b c c a y t i 2 phương trình như nhau nên ta hãy nhân tung r i vi t l i 2 phương trình theo n y. C th như sau : y 2 (x + 1) − y (x2 + 1) + x3 + x = 0 y 2 x − y (x2 + x − 1) + x3 − x2 + 1 = 0 Bây gi ta mong ư c r ng khi thay x b ng 1 s nào đó vào h này thì s thu đư c 2 phương trình tương đương. T c là khi đó các h s c a 2 phương trình s t l v i nhau . V y : x+1 x2 + 1 x3 + x = 2 = 3 ⇒x=1 x x +x−1 x − x2 + 1 R t may m n ta đã tìm đư c x = 1. Thay x = 1 l i h ta có 2 (y 2 − y + 1) = 0 ⇒ 2.P T (2) − P T (1) s có nhân t x − 1 y2 − y + 1 = 0 C th đó là (x − 1) (y 2 − (x + 3) y + x2 − x − 2) = 0 TH1 :x = 1 thay vào thì vô nghi m TH2: K t h p thêm v i PT(1) ta đư c h m i : y 2 − (x + 3) y + x2 − x − 2 = 0 (3) x3 + y 2 − x2 y + x + xy 2 − y = 0 Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
2.1 Câu 1 đ n câu 30 19 Nh n xét h này có đ c đi m gi ng v i h ban đ u đó là b c y như nhau. V y ta l i vi t l i h 1 theo n y và hi v ng nó s l i đúng v i x nào đó. Th t v y, đó là x = − . Ti p t c thay nó 2 vào h và ta s rút ra : 2P T (2) − P T (1) ⇔ (2x + 1) y 2 − (x − 1) y + x2 − x + 2 √ 1 5±3 5 TH1 : x = − ⇒ y = 2 4 TH2 : K t h p v i (3) ta đư c y 2 − (x − 1) y + x2 − x + 2 = 0 y 2 − (x + 3) + x2 − x − 2 = 0 V i h này ta ch vi c tr cho nhau s ra y = −1 ⇒ x2 + 2 = 0 (Vô nghi m) √ √ 1 5+3 5 1 5−3 5 V y h đã cho có nghi m :(x; y) = − ; , − ; 2 4 2 4 2 (x + y) (25 − xy) = 4x2 + 17y 2 + 105 Câu 24 x2 + y 2 + 2x − 2y = 7 Gi i Hình th c bài h có v khá gi ng v i câu 23 M t chút đánh giá v h này - Các bi n x và y không đ c l p v i nhau - B c cao nh t c a x 2 phương trình như nhau , y cũng v y V i các đ c đi m này ta th vi t h thành 2 phương trình theo n x và y và xem li u h có đúng v i x ho c y nào không. Cách làm v n như câu 23. Vi t theo x ta s không tìm đư c y, nhưng vi t theo y ta s tìm đư c x = 2 khi n h luôn đúng. Thay x = 2 vào h ta đư c 21y 2 − 42y + 21 = 0 ⇒ P T (1) − 21P T (2) ⇔ (x − 2) 2y 2 + 2xy + 4y − 17x − 126 = 0 y 2 − 2y + 1 = 0 TH1 : x = 2 ⇒ y = 1 2y 2 + 2xy + 4y − 17x − 126 = 0 TH2 : x2 + y 2 + 2x − 2y − 7 = 0 H này đã có cách gi i r i nh ?? 3.P T (2) − P T (1) ⇔ (x − y + 5)2 + 2x2 + x + 80 = 0 (Vô nghi m) V y h đã cho có nghi m : (x; y) = (2; 1) Ti p theo chúng ta s đ n v i câu VMO 2004. Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n
20 Tuy n t p nh ng bài h đ c s c x3 + 3xy 2 = −49 Câu 25 x2 − 8xy + y 2 = 8y − 17x Gi i L i gi i ng n g n nh t c a bài trên đó là : P T (1) + 3.P T (2) ⇔ (x + 1) (x + 1)2 + 3(y − 4)2 = 0 Đ n đây d dàng tìm ra nghi m (x; y) = (−1; 4), (−1; −4) Câu h i đư c đ t ra là bài này tìm h ng s như th nào ? Có r t nhi u cách gi i thích nhưng tôi xin trình bày cách gi i thích c a tôi :tuzki: Làm tương t theo như hai câu 23 và 24 xem nào. Vi t l i h đã cho thành 3xy 2 + x3 + 49 = 0 y 2 + 8(x + 1)y + x2 − 17x = 0 M t cách tr c giác ta th v i x = −1. Vì sao ? Vì v i x = −1 phương trình 2 s không còn ph n y và có v 2 phương trình s tương đương. Khi thay x = −1 h đã cho tr thành −3y 2 + 48 = 0 y 2 − 16 = 0 Hai phương trình này tương đương. Tr i thương r i !! V y x = −1 chính là 1 nghi m c a h và t h th hai ta suy ra ngay ph i làm đó là P T (1) + 3.P T (2). Vi c còn l i ch là phân tích n t thành nhân t . Ti p theo đây chúng ta s đ n v i m t chùm h d b n c a ý tư ng trên. Tôi không trình bày chi ti t mà ch g i ý và k t qu y 3 + 3xy 2 = −28 Câu 26 x2 − 6xy + y 2 = 6x − 10y G i ý : P T (1) + 3.P T (2) ⇔ (y + 1) (3(x − 3)2 + (y + 1)2 ) = 0 Nghi m c a h : (x; y) = (3; −1), (−3; −1) 6x2 y + 2y 3 + 35 = 0 Câu 27 5x2 + 5y 2 + 2xy + 5x + 13y = 0 2 2 1 5 G i ý : P T (1) + 3.P T (2) ⇔ (2y + 5) 3 x + + y+ =0 2 2 Nguy n Minh Tu n - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN. My facebook : Popeye Nguy n