Ứng dụng số phức để giải toán vật lý

Chia sẻ: Pham Dung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

389
lượt xem 127
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng số phức để giải toán vật lý', tài liệu phổ thông, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng số phức để giải toán vật lý

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI TOÁN VẬT LÝ a + b1 j (a 1 + b1 j)(a 2 − b 2 j) z1 =1 = d) Thương 2 số phức : z2 a 2 + b2 j a 2 + b2 2 2 1) Khái niệm : z1 a 1a 2 + b1b 2 −a 1b 2 + a 2 b1 Tập hợp các số phức là tập hợp các số thực R và số j sao cho j2 = - 1 = + j ⇔ a 2 + b2 a 2 + b2 2) Biểu diễn số phức : z2 2 2 2 2 a) Dạng đại số : với a, b là các số thực z = a + bj Chú ý : a gọi là phần thực; b gọi là phần ảo z1 = r1(cosϕ1 + jsinϕ1) + Nếu biểu diễn số phức ở dạng lượng giác : + Nếu b = 0 thì z = a là số thực z2 = r2(cosϕ2 + jsinϕ2) + Nếu a = 0 thì z = bj là số thuần ảo z1z2 = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + jsin(ϕ1 + ϕ2)] thì : + z = 0 khi a = b = 0 z1 = r1 e jϕ1 ; z2 = r2 e jϕ2 + Nếu biểu diễn số phức ở dạng : + Hai số phức z1 = a1 + b1j và z2 = a2 + b2j bằng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2 z1z2 = r1r2 e j( ϕ1 + ϕ 2 ) = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + jsin(ϕ1 + ϕ2)] y(truï aû) co thì : b) Dạng hình học : r = OM z1 r1 j( ϕ1 −ϕ2 ) r1 Tọa độ của r là a, b =e = [cos(ϕ1 - ϕ2) + jsin(ϕ1 - ϕ2)] và z 2 r2 r2 c) Dạng lượng giác : 4) Số phức liên hợp : b M (z) a = r cos ϕ a) Định nghĩa : → r r b = r sin ϕ + Số phức liên hợp của số phức z = a + bj là một số phức z = a - bj ϕ ϕ ϕ + Số phức liên hợp của số phức z = rej là một số phức z = re-j Suy ra z = a + bj O x(truï thöï ) cc b) Một số tính chất : z = r(cosϕ + jsinϕ) a z + z = 2a * với r= a 2 + b2 z - z = 2bj * z. z = a2 + b2 * ϕ cosϕ + jsinϕ = ej Theo công thức Euler (Ơle) : z1 z 2 = z1 z 2 jϕ * Suy ra : z = re Chú ý : z1.z 2 = z1.z 2 * ϕ * Có thể chuyển một số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác hoặc dạng re j ; � 1 � z1 b z tgϕ = hoặc ngược lại : = r = a 2 + b2 ; (z2 ≠ 0) * �� a z2 � z2 � * Một số trường hợp riêng : 5) Biểu diễn một dao động điều hòa bằng một số phức : π π π + j 2 = cos + jsin = j a) Biểu diễn một dao động điều hòa bằng một số phức : Một đại lượng biến thiên e 2 2 điều hòa theo thời gian x = Acos(ωt + ϕ) có thể được biểu biễn bởi một số phức ký hiệu π π π là x* + − j 2 = cos(- ) + jsin(- ) = - j e 2 2 ωϕ x* = Aej( t + ) = A[cos(ωt + ϕ) + jsin(ωt + ϕ)] = a + bj π π π 2 với phần thực là a = Acos(ωt + ϕ) và phần ảo là b = Asin(ωt + ϕ) + j 4 = cos + jsin = (1 + j) e Trong các bài toán dao động điều hòa, khi tần số góc ω có trị số xác định thì có thể 4 4 2 ϕ x* = Aej = A(cosϕ + jsinϕ) = a + bj 3) Các phép tính với số phức : biểu diễn đơn giản Cho 2 số phức : z1 = a1 + b1j ; z2 = a2 + b2j với phần thực là a = Acosϕ và phần ảo là b = Asinϕ a) Tổng 2 số phức : z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)j b) Ví dụ : Biểu diễn bằng số phức các dao động điều hòa sau : b) Hiệu 2 số phức : z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)j ω + x = 5cosωt ↔ x* = 5ej t = 5cosωt + j5sinωt c) Tích 2 số phức : z1.z2 = (a1 + b1j)(a2 + b2j) = a1a2 + a1b2j + a2b1j - b1b2 Hoặc x = 5 = 5cos0 + j5sin0 * Vậy : z1.z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)j Soá phöùc vaø öùng duïng soá phöùc ñeå giaûi toaùn Vaät Lyù Bieân soaïn : GV Phöông Chaùnh Nhôn 1
π π π π ωt + π/4) + x = 10cos(ωt + ↔ x*2 = 2 3 e− j 3 = 2 3 [cos(- ) + jsin(- )] = x* = 10ej( ) 3 - 3j 4 3 3 π π Dao động tổng hợp : x* = x*1 + x*2 = 2 3 - 4j x* = 10[cos(ωt + ) + jsin(ωt + ) 4 4 π x = 4cos(πt - )(cm) Tức là : π π π 2 Hoặc x* = 10 j 4 = 10(cos + jsin ) e 4 4 * Ví dụ 3 : Tổng hợp ba dao động điều hòa cùng tần số sau : π = 5 2 (1 + j) x1 = 3cost(cm) ; x2 = 3sint(cm) ; x3 = 7cos(t + )(cm) π 2 ↔ x = 5 2 cos(ωt + ) + x* = 5 + j5 Giải 4 π π b5 Biến đổi : x2 = 3cos(t - )(cm) vì : A = a 2 + b 2 = 5 2 + 5 2 = 5 2 và tgϕ = = = 1 nên ϕ = 2 a5 4 Biểu diễn bằng số phức : x*1 = 3ej0 = 3 c) Tổng hợp các dao động điều hòa cùng tần số bằng số phức : π * Ví dụ 1 : Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng tần số sau : x*2 = 3 e− j 2 = -3j π π x1 = cos(ωt + ), x1 = cos(ωt + ) π 2 6 x*3 = 7 e j 2 = 7j Giải Dao động tổng hợp : x* = x*1 + x*2 + x*3 = 3 + 4j π j Biểu diễn bằng số phức : x*1 = =j x = 5cos(t + ϕ)(cm) vì A = Tức : 32 + 4 2 = 5 2 e π π 1 b4 π 3 = j x*2 = = cos + jsin = +j tgϕ = Với 6 e 6 6 2 a3 2 π 3 3 * Ví dụ 4 : Tổng hợp ba dao động điều hòa sau : x1 = 4cos(πt + Dao động tổng hợp x* = x*1 + x*2 = +j )(cm); x2 = 2 6 2 π 5π π x = 3 cos(ωt + ) 4cos(πt + )(cm); x3 = 4cos(πt - )(cm) Tức là 3 6 2 Giải 3 π π π π 2=3 39 j Biểu diễn bằng số phức : x*1 = 4 = 4(cos + jsin ) = 2 3 + 2j + = 3 và tgϕ = nên ϕ = Vì : A= 6 e 6 6 3 3 44 5π 5π 5π 2 j x*2 = 4 = 4(cos + jsin ) = -2 3 + 2j 6 e 6 6 * Ví dụ 2 : Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng tần số sau : π π π − j = -4j x*3 = 4 x1 = 2cos(πt + )(cm); x2 = 2 3 sin(πt + )(cm) e2 6 6 Dao động tổng hợp : x* = x*1 + x*2 + x*3 = 0 Giải Vậy x=0 π x2 = 2 3 cos(πt - )(cm) 6) Vận dụng số phức để giải bài toán điện xoay chiều : Biến đổi : 3 a) Phương pháp sử dụng số phức để giải toán điện xoay chiều : Sử dụng trục dòng Biểu diễn bằng số phức : điện i làm trục gốc (trục thực) nằm ngang. π π π + Đoạn mạch xoay chiều chỉ có điện trở thuần R : x*1 = 2 j 6 = 2(cos + jsin ) = 3 + j e 6 6 Tổng trở Z = R; góc lệch pha ϕ = 0 ⇒ Tổng trở phức : Z* = Rej0 = R Soá phöùc vaø öùng duïng soá phöùc ñeå giaûi toaùn Vaät Lyù Bieân soaïn : GV Phöông Chaùnh Nhôn 2
+ Đoạn mạch xoay chiều chỉ có cuộn thuần cảm L : b) Ví dụ : π 1 -5 Tổng trở Z = ZL; góc lệch pha ϕ = .10 F; R1 = 1kΩ ; R2 = 282Ω ≈ 200 * Ví dụ 1 : Cho mạch điện như hình vẽ : C = 2 π π 5 j 2 Ω; L = H; RA ≈ 0. Cường độ dòng điện qua ampère kế có biểu thức i A = 2 Tổng trở phức : Z = ZL e ⇒ * = jZL π + Đoạn mạch xoay chiều chỉ có tụ điện C : 0,1cos100πt(A). Tìm biểu thức cường độ dòng điện qua C và qua R 2, các biểu thức hiệu π điện thế uDE, uEB, uAB. Tổng trở Z = ZC : góc lệch pha ϕ = - 2 A C D R2 E L B π −j 2 Tổng trở phức : Z* = ZL e ⇒ = -jZC + Đoạn mạch nối tiếp RLC : ZL − ZC R1 Tổng trở Z = R 2 + ( Z L − Z C ) 2 ; góc lệch pha tgϕ = A R jϕ Tổng trở phức : Z* = Z e = R + j(ZL - ZC) Giải ⇒ 1 U* ZL = ωL = 500Ω ; ZC = = 1000Ω I* = * + Định luật Ohm dạng phức : ωC Z Biểu diễn bằng số phức : Z*L = 500j ; Z*C = - 1000j ; R*1 = 1000Ω ; I*A = 0,1A + Đoạn mạch gồm nhiều đoạn mạch ghép nối tiếp : ⇒ U*AD = I*AR*1 = 100V - Tổng trở phức : Z* = Z*1 + Z*2 +... U* - Hiệu điện thế 2 đầu đoạn mạch dạng phức : U* = U*1 + U*2 +... 100 I*C = *AD = = 0,1j + Đoạn mạch gồm nhiều đoạn mạch ghép song song : −1000 j ZC 1 1 1 = * + * + ... π - Tổng trở phức : ⇒ IoC = 0,1A và ϕic = * Z Z1 Z 2 2 - Cường độ dòng điện mạch chính dạng phức : I* = I*1 + I*2 +... π ⇒ iC = 0,1cos(100πt + )(A) U* U* 2 * * với I1 = * ; I 2 = * ;... Z1 Z2 * * −1000 j.1000 −j Z C .R 1 = = 1000 = 500(1 − j) Z*AD = * + Đoạn mạch hỗn hợp : Giải như bài toán điện một chiều với các giá trị tính toán Z C + R 1 −1000 j + 1000 − j +1 * ở dạng số phức. U*AD 100 + Công thức chuyển đổi từ mạch tam giác (∆ ) sang mạch sao (Y) ở dạng số phức : = = 0,1(1 + j) Dòng điện mạch chính : I* = I*R2 = A 500(1 − j) * A Z AD π 0,1 ⇒ 0,12 + 0,12 = 0,1 2 A ; tanϕi = = 1 ; ϕi = Z*12 Io = * * 0,1 Z1 Z2 4 ⇔ π ⇒ i = 0,1 2 cos(100πt + )(A) Z*13 Z*23 4 C B U*DE = I*R*2 = 0,1(1+j).200 2 = 20 2 (1 + j) Z*3 B C π ⇒ UoDE = 40V ; ϕuDE = Z* Z* Z1 Z* * Z1 Z* * * ; Z* = * 23 3 2 Z12 = ; Z13 = 4 23 * Z* + Z* * + Z* + Z* * + Z* + Z* + Z1 Z1 Z1 2 3 2 3 2 3 Soá phöùc vaø öùng duïng soá phöùc ñeå giaûi toaùn Vaät Lyù Bieân soaïn : GV Phöông Chaùnh Nhôn 3
π L M C ⇒ uDE = 40cos(100πt + )(V) 4 IL IC U*EB = I*Z*L = 0,1(1 + j).500j = 50(j - 1) A B π ⇒ uEB = 50 2 cos(100πt - )(V) I1 I2 4 U*AB = U*AD + U*DE + U*EB = 100 + 20 2 (1 + j) + 50(j - 1) Io R1 N R2 = (50 + 20 2 )(1 + j) ~ π Giải ⇒ uAB = (50 + 20 2 ) 2 cos(100πt + )(V) 4 Z*L = jZL ; Z*C = -jZC ; R*1 = R*2 = R ; U* = 110 1) Ta có : 1 RZC + R 2 ZL j 2 Z* R * RZL j * Ví dụ 2 : Cho mạch điện như hình vẽ : R = 50 Ω ; L = H; uAB = Uocos(100πt). * Z1 = * L 1 * = = 2π Z L + R1 R + Z L j R 2 + Z2L Tìm giá trị của C để dòng điện mạch chính cùng pha với uAB. Z* R * −RZC j RZC − R 2 ZC j 2 C Z* = C2 = = 2 R − ZC j Z* + R * R 2 + ZC 2 C 2 2 �Z � RZ2 RZC Z + R2 � 2 L 2 − 2 C 2 L + j � Z* = Z*1 + Z*2 = A B � +Z � 2 + Z2 2 2 + ZC R + ZC R R R � � L L L R Z ZL = 2C2 i và u cùng pha khi ϕ = 0 , tức là : 2 2 R + Z L R + ZC Giải ⇔ (ZL - ZC)(R2 - ZLZC) = 0 Z*C = -jZC ; Z*L = jZL = 50j ; R* = R = 50 ; U* = Uo Ta có : ⇔ ZLZC = R2 Z*1 = Z*L + R* = 50 + 50j L 50ZC (100 − ZC ) j − ZC Z* Z1* 50ZC ( j − 1) ⇔ C= 2 C = Z* = * = R 502 + (50 − ZC )2 ZC + Z1 50 + j(50 − ZC ) * 2 2 � Z2 R2 � RZC RZ Để i cùng pha u thì ϕ = 0 ⇔100 - ZC = 0 2) Tổng trở : Z* = 2 L 2 + 2 = R� 2 L 2 + 2 2� R = � + ZL R + ZL � 2 R + Z L R + ZC R ⇒ ZC = 100Ω ⇒ Z=R 10 −4 ⇒ C= F U U π Io = o = o = 11A ⇒ Z R * Ví dụ 3 : Cho mạch điện như hình vẽ : R1 = R2 = R = 10Ω ; L = 0,2.10-3H; giữa hai đầu A và B đặt một hiệu điện thế u = 110sin100πt(V). Cuộn dây cảm thuần. 1) Hỏi tụ điện phải có điện dung C bằng bao nhiêu để dòng điện trong mạch chính cùng pha với hiệu điện thế u ở mọi tần số. 2) Tính cường độ dòng điện cực đại ở mạch chính lúc đó. Soá phöùc vaø öùng duïng soá phöùc ñeå giaûi toaùn Vaät Lyù Bieân soaïn : GV Phöông Chaùnh Nhôn 4