zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 7

Chia sẻ: Danh Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Báo xấu

102
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC MỤC TIÊU A. KIẾN THỨC Cung cấp cho người học những kiến thức về: – Xây dựng tập số hữu tỉ không âm và các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm; – Tập số thập phân và các phép toán trong tập số thập phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: [Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 7

CÁC TẬP HỢP SỐ Chủ đề 3 TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC MỤC TIÊU A. KIẾN THỨC Cung cấp cho người học những kiến thức về: – Xây dựng tập số hữu tỉ không âm và các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm; – Tập số thập phân và các phép toán trong tập số thập phân; – Cơ sở toán học của nội dung dạy phân số và số thập phân ở Tiểu học; – Xây dựng tập số hữu tỉ và tập số thực. B. KĨ NĂNG Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng: – Giải toán trong tập số hữu tỉ không âm và số thập phân không âm; – Giải toán về phân số và số thập phân ở Tiểu học. C. THÁI ĐỘ Chủ động tìm tòi khám phá và phát hiện những cơ sở toán học của việc dạy học phân số và số thập phân ở Tiểu học D. GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ 3 STT Tên tiểu chủ đề Trang 1 Xây dựng tập số hữu tỉ không âm 114 Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm 2 120 3 Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm 129 Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình 4 133 môn Toán ở Tiểu học 5 Tập số thập phân không âm 142 6 Số thập phân trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 152 7 Tập số hữu tỉ 164 8 Tập số thực 171 113
CÁC TẬP HỢP SỐ TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1. XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM THÔNG TIN CƠ BẢN Trong toán học và trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các bài toán: – Tìm thương của phép chia: a) 25 : 6; b) 3 : 5; c) 17 : 7; ... – Dùng đơn vị là mét để biểu diễn các số đo: 1m, 2dm, 5cm hoặc 25cm. – Dùng đơn vị là kilôgam để biểu diễn số đo: 14kg, 5g hoặc 1245g. Trong phạm vi tập các số tự nhiên, các bài toán trên đều không có lời giải. Do đòi hỏi, nhu cầu của thực tiễn toán học, đời sống lao động và sản xuất, chúng ta thường xuyên phải tìm lời giải cho các bài toán trên (theo một nghĩa nào đấy). Vì vậy, đặt ra cho chúng ta nhiệm vụ phải mở rộng tập hợp số tự nhiên thêm những số mới, để trong tập hợp số mới nhận được này, chúng ta sẽ tìm được lời giải của các bài toán thuộc các dạng nêu trên. Khi tính toán, chúng ta thường xuyên vận dụng các tính chất của các phép toán trên phân số, số thập phân. Chẳng hạn: – Tính chất giao hoán a + b = b + a và a × b = b × a. – Tính chất kết hợp (a + b) + c = a + (b + c); (a × b) × c = a × (b × c). – Tính chất phân phối a × (b + c) = a × b + a × c; a × (b – c) = a × b – a × c. – Tính chất của số 0 a + 0 = a. – Tính chất của số 1 a × 1 = a. v.v… Những tính chất, quy tắc thực hành tính toán trên đây học sinh thường tiếp nhận bằng hình thức thừa nhận, áp đặt mà không chứng minh được một cách chặt chẽ. Giáo viên thường minh hoạ tính đúng đắn của chúng thông qua một số ví dụ cụ thể. Chẳng hạn, thông qua bài toán: 114
CÁC TẬP HỢP SỐ Tính rồi so sánh kết quả (xem [1], trang 65). a b c (a + b) x c axc+bxc 2,4 3,8 1,2 6,5 2,7 0,8 8,2 1,8 14,7 Từ bài toán này, giáo viên rút ra cho học sinh quy tắc: Muốn nhân một tổng với một số, ta có thể nhân từng số hạng của tổng với số đó rồi cộng kết quả lại hay: (a + b) × c = a × c + b × c. Bằng cách này, học sinh phải tiếp thu một cách thụ động, không nắm được cơ sở lí luận của những quy tắc đó. Tuy nhiên, với giáo sinh, những người sẽ ra giảng dạy ở phổ thông sau này, việc nắm được cơ sở lí luận của những vấn đề nêu trên là điều thiết thực và bổ ích. Vì hai lí do nêu trên, chúng ta cần mở rộng tập số tự nhiên thêm những số mới để trong tập hợp số mới này (mà dưới đây ta sẽ gọi là tập các số hữu tỉ không âm), các phép chia số tự nhiên (cho một số tự nhiên khác 0) đều thực hiện được, số đo của các phép đo đại lượng đều biểu diễn được, các quy tắc thực hành tính toán với phân số và số thập phân đều được chứng minh chặt chẽ. Ta sẽ sử dụng kí hiệu N (hoặc N*) để chỉ tập số tự nhiên (hoặc tập số tự nhiên khác 0). 1 – Cho phân số . Từ phổ thông ta biết: 2 1 2 3 4 = = = =… 2 4 6 8 1 1 2 34 Như vậy, các phân số bằng phân số tạo thành một lớp { ; ; ; ;…}. 2 2 468 3 – Tương tự, cho phân số . Ta cũng có: 4 3 6 9 12 = = = =… 4 8 12 16 3 3 6 9 12 Như vậy, các phân số bằng phân số cũng tạo thành một lớp { ; ; ; ;...}. 4 4 8 12 16 Bằng cách này, ta phân chia các phân số thành các lớp mà mỗi lớp gồm những phân số bằng nhau. 115
CÁC TẬP HỢP SỐ Ý tưởng trên đây được thể hiện bằng ngôn ngữ của toán học hiện đại như sau: Mỗi cặp sắp thứ tự (a; b), trong đó a ∈ N và b ∈ N* ta gọi là một phân số không âm (hay để cho gọn, ta sẽ gọi là phân số). Tập tất cả các phân số kí hiệu là P. Như vậy: P = N × N*. a Để cho tiện, ta sẽ sử dụng kí hiệu để chỉ phân số (a; b), trong đó a là tử số, b là mẫu số của b a với a ∈ N và b ∈ N*}. phân số đó. Như vậy: P = { b ac a ∈ P, ta nói phân số Trên tập P, ta định nghĩa quan hệ hai ngôi “e” như sau: với ; bd b c ac tương đương với phân số , kí hiệu e , khi và chỉ khi: ad = bc. d bd Ví dụ: 1 6 vì 1 × 12 = 2 × 6 (= 12); a) e 2 12 9 15 vì 9 × 20 = 12 × 15 (= 180); b) e 12 20 6 9 vì 6 × 12 ≠ 12 × 9. c) ỗ 12 12 Từ định nghĩa ta có: aa – Rõ ràng là e hay quan hệ hai ngôi e có tính chất phản xạ (1). bb ac ca – Nếu e thì ad = bc. Suy ra cb = da. Vậy e . bd db Từ đó suy ra quan hệ e có tính chất đối xứng (2). ac cm – Giả sử e và e . Từ định nghĩa ta có: ad = bc và cn = dm. Nhân hai vế của đẳng bd dn thức thứ nhất với n ta có: adn = bcn. am Từ đó suy ra: adn = bdm hay an = bm. Thành thử e. bn Kết quả trên cho ta thấy quan hệ hai ngôi e có tính chất bắc cầu (3). Từ (1); (2); (3) ta suy ra e là một quan hệ tương đương xác định trên tập các phân số P. 116
CÁC TẬP HỢP SỐ Áp dụng định lí về tập thương (xem [2]), ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tương đương e và nhận được tập thương P/e. Ta sẽ gọi tập thương P/e là tập các số hữu tỉ không âm và kí hiệu là Q+. Mỗi phần tử của tập Q+ ta gọi là một số hữu tỉ không âm (để cho gọn, ta sẽ gọi là số hữu tỉ). a – Giả sử r ∈ Q+. Như vậy r xác định bởi một lớp các phân số tương đương với phân số b a ma a m ∈ P và nào đó, tức là r = C( ) hay r = { e }. Một phân số thuộc lớp C( ) ta gọi là b nb b n một đại diện của số hữu tỉ r. ac a c Mặt khác, ta lại thấy: e khi và chỉ khi phân số bằng phân số (theo nghĩa ta vẫn bd b d a hiểu ở trường phổ thông). Thành thử, mỗi số hữu tỉ r = C( ) là một lớp những phân số bằng b a phân số cho trước. Chẳng hạn: b 1 1 2 34 3 3 6 9 12 C( ) ={ ; ; ; ;. . . . }; C( )={ ; ; ; ;…}. 2 2 4 68 4 4 8 12 16 a a 1 Để cho gọn, ta sẽ dùng kí hiệu để chỉ số hữu tỉ r = C( ). Chẳng hạn, ta kí hiệu để chỉ b b 2 1 7 7 số hữu tỉ r = C( ), để chỉ số hữu tỉ r = C( ). 2 8 8 p p' p p' – Giả sử hai phân số tối giản và đều là đại diện của số hữu tỉ r. Suy ra, e hay pq’ = q q' q q' qp’, trong đó UCLN(p, q) = UCLN(p’, q’) = 1. Vì p | pq’ nên p | qp’; mà UCLN(p, q) = 1 nên p | p’. Mặt khác, p’ | qp’ nên p’ | pq’, mà UCLN(p’, q’) = 1 nên p’ | p. Từ đó, ta suy ra p = p’ và q = q’. Vậy mỗi số hữu tỉ không âm có duy nhất một phân số đại diện là phân số tối giản. Khi nói đến phân số đại diện của một số hữu tỉ, ta thường hiểu là phân số tối giản nói trên. a – Mỗi số tự nhiên a có thể biểu diễn dưới dạng một phân số , vì vậy, mỗi số tự nhiên a cũng 1 a xác định duy nhất một số hữu tỉ r có phân số đại diện là . Thành thử, tập số tự nhiên N có 1 thể coi là bộ phận của tập số hữu tỉ Q+. 0 1 Ta quy ước: số hữu tỉ xác định bởi C( ) là 0 và xác định bởi C( ) là 1. 1 1 117
CÁC TẬP HỢP SỐ HOẠT ĐỘNG 1. TÌM HIỂU SỰ CẦN THIẾT PHẢI XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới đây. Trên lớp giáo viên tổ chức cho sinh viên trình bày rồi tổng kết chung cho cả lớp. NHIỆM VỤ 1: Nêu các hạn chế trong thực hành phép chia các số tự nhiên. NHIỆM VỤ 2: Nêu các hạn chế của tập số tự nhiên trong việc biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng. NHIỆM VỤ 3: Nêu những khó khăn trong việc chứng minh các tính chất, quy tắc thực hành các phép tính, thực hành so sánh các số thập phân và so sánh các phân số ở trường phổ thông. ĐÁNH GIÁ Nêu các lí do phải mở rộng tập số tự nhiên để được tập số hữu tỉ không âm. HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM Q+ TỪ TẬP SỐ TỰ NHIÊN N. NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Đọc tài liệu để hiểu các khái niệm về phân số không âm. NHIỆM VỤ 2: Vẽ lược đồ biểu diễn quá trình xây dựng tập số hữu tỉ không âm Q+. NHIỆM VỤ 3: Đọc tài liệu để hiểu: + Khái niệm về số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện của một số hữu tỉ; 118
CÁC TẬP HỢP SỐ + Bản chất của số hữu tỉ, tập số hữu tỉ và cách kí hiệu một số hữu tỉ; + Mối quan hệ giữa tập số tự nhiên và tập số hữu tỉ. ĐÁNH GIÁ 1. Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào các ô trống 3 15 9 14 a) e b) e 5 21 7 18 14 9 45 c) 7e d) e 2 5 25 2. Xác định tập hợp các phân số xác định số hữu tỉ 3 7 a) r= ; b) r= ; 5 4 c) r = 0; d) r = 1. a 3. Chứng minh rằng trong các phân số cùng bằng phân số cho trước, chỉ có duy nhất một b phân số là tối giản. 119
CÁC TẬP HỢP SỐ TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2. CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM THÔNG TIN CƠ BẢN 3.2.1. Phép cộng và phép nhân 4 3 Cho hai phân số và . Từ trường phổ thông ta đã biết: 7 5 4 × 5 + 3× 7 43 41 = + = 7× 5 75 35 4 3 4 × 3 12 ×= = 7 5 7 × 5 35 v.v... 4 3 Từ đây ta đi đến bài toán: Cho hai số hữu tỉ r = C( ); s = C( ). Ta có thể tìm tổng, hiệu, 7 5 tích, thương của hai số hữu tỉ này theo một nghĩa nào đó không? 4 3 Như phần trên ta đã biết, mỗi số hữu tỉ C( ) (hoặc C( )) được xác định bởi một lớp các 7 5 4 3 phân số bằng phân số (hoặc ). Chọn một trong các phân số trong lớp đó ta được một đại 7 5 diện của số hữu tỉ đó. Ngược lại, khi có một phân số đại diện của một số hữu tỉ thì số hữu tỉ đó cũng hoàn toàn được xác định bởi phân số đại diện này. Từ phân tích trên đây, ta đi đến ý tưởng tìm tổng của hai số hữu tỉ như sau: 4 3 43 41 C( ) + C( ) = C( + ) = C( ). 7 5 75 35 4 3 Hay tổng của hai số hữu tỉ r = C( ) và s = C( ) là một số hữu tỉ có phân số đại diện bằng 7 5 tổng của các phân số đại diện của hai số hữu tỉ đó. Tương tự, ta tìm hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này. Một cách tổng quát, ta đi đến định nghĩa dưới đây. 120
CÁC TẬP HỢP SỐ Định nghĩa 2.1: a c Cho hai số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là và tương ứng. Ta gọi: b d a) Tổng của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ t, kí hiệu t = r + s, trong đó, số hữu tỉ t có ad + bc ad + bc a c phân số đại diện là hay C( ) + C( ) = C( ). bd b d bd * Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ t nói trên gọi là phép cộng các số hữu tỉ không âm, trong đó r và s gọi là các số hạng, t gọi là tổng. b) Tích của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ p, kí hiệu p = r × s (hoặc r.s hoặc rs), trong đó, ac a c ac hay C( ) × C( ) = C( ). số hữu tỉ p có phân số đại diện là bd b d bd * Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ p nói trên gọi là phép nhân các số hữu tỉ không âm, trong đó r và s gọi là các thừa số, p gọi là tích. Ta có: 14 5 10 = và = 28 3 6 1 5 3 + 5 × 2 13 += = 2× 3 23 6 4 × 6 + 10 × 8 104 4 10 + = = 8× 6 8 6 48 13 104 Vậy = . 6 48 Như vậy phải chăng 1 5 4 10 C( ) + C( ) = C( ) + C( )? 2 3 8 6 a a' c Một cách tổng quát, giả sử và là hai phân số đại diện của cùng một số hữu tỉ r; và b b' d c' là hai phân số đại diện của cùng một số hữu tỉ s. Theo định nghĩa: d' a a' c c' e và e b b' d d' Hay ab’ = a’b và cd’ = c’d. Nhân hai vế của đẳng thức thứ nhất với dd’ và đẳng thức thứ hai với bb’ ta được: ab’dd’ = a’bdd’ 121
CÁC TẬP HỢP SỐ cd’bb’ = c’dbb’ Cộng vế với vế của hai đẳng thức trên ta được (ac + bc)b’d’ = (a’d’ + b’c’)bd. ad + bc a'd' + b'c' a c a' c' Hay C( ) = C( ). Vậy C( ) + C( ) = C( ) + C( ). bd b'd' b d b' d' Từ các kết quả trên, ta rút ra: – Tính chất 2.1: Tổng của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng. Tương tự như trên ta cũng có: – Tính chất 2.2: Tích của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng. Ví dụ 2.1: 4 25 Cho hai số hữu tỉ r = và s = . 15 12 Ta có: 25 4 × 12 + 25 × 15 273 91 4 r+s= + = = = 15 × 12 15 12 180 60 4 25 100 5 r×s= × = =. 15 12 180 9 Định lí 2.1: Tính chất của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm. Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau: a) Tính giao hoán: r + s = s + r và rs = sr với mọi r, s ∈ Q+. b) Tính kết hợp: (r + s) + t = r + (s + t) và (rs)t = r(st) với mọi r, s, t ∈ Q+. c) Phần tử trung lập: Tồn tại duy nhất một số hữu tỉ 0 và một số hữu tỉ 1 sao cho r + 0 = r và r × 1 = r. Ta gọi 0 là phần tử trung hoà của phép cộng và 1 là phần tử đơn vị của phép nhân. d) Luật giản ước: Nếu r + t = s + t thì r = s với mọi t ∈ Q+ và nếu rt = st thì r = s với mọi t ∈ Q+, t ≠ 0. e) Tính chất phân phối: r(s + t) = rs + rt với mọi r, s, t ∈ Q+. f) Phần tử nghịch đảo: 122
CÁC TẬP HỢP SỐ Với mọi số hữu tỉ r ≠ 0 tồn tại duy nhất một số hữu tỉ r–1 sao cho rr–1 = 1. Ta gọi r–1 là phần tử nghịch đảo của r. g) Tích của hai số hữu tỉ bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số đó bằng 0. Chứng minh: m m' a) Giả sử r, s ∈ Q+ trong đó r = ;s= , theo tính chất giao hoán của phép cộng và phép n n' mn' + nm' m'n + n'm nhân các số tự nhiên ta có: = . nn' n'n mn' + nm' Mặt khác, theo định nghĩa phép cộng số hữu tỉ thì là phân số đại diện của r + s và nn' m'n + n'm là phân số đại diện của s + r. n'n Từ đó suy ra r + s = s + r. m m' m'' b) Giả sử ; và theo thứ tự là phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s và t. Áp dụng n n' n'' tính chất của các phép toán trên tập số tự nhiên ta có: (mn' + nm')m'' + (nn')m'' m(n'n'') + n(m'n'' + n'm'') = . (nn')n'' n(n'n'') Mặt khác, theo định nghĩa phép cộng của số hữu tỉ thì (mn' + nm')m'' + (nn')m'' m(n'n'') + n(m'n'' + n'm'') và theo thứ tự là phân số đại diện (nn')n'' n(n'n'') của (r + s) + t và r + (s + t). Từ đó suy ra (r + s) + t = r + (s + t). Tương tự cũng có: (mm')m'' m(m'm'') = . (nn')n'' n(n'n'') Từ đó suy ra (rs)t = r(st). 0 c) Giả sử 0 là số hữu tỉ có phân số đại diện là . 1 m×1+ 0× n m m Với mọi số hữu tỉ r = ta có: r + 0 = = =r n×1 n n m×1 m 1 Giả sử 1 là số hữu tỉ có phân số đại diện là . Rõ ràng là =. n×1 1 n m Từ đó suy ra r × 1 = r với mọi r = . n 123
CÁC TẬP HỢP SỐ Giả sử 0 và 0’ (hoặc 1 và 1’) là hai phần tử trung hoà (hoặc đơn vị) của phép cộng và phép nhân. Theo tính chất của 0 (hoặc 1) ta có: 0 + 0’ = 0’ (hoặc 1 × 1’ = 1’). Mặt khác, theo tính chất của 0’ (hoặc 1’) ta có: 0’ + 0 = 0 (hoặc 1’ × 1 = 1). Từ đó suy ra 0 = 0’ và 1 = 1’. m m' m'' d) Giả sử ; ; theo thứ tự là phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s, t và n n' n'' r + t = s + t. Theo định nghĩa phép cộng các số hữu tỉ ta có: mn'' + m''n m'n'' + m''n' = nn'' n'n'' m'nn'' + m''nn' mn''n' + m''nn' hay = nn'n'' nn'n'' Từ đó suy ra mn’’n’ = m’nn’’ Áp dụng luật giản ước đối với phép nhân các số tự nhiên ta có mn’ = m’n m m' suy ra e hay r = s. n n' Tương tự, ta chứng minh luật giản ước đối với phép nhân các số hữu tỉ không âm. m m' m'' e) Giả sử ; ; theo thứ tự là phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s, t. n n' n'' m(m'n'' + n'm'') Ta có: r(s + t) = n(n'n'') mm'n'' + mm''n' m(m'n'' + n'm'') mm' mm'' rs + st = + = = . nn' nn'' n(n'n'') n(n'n'') Từ đó suy ra r(s + t) = rs + rt. m . Gọi r–1 là số hữu tỉ có phân f) Giả sử r là số hữu tỉ không âm khác 0 có phân số đại diện là n n . Khi đó, r r–1 = 1. số đại diện là m Giả sử số hữu tỉ r’ cũng có tính chất r r’ = 1. Vậy ta có r r–1 = r r’. Suy ra r–1 = r’. 124
CÁC TẬP HỢP SỐ m m' g) Điều kiện cần: Giả sử r = và s = . Trong đó rs = 0. n n' mm' Theo định nghĩa ta có = 0. Suy ra mm’ = 0. Vậy m = 0 hoặc m’ = 0. Suy ra r = 0 hoặc s = 0. nn' Điều kiện đủ: hiển nhiên. 3.2.2. Phép trừ a c Định nghĩa 2.2: Cho hai số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là và tương ứng. Ta gọi b d hiệu của số hữu tỉ r trừ đi s là số hữu tỉ u (ký hiệu u = r – s) trong đó u là số hữu tỉ có phân số ad − cb đại diện là ; nếu ad – cb là số tự nhiên. bd ad − cb a c Hay C( ) – C( ) = C( ). b d bd * Quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ u nói trên ta gọi là phép trừ các số hữu tỉ không âm. Trong đó r là số bị trừ, s là số trừ và u là hiệu số. Ví dụ 2.2: 9 2 Cho r = ; s = . Ta có: 11 7 9 × 7 − 2 × 11 41 r–s= = trong khi đó s – r không thực hiện được 11× 7 77 vì 2 × 11 – 9 × 7 không phải là số tự nhiên. Định lí 2.2: Phép trừ các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau: a) r – s = u khi và chỉ khi u + s = r. b) r(s –t) = rs – rt nếu một trong hai vế có nghĩa. Chứng minh tương tự định lí 2.1 3.2.3. Phép chia Định nghĩa 2.3: Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm, trong đó s ≠ 0. Ta gọi thương của số hữu tỉ r chia cho s là số hữu tỉ q, kí hiệu r : s = q, thoả mãn điều kiện q × s = r. * Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với mỗi số hữu tỉ q nói trên ta gọi là phép chia các số hữu tỉ không âm, trong đó r là số bị chia, s là số chia và q là thương số. 125
CÁC TẬP HỢP SỐ Nhận xét: Giả sử r, s ∈ Q+, s ≠ 0. Theo định lí 2.1, tồn tại duy nhất số nghịch đảo s–1 của s. Đặt q = r × s–1, ta có qs = (rs–1)s = r(s–1s) = r.1 = r . Như vậy, phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thực hiện được. Áp dụng luật giản ước của phép nhân ta suy ra thương đó là duy nhất. Ví dụ 2.3: 20 4 Tìm thương của r chia s biết r = và s = . 9 15 15 20 15 25 Ta có s–1 có phân số đại diện là × vậy r : s = = . 4 9 4 3 Nhận xét: Từ các kết quả trên ta thấy: 1. Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm luôn thực hiện được; 2. Phép trừ các số hữu tỉ không âm không phải bao giờ cũng thực hiện được; 3. Phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thực hiện được. HOẠT ĐỘNG 1. TÌM HIỂU PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN CÁC SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM NHIỆM VỤ Sinh viên đọc thông tin cơ bản rồi thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới đây. Sau đó mỗi nhóm cử đại diện trình bày. Cuối cùng giáo viên tổng kết chung theo từng nội dung đã trình bày: NHIỆM VỤ 1: Phát biểu định nghĩa phép cộng, các thành phần của phép cộng và quy tắc thực hành phép cộng các số hữu tỉ không âm. NHIỆM VỤ 2: Phát biểu định nghĩa phép nhân, các thành phần của phép nhân và quy tắc thực hành phép nhân các số hữu tỉ không âm. NHIỆM VỤ 3: Chứng minh rằng với hai số hữu tỉ cho trước, chỉ có duy nhất một số hữu tỉ là tổng và một số hữu tỉ là tích của chúng. 126
CÁC TẬP HỢP SỐ NHIỆM VỤ 4: Xác định điều kiện để phép cộng (phép nhân) hai số hữu tỉ thực hiện được. ĐÁNH GIÁ 4 7 1. Cho r và s là hai số hữu tỉ có phân số đại diện theo thứ tự là và . 12 21 Tìm r + s và r × s. 2. Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất (giải thích cách làm): 139 37 48 259 38 241 50 a) + + + + + + 213 75 49 213 75 213 49 2010 2017 2013 1006 2011 × × × × b) 2011 2012 2017 1005 2003 2001 2003 2005 2007 107 49 52 84 75 17 210 × )×( × × )×( × × c) ( – – – ). 2002 2004 2006 2008 105 73 31 60 29 29 34 3. Điền số thích hợp vào ô trống: 13 a) C( ) = C( ++) 35 35 7 5 11 b) C( ) = C( ++) 16 16 8 2 11 1 c) C( ) = C( ++) 21 21 3 HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA CÁC SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Phát biểu định nghĩa phép trừ, các thành phần của phép trừ và quy tắc thực hành phép trừ các số hữu tỉ không âm. NHIỆM VỤ 2: 127
CÁC TẬP HỢP SỐ Phát biểu định nghĩa phép chia, các thành phần của phép chia và quy tắc thực hành phép chia các số hữu tỉ không âm. NHIỆM VỤ 3: Phát biểu mối quan hệ giữa: – Phép cộng và phép trừ; – Phép nhân và phép chia các số hữu tỉ không âm. NHIỆM VỤ 4: Phát biểu và chứng minh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ các số hữu tỉ không âm. NHIỆM VỤ 5: Xác định điều kiện để phép trừ (phép chia) hai số hữu tỉ không âm thực hiện được. ĐÁNH GIÁ 7 4 1. Cho r và s là hai số hữu tỉ có phân số đại diện tương ứng là và . 12 21 Tìm r – s; s – r; r : s. 2. Thực hiện phép tính sau bằng cách nhanh nhất (giải thích cách làm) 541 713 1254 249 452 391 66 20 × )×( )×( ( + – : – – 8). 641 711 37 43 17 193 7 14 3. Cho r, s, t ∈ Q+, t ≠ 0. Chứng minh rằng: (rs) : t = (r : t)s = r(s : t) Phát biểu tính chất tương ứng của phép chia phân số ở Tiểu học 4. Cho r, s, t ∈ Q+, với t ≠ 0. Chứng minh rằng: (r + s) : t = r : t + s : t Phát biểu tính chất tương ứng của phép chia phân số ở Tiểu học. 128
CÁC TẬP HỢP SỐ TIỂU CHỦ ĐỀ 3.3. QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM THÔNG TIN CƠ BẢN 5 7 5 7 Từ trường phổ thông ta đã biết < . Vậy có thể so sánh hai số hữu tỉ r = C( ) và s = C( ) 11 11 11 11 được không? 3 21 4 20 21 20 3 4 Cũng như vậy = ;= mà > nên > . 5 35 7 35 35 35 5 7 3 4 Vậy có thể so sánh hai số hữu tỉ r = C( ) và s = C( ) được không? 5 7 a Một cách tổng quát: Có thể thiết lập một quy tắc để so sánh hai số hữu tỉ r = C( ) và b c s = C( ) được không? d Ta có định nghĩa dưới đây: a c Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm có phân số đại diện là và tương ứng. Ta nói rằng r b d nhỏ hơn hoặc bằng s, kí hiệu là r ≤ s nếu: ad ≤ bc. Ta nói r nhỏ hơn s, kí hiệu là r < s, nếu r ≤ s và r ≠ s. Ta nói r lớn hơn hoặc bằng s (và viết r ≥ s) nếu s ≤ r; r lớn hơn s (và viết r > s) nếu s < r. Các hệ thức r ≤ s hoặc r ≥ s ta gọi là bất đẳng thức, hệ thức r < s hoặc r > s ta gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt. Như vậy, việc so sánh các số hữu tỉ được đưa về so sánh các số tự nhiên (thông qua các phân số đại diện của chúng). 5 7 ) < C( ) vì 5 × 11 < 7 × 11. C( Ví dụ 3.1: 11 11 3 4 C( ) > C( ) vì 3 × 7 > 4 × 5. Ví dụ 3.2: 5 7 13 23 ) > C( ) vì 13 × 19 = 247 > 207 = 23 × 9. Ví dụ 3.3: C( 9 19 a a' c c' Giả sử và là hai phân số đại diện của cùng số hữu tỉ r; và là hai phân số đại diện b b' d d' của cùng số hữu tỉ s, trong đó ad ≤ bc. Ta sẽ chứng minh được a’d’ ≤ b’c’. Như vậy, việc so 129
CÁC TẬP HỢP SỐ sánh hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn các phân số đại diện của chúng. Thật vậy, theo giả thiết ta có ab’ = a’b và cd’ = c’d. Giả sử a’d’ > c’b’, áp dụng tính chất của tập số tự nhiên ta có: a’bcd’ = ab’c’d và adc’b’ < bca’d’ (ta có thể xem c ≠ 0). Điều này là vô lí. Vậy ta có điều phải chứng minh. Từ định nghĩa ta dễ dàng chỉ ra rằng quan hệ “≤” có tính chất phản xạ và phản đối xứng. ac m tương ứng. Giả sử r ≤ s và Giả sử các số hữu tỉ r, s, t có các phân số đại diện là ; và bd n s ≤ t. Ta có ad ≤ bc và cn ≤ md. Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta được adcn ≤ bcmd. Suy ra an ≤ bm hay r ≤ s. Vậy quan hệ “≤” có tính chất bắc cầu. a c Giả sử r và s là hai số hữu tỉ có phân số đại diện làvà tương ứng. Từ tính toàn phần của b d quan hệ thứ tự trong tập số tự nhiên, ta suy ra chỉ xảy ra một và chỉ một trong ba quan hệ ad < bc hoặc ad = bc hoặc ad > bc. Điều đó chứng tỏ chỉ xảy ra một trong ba khả năng r < s hoặc r = s hoặc r > s. Từ các kết quả trên đây, ta suy ra tập Q+ cùng với quan hệ “≤” là tập sắp thứ tự toàn phần. Định lí 3.1: Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm thoả mãn tính chất: a) Tính đơn điệu: Nếu ta cộng hoặc nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số hữu tỉ không âm thì bất đẳng thức không đổi chiều. Hay r ≤ s ⇒ r + t ≤ s +t và rt ≤ st với mọi r, s, t ∈ Q+ Đặc biệt, nếu r < s và t ≠ 0 thì rt < st. b) Tính trù mật: Xen giữa hai số hữu tỉ khác nhau tồn tại vô số các số hữu tỉ khác chúng. c) Tiên đề Acsimet: Mọi số hữu tỉ đều bị chặn trên bởi một số tự nhiên. Hay với mọi số hữu tỉ r, tồn tại số tự nhiên a sao cho r < a. Chứng minh: m m' m'' a) Giả sử ; và theo thứ tự là các phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s và t, trong n n' n'' đó r ≤ s. Theo định nghĩa ta có mn’ ≤ m’n, áp dụng tính chất của tập số tự nhiên ta có: mn’ ≤ m’n ⇒ mn’n’’ ≤ m’nn’’ ⇒ mn’n’’ + nm’’n’ ≤ m’nn’’ + nm’’n’ ⇒ (mn’’ + nm’’) n’ ≤ (m’n’’ + m’’n’)n ⇒ (mn’’ + nm’’)n’n’’ ≤ (m’n’’ + m’’n’)nn’’ 130
CÁC TẬP HỢP SỐ Từ đó suy ra r + t ≤ s + t. Tương tự, ta chứng minh được rt ≤ st. Giả sử r < s và t ≠ 0 suy ra m’’ ≠ 0. Ta có mn’ < m’n ⇒ mn’m’’n’’ < m’nm’’n’’ ⇒ rt < st. r+s b) Giả sử r < s. Đặt t1 = thế thì ta có r < t1 < s. 2 Tương tự ta có t2; t3 ∈ Q+ sao cho r < t2 < t1 < t3 < s. Tiếp tục lập luận trên đây, ta được điều phải chứng minh m c) Giả sử số hữu tỉ r có phân số đại diện là . Theo nguyên lí Acsimet, trong tập số tự nhiên n tồn tại a ∈ N sao cho m < na. Từ đó suy ra r < a. HOẠT ĐỘNG. TÌM HIỂU TÍNH SẮP THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ HỮU TỈ NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản. Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, giáo viên tổ chức cho sinh viên trao đổi theo từng nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới đây, rồi tổng kết chung cho cả lớp: NHIỆM VỤ 1: Phát biểu định nghĩa quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm. Xác định quy tắc thực hành so sánh các số hữu tỉ. NHIỆM VỤ 2: So sánh các tính chất sắp thứ tự toàn phần, tính đơn điệu, tính trù mật và tính bị chặn trong tập số hữu tỉ không âm với các tính chất tương ứng trong tập số tự nhiên. ĐÁNH GIÁ 1. Điền dấu >; < hoặc = vào ô trống: 3131 31 a) C( ) C( ) 7373 73 3131 31 b) C( ) C( ) 7070 73 131

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.