15 bộ đề toán cấp tốc năm 2009 - Đoàn Vương Nguyên - Phần 2

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu '15 bộ đề toán cấp tốc năm 2009 - đoàn vương nguyên - phần 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 15 bộ đề toán cấp tốc năm 2009 - Đoàn Vương Nguyên - Phần 2

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 / U(x1,2 ) U (x1,2 ) 2a b ⇒ y1,2 = = = x+. d 1,2 d V/ (x1,2 ) V(x1,2 ) 2a b Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = x+ . d d = ( 2a / d ) xCT + ( b / d ) . Chú ý: Giá tr c c tr là yCT IV. GIÁ TR NH NH T – GIÁ TR L N NH T C A HÀM S Phương pháp gi i toán 1. Hàm s liên t c trên ño n [a; b] Cho hàm s y = f(x) liên t c trên ño n [a; b]. ð tìm giá tr l n nh t (max) và giá tr nh nh t (min) c a f(x) trên ño n [a; b] ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c ño n [a; b] (ta lo i các nghi m n m ngoài ño n [a; b]). Bư c 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Bư c 3. Giá tr l n nh t, nh nh t trong các giá tr bư c 2 là các giá tr tương ng c n tìm. Chú ý: a) ð cho g n ta dùng ký hi u fmin , fmax thay cho min f(x), max f(x) . x∈ X x∈ X b) N u ñ bài chưa cho ño n [a; b] thì ta ph i tìm MXð c a hàm s trư c khi làm bư c 1. c) Có th ñ i bi n s t = t(x) và vi t y = f(x) = g(t(x)) . G i T là mi n giá tr c a hàm t(x) (thư ng g i là ñi u ki n c a t ñ i v i x) thì: min f(x) = min g(t) , max f(x) = max g(t) . x∈ X t∈T x∈ X t∈T 2. Hàm s liên t c trên kho ng (a; b) ho c trên ℝ Cho hàm s y = f(x) liên t c trên D = (a; b) ho c D = ℝ ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c D (ta lo i các nghi m không thu c D). Bư c 2. Tính lim f(x) = L1 , f(x1), f(x2), …, f(xn), lim f(x) = L2 . x → a+ x → b− Bư c 3. 1) min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} < min { L1, L2 } ⇒ fmin = min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} (1). 2) max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} > max { L1, L2 } ⇒ fmax = max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} (2). 3) N u không th a (1) (ho c (2)) thì hàm s không ñ t min (ho c max). Chú ý: Có th l p b ng bi n thiên c a hàm s f(x) thay cho bư c 3. V. TI P TUY N V I ð TH HÀM S 1. Ti p tuy n t i ñi m M(x0; y0) thu c ñư ng cong (C): y = f(x) Bư c 1. Ki m tra ñi m M thu c ñư ng cong (C). Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = f / (x 0 )( x − x 0 ) . 2. Ti p tuy n v i ñư ng cong (C): y = f(x) bi t h s góc là k Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = k ⇒ x 0 ⇒ y 0 ⇒ M(x 0 ; y 0 ) là ti p ñi m. Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = k ( x − x 0 ) . 3. Ti p tuy n ñi qua ñi m M(x0; y0) v i ñư ng cong (C): y = f(x) (M có th thu c (C)) Bư c 1. Ti p tuy n qua ñi m M có d ng (d): y = k(x – x0) + y0.  f(x) = k(x − x 0 ) + y 0 (1)  Bư c 2. (d) ti p xúc (C) khi và ch khi h phương trình sau có nghi m:  /  .  f (x) = k (2)   Bư c 3. Gi i h phương trình trên b ng cách th k t (2) vào (1), gi i x và th tr l i (2) ñ tìm k. Cu i cùng th k vào phương trình c a (d). VI. ð CH A GIÁ TR TUY T ð I TH C A HÀM S 1. ð th hàm s y = f ( x ) (hàm s ch n) G i (C) : y = f(x) và (C1 ) : y = f ( x ) ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. V ñ th (C) và ch gi l i ph n ñ th n m phía bên ph i tr c tung. Bư c 2. L y ñ i x ng ph n ñ th bư c 1 qua tr c tung ta ñư c ñ th (C1). 2. ð th hàm s y = f(x) G i (C) : y = f(x) và (C2 ) : y = f(x) ta th c hi n các bư c sau: Trang 11
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 Bư c 1. V ñ th (C). Bư c 2. Gi l i ph n ñ th c a (C) n m phía trên tr c hoành. L y ñ i x ng ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành c a (C) qua tr c hoành ta ñư c ñ th (C2). 3. ð th hàm s y = f ( x ) G i (C1 ) : y = f ( x ) , (C2 ) : y = f(x) và (C3 ) : y = f ( x ) . D th y ñ v (C3) ta th c hi n các bư c v (C1) r i (C2) (ho c (C2) r i (C1)). …………………………………………… D. HÌNH H C Chương I. HÌNH H C PH NG I. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG M T PH NG Cho a = (a1 ; a 2 ), b = (b1 ; b2 ) , ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a 2 ± b2 ) . 2) ka = (ka1 ; ka2 ), k ∈ ℝ . a1 a2 a a b ⇔ a = k.b ⇔ = 0 ⇔ a1b2 − a2 b1 = 0 ⇔ 1 = 2 (b1 ≠ 0 ≠ b2 ) . 3) a b1 b2 b1 b2 2 4) a.b = a1b1 + a2 b2 . 5) a = a1 + a 2 ⇒ a = a1 + a 2 . 2 2 2 2 a1b1 + a2 b2 a.b 6) a.b = a b cos(a, b) ⇒ cos(a, b) = = + a2 b1 + b2 2 2 ab a1 2 2 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 = 0 . ( xB − x A ) + ( yB − yA ) . 2 2 7) AB = (x B − x A ; y B − y A ) ⇒ AB =  x − k.x B y A − k.y B  .   8) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M  A ;   1−k  1−k    x + xB yA + yB  . 9) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I  A   ;      2 2  x + x B + xC y A + y B + yC  . 10) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC là G  A   ;      3 3 II. ðƯ NG TH NG 1. Phương trình ñư ng th ng 1.1. Phương trình t ng quát ( A2 + B2 > 0 ) . Phương trình t ng quát c a ñư ng th ng (d) có d ng Ax + By + C = 0 1) u = (−B; A) ho c u = (B; −A) là vectơ ch phương (VTCP) c a (d). 2) n = (A; B) là vectơ pháp tuy n (VTPT) c a (d). 3) (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và n = (A; B) thì (d): pt(d) : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) = 0 . 1.2. Phương trình tham s (ptts)  x = x 0 + u1t  (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) thì ptts(d) :  (t ∈ ℝ) .   y = y 0 + u 2t   1.3. Phương trình chính t c (ptct) x − x0 y − y0 (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) v i u1u 2 ≠ 0 thì ptct(d) : = . u1 u2 1.4. Phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m x − xA y − yA x − xB y − yB = = pt(AB) : ho c pt(AB) : . x B − xA yB − yA x B − xA yB − yA 1.5. Phương trình ño n ch n xy Cho (d) ñi qua A(a; 0), B(0; b) (a ≠ 0 ≠ b) thì pt(d) : + = 1. ab 1.6. ð c bi t pt(Ox) : y = 0 , pt(Oy) : x = 0 . Trang 12
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 2. M t s tính ch t Cho hai ñư ng th ng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0. 2.1. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng A B1 A B ≠ 0 ⇔ A1B2 ≠ A2B1 . Ho c 1 ≠ 1 ( A2 ≠ 0 ≠ B2 ) . 1) (d1) c t (d2) ⇔ 1 A2 B2 A2 B2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 2) (d1) song song (d2) ⇔ = 0, ≠ 0 ho c ≠ 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 3) (d1) trùng (d2) ⇔ = = = 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 2.2. Góc gi a hai ñư ng th ng n1 .n2 G i ϕ, n1, n2 là góc và VTPT c a (d1) và (d2), ta có: cos ϕ = . n1 . n 2 Ax 0 + By 0 + C M0 (x 0 ; y 0 ) ñ n (d): d(M0 ; (d)) = 2.3. Kho ng cách t . A2 + B2 III. ðƯ NG TRÒN 1. Phương trình ñư ng tròn Cho ñư ng tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R. 1.1. Phương trình chính t c (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. 1.2. Phương trình t ng quát (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, R = a 2 + b2 − c . 2. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và ñư ng tròn Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (d) ti p xúc (C) ⇔ d(I; (d)) = R. 2) (d) c t (C) t i hai ñi m phân bi t ⇔ d(I; (d)) < R. 3) (d) không c t (C) ⇔ d(I; (d)) > R. 3. V trí tương ñ i c a hai ñư ng tròn Cho (C1) tâm I1 bán kính R1 và (C2) tâm I2 bán kính R2, ta có 5 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (C1) và (C2) ngoài nhau ⇔ I1I2 > R1 + R2. 2) (C1) ti p xúc ngoài v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 + R2. 3) (C1) c t (C2) t i hai ñi m phân bi t ⇔ R1 − R 2 < I1I2 < R1 + R 2 . 4) (C1) ti p xúc trong v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 − R 2 . 5) (C1) và (C2) ch a nhau ⇔ I1I2 < R1 − R 2 . IV. CÁC ðƯ NG CONIC 1. ELIP 1.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (a > c > 0). T p (E) là m t elip n u M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a . 1) F1, F2 là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0;–b), B2(0; b) là 4 ñ nh c a elip. x2 y2 + = 1 . Trong ñó, b2 = a2 – c2 và a > b > 0. 1.2. Phương trình chính t c: (E) : a2 b2 1.3. Bán kính qua tiêu ñi m x2 y2 c c + = 1 ta có MF1 = a + x , MF2 = a − x M . Cho ñi m M thu c (E) : aM 2 2 a a b 1.4. Tâm sai a 2 − b2 c ( e < 1) . e= = a a 1.5. ðư ng chu n c a elip a2 a2 a a (∆1 ) : x = − ⇔ x = − , (∆2 ) : x = ⇔ x = . e c e c 1.6. Ti p tuy n v i elip ði u ki n ti p xúc x2 y2 + = 1 ta có: (d) ti p xúc (E) ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 (C ≠ 0) . Cho ñư ng th ng (d): Ax + By + C = 0 và elip (E): 2 2 a b Trang 13
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 2. HYPERPOL 2.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (c > a > 0). T p (H) là m t hyperpol n u M ∈ (H) ⇔ MF1 − MF2 = 2a . 1) F1(– c; 0), F2(c; 0) là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0) là 2 ñ nh thu c tr c th c. B1(0;–b), B2(0; b) là 2 ñ nh thu c tr c o. 2.2. Phương trình chính t c (H) x2 y2 − = 1 , c2 = a2 + b2. 2 2 a b 2.3. Bán kính qua tiêu ñi m 1) M thu c nhánh ph i (xM > 0): MF1 = exM + a, MF2 = exM – a. 2) M thu c nhánh trái (xM < 0): MF1 = – exM – a, MF2 = – exM + a. c 2.4. Tâm sai: e = > 1 a a2 a 2.5. ðư ng chu n: x = ± = ± e c b 2.6. Ti m c n: y = ± x a 2.7. ði u ki n ti p xúc v i ñư ng th ng: a2A2 – b2B2 = C2 (C ≠ 0) x2 y2 x2 y2 − = −1 là hyperpol liên h p c a − = 1. Chú ý: a2 b2 a2 b2 3. PARAPOL 3.1. ð nh nghĩa Cho ñư ng th ng c ñ nh ( ∆ ) và ñi m F ∉ ( ∆ ) c ñ nh. T p (P) là m t parapol n u M ∈ (P) ⇔ MF = d ( M, ∆ ) . p  1) F  ; 0  là tiêu ñi m, ( ∆ ) là ñư ng chu n.    2    2) p = d ( F, ∆ ) là tham s tiêu. 3) O(0; 0) là ñ nh và MF là bán kính qua tiêu ñi m c a M (M thu c parapol). 3.2. Phương trình chính t c (P): y2 = 2px (p > 0). 3.3. Tâm sai: e = 1. p 3.4. ðư ng chu n: x = − . 2 3.4. ði u ki n ti p xúc: 2AC = B2p. 3.5. Các d ng parapol khác: y2 = – 2px, x2 = 2py, x2 = – 2py (p > 0). Chương II. CÁC TÍNH CH T VÀ CÔNG TH C CƠ B N TRONG HÌNH H C KHÔNG GIAN 1. Quan h song song Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a // b ⇔ a, b ñ ng ph ng và a ∩ b = Ø; 2) a // (P) ⇔ a ∩ (P) = Ø; 3) a // (P) ⇔ a ⊄ (P) và ∃b ⊂ (P) : a // b; 4) (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = Ø; 5) (P) // (Q) ⇔ ∃a, b ⊂ (P) , a c t b: a, b // (Q); 6) a // (P) và (P) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 7) (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a và (R) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 8) a ⊂ (P) , b ⊂ (Q) , a // b và (P) ∩ (Q) = c ⇒ a // b // c. 2. Quan h vuông góc Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 ; 2) a ⊥ (P) ⇔ ∃b, c ⊂ (P) , b c t c: a ⊥ b , a ⊥ c ; 3) (P) ⊥ (Q) ⇔ ∃a ⊂ (P) : a ⊥ (Q) ; 4) (P) // (Q), a ⊥ (P) ⇒ a ⊥ (Q) ; 5) (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) và (P) ∩ (Q) = a ⇒ a ⊥ (R) ; 6) Ch(P)a = b, c ⊂ (P) và c ⊥ b ⇒ c ⊥ a (ð nh lý 3 ñư ng vuông góc). Trang 14
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 3. Th tích 1) Th tích kh i lăng tr : V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 1 2) Th tích kh i chóp: V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 1 1 3) Th tích kh i nón: V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 3 4) Th tích kh i tr : V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4 5) Th tích kh i c u: V = πR 3 (R: bán kính ñáy). 3 6) Cho kh i t di n S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC l y l n lư t các ñi m A’, B’, C’ khác S. V SA ' SB' SC ' Khi ñó S.A ' B' C ' = . . . VS.ABC SA SB SC 4. Di n tích 1) Di n tích xung quanh hình nón: Sxq = πRl (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 2) Di n tích toàn ph n hình nón: Stp = πR(R + l) (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 3) Di n tích xung quanh hình tr : Sxq = 2πRh (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4) Di n tích toàn ph n hình tr : Stp = 2πR(R + h) (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 5) Di n tích m t c u: S = 4πR 2 (R: bán kính ñáy). Chương III. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG KHÔNG GIAN I. CÔNG TH C CƠ B N Cho a = (a1 ; a2 ; a 3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a 3 ± b3 ) . 2) k.a = (ka1 ; ka 2 ; ka 3 ), k ∈ R . 2 3) Tích vô hư ng a.b = a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 . 4) a = a1 + a2 + a 2 ⇒ a = a1 + a2 + a 2 . 2 2 2 3 2 3 ( xB − xA ) + ( y B − y A ) + ( zB − zA ) . 2 2 2 5) AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA) ⇒ AB = a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 a.b 6) cos(a, b) = = + a2 + a2 b1 + b2 + b2 2 2 a.b a1 2 3 2 3 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a 3 b3 = 0 . a  a3 a a1 a a2  7) Tích có hư ng  a, b  =  2 . ;3 ;1       b2  b3 b3 b1 b1 b2   a a a 8) a cùng phương b ⇔ a = k.b ⇔  a, b  = 0 ⇔ 1 = 2 = 3 ( b1, b2 , b 3 ≠ 0 ) .   b1 b2 b3 9)  a, b  ⊥ a,  a, b  ⊥ b .      a, b    10)  a, b  = a . b .sin(a, b) ⇒ sin(a, b) =  .   a.b 11) a, b, c ñ ng ph ng ⇔  a, b  c = 0.    x − k.x B y A − k.y B zA − k.zB  .   12) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M  A ; ;   1−k  1−k 1−k    x + x B y A + y B zA + zB  . 13) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I  A   ; ;      2 2 2  x + x B + xC y A + y B + yC zA + zB + zC  . 14) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC : G  A   ; ;      3 3 3 15) Tr ng tâm G c a t di n ABCD th a GA + GB + GC + GD = 0 và có t a ñ :  x + x B + xC + x D y A + y B + yC + y D zA + zB + zC + zD  . G A   ; ;      4 4 4 Trang 15
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 1  AB, AC  . 16) Di n tích ∆ABC là S∆ABC =   2 17) Th tích hình h p ABCD.A’B’C’D’: VABCD.A ' B' C' D ' =  AB, AD  .AA ' .   1 18) Th tích t di n ABCD: VABCD =  AB, AC  .AD . 6   DE.AB = 0   ho c DE  AB, AC  . 19) DE ⊥ (ABC) ⇔    DE.AC = 0       DE.  AB, AC  = 0     20) DE (ABC) ⇔    D ∉ (ABC) ∨ E ∉ (ABC).    AB.CD ( )= 21) Góc α gi a ñư ng th ng AB và CD th a cos α = cos AB, CD . AB.CD  MA, AB    22) Kho ng cách gi a ñi m M và ñư ng th ng AB là d ( M, AB ) =  . AB  AB, CD  .AC   23) Kho ng cách gi a AB và CD chéo nhau: d ( AB, CD ) =  .  AB, CD    II. M T PH NG 1. Vector pháp tuy n và c p vector ch phương c a m t ph ng ð nh nghĩa 1 Vector n ≠ 0 vuông góc v i m t ph ng (α ) là pháp vector c a (α ) . ð nh nghĩa 2 Hai vector a, b không cùng phương, khác 0 và n m trên (α ) (ho c các m t ph ng ch a a, b song song v i (α ) ) là c p vector ch phương (VTCP) c a (α ) . Chú ý 1) N u a, b là c p VTCP c a (α ) thì n =  a, b  là pháp vector c a (α ) .   2) N u ba ñi m A, B, C ∈ (α) và không th ng hàng thì n =  AB, AC  là PVT c a (α ) .   2. Phương trình t ng quát c a m t ph ng Cho m t ph ng (α ) ñi qua ñi m M0(x0; y0; z0) và nh n n = (A; B; C) làm pháp vectơ thì phương trình t ng quát c a (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. Chú ý N u m t ph ng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì n = (A; B; C) là pháp vector. 3. Các trư ng h p riêng a) M t ph ng t a ñ (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0. b) M t ph ng ch n 3 tr c t a ñ Cho (α ) c t các tr c Ox, Oy, Oz l n lư t t i A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ( a, b, c ≠ 0 ) thì phương trình m t xyz ph ng (α) : + + = 1 (g i là phương trình theo ño n ch n). abc 4. V trí tương ñ i c a hai m t ph ng Cho hai m t ph ng (α ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β) : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 có các pháp vector tương ng là nα = ( A1 ; B1 ; C1 ), n β = ( A2 ; B2 ; C2 ) . 1) (α ) c t (β) ⇔ n α , n β không cùng phương ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 . A1 B C D 2) (α ) trùng v i (β) ⇔ = 1= 1= 1. A2 B2 C2 D2 A1 B C D 3) (α ) song song v i (β) ⇔ = 1= 1≠ 1. A2 B2 C2 D2 Trang 16
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 III. ðƯ NG TH NG 1. ð nh nghĩa Vector u ≠ 0 ñư c g i là vector ch phương (VTCP) c a ñư ng th ng d n u u n m trên d ho c ñư ng th ng ch a u song song v i d. Chú ý ðư ng th ng trong không gian không có pháp vector. 2. Phương trình tham s c a ñư ng th ng x = x + u t   0 1  d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) thì: ptts d :  y = y 0 + u2 t (t ∈ ℝ) .   z = z + u t    0 3 3. Phương trình chính t c c a ñư ng th ng d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) v i u1u2u 3 ≠ 0 thì x − x0 y − y0 z − z0 = = ptct d : . u1 u2 u3 5. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng Cho hai ñư ng th ng d1, d2 có VTCP là u1, u 2 . G i ñi m M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2 , ta có: a) Trư ng h p 1: d1 và d2 ñ ng ph ng ⇔  u1, u2  M1M2 = 0 .    u , u  M M = 0 và  u , u  ≠ 0 (không cùng phương). 1) d1 c t d2 ⇔  1 2  1 2  1 2    2) d1 song song v i d2 ⇔  u1, u2  = 0 và M1 ∉ d2 (ho c M2 ∉ d1 ).    u , u  = 0 và M ∈ d (ho c M ∈ d ). 3) d1 trùng v i d2 ⇔  1 2    1 2 2 1 b) Trư ng h p 2: d1 chéo d2 ⇔  u1, u2  M1M2 ≠ 0 (không ñ ng ph ng).   Chú ý: Ta có th xét h phương trình c a d1 và d2 ñ suy ra v trí tương ñ i như sau: 1) H phương trình có nghi m duy nh t ⇔ d1 c t d2. 2) H phương trình có vô s nghi m ⇔ d1 trùng d2. 3) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 cùng phương ⇔ d1 song song v i d2. 4) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 không cùng phương ⇔ d1 và d2 chéo nhau. 6. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và m t ph ng Cho ñư ng th ng d ñi qua ñi m M và có VTCP u , m t ph ng (α ) có VTPT n . 1) d c t (α ) ⇔ u.n ≠ 0 (ho c h phương trình có nghi m duy nh t). 2) d (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∉ (α ) (ho c h phương trình vô nghi m). 3) d ⊂ (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∈ (α ) (ho c h phương trình có vô s nghi m). 4) d ⊥ (α) ⇔ u n ⇔  u, n  = 0 .   IV. KHO NG CÁCH VÀ GÓC 1. Kho ng cách a) Kho ng cách t M(x0; y0; z0) ñ n m t ph ng (P): Ax + By + Cz + D = 0 Ax 0 + By 0 + Cz0 + D d  M, (P)  = . A2 + B2 + C2  MA, a    b) Kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng d: d(M, d) =  , (A ∈ d) . a Chú ý: Ta có th tìm hình chi u H c a M trên d và d(M, d) = MH. c) Kho ng cách gi a d1 song song d2 (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) : d(d1, d2) = d(M1, d2) = d(M2, d1) d) Kho ng cách gi a ñư ng th ng d và m t ph ng (P) song song (M ∈ d) : d[d, (P)] = d[M, (P)] e) Kho ng cách gi a hai m t ph ng (P), (Q) song song ( M1 ∈ ( P ) , M2 ∈ ( Q ) ) : d[(P), (Q)] = d[M1, (Q)] = d[M2, (P)] Trang 17
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009  a , a  .M M  1 2  1 2 f) Kho ng cách gi a d1 chéo d2: d(d1, d2 ) =  , (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) . a , a   1 2  2. Góc   Công th c cơ b n: a.b = a b cos  a, b        u1 .u2   ( )  a) Góc gi a d1 và d2: cos d1, d2 = cos  u1, u2  =  .     u1 u2 ( ) d2 ⇒ d1, d2 = 00 . 2) d1 ⊥ d2 ⇔ u1 .u2 = 0 . Chú ý: 1) d1 n P .nQ   ( ( P ), ( Q ) ) =   cos  n P, nQ  = b) Góc gi a hai m t ph ng: cos .    n P nQ ( Q ) ⇒ ( ( P ), ( Q ) ) = 00 . 2) ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n P .n Q = 0 . Chú ý: 1) ( P ) u d .n P   ( ( P )) =  cos  u d , n P  = c) Góc gi a ñư ng th ng và m t ph ng: sin d,  .     ud nP 2) d ⊥ ( P ) ⇔  u d , n P  = 0 . ( P ) ⇒ ud .n P Chú ý: 1) d ⊂ ( α ) ho c d = 0.   V. M T C U 1. Phương trình chính t c c a m t c u M t c u (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình chính t c là: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2. Phương trình t ng quát c a m t c u (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 M t c u (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R = a 2 + b2 + c2 − d > 0 . 3. V trí tương ñ i c a m t ph ng và m t c u Cho m t ph ng (P) và m t c u (S) tâm I, bán kính R ta có: a) M t ph ng không c t m t c u ⇔ d  I,(P)  > R . b) M t ph ng ti p xúc m t c u ⇔ d  I,(P)  = R . c) M t ph ng c t m t c u theo giao tuy n là ñư ng tròn ⇔ d  I,(P)  < R . Khi I ∈ ( P ) thì giao tuy n là ñư ng tròn l n có bán kính b ng bán kính m t c u. Chú ý: …………………………………………………. E. TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM 1. Tính ch t ( ∫ f(x)dx ) / ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx . ∫ a.f(x)dx = a.∫ f(x)dx (a ≠ 0) ; = f(x) ; 2) 1) 3) 2. B ng nguyên hàm Nguyên hàm c a hàm s cơ b n Nguyên hàm m r ng, u = u(x) ∫ a.dx = ax + C, ∫ adu = au + C, a∈ℝ a∈ℝ 1) 1) x α+1 uα+1 ∫ ∫ xα dx = uα du = + C, α ≠ −1 + C, α ≠ −1 2) 2) α +1 α +1 dx du ∫ ∫ = ln x + C, x ≠ 0 = ln u + C, u ≠ 0 3) 3) x u dx 1 du 1 ∫ ∫ =− +C =− +C 4) 4) x2 u2 x u Trang 18
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 du dx ∫ ∫ =2 u +C = 2 x +C 5) 5) u x ∫ exdx = ex + C ∫ eudu = eu + C 6) 6) ax au ∫ a x dx = ln a + C ∫ audu = ln a + C 7) 7) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C 8) 8) 9) ∫ sin xdx = − cos x + C 9) ∫ sin udu = − cos u + C 1 du ∫ cos2 x dx = tan x + C ∫ cos2 u = tan u + C 10) 10) 1 du ∫ sin2 x dx = − cot x + C ∫ sin2 u = − cot u + C 11) 11) ð c bi t 1 ∫ f(x)dx = F(x) + C thì ∫ f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C . Nu Các công th c thư ng g p: 1 (ax + b)α+1 dx 1 ∫ ax + b = a .ln ax + b ∫ (ax + b)α dx = a . +C; + C; 1) 2) α +1 1 ax + b 1 ∫ eax + b 4) ∫ cos(ax + b)dx = = +C; .sin(ax + b) + C ; .e 3) a a 1 dx 1 ∫ ∫ sin(ax + b)dx = − .cos(ax + b) + C ; = .tg(ax + b) + C . 5) 6) cos (ax + b) 2 a a II. PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S 1. ð nh nghĩa Cho hàm s f(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó, v i a, b ∈ ( α; β ) ta g i hi u F(b) − F(a) là tích phân t a ñ n b c a f(x). b b ∫ f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x) a Ký hi u: (công th c Newton - Leibniz). a b b b ∫ ∫ ∫ f(u)du = ... = F(b) − F(a) . f(x)dx = f(t)dt = Nh n xét: a a a 2. Tính ch t Cho hai hàm s f(x), g(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và a, b, c ∈ ( α; β ) ta có: a b a ∫ ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dx ; f(x)dx = 0 ; 1) 2) a a b b b b c b ∫ k.f(x)dx = k ∫ f(x)dx ∀k ∈ ℝ ; ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . 3) 4) a a a a c b b b ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx ; 5) a a a b b 6) f(x) ≥ 0 ∀x ∈  a; b  ⇒ f(x)dx ≥ 0 , f(x) ≤ 0 ∀x ∈  a; b  ⇒ ∫ ∫ f(x)dx ≤ 0 ; a a b b 7) f(x) ≥ g(x) ∀x ∈  a; b  ⇒ ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx ; a a b 8) m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈  a; b  ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) ; a t 9) N u t bi n thiên trên [a; b] thì G(t)=∫ f(x)dx là m t nguyên hàm c a f(t) th a G(a) = 0. a Trang 19
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 3. Các k t qu c n nh a ∫ f(x)dx = 0 . 1) V i a > 0 , hàm s f(x) l và liên t c trên ño n [–a; a] thì −a a a ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx . 2) V i a > 0 , hàm s f(x) ch n và liên t c trên ño n [–a; a] thì −a 0 III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N 1. Công th c b b b ∫ − ∫ vdu (1) udv = uv a a a 2. Phương pháp gi i toán b ∫ f(x)g(x)dx ta th c hi n như sau: Gi s c n tính tích phân a Bư c 1. ð t u = f(x), dv = g(x)dx (ho c ngư c l i) sao cho d tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx không b ∫ vdu quá ph c t p. Hơn n a, tích phân ph i tính ñư c. a Bư c 2. Thay vào công th c (1) ñ tính k t qu . ð c bi t: b b b ∫ ∫ ∫ eax .P(x)dx , (P(x): ña th c) ta ñ t u = P(x) . P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, 1) a a a b ∫ P(x)lnα xdx ta ñ t u = ln α x . 2) a ln x Chú ý: log a x = . ln a IV. TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T ð I Phương pháp gi i toán b ∫ Gi s c n tính tích phân I = f(x) dx , ta th c hi n các bư c sau: a Bư c 1 L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) trên ño n [a; b], gi s f(x) có BXD: x a x1 x2 b f(x) + 0 – 0 + Bư c 2 b x1 x2 b ∫ ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . Tính I = f(x) dx = a a x1 x2 Chú ý: N u trong kho ng (a; b) phương trình f(x) = 0 không có nghi m thì: b b ∫ ∫ f(x)dx f(x) dx = a a V. NG D NG C A TÍCH PHÂN 1. Tính di n tích hình ph ng 1.1. Trư ng h p 1 Di n tích hình ph ng S gi i h n b i các ñư ng y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là: b ∫ S= f(x) − g(x) dx a Trang 20