100 Bài Tập về Phương Trình và Hệ Phương trình

Chia sẻ: Đào Xuân Lộc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

2.406
lượt xem 524
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

100 Bài Tập về Phương Trình và Hệ Phương trình

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 100 Bài Tập về Phương Trình và Hệ Phương trình

Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 1
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A TUYỂN CHỌN 100 BÀI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 3
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1) 5x 2 + 14 x − 9 − x 2 − x − 20 = 5. x + 1 2) x 5 − 15x 3 + 45x − 27 = 0 11 25 3) − =1 x 2 ( x + 5) 2 4) 4 ( x − 2)( 4 − x ) + 4 x − 2 + 4 4 − x + 6x 3x = x 3 + 30 x 3 − xy 2 + 2000 y = 0  5)   y 3 − yx 2 − 500 x = 0  6) 5 27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0 7) x2 + x −1 + − x2 + x +1 = x2 − x + 2 12 x 2 − 48x + 64 = y 3   2 3 8) 12 y − 48 y + 64 = z  2 3 12z − 48z + 64 = x  x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001  19  5 2001 9)  y + z = 1890 x + x  19 5 2001 z + x = 1890 y + y  2 x + 1 = y 3 + y 2 + y   3 2 10) 2 y + 1 = z + z + z  3 2 2 z + 1 = x + x + x  11) ( x − 18 )( x − 7 )( x + 35)( x + 90 ) = 2001x 2 12) ( 2001 − x ) 4 + ( 2003 − x ) 4 = 2000 1 − x 2x + x 2 13) = x 1+ x2 a − bx ( b + c ) x + x 2 Đề xuất: = Với a ,b,c >0 cx a + x2 14) x − 2 + 4 − x = 2 x 2 − 5x − 1 Đề xuất :  b2 − a 2 b−a  a + b  b−a x − a + b − x = ( b − a)x −  2  2 − x −    2 − 2 2  2   (Với a + 2 < b ) 15) 3 3x 2 − x + 2001 − 3 3x 2 − 7 x + 2002 − 3 6 x − 2003 = 3 2002 4
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 3  8x 3 + 2001  16)   2002  = 4004 x − 2001    ( x − a )( x − b ) + ( x − c )( x − b ) + ( x − a )( x − c ) = 1 17) c( c − a )( c − b ) a ( a − c )( a − b ) b( b − a )( b − c ) x Trong đó a;b;c khác nhau và khác không ( 18) x = 1 − 1978 1 − 1978 x 2 ) 2 ( 19) x x 2 − 1 = ) 2 20) x + 2 x + .... + 2 x + 2 3x = x 21) 1 − x 2 + 4 x 2 + x − 1 + 6 1 − x − 1 = 0 2 2  2 22) 1 − x =  − x  3  23) 3 x 2 − 2 = 2 − x3 24) 1 + 1 − x 2 [ (1 + x ) 3 − (1 − x ) 3 ]= 2+ 1− x2 36 4 25) + = 28 − 4 x − 2 − y − 1 x−2 y −1 26) x 4 − 10 x 3 − 2( a − 11) x 2 + 2( 5a + 6 ) x + 2a + a 2 = 0 27)Tìm m để phương trình : (x 2 ) − 1 ( x + 3)( x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn 1 1 1 1 + + + = −1 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 − x 4 + 2 x 2 y = 2   5 4 2 28)  y − y + 2 y z = 2 Tìm nghiệm dương của phương trình  5 4 2 z − z + 2 z x = 2  29) 18 x 2 − 18x x − 17 x − 8 x − 2 = 0 30) 4 17 − x 8 − 3 2 x 8 − 1 = 1 31) x 2 + 2 − x = 2 x 2 2 − x x 4 + y 4 + z 4 = 8( x + y + z ) 32)  xyz = 8 33) 19 + 10 x 4 − 14 x 2 = 5x 2 − 38 ( ) x2 − 2 x 2 6125 210 12 x 34) + 2 + − =0 5 x x 5 5
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A  y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0  3  2 35) x − 6z + 12 z − 8 = 0  3 2 z − 6 y + 12 y − 8 = 0  ( )( 36) x + 3 x + 2 x + 9 x + 18 = 168 x ) 37)Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm. ( x + y ) 8 = 256   8 x + y 8 = m + 2  38) x = 2 − x 3 − x + 5 − x 3 − x + 5 − x 2 − x 2 2 39) + x = x+9 x +1 a Đề xuất: + x = x + a +1 (a > 1) x +1 40) 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16 x 28 27 41) 2 . 4 27 x 2 + 24 x + = 1+ x+6 3 2 42) 5x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1 x + y + z = 1  43)  x y z x+y y+z y z x y + z + x + y +1 + + =  44) x 3 − 3x 2 + 2 ( x + 2) 3 − 6x = 0 a b  − = c − xz x z b c 45)  − = a − xy Trong đó a;b;c ∈ R * + y x c a  − = c − yz z y ( )( ) 46) x 2 − 12 x − 64 x 2 + 30 x + 125 + 8000 = 0 47) ( x − 2 ) x − 1 − 2x + 2 = 0  x 1 + x 2 + ... + x n = n  48)   x 1 + 8 + x 2 + 8 + ... + x n + 8 = 3n  6
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 49)Cho hệ phương trình: n ∑ x i = n  i =1 n ; b > 1 .CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy ∑ x + b − 1 = bn 2  i =1 i  nhất x1 = x2 = ...= xn = 1 50) 3−x =x 3+x Tổng quát: bx + c = x px + q với a; b; q; p∈ R & q 2 = −3pb. ( )( ) 2 51) x = 2004 + x 1− 1− x Tổng quát: ax = ( b + c x )(d − ) 2 d2 − e x với a;b;c;d;e là các hằng số cho trước. 52) 4 x 2 − 4 x − 10 = 8x 2 − 6x − 10  x 3 ( 2 + 3y ) = 1  53)  ( x y 3 − 2 = 3  ) x 3 + 3xy 2 = −49  54)  x 2 − 8xy + y 2 = 8 y − 17 x  55) 16 x 4 + 5 = 6 .3 4 x 3 + x ( x 2 ( x + 1) = 2 y 3 − x + 1 )   2 ( 56)  y ( y + 1) = 2 z − y + 1 3 )  2 ( z ( z + 1) = 2 x − z + 1  3 ) 57) 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0 Tổng quát: 3 a 1 x + b1 + 3 a 2 x + b 2 + 3 a 3 x + b 3 = 3 ( a 1 + a 2 + a 3 ) x + b1 + b 2 + b 3 x 3 + y = 2  58)  y 3 + x = 2  x 6 k +3 + y = 2  Tổng quát:  ( k ∈ N)  y 6 k +3 + x = 2  59) x 2 − x − 1000 1 + 8000 x = 1000 60) x + 5 + x − 1 = 6 61)Tìm nghiệm dương của phương trình: x −1 1 1 2x + = 1− + 3 x − x x x 7
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A x + 4 x (1 − x ) + 4 ( 1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( 1 − x ) 2 3 62) ( 63) x 3 + 1 ) 3 = 81x − 27 6 64) 3 x + 1 − 3 x − 1 = x2 −1 ( 65) 2 x 2 − 3x + 2 = 3 x 3 + 8 )  y 3 − 9x 2 + 27 x − 27 = 0   3 2 66) z − 9 y + 27 y − 27 = 0  3 2 x − 9z + 27 z − 27 = 0  67) 15 2 ( ) 30 x 2 − 4x = 2004 30060 x + 1 + 1 ( ) 68) 5x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1  y 30 2 + 4 y = 2004  x  z 69) 30 2 + 4z = 2004  y  x 30 2 + 4x = 2004  z 70) x 2 + 15 = 3 .3 x − 2 + x 2 + 8 71) x 3 − 3 3x 2 − 3x + 3=0  y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0  3  2 72) z − 6 y + 12 y − 8 = 0  3 2 x − 6z + 12z − 8 = 0  73) 3 3x 2 − x + 2002 − 3 3x 2 − 6 x + 2003 − 3 5x − 2004 = 3 2003 74) x 3 + 1 = 3 .3 3x − 1 75) x 2 − 4 x + 2 = x + 2 Bài tập tương tự: a) 20 x 2 + 52 x + 53 = 2 x − 1 b) − 18x 2 + 17 x − 8 = 1 − 5x c) 18 x 2 − 37 x + 5 = 14 x + 9 4x + 9 d) = 7x 2 + 7x 28 7 2 3 76) 3 x + 332 x + 3128 = 316 x +1 8
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A 77)Cho 0 < a < c < d < b ; a + b = c + d GPT: x + a 2 + x + b2 = x + c2 + x + d2 78) x 2 − 4 x + 6 = 2x 2 − 5x + 3 + − 3x 2 + 9x − 5 2 x + x 2 y = y   2 79) 2 y + y z = z  2 2 z + z x = x  80) x 2 − x + 19 + 7 x 2 + 8x + 13 + 13x 2 + 17 x + 7 = 3 3 ( x + 2) 81) 4 − x 2 + 4x + 1 + x 2 + y 2 − 2 y − 3 = 4 x 4 − 16 + 5 − y 82) x 2 − 8x + 816 + x 2 + 10 x + 267 = 2003   1  1  1 3 x +  = 4 y +  = 5 z +    83)   x  y  z xy + yz + xz =1   x 2 + 21 = y − 1 + y 2  84)   y 2 + 21 = x − 1 + x 2  85) 1 − x 2 = 4 x 3 − 3x 86) x 2 + x + 1 − x 2 − x − 1 = m Tìm m để phương trình có nghiệm 87)Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất 2 + x + 4 − x − 8 + 2x − x 2 = a x + y + z = 0  2 2 2 88) x + y + z = 10  7 7 7 x + y + z = 350  x + 30.4 + y − 2001 = 2121  89)   x − 2001 + y + 30.4 = 2121  90) 3 ( ) ( 2 x 2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2 x 2 + 1 ) ( ) 91) 2 x 2 + 2 − 5 x 3 + 1 = 0 9
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A  2 2 2 3 x + y + z = 2   3 92) xy + yz + xz = −  4  1  xyz =  8  x + x 2 − y 2 9x  =  x − x2 − y2 5 93)   x 5 + 3x  y = 6( 5 − y )  x 2 + x + 1 x 2 + 3x + 1 5 94) + = x 2 + 2x + 1 x 2 + 4x + 1 6 25 1 1369 95) + + = 86 − x − 5 − y − 3 − z − 606 x −5 y−3 z − 606 6 10 96) + =4 2−x 3− x 97) 3 x 2 − 7 x + 8 + 3 x 2 − 6 x + 7 − 3 2 x 2 − 13x − 12 = 3 98) x 3 − 6 .3 6 x + 4 − 4 = 0 3 99) x 2 − 3x + 1 = − x4 + x2 +1 3 1+ x3 2 100) = x2 + 2 5 10
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT 1) ĐK: x ≥ 5 Chuyển vế rồi bình phương: 5x 2 + 14x + 9 = x 2 + 24x + 5 + 10. (x 2 − x − 20 ( x + 1) ) ⇔ 4x 2 − 10x + 4 = 10. ( x − 5) ( x + 4 ) ( x + 1) ⇔ 2x 2 − 5x + 2 = 5. (x 2 − 4x − 5 ( x + 4 )) ⇔ 2(x 2 − 4x − 5) + 3 ( x + 4 ) = 5. (x 2 − 4x − 5 ( x + 4 )) ( u= x 2 − 4x − 5  ) → ....    v = ( x + 4) ( ( x + 3) x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 18x − 9 = 0 ) 2) GPT : x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 18x − 9 = 0 x 4 − 3x 2 ( x − 1) − 9 ( x − 1) = 0 2 ⇒ x 4 − 3x 2 y − 9y 2 = 0 Đặt: x- 1 = y ⇒ 2x 2 = 3y ± 3y 5 3) ĐK: x ≠ 0; x ≠ −5 Đặt x+5 = y ≠ 0 → x = ( y − 5 ) 2 PT ⇔ y 4 − 10y3 + 39y 2 − 250y + 625 = 0  625   25  ⇔  y 2 + 2  − 10  y +  + 39 = 0  y   y  4) ĐK: 2 ≤ x ≤ 4 4 (x − 2) ( 4 − x ) ≤ ( x − 2) + ( 4 − x ) =1 Áp dụng Cauchy: 2 6x 3x = 2 27x 3 ≤ 27 + x 3 ( ) 2 Áp dụng Bunhia: 4 x−2 + 4 4−x ≤2 ( )  x x 2 − y 2 = −2000y ( 1)  5)   2 ( − y x − y = 500x ( 2 ) 2 ) Nếu x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ ( 0;0 ) là n o 11
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A Nếu x ≠ 0.Rút x 2 − y 2 từ (1) thế vào (2) ta có:  −2000y  y ≠ 0 −y   = 500y ⇒  2 2  x   x = 4y 6) 5 27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0 Vì x = 0 không là nghiệm của pt nên chia cả 2 vế cho x6 ta được pt: 5 32.27 5 27 x 4 + =5 x6 2 1 x 4 + 6 = 5.5 x 27 2 x4 x4 x4 4 1 1 1 Áp dụng CauChy: x + 6 = + + + 6 + 6 ≥ 5.5 x 3 3 3 x x 27 7) x2 + x −1 + − x2 + x + 1 = x2 − x + 2  2 x + x − 1 ≥ 0 ĐK:  − x 2 + x + 1 ≥ 0  Áp dụng Cauchy: 2 x2 + x −1+1 x2 + x x + x −1 ≤ = 2 2 2 − x + x + 1 + 1 − x2 + x + 2 2 − x + x +1 ≤ = 2 2 2 2 x + x −1 + − x + x +1 ≤ x +1 Từ PT ⇒ x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1) ≤ 0 2 12 x 2 − 48x + 64 = y 3 (1)   8) 12 y − 48 y + 64 = z ( 2 ) 2 3  2 12z − 48z + 64 = x ( 3) 3  G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử : x = max{x; y; z} ( ) Từ 12 x 2 − 48x + 64 =12 x 2 − 4 x + 4 + 16 ≥ 16 3 ⇒ y ≥ 16 ⇒ y ≥ 2 Tương tự x ≥ 2 ; z ≥ 2 Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z) ⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4) VT ≤ 0; VT ≥ 0 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z 12
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001  19  5 2001 9)  y + z = 1890 x + x  19 5 2001 z + x = 1890 y + y  Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⇒ (− x; − y; −z) cũng là nghiệm của hệ ⇒ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm. Ví dụ: x ≥ 0; y ≥ 0 . Từ phương trình ( 1) ⇒ z ≥ 0 . Cộng từng vế phương trình ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z 2001 + 1890z + x 2001 + 1890x + y 2001 + 1890z = z19 + z 5 + x19 + x 5 + y19 + y5 . Ta có: 0 < t ≤ 1 ⇒ t + 1890t ≥ t + t 2001 19 5 t 2000 + 1890 ≥ t18 + t 4 (đúng) t > 1 ⇒ t 2001 + 1890t > t19 + t 5 Thật vậy: t + 1890 > 1 + t ≥ 2t1000 2001 2000 cô si > t18 + t 4 (đpcm) Vậy x = y = z −1 −1 −1 Bài 10: + Nếu x < 0 từ ( 3) ⇒ 2z + 1 < 0 ⇒ z < ⇒y< ⇒x< 2 2 2 Cộng 3 phương trình với nhau: ( x + 1) ( x − 1) + ( y + 1) ( y − 1) + ( z + 1) ( z − 1) = 0 (*) 2 2 2 1 1 1 Với x < − ; y < − ;z < − ⇒ ( *) vô nghiệm 2 2 2 ⇒ x > 0; y > 0;z > 0 Gọi ( x; y;z ) là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử: x = max { x;y;z} Trừ (1) cho (3) ta được: ( 2 ( x − z ) = ( y − x ) x 2 + y 2 + xy + x + y + 1)  VT ≤ 0  dấu " = " ⇔ x = y = z ⇒ ....  VP ≥ 0 ( )( Bài 11: PT ⇔ x + 17x − 630 x + 83x − 630 = 2001x . 2 2 2 ) Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒ chia 2 vế phương trình cho x 2  630  630  Ta có:  x + 17 −  x + 83 −  = 2001  x  x  630 Đặt: x − =t x Bài 12: t/d: pt: ( x + a ) + ( x + b ) = c 4 4 a+b Đặt: y = x + 2 13
Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A Bài 13: Đk: 0 < x ≤ 1 1− x 2x − 1 PT ⇔ = 1+ (*) x 1+ x2 1 + x = là nghiệm pt (*) 2 1  VP > 1 + < x ≤1 :  2  VT < 1 1  VT>1 + 0