20 đề luyện giải tích 2 - TS. Đặng Văn Vinh

Chia sẻ: Ho Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

466
lượt xem 139
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tổng hợp 20 đề luyện giải tích 2 do TS. Đặng Văn Vinh trường ĐH Bách khoa biên soạn, tài liệu gồm các dạng bài tập giải tích hay, giúp các bạn dễ dàng hơn trong việc ôn tập môn toán giải tích. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 20 đề luyện giải tích 2 - TS. Đặng Văn Vinh

www.tanbachkhoa.edu.vn Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh Thời gian làm bài: 90phút Đề luyện tập số 1. 2x + y Câu 1. Tìm khai triển Taylor của f ( x, y ) = tại điểm (2,1) đến cấp 3. x+ y Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x + y + xy − 12 x − 3 y . 2 2 ∞ n n2 u  1   2 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n với un=  2 + 2  và vn= 1 +  n =1 v n  n   n (−1)n −1 x 2 n ∞ Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n n =1 4 (3n − 1) 1 Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ dxdy , trong đó D là miền phẳng giới D x + y 2 2 hạn bởi 2 x ≤ x + y ≤ 6 x, y ≥ x , 2 2 Câu 6. Tính tích phân I = ∫ e C ( x2 ) + xy dx + ( y cos y + x 2 )dy với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. Câu 7. Tính I = ∫ ydx + ( z + x)dy + xdz , với C là giao của x 2 + y 2 = 1 và z = y + 1 , chiều kim đồng C hồ theo hướng dương trục 0z. Câu 8. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ x + y S ( 2 2 ) dS , trong đó S là phần mặt nón z 2 = x 2 + y2 , nằm giữa hai mặt phẳng z = 0, z = 1 . Đề luyện tập số 2. 2 Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = xe xy 2 . Tính d f (2,1) . Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = ( y 2 − x 2 )e1− x + y2 2 trên miền D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 4} n ( n+ 2)  n −1  ∞ ∞ 1.3.5...(2n − 1) n +1 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ ∑   b/ ∑ .3 n=2  n + 2  n =1 2.4.6...( 2 n) (−1)n ( x − 3)n ∞ Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 2n + ln n 3 − x2 − y2 Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ e dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn D bởi 1 ≤ x + y ≤ 4, y ≥ 0, y ≤ x 3 , 2 2 Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( x + y ) dx + ( x − y )dy , với C là phần đường cong y = x + sin x , từ C A(0,0) đến B(π , π ) . Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu z = R 2 − x 2 − y 2 nằm trong hình trụ x 2 + y 2 = Rx . 1
Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai I = ∫∫ x 3 dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi S x + y + z ≤ 4, z ≥ x + y , phía trong. 2 2 2 2 2 Đề luyện tập số 3. x Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = (2 x + y )ln . Tính d f (1,1) 2 y 3 9 Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + + với x > 0, y > 0 x y ∞1 ⋅ 4 ⋅ 7⋯ (3n − 2) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =1 (2n − 1)!! n!( x − 4) n ∞ Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 nn Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + 2) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn D 2 2 x y bở i + ≤ 1, y ≥ 0 9 4 Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( 2 x + y ) dx + ( 3 x + 2 y ) dy , trong đó C là biên của miền phẳng giới C hạn bởi y = 2 − x , y = − x , chiều kim đồng hồ. 2 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z = x 2 + y 2 nằm trong hình cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2 z . Câu 8. Tính I = ∫∫ 2 xdS , với S là phần mặt trụ x 2 + y 2 = 4 nằm giữa hai mặt phẳng z = 1, z = 4 . S Đề luyện tập số 4. Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = 4 y + sin ( x − y ) . Tính d f (0,0) 2 2 2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x y + 12 x − 8 y. 3 2 ∞2 ⋅ 5 ⋅ 8⋯ (3n − 1) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =1 1 ⋅ 5 ⋅ 9⋯ (4 n − 3) (−1)n ( x + 1) n ∞ Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ 3n n =1 2 (n + 1)ln( n + 1) Câu 5. Tính tích phân ∫∫ D x 2 + y 2 . ln( x 2 + y 2) dxdy với D là miền 1 ≤ x2+y2 ≤ e2 Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân ∫ [h( y ) P( x, y )dx + h( y )Q( x, y )dy ] trong đó L là đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều L ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2). Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z + x 2 + y 2 = 2 nằm trong hình paraboloid z = x 2 + y 2 . Câu 8. Tính I = ∫∫ x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2 z , phía trên. S Đề luyện tập số 5. 2
∂2 f  f = f (u ) = u 3 + sin u;  Câu 1. Tính , với  ∂x∂y u = 2 xy + e  x Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = 2 x 2 + 12 xy + y 2 ; x 2 + 4 y 2 = 25 ∞ 3n  2n  Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n + 2   3 n =1  n −1 ∞ (−1) n+1 2 n +1 ( x − 5) n Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi: ∑ n =1 (n + 1) ln(n + 1) Câu 5. Tính tích phân ∫∫ arctg ( ) x 2 + y 2 dxdy với D là hình tròn: x2+y2 ≤ 3 D Câu 6. Chứng tỏ tích phân I = ∫ e x− y [(1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy ] không phụ thuộc đường đi. C x2 y2 Tính tích phân I với C là phần ellipse + = 1 từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. 9 4 Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y = 2 − x 2 , y = 1, z = 0, z = 3 x , lấy phần z ≥ 0. Câu 8. Tính I = ∫∫ xdydz + ( 2 y + 3 z ) dxdz + z 2 dxdy , với S là phần mặt phẳng x + y + z = 4 nằm trong S hình trụ x + y = 2 y , phía trên. 2 2 Đề luyện tập số 6. ∂2z 2 3 Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x y (1,1) . Tính dz(1,1) và ∂x∂y Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 1 ⋅ 4 ⋅ 9⋯ n 2 ∞ Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n =1 (4n − 3)!! ∞ (−1) n .3 n +1 Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑4 n =0 n+2 3 . n +1 ( x − 1) n Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ 4 − x − y dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 D x + y = 1, y ≤ x . 2 2 Câu 6. Tính tích phân I = ∫ ( x y + x − y ) dx + ( y − x − xy ) dy , với C là nửa bên phải của đường 2 2 C tròn x + y = 4 y , chiều kim đồng hồ. 2 2 Câu 7. Tính tích phân đường loại một I = ∫∫ x 2 + y 2 dl , với C là nửa trên đường tròn x 2 + y 2 = 2 y . C Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I = ∫ ( x + y)dx + (2 x − z )dy + ydz , với C là giao C của x 2 + y 2 + z 2 = 4 và x + y + z = 0 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Đề luyện tập số 7. ∂2z Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( 2,1) và ( 2 ,1) ∂x 2 3
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = 1 − 4 x − 8 y; x 2 − 8 y 2 = 8 . 2n n! ∞ Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n n =1 n ∞ (n + 2)(x + 1)n Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑n =0 5 n + 2. n 6 + 1 dxdy Câu 5. Tính tích phân ∫∫ 0 3+ x + y 2 2 với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x2+y2= 1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y ≥ 0 ), y=x, y = x 3 . Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + e αx cosy, Q(x,y)= 2xexy- e αx siny trong đó α là hằng số. Tìm α để biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với α vừa tìm được, tính tích phân đường ∫ [( x, y ) − y 3 ]dx + [Q( x, y ) + x 3 ]dy trong đó ( γ ) là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương γ (ngược chiều kim đồng hồ). Câu 7. Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ x 2 dS , với S là nửa trên mặt x 2 + y 2 + z 2 = 4 S Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I = ∫ (3x − y )dx + (3 y − z 2 )dy + (3 z − x 2 )dz , với C là giao của 2 C z = x + y và z = 2 − 2 y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. 2 2 Đề luyện tập số 8. của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình x + y + yz = ln z ' ' 3 2 Câu 1. Tìm zx , zy Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 trên miền D = {( x, y ) | | x |≤ 1,| y |≤ 1} ∞ n ( n −1) ∞  2n  1.4.9...n 2 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ ∑   n = 2  2n + 1  b/ ∑ 1.3.5...(2n − 1)n!.5 n+2 n =1 ∞ (−1) n ( x − 2) n Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ n =1 3n +1 3 n4 + n2 + 1 Câu 5. Tính tích phân kép ∫∫ D 9 − x 2 − y 2 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường tròn x + y = 9, y ≥ 0 và các đường thẳng y = x, y = -x 2 2 −y Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q ( x, y ) = (1 − x − y )e . Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân ∫ [h( x) P( x, y )dx + h( x)Q( x, y )dy ] trong đó L là nữa đường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục L tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3). Câu 7. Tính I = ∫∫∫ 2 zdxdydz , với V giới hạn bởi x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z và z + x 2 + y 2 = 1 . V Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + 2 y )dydz + ( y + 2 z ) dxdz + ( z + 2 x ) dxdy , với S là phần mặt S paraboloid z = x + y , bị cắt bởi z = 2 − 2 x , phía dưới. 2 2 Đề luyện tập số 9. 4
 2−1 2  x + y , if ( x, y ) ≠ (0, 0) Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của f ( x, y ) = e  −3,  if ( x, y ) = (0, 0) 2 2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x - 2xy+ 2y - 2x+ 2y +4 n ( 4 n +1) ∞  4n − 1  2.4.6...(2n).n n Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của ∑ (u n + v n ) với u n n =1 =   4n + 1  , vn = 4.7.10...(3n + 1).n! ∞ ( x + 3) n Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n =0 4 n + 2.4 n 3 + 1 ∫∫ dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x +y 2 2 Câu 5. Tính J= = 2x, x2+y2 = 6x và các D đường thẳng y = x, y = 0. Câu 6. Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi [ ] I= ∫ h( x 2 − y 2 ) x( x 2 + y 2 )dy − y ( x 2 + y 2 )dx với AB là cung không cắt đường x2 = y2. AB Câu 7. Tính I = ∫∫∫ ( x + yz )dxdydz , với V giới hạn bởi z = x 2 + y 2 và z + x 2 + y 2 = 2 . V Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ 2 xdydz + ( 3 y + z ) dxdz + ( 2 z + 4 y ) dxdy , với S là phần mặt S paraboloid x + y + z = 2 x , phần z ≤ 0 , phía dưới. 2 2 2 Đề luyện tập số 10.  xy  , if ( x, y ) ≠ (0, 0) Câu 1. Tính f xy (0, 0) f ( x, y ) =  x 2 + y 2 //  0, if ( x, y ) = (0, 0)  Câu 2. Tìm cực trị của hàm z = x + y − x − y − 2 xy , x ≠ 0. 4 4 2 2 2n  n +1  ∞ Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑   n =1  2n + 1  ∞ ( x − 4) n Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ n =1 n n + 2 Câu 5. Tính tích phân kép I = ∫∫ ( x + | y |) dxdy , trong đó D là miền phẳng giới D hạn bởi x + y ≤ 4, x ≥ 0 2 2 (2,3)  x y  y 1 Câu 6. Tính tích phân I = − 2  dx +  + dy , theo đường cong C ∫  x2 + y 2 x   x2 + y 2 x   (1,1)     không qua gốc O và không cắt trục tung. 1 Câu 7. I = ∫∫∫ 2 dxdydz , với V được giới hạn bởi x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ x 2 + y 2 V x + y2 + z2 Câu 8. Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + z )dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y ) dxdy , với S là phần mặt S paraboloid z = x + y nằm dưới mặt x + z = 2 , phía trên. 2 2 5