ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Chia sẻ: Abcdef_6 Abcdef_6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

413
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng phép đối xứng tâm vào bài toán dựng hình', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH Bài 1: Cho hai đường tròn ( S1 ) và ( S 2 ) có giao điểm A, hãy dựng đường thẳng qua A sao cho nó cắt hai đường tròn theo các dây cung bằng nhau. GIẢI * Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A theo yêu cầu bài toán . B ∈ ( S1 ) C ∈ (S2 ) Ta có: AB = AC Xét ÑA ( S1 ) →( S1 ') S1 ֏ S1' (C ∈ (S1')) B֏C * Cách dựng: Ñ A ( S1 ) = ( S1 ') Dựng ( S1 ') ( S1 ') ∩ ( S 2 ) = C ( khác A ) Nối AC AC ∩ ( S1 ) = B Dựng Ta có ABC là đường thẳng cần dựng. AB = AC,thật vậy: * Chứng minh: ∆ AB S1 = ∆ AC S1' Chứng minh: Ta có: ∆BAS1 cân tại S1 ⇒ S1 = 180 - 2 BAS1 ∆ACS1 cân tại S1' ⇒ S1 ' = 180 - 2CAS1' BAS1 = CAS1' (đối đỉnh) Mà: ∆BAS1 = ∆CAS1' Suy ra: * Biện luận: 1 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH Nếu ( S1 ) tiếp xúc ( S 2 ) thì có 1 nghiệm hình Nếu ( S1 ) , ( S 2 ) cắt nhau tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình. Bài 2: Qua điểm A cho trước, hãy kẻ một đường thẳng sao cho đoạn thẳng xác định bởi các giao điểm của nó với một đường thẳng và một đường tròn cho trước nhận A làm trung điểm. GIẢI * Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng CAB theo yêu theo yêu cầu bài toán . Với B ∈ (O) , C ∈ (l ) , AB = AC Xét phép đối xứng tâm A: Đ A (l ) → (l ' ) C ֏ B ( B ∈ (l ' ) ) * Cách dựng: Dựng (l ' ) = Đ A (l ) Dựng B = (l ' ) ∩ (O) Nối BA Dựng C = BA ∩(l ) Ta được đường thẳng ABC cần dựng . * Chứng minh: AB =AC Theo cách dựng ta có (l ) // (l ') Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng trên lần lượt tại H, K. Chứng minh ∆ACH = ∆ABK 2 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH  H = K = 1v   Ta có:  HAC = KAB ( dd )   ABK = ACH ( slt )  Suy ra: ∆ACH đồng dạng ∆ABK (1) Mà: AH = AK (tính chất đối xứng tâm A) Suy ra: ∆ACH = ∆ABK Vậy: AB = AC * Biện luận: (l’) = Đ A (l ) Nếu (l' ) tiếp xúc thì có 1 nghiệm hình . Nếu (l ' ) cắt (O) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình . Nếu (l ' ) và (O) không có giao điểm thì vô nghiệm . Bài 3: Cho góc ABC và điểm D nằm trong góc đó. Hãy dựng đoạn thẳng sao cho cắt AB, BC lần lượt tại E,E’ và EE’ nhận D làm trung điểm. GIẢI * Phân tích: Giả sử dựng được đường thẳng theo yêu cầu bài toán. E ∈ AB E ' ∈ BC DE = DE’ ÑD BC → B ' C ' Xét phép đối xứng : E'֏ E 3 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH * Cách dựng: Dựng B ' C ' = ÑD ( BC ) Dựng E = B ' C '∩ AB Nối DE Dựng E’=BC ∩ DE Ta có đường thẳng EDE’ cần dựng. * Chứng minh: thật vậy DE = DE’, vì: Từ D hạ vuông góc xuống BC, B’C’ cắt lần lượt tại H, H’. Suy ra DH = DH’ (1)  E ' DH = EDH '(dd )   Mà ∆DE ' H đồng dạng ∆DEH ' , Vì:  DE ' H = DEH '( slt ) (2)   H = H ' = 1v  Từ (1), (2) suy ra ∆DE ' H = ∆DEH ' Vậy: DE = DE’ * Biện luận: Bài toán có 1 nghiệm hình. Bài 4:Cho hai đường tròn (O1), (O2) có giao điểm A. Hãy dựng đường thẳng qua A định trên hai đường tròn hai dây cung sao cho hiệu của chúng bằng a cho trước. GIẢI * Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A và AB – AC = a (a cho trước). 4 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH ÑA Xét phép đối xứng tâm qua A : (O2 ) → (O2 ) ' C ֏ C’ Suy ra: AC =AC’ Hai đường thẳng (l1), (l2) lần lượt qua O1, O2 và vuông góc với BC. a AB AC ' a − = Khoảng cách giữa (l1), (l2) là d = ( vì ). 2 2 2 2 a Suy ra (l2) là tiếp tuyến của đường tròn (O1; ). 2 * Cách dựng: Dựng (O2 ) = Ñ A (O2 ) ⇒ C ' = Ñ A (C )(1) ' a Dựng (O1 ; ) 2 a Dựng (l2) là tiếp tuyến của (O1 ; ) đi qua O2’. 2 Dựng qua O1 đường thẳng (l1)//(l2). Dựng (l) qua A và vuông góc với (l2). Dựng B = (l ) ∩ (O1 ) C = (l ) ∩ (O2 ) Ta có đường thẳng BAC cần dựng. *Chứng minh: AB – AC = a Theo phép dựng (1) ta có: AC =AC’ Chứng minh: AB – AC’ = a a Ta có: d = 2 AB AC ' a ⇔ − = 2 2 2 ⇔ AB − AC ' = a Vậy: AB - AC = a *Biện luận: Nếu (O1) tiếp xúc (O2) thì có 1 nghiệm hình. Nếu (O1) giao (O2) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình. 5 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, BC cố định, A di chuyển trên đường tròn. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC. GIẢI *Phần thuận: Gọi I là trung điểm BC. A’ đối xứng của A qua O Suy ra: ABA ' = ACA ' = 90 AB ⊥ A ' B    ⇒ A ' B / / HC  AB ⊥ HC    ⇒ BHCA ' là hình bình hành . Ta có: AC ⊥ A ' C    ⇒ BH / / A ' C  AC ⊥ BH   Mà: IB = IC Nên: IH =IA’ Hay: A ' = ÑI ( H ) . Khi A di chuyển trên đường tròn tâm O thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn tâm O. Vì O, BC, I cố định Nên quỹ tích của H là đường tròn tâm(O’;BC). (Với O ' = ÑI (O) ). *Phần đảo: Lấy H ∈ (O’;BC) Bài 6: Cho tam giác ABC.Tìm các điểm trong tam giác sao cho 3 điểm đối xứng với nó qua trung điểm các cạnh tam giác đều thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 6 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH GIẢI *Phần thuận: Gọi E là điểm cần tìm. Gọi M là trung điểm AB. ÑM Và giả sử: E → E1 . Ñ Ta có: A → B M ÑM B → A . Suy ra: AEB = BE1 A . Vì E1 ∈(O), nên AE1 B + C = 180 ⇒ AEB = 180 − C AEC = 180 − B Tương tự: BEC = 180 − A . Vậy E là giao điểm của 3 cung chứa góc ( 180 − C ) dựng trên AB, ( 180 − B ) dựng trên AC, ( 180 − A ) dựng trên BC. Theo hình học lớp 9, suy ra E cần tìm là điểm duy nhất và chính là trực tâm tam giác ABC. * Phần đảo: Với E là trực tâm tam giác ABC. M là trung điểm AB. ÑM E → E1 E1 ≡ Chứng minh: E1 thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi C’ đối xứng với C qua O, C’ ∈ (O). Nhận thấy: CAC ' = CBC ' = 90 ⇒ C ' A ⊥ AC   ⇒ BE / / C ' A Mà BE ⊥ AC  Tương tự ta có: AE / / BC’ Suy ra AEBC’ là hình bình hành. Nên M là trung điểm EC’. ÑM Mặt khác: E → E1 Hay M là trung điểm EE1 Vậy E1 ≡ C’ ⇒ E1 ∈ (O ) . 7 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH Bài 7: Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD không cắt nhau, J thuộc CD. Dựng X trên đường tròn sao cho các dây cung AX, BX chắn trên dây CD đoạn EF nhận J làm trung điểm. GIẢI * Phân tích: XA, XB chắn dây CD tại E, F. Dựng E’ là điểm sao cho AEJE’ là hình bình hành F’ là điểm sao cho JFBF’ là hình bình hành Gọi I là trung điểm AB. ÑI Xét phép đối xứng : J  K → Ta có: AE’ // = F’B Suy ra: ∆AE ' I = ∆BF ' I Vậy I là trung điểm E’F’ KE’JF’ là hình bình hành Ta có: JE ' K = 180 − E ' JF ' = 180 − AXB = 180 − ACB ( Cùng chắn cung AB ). * Cách dựng: Dựng: K = Ñ I ( J ) (1) Dựng cung chứa góc: ( δ ) nhìn dây JK với góc ( 180 − ACB ) cùng phía với A so với JK. (2) Dựng (d) qua A và song song CD. (3) Dựng: E’ = (d) ∩ ( δ ). (4) Dựng cung chứa góc: ( δ ' ) nhìn dây JK với góc ( 180 − ACB ) cùng phía với B so với JK. (5) Dựng (d’) qua B và song song CD. (6) Dựng: F’ = (d’) ∩ ( δ ' ). (7) Dựng (l) qua A và song song E’J E = (l) ∩ CD. (8) X = (l) ∩ (O). Dựng (l’) qua B và song song F’J F = (l’) ∩ CD. (9) X = (l’) ∩ (O). Ta có X cần dựng. * Chứng minh: JE = JF X ∈ (O) • Theo phép dựng (1), (2), (4), (5), (7) ta có KE’JF’ là hình bình hành Mà: K = Ñ I ( J ) 8 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH  ⇒ IE ' = IF '  IA = IB  ⇒ ∆AIE ' = ∆BIF '  AIE ' = BIF '(dd )  ⇒ AE ' = BF ' Theo phép dựng (3),(8) ta có AE’JE là hình bình hành ⇒ AE’ = JE Theo phép dựng (6),(9) ta có BF’JF là hình bình hành ⇒ BF’ = JF Suy ra: JE = JF • Theo phép dựng (8), (9) ta có: E ' JF ' = AXB Vì KE ' J = 180 − E ' JF '    ⇒ E ' JF ' = ACB Và ( 2 )   Suy ra: AXB = ACB ,C ∈ (O) hai góc cùng nhìn cung CB nên X ∈ (O). * Biện luận: Số nghiệm hình là số giao điểm của (d) và ( δ ). Bài 8: Hãy dựng hình ngũ giác khi biết 5 trung điểm các cạnh. GIẢI 9 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH *Phân tích: Giả sử đã dựng được ngũ giác A1A2A3A4A5 nhận B1, B2, B3, B4, B5 lần lượt là trung điểm các cạnh A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A1 . Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ta có A1 → A2 → A3 → A4 → A5 → A1    B1 B2 B3 B4 B5 ÑÑÑÑÑ Vậy: A1  A1 → B5 B4 B3 B2 B1 (1) Ta thấy: Ñ B5 Ñ B4 Ñ B3 Ñ B2 Ñ B1 là phép đối xứng tâm. Rõ ràng mọi phép đối xứng tâm chỉ có một điểm bất động duy nhất, đó chính là tâm đối xứng . Từ (1) suy ra: Ñ B5 Ñ B4 Ñ B3 Ñ B2 Ñ B1 = Ñ A1 (2) Lấy X bất kì trên mặt phẳng. Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Giả sử: X → X 1 → X 2 → X 3 → X 4 → X 5    B1 B2 B3 B4 B5 Ñ Do (2) suy ra: X → X 5 A1 Vậy: A1 là trung điểm XX5. * Cách dựng: Lấy X bất kì thuộc mặt phẳng. Ñ Dựng: X → X 1 B1 Ñ X 1 → X 2  B2 Ñ X 2 → X 3 B3 Ñ X 3 → X 4  B4 Ñ X 4 → X 5  B5 Dựng A1: A1 là trung điểm XX5 Ñ Dựng: A2 A1 → A2 B1 Ñ A3 A2 → A3  B2 Ñ A4 A3 → A4 B3 Ñ A5 A4 → A5 B4 Nối: A1A5 Ta được ngũ giác A1A2A3A4A5 cần dựng . * Chứng minh: B5 là trung điểm A1A5 Theo phép dựng: A1 là trung điểm XX5 ⇒ XA1 = A1 X 5 Ñ X → X 1   B1 Theo phép dựng:  ⇒ XA1 X 1 A2 là hình bình hành Ñ B1 A1 → A2   ⇒ XA1 = A2 X 1 Tương tự ta có: A2 X 1 = X 2 A3 = A4 X 3 = X 4 A5 Suy ra: X 4 A5 = A1 X 5 Vậy: X4A5X5A1 là hình bình hành . 10 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com
www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH Ñ Mà: X 4 → X 5  B5 Nên: B5 cũng là trung điểm A1A5 . * Biện luận: Bài toán có 1 nghiệm hình ( Vì A1A5 nhận B5 duy nhất làm trung điểm ). Chú ý : Cách dựng trên có thể mở rộng sang đa giác với số lẻ cạnh bất kì. Nghĩa là : nếu cho (2k + 1) trung điểm các cạnh của (2k + 1)giác ta sẽ dựng được (2k + 1)giác 11 Hoàng Nguyên - www.mathvn.com