www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
Bài 1: Cho hai đường tròn (
1
S
) và (
2
S
) có giao điểm A, hãy dựng đường thẳng qua A
sao cho nó cắt hai đường tròn theo các dây cung bằng nhau.
GIẢI
* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A theo yêu cầu bài toán .
1
2
( )
B S
C S
∈
∈
Ta có: AB = AC
Xét
1 1
'
1 1
1
( ) ( ')
(C (S '))
A
S S
S S
B C
→
∈
֏
֏
* Cách dựng:
Dựng
1
( ')
S
1 1
( ) ( ')
A
S S
=
1 2
( ') ( )
S S C
∩ =
( khác A )
Nối AC
Dựng 1
( )
AC S B
∩ =
Ta có ABC là đường thẳng cần dựng.
* Chứng minh: AB = AC,thật vậy:
Chứng minh:
∆
AB
1
S
=
∆
AC
'
1
S
Ta có:
1
BAS
∆
cân tại
1
S
1
S
⇒
=
180
-
1
2
BAS
1
ACS
∆
cân tại
'
1
S
1
'
S
⇒
=
180
-
'
1
2
CAS
Mà:
1
BAS
=
'
1
CAS
(đối đỉnh)
Suy ra:
'
1 1
BAS CAS
∆ = ∆
* Biện luận:
www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
Nếu
1
( )
S
tiếp xúc
2
( )
S
thì có 1 nghiệm hình
Nếu
1
( )
S
,
2
( )
S
cắt nhau tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình.
Bài 2: Qua điểm A cho trước, hãy kẻ một đường thẳng sao cho đoạn thẳng xác định bởi
các giao điểm của nó với một đường thẳng và một đường tròn cho trước nhận A làm
trung điểm.
GIẢI
* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng CAB theo yêu theo yêu cầu bài toán .
Với B
∈
( )
O
, C
∈
( )
l
, AB = AC
Xét phép đố
i x
ứ
ng tâm A:
Đ
A
'
( ) ( )
l l
→
C
֏
B ( B
'
( )
l
∈
)
*
Cách dựng:
D
ự
ng
'
( )
l
=
Đ
( )
A
l
D
ự
ng B =
'
( ) ( )
l O
∩
N
ố
i BA
D
ự
ng C = BA
( )
l
∩
Ta
đượ
c
đườ
ng th
ẳ
ng ABC c
ầ
n d
ự
ng .
* Chứng minh:
AB =AC
Theo cách d
ự
ng ta có
( )
l
//
( ')
l
Qua A k
ẻ
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i hai
đườ
ng th
ẳ
ng trên l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i H, K.
Ch
ứ
ng minh
ACH
∆
=
ABK
∆
www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
Ta có:
1
( )
( )
H K v
HAC KAB dd
ABK ACH slt
= =
=
=
Suy ra:
ACH
∆
đồng dạng
ABK
∆
(1)
Mà: AH = AK (tính chất đối xứng tâm A)
Suy ra:
ACH
∆
=
ABK
∆
Vậy: AB = AC
* Biện luận: (l’) =
Đ
( )
A
l
Nếu
'
(l )
tiếp xúc thì có 1 nghiệm hình .
Nếu
'
( )
l
cắt (O) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình .
Nếu
'
( )
l
và (O) không có giao điểm thì vô nghiệm .
Bài 3: Cho góc ABC và điểm D nằm trong góc đó. Hãy dựng đoạn thẳng sao cho cắt AB, BC lần
lượt tại E,E’ và EE’ nhận D làm trung điểm.
GIẢI
* Phân tích: Giả sử dựng được đường thẳng theo yêu cầu bài toán.
'
E AB
E BC
∈
∈
DE = DE’
Xét phép đối xứng :
' '
'
D
BC B C
E E
→
֏
www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
* Cách dựng:
Dựng
' ' ( )
D
B C BC
=
Dựng
' '
E B C AB
= ∩
Nối DE
Dựng E’=BC
∩
DE
Ta có đường thẳng EDE’ cần dựng.
* Chứng minh: thật vậy DE = DE’, vì:
Từ D hạ vuông góc xuống BC, B’C’ cắt lần lượt tại H, H’.
Suy ra DH = DH’ (1)
Mà
'
DE H
∆
đồng dạng
'
DEH
∆
, Vì:
' '( )
' '( )
' 1
E DH EDH dd
DE H DEH slt
H H v
=
=
= =
(2)
Từ (1), (2) suy ra
' '
DE H DEH
∆ = ∆
Vậy: DE = DE’
* Biện luận:
Bài toán có 1 nghiệm hình.
Bài 4:Cho hai đường tròn (O
1
), (O
2
) có giao điểm A. Hãy dựng đường thẳng qua A định trên hai
đường tròn hai dây cung sao cho hiệu của chúng bằng a cho trước.
GIẢI
* Phân tích:
Gi
ả
s
ử
đ
ã d
ự
ng
đượ
c
đườ
ng th
ẳ
ng qua A và AB – AC = a (a cho tr
ướ
c).
www.MATHVN.com
ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
Xét phép đối xứng tâm qua A :
'
2 2
( ) ( )
A
O O
→
C
֏
C’
Suy ra: AC =AC’
Hai đường thẳng (l
1
), (l
2
) lần lượt qua O
1
, O
2
và vuông góc với BC.
Khoảng cách giữa (l
1
), (l
2
) là d =
2
a
( vì '
2 2 2
AB AC a
− =
).
Suy ra (l
2
) là tiếp tuyến của đường tròn (O
1
;
2
a
).
* Cách dựng:
Dựng
'
2 2
( ) ( ) ' ( )(1)
A A
O O C C=⇒=
Dựng
1
( ; )
2
a
O
Dựng (l
2
) là tiếp tuyến của
1
( ; )
2
a
O đi qua O
2
’.
Dựng qua O
1
đường thẳng (l
1
)//(l
2
).
Dựng (l) qua A và vuông góc với (l
2
).
Dựng
1
( ) ( )
B l O
= ∩
2
( ) ( )
C l O
= ∩
Ta có đường thẳng BAC cần dựng.
*Chứng minh: AB – AC = a
Theo phép dựng (1) ta có: AC =AC’
Chứng minh: AB – AC’ = a
Ta có: d =
2
a
'
2 2 2
'
AB AC a
AB AC a
⇔ − =
⇔ − =
Vậy: AB - AC = a
*Biện luận:
Nếu (O
1
) tiếp xúc (O
2
) thì có 1 nghiệm hình.
Nếu (O
1
) giao (O
2
) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình.