100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC

Chia sẻ: Paradise9 Paradise9 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

122
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu '100 bài bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC

100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC a b c 3    1. Cho a,b,c là các số thực d ương .Chứng minh: bc ca ab 2 2 2 2 2. Cho các số thực d ương x, y, z tho ả mãn: x  y  z  3 . xy yz zx   3 Chứng minh : z x y 149    36 3. Cho x, y, z >0 thoả x  y  z  1 . Chứng minh: xyz 4. Cho x, y, z là các số thực d ương. Chứng minh: xyz  ( x  y  z )( y  z  x )( z  x  y ) 5. Cho a, b, c là các số thực d ương thoả mãn abc=1 . 1  1  1  Chứng minh :  a  1   b  1   c  1    1 b  c  a  6. Cho a, b, c là các số thực d ương thoả mãn abc=1 . 1 1 1 3 3 3  Chứng minh : 3 a (b  c) b (c  a ) c (a  b) 2 7. Cho x, y, z là các số thực d ương tho ả mãn: xyz  x  y  z  2 . 3 x y z xyz Chứng minh : 2 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a2+b2+1 ab+a+b b ) a2+b2+c2+d 2+e2 a(b+c+d+e) c) a3+b3  ab(a+b) d ) a4+b 4 a3b+ab3 9. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a+b+c)2  3 (ab+bc+ca) b ) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) 6abc 10. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 . Chứng minh rằng: a4+b 4 a3+b3 b ) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . Chứng minh rằng: a4+b4+c4 a3+b3+ c3 11.Cho a,b,c là các số dương, Chứng minh rằng: a b c 1   2 ab bc a c 12. Cho 4 số d ương a,b, c . Chứng minh :
a b c d 1    2 abc bcd cda da b 13. Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì: bc ac ab   abc a) a b c ab bc ca abc    b) a b bc ca 2 3 3 3 a bc    ab  bc  ca c) bca 14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì: a 2 b2 a b a) 2  2   ba ba 2 b c2 2 a   abc b) b ca 2 b2 c2 a abc    c) bc ca a b 2 15. Cho x, y, z  0 và xyz  1 . Chứng minh: x3 y3 z3 3    (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x) (1  x)(1  y ) 4 16. Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab  bc  cd  da  1 . Chứng minh: a3 b3 c3 d3 1     bcd cd a abd abc 3 17. Cho ba số d ương a, b, c. Chứng minh: 1 1 1 27    a( a  b) b(b  c ) c (c  a ) 2( a  b  c  d ) 2 xy yz zx 2 2 2   3 18. Cho ba số d ương x, y, z thỏa x  y  z  3. Chứng minh: z x y 19. Cho các số d ương x, y, x thỏa xyz = 1. Chứng minh: xy yz zx 5 5 1 5 5 5 z  zx  x 5 x  xy  y y  yz  z 20. Cho a, b, c  0. Chứng minh: 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4  a4  b4  c4  abcd b  c  d 4  abcd c  d 4  a4  abcd d  a  b  abcd abcd 21. Cho x, y, z là các số d ương. Chứng minh:
 x  y  z 2( x  y  z )  1  y   1  z 1  x   2  3 xyz     x3 y 3 z 3   x y z  22. Cho ba số d ương x ,y, z . Chứng minh: yz zx zx 2 2 2 23.Cho ba số d ương a, b, c. Chứng minh a  b  c  2(ab  ac) 24.Cho ba số d ương a, b, c thỏa a + b + c = 3. Chứng minh: a b c 3   . 2 2 2 2 1 b 1 c 1 a 25. Chøng minh r»ng : 2 a 2  b2  a  b   a) ; 2 2 2 a 2  b 2  c2  a  b  c   b)  3 3   26. Chøng minh m,n,p,q ta ®Òu cã m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1  m(n + p + q + 1) 27. Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc, Chøng minh r»ng b2 2 a) a   ab 4 2 2 b) a  b  1  ab  a  b 2 2 2 2 2 c) a  b  c  d  e  a  b  c  d  e       10  b10 a 2  b2  a 8  b8 a 4  b4 28. Chøng minh r»ng: a x 2  y2 2 2 29. Cho x.y =1 vµ x.y = 1. Chøng minh xy 30. Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc 2 2 2 31 . Cho a>b>c>0 vµ a  b  c  1 . Chøng minh r»ng : a3 b3 c3 1    bc ac ab 2 32. Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng: a 2  b2  c2  d 2  a  b  c   b  c  d   d  c  a   10
33. Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a  c) 2  (b  d) 2  a 2  b 2  c 2  d 2 34. Cho 0 0 . Chøng minh r»ng : < b b2  d2 d bd 37. Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3    ....   2 n 1 n  2 nn 4 38. Chøng minh r»ng: 1 1 1   1   ....  2 n 1 1 ( Víi n lµ sè nguyªn dương) 2 3 n 39 . Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng: a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) 40. Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c 0 n a n  bn ab  Chøng minh r»ng  (1)  2 2  2 a 3  b2+c2> ab + bc + ac 43. Cho abc = 1 vµ a  36 . Chøng minh r»ng : 3 44. Chøng minh r»ng 4 4 2 2 a) x  y  z  1  2x.(xy  x  z  1) 2 2 b ) a  5b  4ab  2a  6b  3  0 2 2 c) a  2b  2ab  2a  4b  2  0
45. Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng 22 x  2 y 8  x  y 2 46. Cho xy  1 .Chøng minh r»ng 1 1 2   1  x2 1  y2 1  xy 47. Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 21 2 2 Chøng minh r»ng a  b  c  3 48. Cho 0 < a, b,c 0 .Chøng minh r»ng : ab bc cd d a 2    3 abc bcd cd a d ab 50. Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng : a b c 1   2 bc c a a b 51.Chøng minh: 1 1 1 1   ...   a) (2 n  1).(2n  1) 2 1.3 3.5 1 1 1 b) 1    ...  2 1.2.3.....n 1.2 1.2.3 bc ca ab    a  b  c a, b, c  0 52.Chứng minh rằng: ab c a 2 b2 c 2 b c a abc  0    53.Chứng minh rằng: b2 c 2 a 2 a b c 54. Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. CMR:   p  c   1 abc ;  a)  p  a  p  b 8 1  1  1  2 1  1  1  b)   p  a p b p  c  a b c    55. Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác. b  c  a  c  a  b   a  b  c   abc Chứng minh rằng:
a b 1 3 56. Cho a>0, b>0. Chứng minh:    a  b b 1 1 a 2 c2 a2 b2 a b  c a, b, c  0    57.Chứng minh rằng: a b b  c c  a 2 58. Cho x, y, z  (0;1) và xy  yz  zx  1 . Chứng minh: x y z 33    2 2 2 2 1 x 1 y 1 z a2 b2 c2  abc  59. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:  b c a c  a b a b c 60.Cho ∆ ABC. Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc 61. Cho ∆ABC. Chứng minh : 1 1 1 p    2 2 2  p  a   p  b  p  c   p  a  p  c  p b 62. Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì: 1 1 1   1 2 a 2b 2c 63. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh a 3 b3 c3    a 2  b2  c2 bca 64.Cho a>0, b>0, c>0. a 4 b 4 c 4 a 3 b3 c3 Chứng minh:  b2 c 2 a 2 b c a 65. Cho a>0, b>0, c>0. 1111 11  3 3 2  2  2 Chứng minh: a3 b c a b b c c a 66.Cho a>0, b>0, c>0. abc111  Chứng minh: b4 b4 c 4 a 3 b3 c 3 67. Cho a>0, b>0, c>0. a2 b2 c2 a b c  Chứng minh: b5 c5 a 5 b 4 c 4 a 4 68.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: a2 b2 c2 1 1 1  b5 c5 a5 a3 b3 c3
69.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: a b c 11 1    b2 c2 a2 a b c 70.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 2( a 3  b3  c 3 ) 1 1 1 a  b2  c2   2  2  2   3  2 a b c  abc 71.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh 4 4 4 b  c  a   c  a  b   a  b  c f  ab  bc  ca a(a  b  c) b(b  c  a) c(c  a  b) 72.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: a 3  b3  c 3  ab 2  bc 2  ca 2 73.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: a 4  b 4  c 4  ab 3  bc 3  ca 3 74.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: a5  b5  c5  a3b2  b3c 2  c3a 2 75.Cho a>0, b>0, c>0. Cho n,k là các số nguyên dương. Chứng minh: a nk  b n k  c nk  a n bk  bn c k  c n a k 76.Cho a>0, b>0. 4 a 4  b4  a  b  Chứng minh:   2 2 77.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 2 a 2  b2  c 2  a  b  c    3 3   n an  bn  c n  a  b  c  78.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh:   3 3   79. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng a 3  b 3  c3 a 2  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2 9 2    c  ab a 2  bc b 2  ac 2 2abc 80. Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng: 1 1 1   1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 81. Cho x, y, z laø ba soá thoûa x + y + z = 0. Chứng minh raèng : 3  4x  3  4y  3  4z 6 82. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng:
7 ab  bc  ca  2abc  . 27 83. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5 -y +5-z = 1 .Chứng minh rằng: 25x 25y 25z 5 x  5y  5z    25x  5yz 5y  5zx 5z  5xy 4 84. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 4c 4a b   3 2 a  b b  2c c  a 85. Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh:  1 1 1  3bc ca ab a  b3  c3   3  3  3    3    a b c  2 a b c 86. Cho a,b,c là các số d ương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a b b c c a   3 ab  c bc  a ca  b 87. Cho các số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng: x5 y 5 z 5  2  2  x3  y 3  z 3 . 2 y z x 88. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1 , ta có: a5  2a 3  a b5  2b3  b c 5  2c 3  c 2 3    . b2  c 2 c2  a2 a 2  b2 3 89. Cho a, b, c là c¸c số thực dương thoả m·n abc = 1. Chøng minh r»ng : 1 1 1 3 3 3  3 a (b  c ) b ( c  a ) c ( a  b ) 2 90. Cho ba số thực dương a , b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. a3 b3 c3 3 2 2 . Chứng minh rằng: 2 b 3 c 3 a 3 4 2y 2x 2z 1 1 1  3 2 3   91. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 3 2 z  x2 x2 y 2 z 2 x y y z 92. Cho a, b,c là các số không âm. Chứng minh rằng a3 b3 c3 3 3 1 a 3  (b  c)3 b  (c  a )3 c  ( a  b) 3 93. Cho các số dương a, b, c : ab  bc  ca  3. 1 1 1 1    . Chứng minh rằng: 2 2 2 1  a (b  c) 1  b (c  a) 1  c ( a  b) abc
94. Cho c¸c sè thùc d¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1. a2  b2 b2  c2 c2  a2    2. Chứng minh rằng : bc ca ab 95. Cho 3 số d ương a,b,c thoả mãn: ab + bc + ca = abc. Chứng minh: 1 1 1 1    a( a  1) b( b  1) c(c  1) 2 96. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 2y 2x 2z 1 1 1 3 3  2 2 2 x3  y 2 y  z 2 z  x 2 x y z 97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a b c 1   3 3 8b3  1 8c  1 8a  1 98. Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa m·n : 2 -x + 2-y +2-z = 1.Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z 2 x  2y  2z    2x  2yz 2y  2zx 2z  2xy 4 99. Cho a, b, c lµ nh÷ng sè d¬ng tho¶ m·n a + b + c = 1 10a 3b 2009 3    Chøng minh r»ng 3b  2009c 2009c  10a 10a  3b 2 100. Cho ba số d ương x, y , z . Chứng minh rằng: 111 36  x y z 9  x y  y2 z 2  x2 z 2 22