100 hệ phương trình

HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần I)

2. 1.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

22.

21.

Trang 1

24. 23.

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

Trang 2

47. 48.

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

Trang 3

71. 72.

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

73.

74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81. 82.

83. 84.

86. 85.

87. 88.

89. 90.

91. 92.

93. 94.

95. 96.

97. 98.

Trang 4

99. 100.

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

CÁC BÀI GIẢI

Bài 1. Ta có:

Xét hàm số trên . Ta có: nên là hàm

đồng biến trên . Vậy .

Lúc này, hệ trở thành:

Vậy hệ có các nghiệm là Bài 2: Điều kiện . Ta có:

Dễ thấy rằng cùng dấu. Xét hàm số trên .

Đạo hàm: . Ta có: . Vậy hàm số đồng biến trên

và nghịch biến trên .

+) Nếu cùng âm (tức là cùng thuộc ) thì theo tính chất của hàm số , ta có:

. Thay vào hệ giải được nghiệm (loại).

+) Nếu +) cùng dương, tương tự ta cũng loại nốt. thoả mãn hệ.

Vậy nghiệm của hệ là

mà không chứa (chứa và

Bài 3: Nhận xét: Chắc chắn không thể sử dụng phép thế hay đánh giá. Nhận thấy phương trình thứ nhất của hệ chứa các hàm riêng biệt với ) nên ta có thể đưa phương trình thứ nhất về cùng một hàm số rồi sử dụng đạo hàm để giải. Điều kiện . Từ đó suy ra: và .

Khai thác phương trình thứ nhất của hệ:

.

trên . . Đạo hàm:

, hàm số đơn điệu.

Trang 5

Xét hàm số Ta có: . Vậy trên đoạn Vậy, phương trình thứ nhất của hệ tương đương với .

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Thay vào phương trình thứ hai, ta có:

Đặt . Lúc này trở thành:

(do điều kiện nên đã loại nghiệm )

+)

+)

Nghiệm:

Bài 4: Phân tích: Hệ chứa ẩn là hàm hữu tỉ và hàm số mũ, chúng có tính chất khác nhau nên chắc chắn sẽ phải sử dụng đạo hàm. Và cũng lưu ý luôn, những hệ chứa hàm có tính chất khác nhau thì gần như 90% sử dụng đạo hàm hoặc phương pháp đánh giá. Cộng chéo vế theo vế và giữ một phương trình của hệ ta được hệ tương đương:

Xét hàm số trên .

Trang 6

Hàm số có đạo hàm: .

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

.

đồng biến trên . Ta thấy phương trình . Từ đây suy ra có dạng . Từ đó

Ta có: Vậy, suy ra . Lúc này hệ sẽ tương đương với:

Lại tiếp tục xét hàm số trên .

Hàm số này có đạo hàm .

Dễ thấy nên . Như vậy hàm số nghịch biến trên .

Mặt khác ta lại có nên phương trình có nghiệm duy nhất là .

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 5: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Xét hàm số trên .

.

đồng biến trên . Vậy phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương Hàm số có đạo hàm Từ đó suy ra

.

đương với: +) Nếu . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

.

+) Nếu . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

.

Xét hàm số trên .

Hàm số này có đạo hàm: .

Ta có: mà nên ta có:

, tức là .

.

Như vậy nên hàm số nghịch biến trên Ta lại có . Vậy có nghiệm .

Trang 7

Vậy nghiệm của hệ phương trình là Cách khác: Trong trường hợp , ta đặt thì hệ trở thành:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Ta lại thấy hàm số là hàm nghịch biến mà nên là nghiệm

duy nhất của hệ .

Bài 6: Điều kiện: .

Đi từ phương trình thứ hai của hệ: (1)

Xét hàm số trên . Đạohàm: nên đồng biến.

Mặt khác (1) có dạng nên (1) .

thì . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: Đặt

.

Với .

Vậy nghiệm của hệ là Cách giải khác: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Bài 7: Điều kiện: . Khai thác phương trình thứ nhất:

Ta đặt (điều kiện: ) thì trở thành: .

(vì khi t tăng thì

tăng). đồng biến trên Dễ thấy rằng hàm số Như vậy phương trình với ẩn t trên sẽ có nhiều nhất một nghiệm. Nhận thấy t = 2 là một nghiệm của phương trình. Vậy, ta có: . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

.

Hệ đã cho sẽ tương đương với hệ sau:

Trang 8

Vậy nghiệm của hệ là

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Bài 8: Điều kiện . Hệ đã cho:

Nếu thì từ (1) suy ra , thay vào (2) không thỏa mãn .

Chia hai vế của (1) cho ta có: (3).

Xét hàm số trên có đạo hàm nên hàm số đồng biến trên .

Mặt khác (3) có dạng . Thay vào (2), điều kiện :

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 9: Điều kiện . Hệ đã cho tương đương với:

Xét hàm số trên .

Hàm số có đạo hàm: .

Ta sẽ chứng minh rằng . Thật vậy: .

Điều này hiển nhiên đúng do t thuộc đoạn Như vậy, . đồng biến trên . Vì đó:

Trang 9

Nhẩm được nghiệm của (2) là nên ta dùng phương pháp nhân liên hợp:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

(Dễ thấy phương trình vô nghiệm do và )

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Bài 10: Xem phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y :

Phương trình này có nghiệm

(1)

Lại xem phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x :

Phương trình này có nghiệm

(2)

Từ (1) và (2) suy ra , mâu thuẫn với phương trình thứ nhất.

Từ đó suy ra hệ đã cho vô nghiệm Bài 11: Nhìn hệ số có và nên ta chia hai vế rồi cộng lại:

Xét hàm số trên . Đạo hàm: . Từ đó suy ra hàm

. số đồng biến trên . Điều này cũng có nghĩa là

Thay vào phương trình ta được:

.

+) Với . +) Với .

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 12: Đặt thì phương trình thứ nhất trở thành:

Xét hàm số trên .

Hàm số có đạo hàm: . Do

Trang 10

nên . Mặt khác ta lại có nên .

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: .

Tiếp tục xét hàm số trên .

Hàm số này có đạo hàm

với mọi nên nghịch biến trên . Mặt khác nên suy ra ,

.

Vậy nghiệm của hệ là Bài 13: Điều kiện (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 1998 – 1999) .

Đặt . Hệ trở thành:

(thoả mãn )

(Ta đã loại nghiệm do điều kiện ).

Ta lại có hệ sau:

Vậy nghiệm của hệ đã cho là

Chú ý: Ngoài cách giải trên thì ta còn có một cách giải khá hay nữa, áp dụng được rộng rãi hơn cho nhiều bài toán hệ phương trình dạng này cũng như phương trình:

Ta có: .

. Đến đây ta thế vào phương trình thứ hai rồi rút x

Trang 11

Lấy (*) trừ đi (**) ta được theo y để thế lại và giải phương trình ban đầu. Bài 14: Biến đổi hệ như sau:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

.

Đặt thì hệ trở thành:

(Sở dĩ hệ bị loại do ).

+) Với thì .

+) Với thì .

Vậy nghiệm của hệ là

Cách giải khác: Cách 1: Lấy phương trình (1) nhân 2, sau đó cộng với phương trình (2) được hằng đẳng thức.

Cách 2: Có thể rút , thay vào phương trình thứ hai giải phương trình bậc 4.

Bài 15: Điều kiện: . Với điều kiện này hệ tương đương với:

Trang 12

(Dễ thấy phương trình có , vô nghiệm)

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 16: Dễ dàng nhận thấy ẩn phụ:

Đặt thì hệ trở thành: .

+) .

+) .

Vậy hệ có 4 nghiệm

Bài 17: Điều kiện . Đặt thì hệ đã cho trở thành:

Do nên ta có thể chia hai vế của phương trình thứ hai cho , ta được:

+) Nếu . Loại ngay do .

+) Nếu . Lúc này , trái với phương trình (1) (loại).

+) Nếu . Thay vào phương trình (1) ta được .

Lúc này .

Vậy nghiệm của hệ là

Trang 13

Bài 18: Điều kiện: . Biến đổi hệ về hệ đẳng cấp bậc hai:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Dễ thấy (II) vô lí. Giải hệ (I):

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 19: Nhận xét rằng khi và chỉ khi . Vậy hệ có một nghiệm là .

Trường hợp . Nhân chéo vế theo vế như sau:

Giải hệ thứ nhất:

Giải hệ thứ hai:

(Hơi tắt, giải hệ này không khó)

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 20: Điều kiện .

Trang 14

Đặt thì phương trình thứ nhất trở thành:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

(thoả mãn).

+) . Thay vào phương trình thứ hai, ta có:

, vô nghiệm do .

+) . Thay vào phương trình thứ hai ta có:

, vô nghiệm do .

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm Bài 21: Từ phương trình thứ hai của hệ, ta đánh giá được . Ta có:

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 22: Điều kiện . Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ đã cho, ta có:

. Đánh giá hai vế của phương trình này như sau:

. Dấu bằng xảy ra khi .

+) +) Đánh giá vế trái bằng bất đẳng thức Cauchy – Schwart (Bu–nhi–a–cốp–xki) như sau:

Dấu bằng ở xảy ra .

Từ .

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 23: Thay vào hệ thấy không thoả mãn . Từ phương trình thứ hai của hệ ta

rút: .

Trang 15

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

.

Quay lại thế vào , ta có:

+) Với thì . +) Với thì .

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 24: Thay vào phương trình thứ hai thấy không thoả mãn nên suy ra .

Với điều kiện này, hệ tương đương với:

thì hệ trở thành: Đặt

Với , thay trở lại bước đặt:

Vậy nghiệm của hệ là

Trang 16

Bài 25: Hệ đã cho tương đương với:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Giải hệ ta được .

Giải hệ .

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 26: Ta thấy giá trị không thoả mãn phương trình thứ nhất của hệ .

Lúc này hệ đã cho tương đương với: .

Đặt thì hệ trở thành:

(thoả mãn)

Trở lại bước đặt:

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 27: Dùng phép thế:

Vậy nghiệm của hệ là

Trang 17

Bài 28: Biến đổi hệ để đặt ẩn phụ:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Đặt . Hệ trở thành:

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 29: Điều kiện . Đặt thì hệ trở thành:

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 30: Cộng vế theo vế hai phương trình:

Đánh giá hai vế của phương trình này:

+) .

. +)

Mà ta lại có nên dấu bằng ở các đẳng thức trên phải xảy ra, tức là:

Trang 18

.

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Thử lại, ta thấy rằng là nghiệm của hệ đã cho.

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 31: Nhận thấy rằng nếu sử dụng phép thế thì bậc của phương trình nhận được sẽ rất lớn (cụ thể là bậc 9, ta có thể nhẩm được một nghiệm và việc chứng minh phương trình bậc 8 nhận được (sau khi dùng chia bằng sơ đồ Hooc–ne) sẽ rất khó chứng minh nó vô nghiệm). Vì vậy với bài này chúng ta sử dụng phương pháp đánh giá:

và từ và từ , mâu thuẫn nên loại. , mâu thuẫn nên cũng loại nốt.

+) Nếu +) Nếu +) Nếu thì từ thì từ thì thay vào ( I ) tìm được .

Vậy nghiệm của hệ là Bài 32: Từ phương trình thứ hai ta đặt điều kiện .

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: .

trên . Đạo hàm: nên hàm số đồng

có dạng .

Xét hàm số biến trên . Ta lại có Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 33: Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ đã cho ta được:

(do )

Thay trở lại hệ ta được:

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 34: Điều kiện . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Trang 19

(do nên ). Tương tự: .

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Kết hợp ta được hệ:

(loại do ).

Vậy . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ thấy thoả mãn và thay vào phương trình

thứ hai của hệ ta được . Dễ thấy rằng (vì nếu thì vế trái

dương nên nó vô lý). Kết hợp với điều kiện căn thức ta được y < –1.

.

(Tư tưởng trong đầu phải xác định rằng: không sợ giải phương trình bậc 4, nó có cách giải mà)

Thay lại vào phương trình ta thấy chỉ có các nghiệm thoả mãn .

Vậy nghiệm của hệ là

Cách giải khác: Với bài toán này thì việc lượng giác hóa sẽ không cho kết quả đẹp.

Phương trình (1) được viết lại thành: .

Với điều kiện y < –1, ta có thể đặt thì phương trình trên trở thành:

.

Đến đây có thể đặt để giải tiếp. Bài 35: Nhận thấy rằng phương trình thứ hai của hệ đã cố ý “nhóm” hệ số của nên ta có ý

tưởng đưa phương trình thứ hai của hệ thành bậc hai với ẩn là .

Trang 20

Từ phương trình thứ nhất suy ra: .

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: .

Xem như đây là một phương trình bậc hai với ẩn là và tham số là , ta có:

nên phương trình có hai nghiệm là:

hay chính là hoặc .

+) Nếu . Thế vào phương trình thứ nhất ta được:

(thoả mãn)

+) Nếu . Thế vào phương trình thứ nhất ta được:

Giải từng phương trình:

Trang 21

Nghiệm của hệ là

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Bài 36: Đặt . Từ phương trình thứ nhất suy ra .

Phương trình thứ hai của hệ trở thành:

.

Xét hàm số trên đoạn . Hàm số có đạo hàm

nên hàm số đồng biến đoạn .

Suy ra , nên vô nghiệm.

Vậy . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta tìm được .

Vậy các nghiệm của hệ là

Bài 37: Biến đổi hệ như sau:

, thay vào phương trình thứ hai ta được , thoả mãn hệ. +) Nếu

. Lúc này ta nhân chéo hai vế của hệ như sau: +) Nếu

– Nếu . Thay vào (*) ta được: , loại.

– Nếu . Thay vào (*) ta được: , loại nốt.

– Nếu . Thay vào ta được:

.

Trang 22

Điều này không thể xảy ra do – Nếu . Thay vào (*) ta được:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Vậy hệ có các nghiệm là

Bài 38: Thay vào hệ thấy không thỏa mãn nên hệ tương đương với:

. Từ (2) .

.

Từ (1) Vì vậy y chỉ có thể bằng –1 Vậy nghiệm của hệ là

Bài 39: Điều kiện . Với điều kiện này suy ra .

Khai thác phương trình thứ nhất của hệ. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwart ta có:

Đến đây ta sẽ chứng minh: (với ).

Thật vậy

, điều này đúng do .

Vậy, đúng. Kết hợp với suy ra .

Lấy căn hai vế ta có : .

Trong bài này, dấu bằng xảy ra, tức là . Như vậy hệ đã cho trở thành:

Trang 23

(thỏa mãn)

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Vậy nghiệm của hệ là (đề HSG quốc gia)

Bài 40: Điều kiện .

Viết hệ lại như sau:

Ta đặt thì hệ trên trở thành:

(do nên ta đã loại nghiệm )

+) Nếu .

+) Nếu .

Vậy nghiệm của hệ là

Lưu ý: Có thể dùng phương pháp hàm số để kết luận .

Bài 41: Biến đổi hệ như sau:

Vậy nghiệm của hệ là

Trang 24

Bài 42: Chuyển số 3 từ vế trái của phương trình thứ hai sang vế phải:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Vậy nghiệm của hệ là

Cách giải khác: Cách 1: Đưa phương trình thứ nhất về dạng và đưa phương

, sau đó nhân hai vế để đưa về phương trình đẳng cấp bậc 3.

trình thứ hai về Cách 2: Bình phương hệ quả như sau:

từ phương trình thứ hai và thế vào phương trình trên. Tìm

Việc còn lại của chúng ta là rút xong được nghiệm thì phải thử lại. (Đề thi dự bị đại học khối A năm 2008 – 2009) Bài 43: Rút y từ phương trình thứ hai và nhân hai vế của phương trình thứ nhất cho 7 ta có:

Vậy hệ có 4 nghiệm

Trang 25

Bài 44: Biến đổi và đặt ẩn phụ để giải hệ:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Đặt thì hệ này trở thành:

+) Nếu

+) Nếu

Đến đây dễ thấy hệ này vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ là

Bài 45: Biến đổi hệ về đặt ẩn phụ:

thì hệ trở thành: Đặt

. do Loại

Với

Quay trở lại bước đặt:

Vậy nghiệm của hệ là

theo y rồi thế vào phương trình thứ nhất được

không thoả mãn hệ .

Trang 26

Cách giải khác: Từ phương trình thứ hai rút phương trình bậc 4 có nghiệm đẹp. Bài 46: Nhận thấy Lúc này hệ đã cho tương đương với:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Đến đây đặt thì hệ lại trở thành:

+) Với .

+) Với .

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 47: Biến đổi tương đương hệ như sau:

(điều kiện )

(thoả mãn) (loại)

Vậy

Trang 27

Nghiệm của hệ là

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Bài 48: Giải hệ bằng phương pháp hàm số:

. Cộng vế theo vế của hai phương trình với nhau ta có:

. Hàm số có đạo hàm nên đồng biến

Xét hàm số trên . Mặt khác trên có dạng nên .

Thay y = 0 vào hai phương trình của hệ ta được: (**)

Khảo sát hàm số trên . Đạo hàm .

. Đây chính là điểm cực tiểu của hàm số. .

Lập bảng biến thiên, thấy rằng Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy nghiệm của hệ là , tức là (**)

Bài 49: Điều kiện . Đặt thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành:

Xét hàm số trên .

Hàm số có đạo hàm (dễ thấy điều này

do ).

Mặt khác ta có nên .

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được: .

Dễ thấy rằng không thoả mãn nên ta có thể chia hai vế của phương trình này cho x:

Nghiệm

Trang 28

Bài 50: Với điều kiện thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Xem đây là phương trình bậc hai với ẩn là . Ta có: nên phương

trình này có hai nghiệm là (đây là phương trình đồng bậc). và

. +) Nếu

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

(loại) (thỏa mãn)

(loại) (thỏa mãn). Với .

+) Nếu .

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

(do ) (loại) (thỏa mãn)

Với .

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 51: Hệ đã cho tương đương với: .

Đặt thì hệ trên trở thành:

Trang 29

+) Với thì . +) Với thì .

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

+) Với thì . +) Với thì .

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 52: Điều kiện .

Đặt thì .

. Suy ra

Ta lại có .

Lúc này hệ trở thành:

(thoả mãn).

+) Nếu .

+) Nếu .

Vậy nghiệm của hệ là Bài 53: Điều kiện . Thay vào hệ thấy vô lí .

Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho ta được: .

Đặt , ta có hệ sau:

Thay trở lại bước đặt ta tìm được .

Thay vào phương trình thứ hai của hệ: .

Vậy nghiệm của hệ là

Trang 30

Bài 54: Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được , vô lí .

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Chia các vế của hệ cho ta được: (1)

Đến đây ta đặt thì hệ (1) trở thành:

+) Với .

+) Với (vô nghiệm)

vào phương trình thứ nhất thấy ngay nó không thoả mãn .

Vậy nghiệm của hệ là Bài 55: Thay Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

.

Thay trở lại hệ ta được: .

Vậy nghiệm của hệ là

(1) Bài 56: Cộng chéo vế theo vế hai phương trình của hệ:

nên Xét hàm số trên . Đạo hàm

đồng biến trên . Phương trình (1) có dạng .

Thay trở lại hệ ta được phương trình

(loại vì ,

vô lí) .

Vậy nghiệm của hệ là

Trang 31

Bài 57: Đưa phương trình thứ nhất của hệ về (1).

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Xét hàm số trên . Hàm số có đạo hàm nên hàm

số đồng biến trên . Phương trình (1) có dạng nên ta có:

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được: (2).

Nhận thấy không là nghiệm của phương trình (2).

Xét hàm số trên . Đạo hàm:

với mọi

Suy ra hàm số nghịch biến trên . Ta lại có nên (2) có nghiệm .

Với thì (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của hệ là (Đề thi Đại học khối A năm 2010)

Bài 58: Rút y từ phương trình thứ hai của hệ: .

Thay vào phương trình thứ nhất:

.

Phương trình này có 4 nghiệm như sau:

+) +)

+) +)

Vậy hệ có các nghiệm là

Bài 59: Dễ dàng thấy đây là một hệ chứa phương trình đẳng cấp. , thay vào hệ thấy không thoả mãn nên suy ra Nếu . Tương tự, ta có .

Trang 32

Thế phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai ta được:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

+) Nếu , thay vào phương trình thứ nhất của hệ:

+) Nếu , thay vào phương trình thứ nhất của hệ:

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 60: Nếu , thay vào phương trình thứ hai thấy không thoả mãn .

Thực hiện phép chia để đưa hệ về dạng: . Đặt thì hệ lại trở thành:

+) Với +) Với

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 61: Điều kiện . Đưa phương trình thứ nhất về dạng sau:

(1)

Xét hàm số trên . Hàm số có đạo hàm nên

đồng biến trên . Mặt khác (1) có dạng nên nó tương đương với

. Thay vào phương trình thứ hai ta được:

(2)

Dùng máy tính nhẩm ngay được nghiệm . Đến đây có hai cách giải quyết: dùng đạo hàm

(vì thấy nó đồng biến) hoặc nhân liên hợp (áp dụng cách này đối với bài toán này vì nó cho kết quả nhanh hơn mà không cần lý luận quá phức tạp như đạo hàm).

Trang 33

(Dễ thấy với thì )

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Vậy hệ có một nghiệm

Bài 62: Nếu thì thay vào phương trình thứ nhất : , vô lý .

Dễ dàng nhìn thấy ẩn phụ trong bài toán:

Đặt thì hệ trở thành:

Vậy, hệ đã cho vô nghiệm Bài 63: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

(thế số )

, vì khi đó vế trái của phương trình thứ hai sẽ bằng 0 nên

Loại ngay và không thoả mãn. Vậy ta có . Thay vào phương trình thứ hai ta được:

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 64: Biến đổi từ hai phương trình của hệ như sau:

.

Vì vậy hệ đã cho tương đương với:

.

Trang 34

Vậy nghiệm của hệ là Bài 65: Điều kiện: .

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Phương trình thứ nhất

+) Nếu , thay vào phương trình thứ hai: .

Nhận thấy vế trái không dương, còn vế phải thì dương nên phương trình này vô nghiệm. +) Nếu , thay vào phương trình thứ hai:

Dùng máy tính nhẩm nghiệm được nên ta nhóm như sau:

Bây giờ ta giải phương trình (1). Dùng máy tính giải phương trình bậc 3, ta thấy rằng có hai

nghiệm phức và một nghiệm nên phương trình này sẽ không có nghiệm thuộc

. Vì vậy miền giá trị của hàm số chứa x đó sẽ không có giá trị bằng 0 nên dùng

phương pháp hàm số để chứng minh phương trình vô nghiệm:

Xét hàm số trên . Đạo hàm: nên

đồng biến trên nên (1) vô nghiệm.

Vậy .

Như vậy nghiệm của hệ là

Cách giải khác: Khi biến đổi đến , ta đưa phương trình thứ hai về:

mà hàm số đồng biến, nghịch biến với x dương.

Bài 66: Điều kiện: . Biến đổi hệ như sau:

Trang 35

Cộng hai vế ta được: (1). Trừ vế theo vế ta được: (2)

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Nhân vế theo vế của (1) với (2) ta được:

(loại) (do x, y > 0)

Với , thay vào ta được:

.

Vậy nghiệm của hệ là

thì hệ trở thành (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2007 – 2008 ) Cách giải khác: Ứng dụng số phức: Đặt

Nhân phương trình (2) với i (đơn vị ảo số phức), sau đó cộng với phương trình (1) ta được:

.

Đặt và , từ đó phương trình trên trở thành:

.

Ta có: . Một căn bậc hai của là nên phương

trìnhh có hai nghiệm là hay chính là:

(thỏa mãn) và (không thỏa mãn )

Cách giải này rất lạ và khá thú vị, thế nhưng so với cách ở trên thì dường như cách này vẫn chưa phát huy được hiệu quả làm nhanh!

Bài 67: Điều kiện: không đồng thời bằng 0. Hệ đã cho:

. Thay vào (2) thấy thoả mãn.

Trang 36

+) Nếu +) Nếu , thay vào (1) ta được . Chia làm hai trường hợp:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

(+) Nếu y = 0. Thay vào (2) ta được , rõ ràng điều này vô lý.

(+) Nếu . Thực hiện các phép nhân:

Nhân (1) với y : (3). Nhân (2) với x : (4)

Cộng (3) với (4) được một kết quả rất đẹp:

Đến đây chúng ta sẽ phải “chịu khổ” một chút để đi giải phương trình bậc 4. Thay vào (2):

.

Nhân hai vế với ta được:

Vậy hệ có hai nghiệm là

(1)

nên đồng biến.

Bài 68: Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: Xét hàm số trên Ta lại có có đạo hàm .

Thay vào phương trình thứ nhất ta được: (2)

Tiếp tục sử dụng đạo hàm. Xét hàm số trên .

Đạo hàm:

(do ) mà nên (2) chỉ có 1

.

Ta có: nghiệm Vậy nghiệm của hệ là Bài 69: Nếu thì từ phương trình thứ nhất suy ra , thay vào phương trình thứ hai thấy

không thoả mãn nên suy ra . Chia 2 vế của phương trình thứ nhất cho :

(1).

Xét hàm số trên có đạo hàm nên đồng biến trên .

Mặt khác (1) . Thay vào phương trình thứ hai ta được:

Trang 37

(2)

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Xét hàm số trên .

Đạo hàm: nên

hàm nghịch biến trên .

Mặt khác ta lại có nên (2) (thoả mãn) .

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 70: Nhận xét: hệ chứa đầy đủ các hạng tử nên ta nghĩ ngay đến hằng đẳng

. Bây giờ ta nhân hệ số vào hai phương trình một cách thích hợp để đưa về

thức hằng đẳng thức này. Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta nhân các hệ số như sau:

(cộng hai phương trình lại với nhau)

+) Nếu , thay vào phương trình thứ nhất của hệ:

+) Nếu , thay vào phương trình thứ nhất của hệ:

, phương trình này vô nghiệm

Nghiệm của hệ là (Chọn HSG Quốc gia tỉnh Nghệ An 2010 – 2011)

Cách giải khác và lưu ý: Phương pháp hệ số bất định với hệ phương trình hai ẩn bậc hai như thế này chúng ta sẽ trình bày ở Bài 258 của tập “HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần III)”. Ta cộng

phương trình thứ hai với K lần phương trình thứ hai thì tìm được K = và K = .

Bài giải trên ta đã sử dụng K = .

Trang 38

Với K = –4 thì ta có như sau:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

.

Bây giờ ta thế trở lại vào phương trình thứ nhất của hệ:

.

.

Đến đây thì mọi việc trở nên đơn giản hơn rất nhiều! Bài 71: Điều kiện Tương tự Bài 22, ta cộng hai vế của hệ lại ta được:

.

Đánh giá hai vế của phương trình này:

+)

, vì vậy dùng điểm rơi trong bất đẳng thức

+) Đánh giá vế phải: Nhận xét rằng vế phải bằng Cauchy, ta được:

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 72: Nhận thấy không thể thoả mãn hệ .

Từ phương trình thứ nhất của hệ: . Xem đây là phương trình bậc hai với ẩn

, ta có phương trình này có nghiệm (1).

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta suy ra: (2).

Từ (1) và (2) suy ra . Thay trở lại hệ ta được:

Trang 39

Vậy nghiệm của hệ là

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Bài 73: Từ hệ, ta nhận thấy có và nên ta sẽ tìm cách đưa hệ về dạng:

,

. Khi khai triển hằng đẳng thức thấy rằng hệ này đã có đủ điều kiện để nhóm được hằng đẳng thức bậc 4:

+) Nếu , thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

+) Nếu , thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2010 – 2011)

Vậy nghiệm của hệ là Bài 74: Điều kiện .

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (1).

Xét hàm số trên . Hàm số có đạo hàm nên

. Mặt khác (1) có dạng .

đồng biến trên Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

(điều kiện )

. Đặt ( )

Phương trình lúc này trở thành:

Với

Vậy nghiệm của hệ là (Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 2010 – 2011)

Bài 75: Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ xuất hiện nhân tử chung:

. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

Tương tự Bài 12, ta giải tìm được .

Vậy nghiệm của hệ là

Trang 40

Bài 76: Điều kiện . Nhìn lướt qua ta thấy ngay phương trình thứ nhất có nhân tử chung :

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

không thỏa mãn điều kiện.

+) Nếu +) Nếu , thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

.

Nghiệm của hệ là

Bài 77: Điều kiện .

Từ những điều hiển nhiên đúng sau:

Vậy nên phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

Vậy ta lại có phương trình thứ hai của hệ phải tương đương với

Thay trở lại hệ ta thấy thoả mãn.

Vậy nghiệm của hệ là

Cách giải khác: Cách giải trên dùng cho những bạn khá tinh trong việc nhìn nhận bất đẳng thức. Cách giải sau sẽ mang tính hệ thống hơn:

Trang 41

. Đặt

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Hệ trở thành:

Giải phương trình với : .

Đặt , phương trình trên trở thành:

(loại).

Với .

Với điều kiện thì hệ thống trên chỉ có một nghiệm là .

Vậy .

* Nhận thấy rằng , ta nghĩ ngay đến việc đổi biến về hàm sin, cos.

Bài 78: Rút từ phương trình thứ hai: . Thay vào phương trình thứ nhất:

.

+) Nếu , không thoả mãn. +) Nếu , thay vào hệ tìm được .

Vậy nghiệm của hệ là (Đề thi đại học Khối B năm 2008 – 2009 )

Bài 79: Xem phương trình thứ hai của hệ như là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y :

(*).

. (*) có nghiệm

Tương tự xem phương trình là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x :

(**).

(**) có nghiệm

Trang 42

.

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Vậy ta có và . Phương trình thứ nhất của hệ .

Xét hàm số trên có đạo hàm nên đồng biến

trên hay chính là (1).

Tương tự, ta có hay chính là (2).

Từ (1) và (2) . Vậy nên phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

. Thay trở lại vào hệ thấy không thoả mãn.

Vậy hệ đã cho vô nghiệm Bài 80: Phương trình thứ nhất: (1)

Xét hàm số trên . Đạo hàm nên đồng biến trên .

Mặt khác (1) có dạng . Thay vào phương trình thứ hai:

(dễ thấy )

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 81: Nếu thì và ngược lại nên là một nghiệm của hệ.

Với . Thực hiện phép chia cho và ta có:

Đặt thì hệ trở thành:

+) Nếu

Trang 43

+) Tương tự, nếu

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Vậy hệ có 9 nghiệm là

Bài 82: Điều kiện: .

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: . Kết hợp

với điều kiện ta phải có . Thay vào hệ ta có: .

Thử lại thấy là nghiệm của hệ.

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 83: Biến đổi đưa hệ về:

Từ (2) suy ra (do ) .

Đưa hệ về dạng sau:

(do ) Dễ thấy

. +) Nếu

Với thì ta lại có , trái với (3), loại.

+) Tương tự với , loại nốt.

+) Với , thay vào phương trình thứ nhất của hệ trên ta được .

Thử lại, ta thấy là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 84: Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được:

.

Thấy rằng là một nghiệm của hệ nên ta xét trường hợp còn lại :

Thay trở lại hệ ta được:

Trang 44

Vậy hệ có hai nghiệm (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2004 – 2005)

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Cách giải khác: Đặt , thay vào hệ ta đưa về hệ

phương trình mới. Sau đó cộng hai vế đưa về hằng đẳng thức bậc 3 (sẽ hơi phức tạp với những bạn chưa quen biến đổi phức tạp ). Bài 85: Dạng quá quen thuộc: một phương trình đẳng cấp. Thế số 12 ở phương trình thứ nhất:

(1)

Dễ thấy không thoả mãn hệ . Chia hai vế của (1) cho :

(thấy rằng )

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu:

Vậy hệ có hai nghiệm là

Bài 86: Lại là hệ chứa phương trình đẳng cấp. Quá quen rồi nhỉ .

Nghiệm của hệ là

Bài 87: Thêm một hệ chứa phương trình đẳng cấp nữa.

Nghiệm của hệ là

Bài 88: Cách giải phương trình này đã rất quen thuộc: Thấy không thoả mãn hệ . Với thì hệ tương đương với:

Trang 45

Vậy nghiệm của hệ là

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Bài 89: Phân tích: Trong các phương pháp giải hệ ta đã từng gặp, nếu ta sử dụng phép thế y 4 ở phương trình thứ nhất bằng x 3 – 2x 2 + 2x thì ta sẽ nhận được một phương trình bậc 6. Vẫn có thể nhẩm được một số nghiệm của hệ này, thế nhưng để dùng sơ đồ Hoóc–ne chia đa thức thì (để làm giảm bậc của phương trình) có lẽ rằng hơi phức tạp (chưa thử làm những có lẽ sẽ phức thì sẽ không tạp). Còn nếu ta dùng các phép nhân ước lượng để đưa về dạng

và

là dương mà chúng lại ở cùng một vế, thế nên khi chuyển vế làm được do hệ số của thì sẽ không đưa được về dạng này. Đạo hàm? Nếu thế thì chỉ dùng được ở phương trình thứ , mà vế phải không thể hai. Thế nhưng việc này không thực hiện được do bên vế phải chỉ có đưa về dạng này. Vậy chỉ dùng được phương pháp đánh giá. Đưa hệ về:

thì từ (2) suy ra và từ (1) suy ra , mâu thuẫn.

, ta cũng nhận được điều mâu thuẫn.

+) Nếu +) Tương tự +) Nếu , thay vào hệ tìm được .

(ở phương trình thứ nhất) và

Vậy nghiệm của hệ là Bài 90: Khó khăn khi giải phương trình này bởi vì ta không sử dụng được phép thế. Dùng thử điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai cũng không đánh giá được. Không thể dùng hàm (ở phương trình thứ hai). Cần biến đổi khéo số vì chứa léo: +) Nếu thì .

+) Nếu . Ta chia hai vế lần lượt 2 phương trình của hệ cho , ta được:

Giải hệ này ta được các nghiệm:

, vô lí do +)

+) , vô nghiệm nốt.

(hàm số chỉ chứa

(hay cho y) vì không biết

Trang 46

Vậy nghiệm của hệ là Bài 91: Phân tích: Nhận xét phương trình thứ nhất của hệ chứa căn bậc hai của các hàm tạm mà gọi là hàm đẳng cấp bậc hai (hay hàm đồng bậc) đối với không chứa hệ số tự do và ). Mà căn của một hàm bậc đẳng cấp hai ta coi như là hàm bậc nhất. Bên vế phải là hàm bậc nhất. Vậy hai vế của phương trình đồng bậc. Vì vậy ta áp dụng cách giải phương trình đồng bậc. Chưa thể chia ngay hai vế cho âm hay dương mà đưa vào dấu căn.Vì vậy ta bình phương với điều kiện , ta được:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

(1)

Tiếp tục bình phương cũng được, thế trước hết nhưng ta nên đưa về một ẩn để dễ nhìn. Dễ thấy

không thoả mãn hệ nên chia hai vế của (1) cho ( có thể đưa vào dấu căn) ta được:

Đặt , thì phương trình trên trở thành:

Thử lại thấy chỉ thoả mãn phương trình (*). Với . Thay vào phương trình thứ

hai của hệ ta được: . Tiếp tục dùng biến đổi hệ quả:

.

hệ ban đầu.

Thử lại thấy chỉ Vậy nghiệm của hệ là

Cách giải khác: Với những người đã có phản xạ và phát hiện nhân tử chung nhanh thì ta thực hiện phép nhân liên hợp sau với x khác y :

Trang 47

Với x khác y thì hai mẫu thức trên đều dương! Một cách khác ngắn gọn hơn nhiều đó là dùng bất đẳng thức:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

và .

Hơn nữa, việc nhìn nhận phương trình đẳng cấp cũng khá quan trọng để tìm được lời giải nhanh và hay nhất. Ta thấy:

Đây là một phương trình đẳng cấp rất dễ giải! Bài 92: Điều kiện . Với điều kiện này phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

(do nên ) (thỏa mãn)

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

– Nếu – Nếu

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 93: Đặt . Lúc này hệ trở thành:

Cộng hai vế của hệ này lại ta được:

trở thành , vô lí.

+) Nếu +) Nếu thì . Xem như đây là phương trình ẩn y tham số t có biệt thức:

nên phương trình có nghiệm

hay chính là hoặc .

(+) Nếu , thay vào ta được: , vô nghiệm.

(+) Nếu , thay vào ta được:

Trang 48

Vậy nghiệm của hệ là

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

Bài 94: Hệ đã cho viết lại thành

Đặt thì hệ trên được trở thành:

(*) Nếu

(*) Nếu

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 95: Đầu tiên tìm điều kiện xác định của hệ phương trình: .

9.

.

.

Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra Vậy nên ta phải có Thế Nếu vào phương trình thứ hai của hệ ta được: . Thử lại thấy nghiệm này thoả mãn hệ ban đầu.

Vậy nghiệm của hệ là Bài 96: Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

* Nếu , thay vào phương trình thứ nhất ta được:

(+) Thấy rằng không thỏa mãn .

(+) Nếu Thử hai nghiệm . ta thấy đều thỏa mãn.

Trang 49

* Nếu , ta thế vào số 2 ở phương trình thứ nhất được:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

(đã xét)

Với , thay vào ta được

Vậy hệ có 4 nghiệm

Bài 97: Điều kiện .

Chuyển hệ về dạng sau:

Đến đây ta đặt thì hệ trên trở thành:

(thỏa mãn) (không thỏa mãn)

Với

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 98: Điều kiện .

Ta thấy rằng khó mà khai thác được nhân tử chung ở phương trình thứ hai mà chỉ có thể ở phương trình thứ nhất. Phương trình thứ nhât tương đương với:

(do )

(dễ thấy ).

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

Trang 50

Đến đây ta đặt thì phương trình trên trở thành:

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình

(*) Nếu , không thỏa mãn , loại.

(*) Nếu

Vậy nghiệm của hệ là

Bài 99: Viết lại hệ dưới dạng đẳng cấp:

ta tìm được

Để thay đổi cách giải một chút, ta sẽ giải theo cách sau: TH1: Nếu TH2: Nếu . , thay vào hệ , thay vào hệ , ta đặt ta được:

(dễ thấy không thỏa mãn hệ và nên ta có thể nhân chéo)

.

, thay vào hệ (II) tìm được .

(+) Nếu (+) Nếu , thay vào hệ (II) tìm được .

(+) Nếu , thay vào hệ tìm được .

Vậy hệ có 4 nghiệm là

thì hai phương trình của hệ mâu thuẫn. Do đó .

Bài 100: Thấy rằng Lúc này hệ tương đương với:

Trang 51

Vậy hệ có hai nghiệm là

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình