Ảnh hưởng của từ trường lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) do hấp thụ bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ với hố thế vô hạn

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 22, 2004<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ẢNH HƯỞNG CỦA TỪ TRƯỜNG LÊN <br /> SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) DO HẤP THỤ BỨC XẠ LASER<br />  TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI HỐ THẾ VÔ HẠN<br /> <br /> Phạm Thị Nguyệt Nga, Nguyễn Quang Báu<br /> Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội<br /> Trần Công Phong, Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Huế<br /> Lương Văn Tùng, Trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp<br /> <br /> <br /> 1. MỞ ĐẦU<br /> Lý thuyết gia tăng sóng âm do hấp thụ bức xạ laser là một đề  tài được nghiên  <br /> cứu rộng rãi do nó cho nhiều thông tin về phổ năng lượng và cơ chế tán xạ của điện  <br /> tử. Trước đây, vấn đề  đã được giải quyết cho bán dẫn khối [1­3] trong trường hợp  <br /> hấp thụ  một photon và hấp thụ  nhiều photon đối với hệ  điện tử  suy biến và không <br /> suy biến. Bài toán này cũng đã được giải quyết cho hố  lượng tử  [4,5], có xét thêm <br /> ảnh hưởng của từ  trường, và không sử  dụng những công thức gần đúng thô như <br /> trong [6]. Mới đây bài toán được đặt ra đối với dây lượng tử  hình trụ  với hố  thế vô  <br /> hạn [7] và hố  thế  parabol [8] khi hấp thụ một photon và hấp thụ  nhiều photon. Tuy  <br /> nhiên, sự   ảnh hưởng của từ  trường lên sự  gia tăng sóng âm trong các cấu trúc một  <br /> chiều chưa được xét đến.<br /> Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu sự  ảnh hưởng của từ trường lên sự gia  <br /> tăng sóng âm do hấp thụ bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ với thế giam giữ có <br /> độ sâu vô hạn với giả thiết phonon khối (không bị ảnh hưởng của sự giảm số chiều)  <br /> [6,11]. Dựa vào phương trình động lượng tử  cho phonon trong dây lượng tử, chúng  <br /> tôi thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm, điều kiện cho sự gia tăng  <br /> sóng âm, và điều kiện xung lượng cho điện tử tham gia vào quá trình gia tăng sóng âm  <br /> khi có mặt của từ trường trong hai trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều  <br /> photon.  Các  kết  quả   lý  thuyết  được  tính  số   và vẽ   đồ   thị   đối  với  dây  lượng  tử <br /> GaAs/GaAsAl.<br /> 2. MÔ HÌNH DÂY LƯỢNG TỬ<br />  Xét dây lượng tử hình trụ bán kính R, chiều dài L, thế giam giữ vô hạn theo biên <br /> dây. Giả sử từ trường đồng nhất được đặt song song với trục của dây. Khi đó, hàm  <br /> sóng và phổ năng lượng điện tử được viết trong hệ toạ độ trụ (r, ,z) dưới dạng [9]:<br /> N n /2<br /> n ,l e il e ikz e /2<br /> 1 F1 a n ,l , n 1; , (1a)<br /> 2 L<br />  2k 2 n 1 n<br /> n ,l  c a n ,l ,             (1b)<br /> 2m * 2 2 2<br /> <br /> với   k 0,0, k   là véctơ  sóng điện tử,  m*  là khối lượng hiệu dụng của  điện tử, <br /> 2<br /> l 1, 2, 3,... ,   n 0, 1, 2, ...   ,   r 2 /( 2 2<br /> c) ,   c  c /(eB)   là   bán   kính   cyclotron, <br /> 2<br /> c  /(m * c )  là tần số cyclotron, và N là thừa số chuẩn hoá:<br /> R<br /> 2 2 n<br /> N c e 1 F12 a n ,l , n 1; d ,<br /> 0<br /> <br /> <br /> 1 F1 a n ,l , n 1;   là hàm siêu bội tổng quát (hữu hạn  ở   =0),   a n ,l   là nghiệm của <br /> hàm siêu bội:  1 F1 a n ,l , n 1; R 0  (xác định từ  điều kiện hàm sóng bằng không  ở <br /> biên r=R).<br /> Hệ số tương tác điện tử­phonon khi có mặt từ  trường được xác định theo công <br /> <br /> thức:   C n ,l ,n ',l ' q C q I n ,l ,n ',l ' , trong đó   C q i  q /(2 v sV )   đối với tương tác điện tử <br /> <br /> ­phonon âm,   q  là véctơ  sóng phonon,   là hằng số  thế  biến dạng,   là khối lượng <br /> R<br /> * iqr<br /> riêng,  v s  là vận tốc sóng âm, V là thể  tích chuẩn hoá,  I n ,l ,n ',l ' e<br /> n ',l ' n ,l dr  gọi là <br /> 0<br /> <br /> thừa số dạng, phụ thuộc vào đặc trưng của dây lượng tử và vào từ trường.<br /> Với hàm sóng chứa hàm siêu bội, thừa số  I n,l ,n',l '  không cho kết quả ở dạng biểu  <br /> thức giải tích. Để tiện lợi trong quá trình xử lý số, chúng tôi xét trường hợp giới hạn  <br /> từ trường yếu. Khi đó, hàm sóng và phổ năng lượng có dạng [9]:<br /> 1 J n A n ,l r R  2 A 2n ,l<br /> r, , z e i z e ikz ,    2k 2 n ,     (2)<br /> n,l<br /> 2 Jn A n ,l n,l 2<br />  c<br /> 2 LR 1 2m * 2m * R 2<br /> <br /> trong đó  A n ,l  là nghiệm thứ l của hàm Bessel bậc n:  J n ( x) 0 .<br /> <br /> Sử dụng hàm sóng gần đúng cho hai vùng năng lượng đầu tiên trong [10]:<br /> r2 r r3<br /> 0,1 3 1 ; 1,1 12 ,           (3)<br /> R2 R R3<br /> <br /> thừa số dạng của dây lượng tử hình trụ với hố thế sâu vô hạn khi từ trường yếu là:<br />  24 J 3 qR 48 J 4 qR<br /> I 0,1,0,1 q 3<br /> ; I 1,1, 0 ,1 q 3<br /> . (4) <br /> qR qR<br /> <br /> 3. HỆ SỐ GIA TĂNG SÓNG ÂM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ<br /> <br /> Hamiltonian của hệ  điện tử­phonon tương tác trong trường laser  A ( t ) = A0 sin Ω t  <br /> và khi có mặt từ trường có dạng:<br /> � e  �<br /> H ( t) = � ε n,l �k − hc A ( t ) �an+,l ,kan,l ,k + � hωqbq+bq<br /> n ,l , k � <br /> � q<br />                           (5)<br /> + <br /> n ,l ,n ',l ',k ,q<br />  + <br /> Cn,l ,n ',l ' ( q ) an,l ,k + qan ',l ',k bq + b−+q , ( )<br /> trong đó  a n,l ,k  và  a n,l ,k  ( bq  và  bq ) lần lượt tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ <br /> <br /> điện tử (phonon),  q  là tần số phonon,  A(t ) (cE / ) cos t  là thế véctơ phụ thuộc <br /> vào trường laser.<br /> Sử  dụng Hamiltonian (5), sau khi thực hiện các phép biến đổi toán tử  và theo  <br /> phương pháp tương tự như trong [1­3], chúng tôi thu được phương trình động lượng <br /> tử cho phonon:<br /> 1  2    t<br /> bq i <br /> q bq C n ,l , n ',l ' q f n ,l k q f n ',l ' k bq<br /> t t t<br /> 2 n , l , n ', l '<br /> <br /> k<br /> t1<br /> <br />   <br />    (6)<br /> i<br /> Jv J exp n ', l ' k n ,l k q t1 t i t1 i t dt1<br /> v,   <br /> <br /> ở   đây   x t   là   trung   bình   thống   kê   của   toán   tử  x,   f n ,l k a n ,l ,k a n ,l , k   và <br /> t<br /> <br /> e qE 0 /( m * ) .<br /> <br /> Từ (6), thực hiện phép biến đổi Fourier, chúng tôi thu được hệ số hấp thụ sóng  <br /> âm tổng quát trong dây lượng tử khi có mặt từ trường:<br />   2   <br /> q C n ,l ,n ',l ' q <br /> f n ',l ' k f n ,l k q<br />  n ,l , n ',l ' k<br />                    (7)<br /> 2<br /> J n ',l ' k n ,l k q  <br /> <br /> <br /> với  (x) là hàm Delta Dirac.<br /> Từ  biểu thức tổng quát này chúng tôi tiếp tục tính toán để  thu đươc biểu thức  <br /> tường minh cho hệ  số  hấp thụ  sóng âm với giả  thiết hệ  điện tử  là không suy biến <br /> trong hai trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon.<br />  3.1. Trường hợp hấp thụ một photon<br /> Do trong biểu thức hấp thụ sóng âm chỉ có hàm Bessel chứa năng lượng trường  <br /> laser (đối số   ) nên trong trường hợp cường độ  trường laser không quá mạnh, thỏa <br /> mãn điều kiện  , và giới hạn các số  hạng đầu tiên trong tổng theo  , sau khi <br /> thực hiện một số tính toán chúng tôi thu được biểu thức tường minh cho hệ số hấp  <br /> thụ sóng âm và điều kiện xung lượng cho điện tử:<br /> <br />  m* Lλ 2 � β m* hβω q �<br /> α ( q) = 5 2<br /> 4h qΩ n,l ,n ',l '<br />  2<br /> Cn,l ,n ',l ' ( q ) exp �− β hω c An,l − 2 2 a 2 + h2Ω 2 +<br /> 2h q 2 �<br /> � ( )<br /> �<br />    (8)<br /> � � β m * Ω a β hΩ � � ω q + Ω � �β m * Ω a β hΩ � � ω q − Ω ��<br /> �exp �− 2<br /> + �sin �hβ �+ exp � 2<br /> − �sin �hβ ��<br /> � � hq 2 � � 2 � � hq 2 � � 2 ��<br /> <br /> n 1 n  2q2<br /> với  An,l a n ,l ,  a  c An,l An',l '  <br /> q ,  k B T , k B  là hằng số <br /> 2 2 2 2m *<br /> Boltzmann,<br /> q m* m*<br />             k 2<br />  c An,l An ',l '  <br /> q                                 (9)<br /> 2  q q<br /> <br /> nghĩa là chỉ có những điện tử thoả mãn điều kiện (9) mới tham gia vào quá trình gia  <br /> tăng sóng âm.<br /> Từ  (8) ta thấy khi  <br /> q , hệ số hấp thụ nhận giá trị  âm, hay ta có hệ  số  gia <br /> tăng sóng âm:<br />  m* L 2<br />  2 m*<br /> q 5 2<br /> C n,l ,n ',l ' q sinh  <br /> q  c An,l An ',l '<br /> 2 q n ,l , n ',l '  q2<br />             (10)<br />  m*  <br /> q<br /> sinh exp  c An ,l 2 2<br /> a2 2 2<br /> 2 2 q 2<br /> <br /> 3.2. Trường hợp hấp thụ nhiều photon:<br /> Sử dụng công thức gần đúng trong [11,12]:<br /> 2<br /> E2 1 x 0<br /> J v2 E v ,      với  ( x )<br /> v<br /> 2<br /> E2 0 x 0<br /> <br /> Từ  công thức tổng quát (7), sau khi tính toán, chúng tôi thu được biểu thức cho  <br /> hệ  số  hấp thụ  sóng âm do hấp thụ  bức xạ  laser trong trường hợp hấp thụ  nhiều  <br /> photon:<br />  3/ 2<br />  Lm * m* 2<br /> q exp<br /> 2 3 q 2 2 q 2<br />           (11)<br />  2 v 1/ 2 v  2q2 v  2q 2<br /> C n,l ,n ',l ' q n ,l n ', l '<br /> n , l , n ', l ' v o v! 2m * 2m *<br /> với: <br /> m*<br /> n ,l ( x ) I  c ( An ,l An ',l ' ) x  <br /> q<br />  c ( An ,l An ',l ' )  2q2<br /> <br /> m*  2<br /> exp  c An ,l  c ( An ,l An ',l ' ) x  q<br /> 2 2 q 2<br /> <br /> trong đó  I (x)  là hàm Bessel đối số phức x,  (x) là hàm Gamma.<br /> <br /> Tương tự như (9), ta tìm được điều kiện để  điện tử tham gia vào quá trình hấp <br /> thụ sóng âm:<br /> q m*<br />                        k  c An,l An ',l  <br /> q | | .                                (12)<br /> 2  2q<br /> Chú ý rằng nếu:<br /> v  2q2 v  2q2<br /> n ,l n ',l ' ,        (13)<br /> 2m * 2m *<br /> <br /> thì  q 0 , chúng ta có hệ  số  gia tăng sóng âm, hay số  phonon trong dây tăng dần <br /> theo thời gian. <br /> <br /> 4. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN<br /> Để  tiện cho việc tính số, chúng tôi xét trường hợp từ  trường yếu và sử  dụng  <br /> công thức gần đúng (4) cho thừa số dạng của dây lượng tử. Các đồ thị dưới đây là sự <br /> phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng âm vào véctơ sóng phonon (hình 1), tần số trường  <br /> laser (hình 2) và nhiệt độ  (hình 3); trường hợp hấp thụ  một photon  ở  bên trái và <br /> trường hợp hấp thụ  nhiều photon  ở  bên phải. Số  liệu được dùng để  vẽ:   B=0.1  <br /> Tesla, m*=0.067m0, vs=4078 ms­1,  =137.324 J,  n n' , l l ' (hấp thụ  ngoại vùng) và <br /> lấy tới sáu vùng năng lượng đầu tiên.<br />                        Số sóng phonon ( 1014 )                                 Số sóng phonon ( 1014 )<br /> Hình 1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng âm vào số sóng phonon<br /> với  =250 THz, R=15 nm, T=77 K.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng âm vào tần số trường laser<br /> với R=17 nm, T=77 K.<br /> <br /> Có thể  nhận thấy rằng trong các công thức (8) và (11) chỉ  có sự  đóng góp của <br /> những điện tử thoả mãn điều kiện tương ứng (9) và (12). Những điều kiện này thực <br /> chất là định luật bảo toàn năng xung lượng cho tương tác điện tử­phonon. Từ  các  <br /> công thức (8) và (11) cũng dễ dàng rút ra các điều kiện ( q  đối với trường hợp <br /> hấp thụ một photon và (13) đối với trường hợp hấp thụ nhiều photon) để   nhận giá <br /> trị âm, tức là ta có hệ số gia tăng sóng âm. Nói một cách khác, đây chính là điều kiện <br /> để  số  phonon trong hệ  tăng dần theo thời gian. Từ  (8) và (11), ta thấy những khác  <br /> nhau trong sự phụ thuộc vào năng lượng trường bức xạ laser đối với trường hợp hấp  <br /> <br /> thụ  một photon (phụ thuộc vào bậc hai do chứa  2  với  e qE 0 /( m * ) ) và trường <br /> hợp hấp thụ  nhiều photon (phụ  thuộc bậc cao hơn hai do đối số    nằm trong hàm <br /> Bessel đối số phức).<br /> So sánh với các công thức tương ứng đối với trường hợp không có từ  trường, ta <br /> nhận thấy chúng chỉ khác nhau ở những số hạng chứa hàm sóng (trong thừa số dạng) <br /> và phổ năng lượng. Tuy nhiên, các kết quả này có vùng giá trị của véctơ sóng phonon  <br /> để xảy ra gia tăng sóng âm khác hẳn với kết quả của hố lượng tử [4,5].<br /> 5. KẾT LUẬN<br /> Trong phần kết luận, chúng tôi muốn lưu ý một số kết quả chính sau:<br /> 1. Thu được biểu thức giải tích cho hệ  số  hấp thụ  sóng âm, điều kiện xảy ra <br /> sự gia tăng sóng âm, và điều kiện xung lượng cho điện tử tham gia vào quá trình gia  <br /> tăng sóng âm khi có mặt từ trường trong dây lượng tử hình trụ hố thế vô hạn.<br /> 2. Sự gia tăng sóng âm trong trường hợp hấp thụ một photon chỉ phụ thuộc vào <br /> năng lượng trường bức xạ laser theo bậc hai, trong khi sự phụ thuộc này có bậc lớn  <br /> hơn hai trong trường hợp hấp thụ nhiều photon.<br /> 3. Chỉ những điện tử thoả mãn một số  điều kiện xung lượng cụ thể mới tham  <br /> gia vào quá trình gia tăng sóng âm. <br /> 4. Các kết quả  cho thấy từ trường  ảnh hưởng đến sự  gia tăng sóng âm so với  <br /> khi không có từ trường đặt vào.<br /> <br /> Lời cảm  ơn: Công trình được tài trợ bởi chương trình nghiên cứu cơ bản cấp  <br /> nhà nước mã số 411301 và 411501.<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> 2. Nguyen Quang Bau, Nguyen Vu Nhan, Chhoumm Navy, VNU. Journal of science, <br /> Nat. Sci., 15, 1 (1999).<br /> 3. E.M. Epstein, Radio Physics, 18, 785 (1975).<br /> 4. E.M. Epstein, Lett. JETP., 13, 511 (1971).<br />  5. Nguyễn Quang Báu, Vũ Thanh Tâm, Nguyễn Vũ Nhân, Thông tin Khoa học kỹ thuật  <br /> Quân sự (Tạp chí Khoa học của của các viện nghiên cứu trong quân đội), Số 24, 38  <br /> (1998).<br /> 6. Nguyen   Quang   Bau,   Nguyen   Vu   Nhan,   Nguyen   Manh   Trinh.   Proceedings   of <br /> IWOMS’99, Hanoi 1999, 869.<br /> 7. Peiji Zhao, Phys.Rev., B49, 13589 (1994).<br /> 8. Nguyen Quoc Hung, Nguyen Vu Nhan, Nguyen Quang Bau, arXiv: cond­mat/0204563 <br /> v1 25 (2002).<br /> 9. Nguyen   Quoc   Hung,   Dinh   Quoc   Vuong,   Nguyen   Quang   Bau,   arXiv:   cond­<br /> mat/0204260 v1 11 (2002).<br /> 10. Nguyen Hong Son, Shmelev G.M, Epstein E.M, Izv. VUZov USSR, Physics, 5, 19 <br /> (1984).<br /> 11. L.Sholimal, Tunnel effects in semiconductors and applications, Moscow, (1974).<br /> 12. Spiros V. Branis, Gang Li, K. K. Bajai, Phys. Rev. B47, 1316 (1990).<br /> 13. Gold and Ghazali, Phys. Rev., B41, 8318 (1990).<br /> TÓM TẮT<br /> Ảnh hưởng của từ trường lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình  <br /> trụ với hố thế sâu vô hạn khi hấp thụ bức xạ laser được nghiên cứu dựa vào phương trình  <br /> động lượng tử cho phonon. Các biểu thức giải tích cho hệ số gia tăng sóng âm, điều kiện gia  <br /> tăng sóng âm, và điều kiện xung lượng của các điện tử tham gia vào quá trình gia tăng sóng  <br /> âm khi có mặt từ trường trong hai trường hợp hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon  <br /> đã được thu nhận. Sự  khác nhau giữa hai trường hấp thụ  một photon và hấp thụ  nhiều  <br /> photon được thảo luận. Kết quả tính số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl, so sánh  <br /> các kết quả thu được với bài toán tương tự trong bán dẫn khối, hố lượng tử và trong trường  <br /> hợp dây lượng tử khi không có từ trường được thực hiện.<br /> <br /> THE INFLUENCE OF A MAGNETIC FIELD ON THE AMPLIFICATION <br /> OF ACOUSTIC PHONON BY THE ABSORPTION OF A  LASER RADIATION <br /> IN A CYLINDERED QUANTUM WIRE WITH INFINITE POTENTIAL <br /> Pham Thi Nguyet Nga, Nguyen Quang Bau, <br /> College of  Natural Sciences, Hanoi National University<br /> Tran Cong Phong, College of Pedagogy, Hue University<br /> Luong Van Tung, Dong Thap University of Pedagogy<br />  SUMMARY<br /> <br /> The influence of a magnetic field on the amplification of acoustic phonon in a cylindered  <br /> quantum wire with an infinite potential by the absorption of the laser radiation is calculated  <br /> based   on   the   quantum   kinetic   equation   for   phonon.   The   analytic   expressions   of   the  <br /> amplification   coefficient,   the   conditions   for   the   amplification   of   sound   and   conditions   for  <br /> momentum of electrons that participate in the amplification of sound in the case of the presence  <br /> of the magnetic field are obtained for two cases of mono­photon and multi­photon absorption.  <br /> The   differences   between   the   mono­photon   and   multi­photon   absorption   are   discussed.   The  <br /> numerical   results   and   are   plots   for   specific   quantum   wire   GaAs/GaAsAl,   the   differences  <br /> between   the   phonon   amplifications   in   a   quantum   well,   in   bulk   semiconductors,   and   in   a  <br /> quantum wire in the case of the absence of a magnetic field are presented.<br />