10 phản xạ hay dùng khi giải phương trình lượng giác - Nguyễn Thanh Tùng

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> <br /> <br /> 10 PHẢN XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng<br /> <br /> Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thƣờng có 3 hƣớng đi<br /> Hƣớng 1 “Ghép bộ cùng tên” để giảm góc và tạo tích bằng việc dùng công thức tổng (hiệu) thành tích.<br /> ab a b ab a b<br />  cos a  cos b  2cos cos ; cos a  cos b  2sin sin<br /> 2 2 2 2<br /> ab a b ab a b<br />  sin a  sin b  2sin cos ; sin a  sin b  2cos sin<br /> 2 2 2 2<br /> (ưu tiên kết hợp các góc cùng chẵn hoặc cùng lẻ)<br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1. (D – 2013): sin 3x  cos 2 x  sin x  0 2. (D – 2012): sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x<br /> 3. (B – 2007): 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sin x. 4. (D – 2006): cos3x  cos 2 x  cos x 1  0<br /> 5. (D – 2002): cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0 6. (B – 2002) sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x .<br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> 1. (D – 2013): sin 3x  cos 2 x  sin x  0<br />  (sin 3x  sin x)  cos 2 x  0<br />  2cos 2 x sin x  cos 2 x  0  cos 2 x(2sin x  1)  0...<br /> 2. (D – 2012): sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x<br />  (sin 3x  sin x)  (cos3x  cos x)  2 cos 2 x<br />  2cos 2 x sin x  2cos 2 xcos x  2 cos 2 x<br />  2 cos 2 x  2(sin x  cos x) 1   0...<br /> 3. (B – 2007): 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sin x.<br />  (sin 7 x  sin x)  2 sin 2 2 x  1  0<br />  2cos 4 x sin 3x  cos 4 x  0  cos 4 x(2sin 3x 1)  0...<br /> 4. (D – 2006): cos3x  cos 2 x  cos x 1  0<br />  (cos3x  cos x) (1  cos 2 x)  0<br />  2sin 2 x sin x  2sin 2 x  0  4sin 2 x cos x  2sin 2 x  0  2sin 2 x(2cos x  1)  0...<br /> 5. (D – 2002): cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0<br />  (cos 3x  cos x)  4(1  cos 2 x)  2cos x  0<br />  2cos 2 x cos x  8cos2 x  2cos x  0<br />  2cos x(cos 2 x  4cos x  1)  0  2cos x(2cos2 x  4cos x)  0  4cos 2 x(cos x  2)  0...<br /> 1  cos 6 x 1  cos8 x 1  cos10 x 1  cos12 x<br /> 6. (B – 2002) sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x    <br /> 2 2 2 2<br />  cos6x  cos8x  cos10x  cos12x<br />  2cos7 x cos x  2cos11x cos x  cos x(cos11x  cos 7 x)  0<br />  2cos x sin 9 x sin 2 x  0  sin 9 x sin 2 x  0...<br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> Hƣớng 2 Chuyển phương trình về dạng sin u  sin v (hoặc cos u  cos v )<br /> hoặc dạng a sin x  b cos x  c (hoặc mở rộng)<br /> <br /> Chú ý:<br />  Cách khử dấu “–” của các hàm lượng giác:  sin u  sin(u) ;  cos u  cos(   u) .<br />  tan u  tan(u) ;  cot u  cot( u)<br /> <br />        <br />  Cách đổi tên hàm: sin u  cos   u  ; cos u  sin   u  ; tan u  cot   u  ; cot u  tan   u  .<br /> 2  2  2  2 <br /> <br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1. (B – 2013): sin 5x  2cos2 x  1 2. 3 sin 6 x  2sin 5x  1  2cos 2 3x .<br />  <br /> 3. 3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  4sin 2  x  <br />  4<br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> <br />  <br /> 1. (B – 2013): sin 5x  2cos2 x  1  sin 5x  1  cos 2 x  1  cos 2 x   sin 5 x  sin   2 x   sin(5 x)...<br /> 2 <br /> 2. 3 sin 6 x  2sin 5x  1  2cos 2 3x<br />  3 sin 6 x  2sin 5x  1  1  cos 6 x<br /> 3 1  <br />  3 sin 6 x  cos 6 x  2sin 5 x  sin 6 x  cos 6 x  sin 5 x  sin  6 x    sin 5 x …<br /> 2 2  6<br />  <br /> 3. 3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  4sin 2  x  <br />  4<br />    <br />  3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  2 1  cos  2 x   <br />   2 <br />  3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  2(1  sin 2 x)<br />  3 cos 4 x  2sin 2 x(1  2sin 2 x)  2<br />  3 cos 4 x  2sin 2 x cos 2 x  2  3 cos 4 x  sin 4 x  2<br /> <br /> 3 1    k<br />  cos 4 x  sin 4 x  1  cos  4 x    1  x    .<br /> 2 2  3 12 2<br /> Hƣớng 3<br /> Khử và giảm số lượng góc lớn bằng việc “sử dụng công thức cộng hoặc tạo tích thành tổng” hoặc “đánh giá”.<br /> <br /> <br /> <br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1. cos 4 x(2sin 3x  cos x)  sin x(sin 4 x 1)<br /> 2. sin 2 x(1  cos5x  cos x)  sin 3x  2sin 3x cos2 2 x  3 cos 2 x  3<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> <br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> 1. cos 4 x(2sin 3x  cos x)  sin x(sin 4 x 1) .<br />  2 sin 3x cos 4x  sin x  cos 4x cos x  sin 4x sin x<br />  <br />  sin 7 x  sin x  sin x  cos 3x  sin 7 x  sin   3x  ...<br /> 2 <br /> 2. sin 2 x(1  cos5x  cos x)  sin 3x  2sin 3x cos2 2 x  3 cos 2 x  3<br />  sin 2 x(1  2cos3x cos 2 x)  sin 3x(2cos2 2 x 1)  3 cos 2 x  3<br />  sin 2 x  cos3x sin 4 x  sin 3x cos 4 x  3 cos 2 x  3<br />  sin 2 x  3 cos 2 x  sin 3x cos 4 x  cos3x sin 4 x  3<br /> 1 3   <br />  2  sin 2 x  cos 2 x   sin 7 x  3  2sin  2 x    sin 7 x  3 (*)<br /> 2 2   3<br />      <br /> 2sin  2 x    2 (*) sin  2 x    1<br /> Do   3    3  ...<br /> sin 7 x  3  2 sin 7 x  1<br />  <br /> CHÚ Ý: Chương trình học chính khóa không có cthức sin 3x  3sin x  4sin 3 x ; cos3x  4cos3 x  3cos x vì vậy<br /> nếu xuất hiện trong đề thi thì “ý đồ” của người ra đề không phải sử dụng chúng (nếu các bạn dùng thì phải chứng<br /> minh) nghĩa là các bạn nên đi theo 3 hướng tư duy trên.<br /> <br /> Phản xạ 2: Khi xuất hiện 3 thƣờng chuyển về dạng a sin x  b cos x  c hoặc dạng mở rộng .<br /> Cách giải chung: a sin u  b cos u  c .<br /> <br /> Chia cả hai vế phương trình cho a 2  b2 ta được:<br /> a b c c<br /> sin u  cos u   sin(u   ) <br /> a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2<br /> a b<br /> (đưa về công thức nghiệm) với cos   và sin  <br /> a 2  b2 a 2  b2<br /> Chú ý 1:<br />  Điều kiện phương trình có nghiệm là a 2  b2  c2<br />  Ta có thể đưa phương trình về dạng công thức nghiệm với cos .<br /> <br />  Thường a 2  b2  2 (để số liệu bài toán “đẹp”).<br /> Chú ý 2: Ngoài dạng nguyên gốc trên, chúng ta có thể gặp 3 dạng mở rộng sau<br /> <br />  a sin u  b cos u  a 2  b2 sin v<br /> <br />  a sin u  b cos u  a 2  b2 cos v<br />  a sin u  b cos u  a 'sin v  b 'cos v<br /> <br /> Cách giải cũng tương tự, khi ta chia cả hai vế phương trình cho a 2  b2 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1. (A,A1 – 2012): 3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1 2. (B – 2012): 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1<br /> (1  2sin x) cos x<br /> 3. (A – 2009):  3. 4. (B – 2009): sinx  cos x sin 2 x  3 cos3x  2(cos 4 x  sin 3 x)<br /> (1  2sin x)(1  sin x)<br /> 2<br />  x x<br /> 5. (D – 2009): 3 cos5x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0 6. (D – 2007):  sin  cos   3 cos x  2.<br />  2 2<br /> 7. (B – 2008): sin x  3 cos x  sin x cos x  3 sin x cos x. 8. 8  sin x  cos x   2  3 3 sin 4 x .<br /> 3 3 2 2 6 6<br /> <br /> <br /> <br /> 9. 3 sin x  cos x(4sin x  1)  0  <br /> 10. 2sin 3x sin x  3 cos x  1  2cos 2 x  0<br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> <br /> 1. (A,A1 – 2012). 3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1<br />  2 3 sin x cos x  2cos 2 x 1  2cos x 1<br /> cos x  0<br />  2cos x( 3 sin x  cos x  1)  0   ...<br />  3 sin x  cos x  1<br /> 2. (B – 2012): 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1<br />  2cos2 x  1  2 3 sin x cos x  cos x  3 sin x<br />  cos 2 x  3 sin 2 x  cos x  3 sin x<br /> 1 3 1 3    <br />  cos 2 x  sin 2 x  cos x  sin x  cos  2 x    cos  x   …<br /> 2 2 2 2  3  3<br /> sin x  1<br /> (1  2sin x) cos x <br /> 3. (A – 2009):  3. Điều kiện  1 (*)<br /> (1  2sin x)(1  sin x) sin x  <br /> 2<br /> Với điều kiện (*) thì phương trình tương đương:<br /> (1  2sin x) cos x  3(1  2sin 2 x  sin x)<br />  cos x  sin 2 x  3(cos 2 x  sin x)<br />  cos x  3 sin x  3 cos 2 x  sin 2 x<br /> 1 3 3 1    <br />  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x  cos  x    cos  2 x   …<br /> 2 2 2 2  3  6<br /> 4. (B – 2009): sin x  cos x sin 2 x  3 cos3x  2(cos 4 x  sin 3 x)<br />  sin x (1 2sin2 x )  cos x sin 2x  3 cos 3x  2cos 4x<br />  sin x cos 2x  cos x sin 2x  3 cos 3x  2cos 4x<br /> 1 3  <br />  sin 3x  3 cos 3x  2cos 4x  sin 3x  cos 3x  cos 4 x  cos  3x    cos 4 x …<br /> 2 2  6<br /> 5. (D – 2009): 3 cos5x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0<br />  3 cos5x  (sin 5x  sin x)  sin x  0<br /> 1 3  <br />  sin 5x  3 cos5x  2sin x  sin 5 x  cos 5 x   sin x  sin  5 x    sin( x) …<br /> 2 2  3<br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> 2<br />  x x x x x x<br /> 6. (D – 2007):  sin  cos   3 cos x  2  sin 2  cos 2  2sin cos  3 cos x  2<br />  2 2 2 2 2 2<br /> 1 3 1   <br />  1  sin x  3 cos x  2  sin x  3 cos x  1  sin x  cos x   sin  x    sin …<br /> 2 2 2  3 6<br /> 7. (B – 2008): sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x.<br />  sin x(cos2 x  sin 2 x)  3 cos x(cos2 x  sin 2 x)  0<br /> cos 2 x  0<br />  sin x cos 2 x  3 cos x cos 2 x  0  cos 2 x(sin x  3 cos x)  0   …<br />  sin x  3 cos x  0<br />  3 <br /> 8. 8  sin 6 x  cos6 x   2  3 3 sin 4 x  8 1  sin 2 2 x   2  3 3 sin 4 x<br />  4 <br />  3(1  cos 4 x) <br />  8 1    2  3 3 sin 4 x  cos 4 x  3 sin 4 x  1<br />  8<br /> 1 3 1   2<br />  cos 4 x  sin 4 x   cos  4 x    cos …<br /> 2 2 2  3 3<br /> 9. 3 sin x  cos x(4sin x  1)  0  3 sin x  cos x  2sin 2 x<br /> 3 1    <br />  sin x  cos x  sin 2 x  sin x cos  cos x sin  sin 2 x  sin  x    sin 2 x...<br /> 2 2 6 6  6<br /> <br />  <br /> 10. 2sin 3x sin x  3 cos x  1  2cos 2 x  0<br /> <br />  2sin 3x  sin x  3 cos x   sin x  cos x  2(cos x  sin x)  0<br /> 2 2 2 2<br /> <br /> <br /> <br />  2sin 3x  sin x  3 cos x   (sin x  3cos x)  0<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> <br />  2sin 3x  sin x  3 cos x    sin x  3 cos x  sin x  3 cos x   0<br /> <br /> sin x  3 cos x  0<br />  <br />  sin x  3 cos x 2sin 3x  sin x  3 cos x  0   <br /> sin x  3 cos x  2sin 3x<br /> ...<br /> <br /> <br /> Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc phân tích thành tích.<br /> ( 2sin 2 x  sin x  1  (sin x  1)(2sin x  1) ; cos3 x  3cos2 x  4cos x  2  (cos x  1)(cos2 x  2cos x  2)…)<br /> ( hoặc nhẩm nghiệm hoặc các em dùng máy tính để trợ giúp và có thể sử dụng thêm lược đồ Horner – nếu phương<br /> trình từ dạng bậc 3 trở lên trong đó có ít nhất một nghiệm “đẹp” để tạo tích).<br /> <br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1.(D – 2010): sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0 2. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8<br /> 3. (2sin x  1)(cos x  1)  cos 2 x  2cos x  7sin x  5 4. 2cos3 x  3cos 2 x  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5<br /> 5. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11<br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> 1.(D – 2010): sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0<br />  sin 2 x  (1  2sin 2 x)  3sin x  cos x 1<br /> <br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br />   2sin x  3sin x  2   sin 2 x  cos x  0<br /> 2<br /> <br /> <br />  (2sin x 1)(sin x  2)  cos x(2sin x 1)  0  (2sin x 1)(sin x  cos x  2)  0...<br /> 2. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8<br />  9sin x  6cos x  6sin x cos x  1  2sin 2 x  8<br />  (6sin x cos x  6cos x)  (2sin 2 x  9sin x  7)  0<br />  6cos x(sin x 1)  (sin x 1)(2sin x  7)  0  (sin x 1)(6cos x  2sin x  7)  0<br /> <br />  sin x  1 hoặc 2sin x  6cos x  7 (vô nghiệm do 22  62  72 )  x   k 2 (k ) .<br /> 2<br /> 3. (2sin x  1)(cos x  1)  cos 2 x  2cos x  7sin x  5<br />  2sin x cos x  2sin x  cos x  1  1  2sin 2 x  2cos x  7sin x  5<br />  (2sin x cos x  cos x)  (2sin 2 x  9sin x  5)  0<br />  cos x(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x  5)  0  (2sin x 1)(sin x  cos x  5)  0...<br /> 4. 2cos3 x  3cos 2 x  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5<br />  2cos3 x  3(2cos2 x  1)  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5<br />  (cos3 x  3cos2 x  2cos x  4) (sin 2 x  2sin x)  0<br />  (cos x  1)(cos2 x  2cos x  4)  2sin x(cos x  1)<br />  (cos x  1)(cos2 x  2cos x  4  2sin x)  0<br />  cos x  1 (1) hoặc cos2 x  2(sin x  cos x)  4 (2)<br />  <br /> Giải (1)  x    k2 . Giải (2)  cos 2 x 2 2 sin  x   4 . Ta có:<br />  4<br />  <br /> cos 2 x  2 2 sin  x    1  2 2  4 , suy ra (2) vô nghiệm.<br />  4<br /> Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 (k ) .<br /> <br /> 5. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11 .<br /> 3<br /> Ta có: sin 6 x  cos6 x  (sin 2 x  cos2 x)3  3sin 2 x cos2 x(sin 2 x  cos2 x)  1  sin 2 2 x<br /> 4<br /> Khi đó phương trình tương đương:<br />  3 <br /> 8 1  sin 2 2 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11<br />  4 <br />  ( 3 sin 4 x  3 cos 2 x)  (2sin 2 3x  3sin 2 x  1)  0<br />  3 cos 2 x(2sin 2 x 1)  (2sin 2 x 1)(sin 2 x 1)  0  (2sin 2 x  1)( 3 cos 2 x  sin 2 x  1)  0...<br /> <br /> CHÚ Ý: Các Ví dụ 1,2,3,4,5 còn có một cách tiếp cận khác. Các em xem tiếp ở các phản xạ sau !<br /> <br /> <br /> Phản xạ 4: Khi phƣơng trình lƣợng giác có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ<br /> tới việc chuyển phƣơng trình về dạng tích (hoặc để giản ƣớc nếu nhân tử chung ở dƣới mẫu số). Sau đây thầy<br /> giới thiệu tới các bạn bảng các biểu thức chứa nhân tử chung thƣờng gặp:<br /> <br /> <br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> <br /> <br /> Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thƣờng Gặp<br /> STT Nhân tử Biểu Thức Chứa Nhân Tử Chung<br /> Chung<br /> 1 sin x tan x ; sin 2x ; tan 2x ; 1  cos 2x ; sin 3x …<br /> 2 cos x cot x ; sin 2x ; tan 2x ; 1  cos 2x ; cos3x …<br /> 3 sin x  cos x    <br /> cos 2x ; 1  tan x ; 1  cot x ; 1  tan 2 x ; 1  cot 2 x ; sin3 x  cos3 x ; sin  x   ; cos  x  <br />  4  4<br /> 4 1  sin x x  x  x  x <br /> cos2 x ; cot 2 x ; sin 2    ; cos 2    ; tan 2    ; cot 2    ; 2cos x  sin 2 x …<br /> 2 4 2 4 2 4 2 4<br /> 5 1  cos x x x x x<br /> sin 2 x ; tan 2 x ; sin 2 ; tan 2 ; cos 2 ; cot 2 ; 2sin x  sin 2 x …<br /> 2 2 2 2<br /> 6 1  2sin x cos x  sin 2 x ; 1  4sin x ; 3  4cos x ; 2cos 2 x 1 ; cot x  2cos x ; cos3x …<br /> 2 2<br /> <br /> 7 1  2cos x sin x  sin 2 x ; 1  4cos2 x ; 3  4sin 2 x ; 2cos 2 x  1; tan x  2sin x ; sin 3x …<br /> <br /> <br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1. (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x  cos x)  sin 2 x  sin x 2. (B – 2004): 5sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x.<br /> cos 2 x 1 x  x<br /> 3. (A – 2003): cot x  1   sin 2 x  sin 2 x. 4. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos 2  0.<br /> 1  tan x 2 2 4 2<br /> 1  sin 2 x  cos 2 x<br /> 5. (A – 2011):  2 sin x sin 2 x 6. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0<br /> 1  cot 2 x<br /> sin 2 x  2cos x  sin x  1<br /> 7. (D – 2011) :  0. 8. (D – 2010) : sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0.<br /> tan x  3<br />  <br /> 9.(A – 2007): (1  sin 2 x) cos x  (1  cos2 x)sin x  1  sin 2 x. 10. (A,A1 – 2013): 1  tan x  2 2 sin  x  <br />  4<br /> 11. (B – 2011): sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x. 12. (A,A1 – 2014): sin x  4cos x  2  sin 2 x<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> 1. (D – 2004): (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin 2x  sin x<br />  (2cos x 1)(2sin x  cos x)  sin x(2 cos x 1)  (2cos x 1)(sin x  cos x)  0...<br /> 2. (B – 2004): 5sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x.<br /> <br /> Điều kiện: cos x  0  x   n (n )<br /> 2<br /> sin 2 x<br /> Khi đó phương trình đương đương: 5sin x  2  3(1  sin x).<br /> (1  sin x)(1  sin x)<br />  (1  sin x)(5sin x  2)  3sin 2 x  2sin 2 x  3sin x  2  0...<br /> cos 2 x 1<br /> 3. (A – 2003): cot x  1   sin 2 x  sin 2 x<br /> 1  tan x 2<br /> sin 2 x  0<br /> Điều kiện:  , khi đó phương trình tương đương:<br />  tan x  1<br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> cos x (cos x  sin x)(cos x  sin x)<br /> 1   sin 2 x  sin x cos x<br /> sin x sin x<br /> 1<br /> cos x<br /> cos x  sin x<br />   cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin 2 x)  0...<br /> sin x<br /> x  x<br /> 4. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos 2  0.<br /> 2 4 2<br /> <br /> Điều kiện: cos x  0  x   n (n )<br /> 2<br />  <br /> 1  cos  x  <br /> 2  sin x 1  cos x<br /> 2<br /> Khi đó phương trình tương đương:  .  0<br /> 2 cos 2 x 2<br /> 1  sin x (1  cos x)(1  cos x) 1  cos x<br />  .  0<br /> 2 (1  sin x)(1  sin x) 2<br />  1  cos x <br />  (1  cos x)   1  0  (1  cos x)(sin x  cos x)  0...<br />  1  sin x <br /> 1  sin 2 x  cos 2 x<br /> 5. (A – 2011):  2 sin x sin 2 x<br /> 1  cot 2 x<br /> Điều kiện: sin x  0  x  n (n ) .<br /> 1<br /> Ta có 1  cot 2 x  , do đó phương trình tương đương:<br /> sin 2 x<br /> sin 2 x(1  sin 2 x  2cos2 x 1)  2 2 sin 2 x cos x<br /> cos x  0<br />  2 cos x(sin x  cos x)  2 2 cos x (vì sin x  0 )  2cos x(sin x  cos x  2)  0   …<br /> sin x  cos x  2<br /> 6. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0<br />  1  sin 2 x  sin x  cos x  cos2 x  sin 2 x  0<br />  (sin x  cos x )2  sin x  cos x  (cos x  sin x )(cosx  sinx ) 0<br />  (sin x  cos x)(sin x  cos x  1  cos x  sin x)  0  (sin x  cos x )(2cos x  1)  0…<br /> sin 2 x  2cos x  sin x  1<br /> 7. (D – 2011) :  0.<br /> tan x  3<br /> cos x  0<br /> <br /> Điều kiện:  (*)<br />  tan x   3<br /> <br /> Khi đó phương trình tương đương: sin 2 x  2cos x  (sin x  1)  0<br />  2cos x(sin x  1)  (sin x  1)  0  (sin x  1)(2cos x 1)  0...<br /> 8. (D – 2010) : sin 2 x  cos2 x 3sin x cos x 1 0.<br /> sin 2 x  cos x  cos x(2sin x  1)<br /> Ta có <br />  cos 2 x  3sin x  1  2sin x  3sin x  2  (2sin x  1)(sin x  2)<br /> 2<br /> <br /> <br /> Khi đó phương trình tương đương:<br /> cos x(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x  2)  0<br />  (2sin x  1)(sin x  cos x  2)  0...<br /> <br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> 9.(A – 2007): (1  sin x) cos x  (1  cos x)sin x  1  sin 2 x.<br /> 2 2<br /> <br /> <br />  sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2<br />  <br />  (sin x  cos x)(1  sin x cos x  sin x  cos x)  0  2 sin  x   (1  cos x)(1  sin x)  0...<br />  4<br />  <br /> 10. (A,A1 – 2013): 1  tan x  2 2 sin  x  <br />  4<br /> Điều kiện: cos x  0<br /> sin x  cos x<br /> Phương trình tương đương:  2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  2cos x)  0...<br /> cos x<br /> 11. (B – 2011): sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x.<br />  2sin x cos2 x  sin x cos x  cos x  1  2sin 2 x  sin x<br />  2sin x(1  sin x)(1  sin x)  cos x(1  sin x)  (1  sin x)(1  2sin x)<br />  (1  sin x)  2sin x(1  sin x)  cos x  1  2sin x)  0<br />  (1  sin x)  2sin 2 x  1  cos x   0  (1  sin x)(cos 2 x  cos x)  0...<br /> <br /> 12. (A,A1 – 2014): sin x  4cos x  2  sin 2 x  sin x  sin 2x  4cos x  2  0<br />  sin x(1  2cos x)  2(1  2cos x)  0  (1  2cos x)(sin x  2)  0...<br /> <br /> Phản xạ 5: Khi phƣơng trình có mặt cos 2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi:<br /> cos2x = cos2 x  sin 2 x  (cos x  sin x)(cos x  sin x) : Nếu có yếu tố sin x  cos x<br /> = 2cos2 x 1: Nếu việc tạo ra “ –1” giúp ta khử số tự do.<br /> = 1 2sin 2 x : Nếu việc tạo ra “ +1” giúp ta khử số tự do.<br /> = cos2x (Giữ nguyên): Nếu có 2cos3 x  cos x ; sin x  2sin3 x ; sin 2x cos x  sin x ; cos x  sin x sin 2x<br /> <br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1. (ĐHY – 2000) sin3 x  cos3 x  cos 2x 2. (A,A1 – 2012) : 3 sin 2x  cos 2x  2cos x 1<br /> 3. (D – 2006): cos3x  cos 2x  cos x  1  0 4. (B – 2010): (sin 2x  cos 2x ) cos x  2 cos 2x  sin x  0<br /> cos 2 x 1<br /> 5. 2cos3 x  3 sin x cos 2x  4sin 2 x  cos x 2 6. (A – 2003): cot x  1   sin 2 x  sin 2 x.<br /> 1  t anx 2<br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> <br /> 1. (ĐHY – 2000). sin3 x  cos3 x  cos 2x<br />  (sin x  cos x) (1  sin x cos x)  (cos x  sin x)(cos x  sin x)<br />  <br />  (sin x  cos x)(1  sin x cos x  sin x  cos x)  0  2 sin  x   (1  cos x)(1  sin x)  0...<br />  4<br /> 2. (A,A1 – 2012) : 3 sin 2x  cos 2x  2cos x  1<br />  2 3 sin x cos x  2cos2 x  1  2cos x 1  2cos x( 3 sin x  cos x  1)  0...<br /> 3. (D – 2006): cos3x  cos 2x  cos x  1  0<br />  cos3x  1  2sin 2 x  cos x 1  0  2sin 2 x sin x  2sin 2 x  0<br />  4sin 2 x cos x  2sin 2 x  0  2sin 2 x(2cos x  1)  0...<br /> 4. (B – 2010): (sin 2x  cos 2x ) cos x  2 cos 2x  sin x  0<br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br />  sin 2 x cos x  sin x  cos 2 x cos x  2cos 2 x  0<br />  sin x(2cos2 x 1)  cos 2 x(cos x  2)  0  cos 2 x(sin x  cos x  2)  0...<br /> 5. 2cos3 x  3 sin x cos 2 x  4sin 2 x  cos x  2<br />  cos x(2cos2 x  1)  3 sin x cos 2 x  2(1  2sin 2 x)  0<br />  cos x cos 2 x  3 sin x cos 2 x  2 cos 2 x  0  cos 2 x(cos x  3 sin x  2)  0...<br /> <br /> cos 2 x 1<br /> 6. (A – 2003): cot x  1   sin 2 x  sin 2 x.<br /> 1  tan x 2<br /> sin 2 x  0<br /> Điều kiện:  , khi đó phương trình tương đương:<br />  tan x  1<br /> cos x (cos x  sin x)(cos x  sin x)<br /> 1   sin 2 x  sin x cos x<br /> sin x sin x<br /> 1<br /> cos x<br /> cos x  sin x<br />   cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin 2 x)  0...<br /> sin x<br /> Phản xạ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và gặp phƣơng trình<br /> chứa sin 2 x; cos2 x; 1  sin 2x ; cos 2x hãy nghĩ tới các dạng tích của chúng :<br /> +) sin 2 x  (1  cos x)(1  cos x)<br /> +) cos2 x  (1  sin x)(1  sin x) ; 1  sin 2 x  (sin x  cos x)2<br /> +) cos 2 x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)<br /> <br /> ( Xem thêm Phản xạ 3 )<br /> Chú ý: Với sin 2 x , cos2 x ngoài cách phân tích như trên ta có thể nghĩ tới việc hạ bậc theo công thức<br /> 1  cos 2 x 1  cos 2x<br /> sin 2 x  ; cos2 x  .<br /> 2 2<br /> <br />  <br /> Giải các phương trình sau: 1. 2cos3 x  cos 2 x  sin x  0 2. sin 2 x  4cos 2 x  3  4 2 sin  x  <br />  4<br />  <br /> 3. 1  2 sin  2 x    (1  tan x).sin x<br />  4<br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> <br /> 1. 2cos3 x  cos 2 x  sin x  0<br />  2cos3 x  2cos2 x 1  sin x  0<br />  2 cos2 x(1  cos x)  (1  sin x)  0<br />  2(1  sin x)(1  sin x)(1  cos x)  (1  sin x)  0<br />  (1  sin x)  2(1  sin x)(1  cos x)  1  0<br />  (1  sin x)  2(sin x  cos x)  2sin x cos x  1  0<br />  (1  sin x) 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2   0<br />  (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2)  0 …<br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br />  <br /> 2. sin 2 x  4 cos 2 x  3  4 2 sin  x  <br />  4<br /> 1  cos 2 x  <br />  sin 2x  4.  3  4 2 sin x  <br /> 2  4<br />  <br />  2 cos 2x  (1  sin 2x )  4 2 sin  x  <br />  4 <br />  2(cos x  sin x)(cos x  sin x )  (sin x  cos x)2  4( sin x  cos x)  (cos x  sin x)(3sin x  cos x  4)  0...<br />  <br /> 4. 1  2 sin  2 x    (1  tan x).sin x<br />  4<br /> <br /> Điều kiện : cos x  0  x   n (n )<br /> 2<br /> Khi đó phương trình tương đương :<br /> 1  sin 2 x  cos 2 x  (1  tan x)sin x<br /> sin x  cos x<br />  (sin x  cos x)2  (cos x  sin x)(cos x  sin x)  sin x<br /> cos x<br />  sin x   <br />  (sin x  cos x)  2sin x    0  2 sin  x   (sin 2 x  sin x)  0 …<br />  cos x   4<br /> <br /> Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: a sin 2x  b cos 2x  c sin x  d cos x  e  0 ta nghĩ tới việc biến đổi<br /> phƣơng trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật sau:<br /> I. Nhóm, tách ghép để làm xuất hiện nhân tử chung ( xem lại kĩ thuật này qua các phản xạ 1, 3, 4, 5 và 6)<br /> II. Đưa phương trình về dạng: A sin 2 x  B sin x  C  0 hoặc A cos2 x  B cos x  C  0 ( A, B, C có thể chứa hàm<br /> lượng giác) , quan niệm là phương trình bậc 2 với sin x hoặc cos x (phương pháp hằng số biến thiên)<br /> <br /> <br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1.(D – 2010) sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0 2. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11<br /> 3. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 4. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> 1.(D – 2010) sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  1 0<br />  2sin x cos x  (1  2sin 2 x)  3sin x  cos x 1  0<br />  2 sin 2 x (2cos x  3) sin x  cos x  2  0<br /> sin x  (2cos x  3)2  8(cos x  2)  (2cos x  5)2<br /> (2cos x  3)  2cos x  5 1 (2cos x  3)  2cos x  5<br /> Suy ra: sin x   hoặc sin x    cos x  2<br /> 4 2 4<br /> 1  5<br /> +) Với sin x   x   k 2 hoặc x   k 2 (k ) .<br /> 2 6 6<br /> +) Với sin x  cos x 2 sin x cos x  2 (vô nghiệm)<br /> <br /> <br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br />  5 <br /> Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 ;  k 2 k    .<br /> 6 6 <br /> 2. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11<br /> 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11<br />  3 <br />  8 1  sin 2 2 x   6 3 sin 2 x cos 2 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11<br />  4 <br />  2 sin 2 2x (2 3 cos 2 x  3) sin 2x  3 cos 2 x  1  0<br /> sin 2 x  (2 3 cos 2 x  3)2  8( 3 cos 2 x  1)  (2 3 cos 2 x  1)2<br /> 2 3 cos 2 x  3  2 3 cos 2 x  1 2 3 cos 2 x  3  2 3 cos 2 x  1 1<br /> sin 2 x   3 cos 2 x  1 (1) hoặc sin 2 x   (2)<br /> 4 4 2<br /> 3 1 1   2<br /> Giải (1)  cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x   cos …<br /> 2 2 2  6 3<br /> <br /> 1  5<br /> Giải (2)  sin 2 x   x   k  hoặc x   k .<br /> 2 12 12<br /> 3. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0<br />  1  sin x  cos x  2sin x cos x  2cos2 x 1  0<br />  2 cos2 x (2sin x  1) cos x  sin x  0<br /> cos x  (2sin x  1)2  8sin x  (2sin x 1)2<br /> (2sin x  1)  2sin x  1 1 (2sin x  1)  2sin x 1<br /> Suy ra: cos x   (1) hoặc cos x    sin x (2)<br /> 4 2 4<br /> 2 2<br /> Giải (1)  cos x  cos x  k 2<br /> 3 3<br />   <br /> Giải (2)  sin x  cos x  0  sin  x    0  x    k<br />  4 4<br />  2  <br /> Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 ;   k k    .<br />  3 4 <br /> 4. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8<br />  9sin x  6cos x  6sin x cos x  1  2sin 2 x  8<br />  2sin 2 x  (6cos x  9)sin x  6cos x  7  0<br />  2sin 2 x  (6cos x  9)sin x  6cos x  7  0<br /> sin x  (6cos x  9)2  8(6cos x  7)  (6cos x  5) 2<br /> 9  6cos x  6cos x  5 9  6cos x  6cos x  5 7  6cos x<br /> Suy ra: sin x   1 (1) hoặc sin x   (2) …<br /> 4 4 2<br /> CHÚ Ý:<br /> +) Các Ví dụ 1, 2 các em xem lại cách giải khác ở phản xạ 4.<br /> +) Cách giải ở Ví dụ 3 chỉ chứng tỏ một điều có một góc nhìn khác, nhưng hơi dài – khi đi theo I có thể nhìn thấy<br /> luôn và khá ngắn gọn.<br /> +) Cách tiếp cận thứ II chỉ làm được khi delta có “hình thức” là số chính phương (   u 2 ), nếu không được ta<br /> chuyển phương trình bậc 2 với sin x sang cos x hoặc ngược lại. Nếu vẫn không ổn thì ta sẽ đi theo cách I (Cách I<br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> “mạnh” hơn cách II).<br /> <br /> <br /> k k<br /> Phản xạ 8: Khi xuất hiện góc cộng thêm k6 k<br /> 4<br /> ;<br /> ( gồm cả ; ; k với k  Z ) thì khử nó bằng cách<br /> 3 2<br /> “dùng bảng công thức chuyển về góc nhọn và các công thức cộng, tích, hạ bậc” .<br /> <br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1 1  7 <br /> 1. (A – 2008):   4sin   x .<br /> sin x  3   4 <br /> sin  x  <br />  2 <br />     3<br /> 2. (D – 2005): cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0.<br />  4  4 2<br /> x  x sin 4 2 x  cos 4 2 x<br /> 3. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos2  0 4. (ĐHXD – 1997):  cos 4 4 x<br /> 2 4 2    <br /> tan   x  tan   x <br /> 4  4 <br />     1<br /> 5. 2sin  2 x    4sin x  1  0 6. sin 4 x  cos 4   x  <br />  6 4  4<br /> <br /> Hướng dẫn giải:<br /> 1 1  7 <br /> 1.   4sin   x .<br /> sin x  3   4 <br /> sin  x  <br />  2 <br />  3      <br /> Ta có: sin  x    sin  x   2   sin  x    cos x<br />  2   2   2<br />  7       1<br /> sin   x   sin  2   x    sin  x     (sin x  cos x)<br />  4   4   4 2<br /> sin x  0  n<br /> Khi đó ta có điều kiện:   sin 2 x  0  x   (n ) .<br /> cos x  0 2 2<br /> Phương trình được viết lại:<br /> 1 1 sin x  cos x<br />   2 2(sin x  cos x)   2 2(sin x  cos x )<br /> sin x cos x sin x cos x<br />  sin x  cos x   2 sin 2 x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  2 sin 2 x)  0<br /> 3 7<br /> Chú ý: Ngoài cách khử lượng và như trong bài trên các bạn có thể khử bằng việc sử dụng công thức tổng:<br /> 2 4<br />  3  3 3<br /> sin  x    sin x cos  cos x sin  cos x<br />  2  2 2<br />  7  7 7 1 1 1<br /> sin   x   sin cos x  cos sin x   cos x  sin x   (sin x  cos x)<br />  4  4 4 2 2 2<br />     3 1    3<br /> 2. cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0.  1  2sin 2 x cos2 x  sin  4 x    sin 2 x    0<br />  4  4 2 2  2  2<br /> <br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br />  2  sin 2x  cos 4 x  sin 2 x 3  0   sin 2 x  (1  2sin 2 2 x)  sin 2 x 1  0<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> <br />  sin 2 2 x  sin 2 x  2  0  sin 2 x  1 hoặc sin 2 x  2 (vô nghiệm)  x   k (k ) .<br /> 4<br /> <br /> x  x<br /> 3. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos2  0<br /> 2 4 2<br /> <br /> Điều kiện: cos x  0  x   n (n )<br /> 2<br /> Khi đó phương trình tương đương:<br />  <br /> 1  cos  x  <br />  2  sin x 1  cos x<br /> 2<br /> 1  sin x (1  cos x)(1  cos x) 1  cos x<br /> .  0  .  0<br /> 2 2<br /> cos x 2 2 (1  sin x)(1  sin x) 2<br />  1  cos x <br />  (1  cos x)   1  0  (1  cos x)(sin x  cos x)  0...<br />  1  sin x <br /> sin 4 2 x  cos 4 2 x<br /> 4. (ĐHXD – 1997):  cos 4 4 x<br />      <br /> tan   x  tan   x <br /> 4  4 <br />    <br /> Ta sẽ chỉ ra tan   x  tan   x   1 theo các cách biến đổi sau:<br /> 4  4 <br />     1  tan x 1  tan x<br /> Cách 1: tan   x  tan   x   . 1<br /> 4  4  1  tan x 1  tan x<br />          <br /> Cách 2: tan   x  tan     x    tan   x  .cot   x   1<br /> 4  2  4  4  4 <br /> <br />     1  <br /> sin   x  sin   x    cos  cos 2 x <br /> Cách 3: 4  4   2 2   cos 2 x  1<br />     1   cos 2 x<br /> cos   x  cos   x   cos  cos 2 x <br /> 4  4  2 2 <br />  n<br /> Khi đó ta có điều kiện: cos 2 x  0  x   (n ) (*)<br /> 4 2<br /> Phương trình được viết lại thành:<br /> 1<br /> sin4 2x  cos4 2x  cos4 4x  1  sin 2 4 x  cos 4 4 x<br /> 2<br /> 1<br />  2  (1  cos2 4 x)  2cos4 4 x  2cos4 4 x  cos2 4 x 1  0  cos2 4 x  1 hoặc cos 2 4 x  <br /> (loại)<br /> 2<br /> k k<br />  sin 4 x  0  x  , đối chiếu với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình là: x  (k ) .<br /> 4 2<br />     <br /> 5. 2sin  2 x    4sin x  1  0  2 sin 2 x cos  cos 2 x sin   4sin x  1  0<br />  6  6 6<br />  3 sin 2 x  cos 2 x  4sin x  1  0  2 3 sin x cos x  4sin x  2sin 2 x  0  2sin x  <br /> 3 cos x  sin x  2  0...<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br /> 2<br />    <br />  1  cos  2 x   <br /> 4   1  cos 2 x   1  cos 2 x   1  sin 2 x  1<br /> 2 2 2<br />  1  2 1<br /> 6. sin x  cos   x             <br /> 4<br /> <br /> 4  4  2   2  4  2   2  4<br />  <br /> <br />   2<br />  1  cos 2 x   1  sin 2 x   1  sin 2 x  cos 2 x  1  sin  2 x   <br /> 2 2<br /> ...<br />  4 2<br /> Phản xạ 9: Khi giải phƣơng trình lƣợng giác không quên việc cho điều kiện nếu phƣơng trình chứa ẩn<br /> dƣới mẫu (không nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện. Vì vậy ta cần nắm đƣợc<br /> phƣơng pháp loại nghiệm để giải quyết tốt 2 dạng toán sau<br />  Dạng 1: Phương trình chứa ẩn dưới mẫu<br /> Phương pháp giải:<br /> <br /> 2l<br />  Bước 1: Cho điều kiện, ta được x    (l , m) .<br /> m<br /> 2k<br />  Bước 2: Giải phương trình được nghiệm x    (k , n ) .<br /> n<br />  Bước 3: Kiểm tra điều kiện bằng 2 cách sau:<br /> +) Cách 1 (Phương pháp hình học):<br /> 2l<br /> Biểu diễn x    trên đường tròn đơn vị gồm m điểm<br /> m<br /> 2k<br /> C  {C1; C2 ;...; Cm } ; biểu diễn x    trên đường tròn đơn vị gồm n điểm D  {D1; D2 ;...; Dn } . Xét<br /> n<br /> hiệu E  D \ C  E1; E2 ;...; Er <br /> Khi đó nghiệm của phương trình ban đầu là: x  Ei  k 2 (i  1; r , k )<br /> +) Cách 2(Phương pháp đại số - cách này mang tính chất tham khảo):<br /> 2 k 2l 2 k 2l<br /> x bị loại khi    ( x chấp nhận khi    )<br /> n m n m<br /> <br /> <br /> <br /> 1  cos 2 x<br /> Ví dụ: Giải phương trình 1  cot 2 x <br /> sin 2 2 x<br /> <br /> Giải:<br /> m<br /> Điều kiện: sin 2 x  0  x  (m) (1)<br /> 2<br /> cos 2 x 1  cos 2 x sin 2 x  cos 2 x 1<br /> Khi đó phương trình tương đương: 1    <br /> sin 2 x (1  cos 2 x)(1  cos 2 x) sin 2 x 1  cos 2 x<br />  sin 2 x  cos 2 x  (sin 2 x  cos 2 x)cos 2 x  sin 2 x<br /> cos 2 x  0<br /> cos 2 x  0<br />  cos 2 x(sin 2 x  cos 2 x  1)  0       1<br /> sin 2 x  cos 2 x  1 sin  2 x   <br />   4 2<br /> <br /> <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br />     k<br />  2 x  2  k x  4  2   k<br />    x <br />   <br />   2 x     k 2   x    k   4 2 (k ) (2)<br />  4 4  4 <br />  x   k<br />   5   <br /> 2 x    k 2  x   k 2<br />  4 4 <br />  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> mπ m2π π kπ π k2π π π k2π<br /> x≠ = x= + = + ; x = + kπ = +<br /> 2 4 4 2 4 4 2 2 2<br /> <br />  k<br /> Kết hợp (1) và (2) (biểu diễn trên đường tròn đơn vị), ta được nghiệm phương trình: x   (k )<br /> 4 2<br /> Chú ý: Khi gặp dạng phương trình chứa ẩn dưới mẫu, ta không quên việc cho điều kiện (không nhất thiết phải giải<br /> chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện. Trong quá trình giải có thể “linh hoạt” loại đi nghiệm không cần<br /> thiết để rút ngắn lời giải.<br /> <br />  Dạng 2: Tìm nghiệm thuộc một khoảng, một đoạn<br /> <br /> Phương pháp giải:<br /> <br /> 2k<br />  Bước 1: Giải phương trình được nghiệm x    (k , n ) .<br /> n<br />  Bước 2: Khai thác điều kiện x  D<br /> 2k k ,n 2k <br /> +) Cách 1 (Chặn điều kiện): x  D     D  (k0 , n0 )  nghiệm x0    0 .<br /> n n0<br /> l<br /> +) Cách 2: Có thể dùng đường tròn đơn vị nếu các đầu mút của D có dạng (l , m)<br /> m<br /> <br /> <br /> <br /> Ví dụ 1: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0<br /> <br /> Giải:<br /> <br /> Phương trình tương đương: cos3x  cos x  4(2cos 2 x 1)  2cos x  4  0<br />  2cos 2 x cos x  8cos2 x  2cos x  0  2cos x(cos 2 x  4cos x  1)  0  2cos x(2cos2 x  4cos x)  0<br /> <br />  4cos2 x(cos x  2)  0  cos x  0 hoặc cos x  2 (loại)  x   k ( k  )<br /> 2<br />  28  <br /> Với x  [0;14] 0   k 14  0,5  k   3,96  k {0;1; 2;3}<br /> 2 2<br />   3 5 7 <br /> Hay nghiệm của phương trình: x   ; ; ; <br /> 2 2 2 2 <br /> Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !<br /> GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan<br />  cos3x  sin 3x <br /> Ví dụ 2 (A – 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phương trình: 5  s inx    cos 2 x  3<br />  1  2sin 2 x <br /> <br /> Giải:<br /> 1  7<br /> Điều kiện: sin 2 x    x    m và x   l (m, l )<br /> 2 12 12<br /> Khi đó phương trình tương đương:<br /> 5sin x.(1  2sin 2 x)  cos3x  sin 3x  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)<br />  5(sin x  cos x  cos 3x  cos3x  sin 3x)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)<br />  5(2sin 2 x cos x  cos x)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)<br />  5cos x(2sin