Tuyển tập 100 bài tập về bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Chia sẻ: Hoang Dang Quang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

211
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

(NB) Nhằm giúp quý thầy cô và các bạn có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình học tập và giảng dạy môn Toán, mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Tuyển tập 100 bài tập về bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015" dưới đây. Nội dung tài liệu giới thiệu đến các bạn những câu hỏi bài tập có lời giải về bất đẳng thức. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập 100 bài tập về bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015 - Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12). - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GD&ĐT. - Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn: 1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) 2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên). 3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên. 5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. 6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên. 7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. - Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. - Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm. - Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2. Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định. Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú 1 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài 1: Chứng minh rằng với a, b, c dương: 1 1 1 1 1 1      (5) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a Giải 1 1 1 1 Vận dụng bất đẳng thức  (  ) ta có: x y 4 x y 1 1 4 2    a  3b b  2c  a (a  3b)  (b  2c  a) a  2b  c 1 1 4 2    b  3c c  2a  b (b  3c)  (c  2a  b) b  2c  a 1 1 4 2    c  3a a  2b  c (c  3a)  (a  2b  c) c  2a  b Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5) a  3b  b  2c  a  Đẳng thức xảy ra khi: b  3c  c  2a  b  a  b  c c  3a  a  2b  c  Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh: 1 1 1 1 1 1 1    (   ) (2) ab bc ca 2 a b c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Giải 1 1 1 1  Áp dụng  (  ) ta có ngay điều phải chứng minh. x y 4 x y  Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1 1 1 1 1    (   ) (3) a  2b  c b  2c  a c  2a  b 2 a  b b  c c  a  Kết hợp (2) và (3) ta có: Bài 3: Với a, b, c là các số dương: 1 1 1 1 1 1 1    (   ) (4) a  2b  c b  2c  a c  2a  b 4 a b c 2 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Giải 1 1 1 Với a, b, c là các số dương thỏa mãn    4 . Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 1 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b 4 a b c 1 1 1 ►Thực chất là từ (4) thêm giả thiết:    4 a b c Bài 4: Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: A B C tan tan tan 1 2  2  2  B C C A A B A B C 1  tan .tan 1  tan .tan 1  tan .tan 4.tan .tan .tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Giải A B C Đặt x  tan , y  tan , z  tan thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1 2 2 2 x y z 1 Hệ thức trở thành:    1  yz 1  zx 1  xy 4 xyz Ta có: x y z    1  yz 1  zx 1  xy x y z     ( xy  yz )  ( zx  yz ) ( xy  zx)  ( yz  zx) ( xy  yz )  ( zx  xy ) 1 x x  1 y y  1 z z            4  xy  yz zx  yz  4  xy  zx yz  zx  4  xy  yz zx  xy  1 x z x y y  z  1  1 1 1  xy  yz  zx 1           4  xy  yz zx  yz xy  zx  4  x y z  4 xyz 4 xyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay ABC đều. Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x  y  z  0, x 1  0, y 1  0, z  4  0 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z Q   x 1 y 1 z  4 3 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Đặt a  x  1  0, b  y  1  0, c  z  4  0 . a 1 b 1 c  4 1 1 4 Ta có: a  b  c  6 và Q     3    a b c a b c Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 1 4 4 4 16 8 (  )     a b c ab c abc 3 8 1  Q  3  3 3 a  b  3  1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:  a  b  x  y  a  b  c  2  2 a  b  c  6  c  3   z  1   1 1 x  y  Vậy: MaxQ  đạt được khi  2. 3  z  1 Bài 6: Chứng minh rằng : 2x 2y 2z 1 1 1      x6  y 4 y6  z 4 z 6  x4 x4 y 4 z 4 Với x, y, z là các số dương. Dấu bằng xảy ra khi nào ? Giải 2 1  1  x2  1   x  1  4x . x 4 y 4 x6 y 4 x6  y 4 x6  y 4 Tương tự ta có: 1 1 4y 1 1 4z   ;   . y 4 z 4 6 y z 4 z 4 x 4 6 z x 4 Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b và c thoả: ab  bc  ca  abc . Chứng minh rằng: a4  b4 b4  c4 c4  a 4   1      ab a3  b3 bc b3  c3 ca c3  a3  Giải 4 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 1 1 1 1 1 1 Ta có: ab  bc  ca  abc     1 . Đặt x  ; y  ; z   x+y+z=1 . a b c a b c Khi đó ta có:   1 1 2  x3  y3 a 4  b4 x 4 y4 x4  y 4 x 6 y 6       3 ab a  b 3 1 1    1   xy  x3 y3  3 x y 3 2 x x y 3 3  2 3 y x y 3     x3  y3 x2  y 2     2 3 3 4 4 x 2  y2 x y x y x2  y 2 x  y        x2  y 2 x x2  y 2   2 y x y 2   x  y x  y 2 2  x  y  2 Tương tự ta có: b4  c 4 yz c4  a4 zx  ;  bc b  c  3 3 2 ca  c  a  3 3 2 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có: a4  b4 b4  c4 c4  a 4    x  y  z  1.  3 ab a  b 3 3 bc b  c 3   3 ca c  a 3   Suy ra điều phải chứng minh Bài 8: Với x, y, z, t là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x t t  y y  z z  x A    t  y y  z z  x xt Giải Ta có: x t ty yz zx A(  1)  (  1)  (  1)  (  1)  4  ty yz zx xt x y t  z y  x z t  1 1   1 1       4  ( x  y)     (t  z ) y z xt4  t  y y z z  x xt  t  y z  x    4 4 4( x  y  z  t )  ( x  y)  (t  z ) 4 40 x y z t x y z t z  y z t Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t. 1 1 1 1 1 Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương. chứng minh rằng:  (   )  6 x yz 9 x y z Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z 5 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có: 1 1 1 1 1 1 3 x  y + z  3 xyz ;   3 . .  x y z x y z xyz 1 1 1 1 1 1 1 1  Từ đó: ( x  y  z )      9       x y z x  y  z 9 x y z  Đẳng thức xảy ra khi x  y  z . Bài 10: Cho ba số a, b, c bất kì và x, y, z là ba số thực dương ta có: a 2 b2 c 2  a  b  c  2     7  . (Bất đẳng thức sơ-vac). x y z x yz a b c Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   . x y z Giải Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:  a 2 b2 c 2    a 2  b 2  c 2      x  y  z      x    y    z   2 2 2       x y z   x   y   z       a  b  c . 2 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. a 2 b2 c 2 Bài 11: Chứng minh rằng:    a  b  c với a, b, c là các số thực dương. b c a Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: a 2 b2 c 2  a  b  c  2     a  b  c . Suy ra điều phải chứng minh. b c a abc a b c Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   abc b c a 6 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 6 6 6 a b c Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B    b3  c3 c3  a3 a3  b3 Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a  b  c  1 Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:  a3  b3  c3  2 a6 b6 c6 a 3  b3  c 3 B 3 3  3 3  3 3   . Mặt khác theo bất đẳng b  c c  a a  b 2  a 3  b3  c 3  2 thức Bunhiacovski ta có: 1   a  b  c   3 a 2  b2  c 2   3   2 aa a  bb b  cc c  4 2   .  9 a  b  c  a  b  c   9 a  b  c   a  b  c   3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 9 1 Vậy B  18 Bài 13: Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 4  3  3  3  x  yz  zt  ty  y  xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy  3 3 Giải 1 1 1 1 Đặt x  ; y  ; z  ; t= , theo bài ra ta có abcd = 1 và a b c d 1 1 a2 ; tương tự ta có :   x3  yz  zt  ty  1  1 1 1  bcd   a3  bc dc bd  1 b2 1 c2 1 d2  ;  ;  y 3  xz  zt  tx  a  c  d z 3  yt  xt  xy  a  b  d t 3  yz  zx  xy  a  b  c Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 1  3  3  3 x  yz  zt  ty  y  xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy  3  a2  b2  c2  d2  a  b  c  d  2 b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c 3 a  b  c  d  a  b  c  d 4 4 abcd 4    3 3 3 (Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (7) cho bốn số) 7 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! a  b  c  d  1 Dấu bằng xảy ra khi   a b c d     b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c a8 b8 c8 Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B     b2  c 2   a2  c2  b  a2  2 2 2 2 Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện ab  bc  ca  1 Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: B a8  b8  c8  a  b  c  4 4 4 2 b   a  c  b  a  b 2 2 2 2 2 2    a  c   b  a2  2 2 2 2 2 c 2 2 2  c2 2 2  a  b  c  4 4 4 2 2  a 4  b4  c   2a b  b c  a c  4 2 2 2 2 2 2 Xét biểu thức a 2b2  b2c2  a 2c 2 . Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : a2b2  b2c2  a 2c2  a 4  b4  c 4 . Do đó: a  b4  c 4  a  b  c   a 4 2 4 4 4 2 4  b4  c 4 B  . 2  a 4  b4  c 4   2  a 4  b4  c 4  4 a  b  c  4 4 4 4 Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski 1   ab  bc  ca   a 4  b4  c 4 . 2 1 Bài 15: Cho x,y, z > 0 và thoả: x  y  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 3 x3 y3 z3   2x  3 y  5z 2 y  3z  5x 2z  3x  5 y Giải Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng 1 nhau và bằng . 3 Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : 8 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! x3 y 3 z 3 x 4 y 4 z4      2 x  3 y  5z 2 y  3z  5x 2 z  3x  5 y 2 x2  3xy  5xz 2 y 2  3 yz  5 yx 2 z 2  3xz  5 yz       2 2 2 x2  y 2  z 2 x2  y 2  z 2 x2  y 2  z 2      2 x2  y 2  z 2  8  xy  yz  zx     2 x2  y 2  z 2  8 x2  y 2  z 2  10 x2  y2  z2  1  x2  y 2  z 2  30 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:  x2 y2 z2     2 x2  3xy  5xz 2 y 2  3 yz  5 yx 2 z 2  3xz  5 yz  1 x  y  z x yz .  3 2 2 x  y  z  2 1  3  Bài 16: Cho a, b, c > 0 và thoả: a.b.c = 1 2 2 2 Chứng minh rằng:   3 a3  b  c  b c  a  c a  b 3 3 Giải Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1. 1 1 1 - Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt a  ; b  ; c  . x y z 1 1 1 Đặt a  ; b  ; c  . Theo giả thiết ta có: xyz = 1 x y z Ta có 3 2 2 2x2 ; tương tự ta có:   a b  c  1  1 1  y  z  x3  y z  2 2 2 y2 ; 2 2 2z 2 .     b3  a  c  1  1  1  x  z c3 b  a  1  1 1  y  x  y3  x z  z3  y x  Do đó Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : 2 2 2 2 x2 2 y 2 2 z 2       a 2  b  c  b2  c  a  c 2  a  b  y  z x  z y  x 2 2 x  y  z  2 x  y  z  3   3 xyz  3 2 x  y  z  2 9 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 Bài 17: Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả: x  y  z  3 . Tìm GTNN của biểu thức: x2 y2 z2 A=   x  yz y  zx z  xy Giải Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :  x  y  z 2 x2 y2 z2    .Ta có x  yz y  zx z  xy x  y  z  yz  zx  xy yz  zx  xy  x  y  z .  x  y  z x y z 3 2 x2 y2 z2 Do đó      x  yz y  zx z  xy x  y  z  x  y  z 2 2   x  y  z  3  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  x  y  z  x  y  z 1  x y z     x  yz y  zx z  xy Bài 18: Với x, y, z là các số dương và x. y.z  1 x y z 3 Chứng minh rằng:    (1) x  yz y  zx z  xy 2 Giải Đặt a  x , b  y,c  z Bài toán trở thành: a, b, c là số dương và a.b.c  1 a2 b2 c2 3 Chứng minh rằng:    (2) a  bc 2 b  ac 2 c  ab 2 2 Áp dụng bất đẳng thức trên ta có a  b  c 2 a2 b2 c2    3 a  bc 2 b  ac 2 c  ab 2 a  bc  b  ac  c  ab 2 2 2 Bình phương hai vế bất đẳng thức: 10 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! a  b  c a  b  c 2  2  4 VT 2 (3)   2    a  bc  b  ac  c  ab  2 2 2  a 2  bc  b2  ac  c 2  ab    a  b  c a  b  c 4 4   3(a  b  c  ab  bc  ac) 3  a  b  c 2  3  ab  bc  ac  2 2 2       4 a b c  3  a  b  c   3 2 ( Vì ab  bc  ac  3 3  abc   3 ) 2 Đặt t   a  b  c  thì t  9 ( vì a  b  c  3 abc  3 ) 2 3 t2 3t  15 t  3 3 3.9  15 t 3 3 9 Ta có:     2 .  3(t  3) 12 12 t  3 12 12 t  3 2 9 3  VT 2 (5')   VT (4')  2 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1  điều phải chứng minh Tổng quát: Ta có bài toán sau: với x1 , x2 ,..., xn  n  2 là số dương và x1.x2 ...xn  1 x1 x2 xn n Chứng minh rằng:   ...   x1  x2 .x3 ...xn x2  x3 .x4 ...xn xn  x1.x2 ...xn1 2 Bài 19: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  ab  bc  ca thì 1 1 1 3    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16 Giải 1 1 1 Từ abc  ab  bc  ca suy ra   1 . a b c 1 1 1 đặt x  ; y  ; z  thì x  y  z  1 . Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : a b c 1 2 3 36 1 x  2 y  3z a  2b  3c       x y z x  2 y  3z a  2b  3c 36 1 y  2 z  3x 1 z  2x  3 y Tương tự ta cũng có:  ;  ; b  2c  3a 36 c  2a  3b 36 11 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Cộng ba bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 6 x  y  z 1 3      a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 36 6 16 Cách 2: 1 1 1 1 1 1  1 1 1 2 3       .     a  2b  3c  a  c    b  c    b  c  9  a  c b  c b  c  9 4  a b c  Tương tự ta có: 1 1 1 1 1 1  1 1 3 1 2        .    ; b  2c  3a  a  c    a  c   b  a  9  a  c a  c b  a  9 4  a b c  1 1 1 1 1 1  1 13 1 2       .     c  2a  3b  b  c    b  a   b  a  9  b  c a  b b  a  9 4  b c a  cộng vế với vế ta có: 1 1 1 1 6 6 6 3        a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 36  a b c  16 suy ra điều phải chứng minh. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3. x  y  z  1 Bài 20: Cho x, y, z  0 . Chứng minh rằng: P  x  y  z  9 1  x2 1  y 2 1  z 2 10 Giải  x2   y2   z2  P  x 1  2   y 1  2   z 1  2    1 x   1 y   1 z   x3 y3 z3   1    2    1 x 1 y 1 z  2 2  x2  y 2  z 2  2  x4 y4 z4   1    3   1  x  x 3 y  y 3 z  z  x  y  z  x3  y 3  z 3 1 Đặt t  x2  y 2  z 2 từ điều kiện  t  3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và Côsi ta có: x3  y 3  z 3   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   3xyz   x2  y 2  z 2  3 1 3  x  y  z  1   x  y  z   3  1 t 2 2 2 2 2 2   t  t 2  3  2 2 3 12 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 2t 2 2t 2 3t  10t  3 9 2 9 P  1  1     t 3t  1  t 2  t 3t  10t  3 10 10 2 1  3t  3t 3 3 1 (  t )(57t  9) 9 9 P 3 2   3t  10t  3 10 10 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1  đpcm. 3 Bài 21: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm x2  y  z  y2  z  x  z2  x  y  GTNN của biểu thức: P =   y y  2z z z z  2x x x x  2 y y Giải x2  y  z  y2  z  x  z2  x  y  y 2 2 xz x 2 2 yz z 2 2 xy P      y y  2 z z z z  2 x x x x  2 y y y y  2z z z z  2x x x x  2 y y 2x x 2y y 2z z    y y  2z z z z  2x x x x  2 y y Đặt a  x x ; b  y y ; c  z z ; Ta có 2a  b  c 2 2a 2b 2c 2a 2 2b2 2c 2 P       b  2c c  2a a  2b a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b  3  ab  bc  ca  2  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca  2  a 2  b2  c 2  2  2ab  2bc  2ca     3  ab  bc  ca  3  ab  bc  ca  3  ab  bc  ca  2  a 2  b2  c 2  4   3  ab  bc  ca  3 Mặt khác ta có a2  b2  c2  ab  bc  ca . Nên ta có: P  2 . dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . Hay x x  y y  z z  x=y=z=1 Bài 22: Cho a, b, c lµ c¸c sè d-¬ng. Chøng minh r»ng: a b c 3    bc ca ab 2 13 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Ta cã: 1 1 1 9 9     b  c c  a a  b b  c  c  a  a  b 2(a  b  c) 1 1 1 9  (a  b  c)(   ) bc ca ab 2 abc abc abc 9 a b c 3         bc ca ab 2 bc ca ab 2 (§pcm). 3 Bài 23: Cho a,b,c>0 và a  b  c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1 1 1 S  a2  2  b2  2  c 2  2 b c a Giải 1 1 1 S  a2  2  b2  2  c 2  2 b c a 1 1 1 1 4 (12  42 )(a 2  2 )  (1.a  4. )2 a 2  2  (a  ) b b b 17 b Tương tự 1 1 4 1 1 4 b2  2  (b  ); c 2  2  (c  ) c 17 c a 17 a Do đó: 1 4 4 4 1 36 S (a  b  c    )  (a  b  c  ) 17 a b c 17 a bc 1  9 135  3 17  (a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)   2 17   Bài 24: Cho x,y,z là ba số thực dương và x  y  z  1 . Chứng minh rằng 1 1 1 x2  2  y 2  2  z 2  2  82 y z x Giải 14 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 1 1 1 1 9 (1.x  9. )2  (12  92 )( x 2  2 )  x 2  2  (x  ) y y y 82 y 1 1 9 1 1 9 TT : y 2  2  ( y  ); z 2  2  (z  ) z 82 z x 82 x 1 9 9 9 1 81 S (x  y  z    )  (x  y  z  ) 82 x y z 82 x yz 1  1 80         82 x  y  z x  y  z  ( x y z ) 82  3 9 4 Bài 25: Cho a,b,c>0 và a  2b  3c  20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  b  c   a 2b c Giải Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16  12   18   16  4S  4a  4b  4c     a  2b  3c   3a     2b     c    a b c  a  b  c 20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13 1 1 1 Bài 26: Cho x,y,z> 0 và    4 . Tìm giá trị lớn nhất của x y z 1 1 1 P   2x  y  z x  2 y  z x  y  2z Giải Ta có 1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 16 1 1 1 2 1   ;                x y x y y z yz x y y z x  y y  z x  2y  z x  2 y  z 16  x y z  TT : 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2     ;      2 x  y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z  1  4 4 4 S      1 16  x y z  Bài 26: Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng 8x  8y  8z  4x1  4y1  4z1 Giải 15 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Dự đoán x=y=z = 2 và 3 8x.8x  3 64x  4x nên : 8x  8x  82  3 3 8x.8x.82  12.4x ; 8 y  8 y  82  3 3 8 y.8 y.82  12.4 y ; 8z  8z  82  3 3 8z.8z.82  12.4z 8x  8 y  8z  3 3 8x.8 y.8z  3 3 82.82.82  192 Cộng các kết quả trên => đpcm. Bài 27: Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng: 1  x3  y 3 1  y3  z 3 1  z 3  x3   3 3 xy yz zx Giải x3  y 3  xy  x  y   1  x3  y 3  xyz  xy  x  y   xy  x  y  z   3xy 3 xyz  3xy 1  x3  y 3 3xy 3 1  y3  z 3 3 yz 3 1  z 3  x3 3zx 3   ;   ;   xy xy xy yz yz yz zx zx zx  1 1 1  1 S  3     3 3 3 3  xy  yz zx  x2 y 2 z 2 Bài 28: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   x  y 1  xy  1  x 2 1  y 2 Giải  x  y  1  xy  2  x  y 1  xy   x  y 1  xy   2    1  1  P  1 P   1  x  1  y  1  x  1  y   x  y  1  xy 2 4 4 2 2 2 2 4 Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4 Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy ra. a 3 b3 c 3 Bài 29: Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng:    ab  bc  ca b c a Giải 16 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! (a  b  c )  ab  bc  ac  3 3 3 4 4 4 2 2 2 2 2 a b c a b c Cách 1:         ab  bc  ac b c a ab bc ca ab  bc  ac ab  bc  ac a3 2 b 3 2 c 3 Cách 2:  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2a 2 b c a a 3 b3 c 3    2(a 2  b2  c 2 )  ab  bc  ac  ab  bc  ac b c a Bài 30: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng 2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5 51    1 x 1 2 y 1  3z 7 Giải 2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5   1 x 1 2 y 1  3z 2 y  3z  5 3z  x  5 x  2y  5  1 1 1 3 1 x 1 2 y 1  3z  1 1 1  9   x  2 y  3z  6       3  24. 3  1  x 1  2 y 1  3z  x  2 y  3z  3 9 51  24.  3  21 7 Bài 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: ( x  y  1)2 xy  y  x A  (Với x; y là các số thực dương). xy  y  x ( x  y  1)2 Giải ( x  y  1) 2 1 Đặt  a; a  0  A  a  Có xy  y  x a 1 8a a 1 8 a 1 8 2 10 10 Aa   (  )  .3  2. .     A  a 9 9 a 9 9 a 3 3 3 3 Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab  bc  ca P  a 2  b2  c 2  2 a b  b 2c  c 2 a 17 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải 3(a + b + c ) = (a + b + c)(a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + 2 2 2 2 2 2 ca2 Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0 ab  bc  ca 9  (a 2  b 2  c 2 ) Suy ra P  a  b  c  2 2 2 2 Pa b c  2 2 2 a  b2  c 2 2(a2  b2  c2 ) t = a2 + b2 + c2, với t  3. 9t t 9 t 1 3 1 Suy ra P  t       3   4  P  4 a=b=c=1 2t 2 2t 2 2 2 2 Bài 33: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2 . Chứng minh rằng: 1 1 1 97 a2  2  b2  2  c 2  2  b c a 2 Giải 2  9 1   2 81  2 1  1 4  9 1.a  4 . b   1  16  a  b2   a  b2   a  4b  ; 2      97   cộng các vế lại 1 4  9 1 4  9  b2  2   b   ; c2  2   c  c 97  4c  a 97  4a  Bài 34: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ  nhất của biểu thức P4 ( )1 3 3 3 abc 5 ab c. Giải Có a   2 2 a (b c)(  2 a b c )( abc )(1) , b  2 2 b  (cab 2 )(  ca)(b c a)(2)        (3) . Dấu ‘=’ xảy ra abc 2 2 2 c ca ( bc )( a b)(c ab) Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có : a bc (ab  c ) (b c a ) (c a b) (*) Từ abc2 nên (*)  ab  c( 22 a)(2 2b) (2 2 c)   8 8( a b ca )8 ( b b cc a ) 90 a b c   89 a bc 8 ( a b b cc a ) 09 a b c8 ( a b b c c a ) 8(*)  Ta có a 3 b 3 c 3  () a b  3 c 3 a () b c ( a b b c  c a ) 3 a b c 8 6 ( a b  b c c a ) 3a b c 18 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!  3 Từ đó 4 ( a 3 b 3 c )1 5 a b c 2 7 a b c 2 4 ( a b b c c a ) 3 2 3 9 a b c 8 ( a b b c  c a ) 3 2 (**) Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4 ( a  3 3 3 b c)1 5 ab c 3 . (8 ) 3 28 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc3. 2 Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi abc3 Bài 35: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng 2 1  a3  b3  c3  3abc  . 9 4 Giải *P  a3  b3  c3  3abc Ta có a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ac)  a3  b3  c3  3abc  (a 2  b2  c 2  ab  bc  ac) (1) có abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  2 8 1  4(ab  bc  ca)  8abc  6abc    ab  bc  ca  (2) 3 3 2 5 (1)and(2)  a3  b3  c3  3abc  a 2  b2  c 2    ab  bc  ca  3 3  1  a 2  b2  c 2 P1 mà ab  bc  ca  2 6 a 2   b2  c 2  1 6 2 2 2  1  1  1 1 1 1 1 2         2  2  2    .   3   3   3  a b c 0 a b c P  3 6 3 6 9 *P  a3  b3  c3  3abc abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca)  8abc  0 1  ab  bc  ca)  2abc  (3) 4 P  a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ac)  6abc  a 2  b2  c2  ab  bc  ac  6abc   a  b  c   3  ab  bc  ca   6abc 2 1 1  1  3  ab  bc  ca  2abc   1  3.  4 4 19 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài 36: Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  xyz  8 Giải Chứng minh được xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z   (6  2 x)(6  2 y)(6  2 z)  216  72( x  y  z)  24( xy  yz  zx)  8xyz 8  xyz  24  ( xy  yz  zx) (1) 3 mà  x  y  z   9  x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz  9 2  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  36  3xy  3 yz  3xz (2) 8 Nên xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  3 yz  3xz 3 1  xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z   3( xy  yz  zx) 2 3 1  x  y  z 2 36  xyz  x  y  z  xy  yz  xz  12  . 2 2 2  12   8 3 3 9 Bài 37: Cho a  1342; b  1342 . Chứng minh rằng a2  b2  ab  2013 a  b  . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:  a 13422  b 13422  0;  a 1342b 1342  0; a 1342  b 1342  0 Thật vậy:  a 13422  b 13422  0  a2  b2  2.1342.  a  b   2.13422  0 (1)  a 1342b 1342  0  ab 1342a 1342b 13422  0 (2)  a 2  b2  2.1342.  a  b   2.13422  ab  1342a 1342b  13422  0  a 2  b2  ab  3.1342.  a  b   3.13422  2.2013.  a  b   3.13422  2013.  a  b   2013.  a  b   2.2013.1342  2013.  a  b   2013.  a  b 1342 1342   2013.  a  b  Bài 38: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A   x 1   x  3  6  x 1  x  3 4 4 2 2 20 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com