Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio – điện trong hố lượng tử với cơ chế tán xạ điện tử phonon âm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------

Nguyễn Thị Thanh Huyền

ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

--------------------------------

Nguyễn Thị Thanh Huyền

ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN VŨ NHÂN

Hà Nội – 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS

NGUYỄN VŨ NHÂN - Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong

quá trình thực hiện luận văn này.

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo

trong bộ môn Vật lí lý thuyết – Khoa Vật Lí – trường Đại học Khoa học Tự nhiên –

Đại học Quốc gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học tập và

hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ nhiệm

khoa Vật Lí, phòng sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc

gia Hà Nội.

Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên em

trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

Chƣơng 1: HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI .............................................................. 4

1.1. Khái niệm về hố lượng tử ................................................................................... 4

1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn .. ……………………………………………………………………...4

1.3. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối .......................... 5

Chƣơng 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ VÀ HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON ÂM GIAM CẦM ......................... 11

2.1. Hamiltonion của điện tử - phonon trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn ..... 11

2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử .............. 12

2.3. Biểu thức mật độ dòng toàn phần qua hố lượng tử ............................................ 25

Chƣơng 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN .................................................. 41

3.1. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số Ω của bức xạ ............................... 42

3.2. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số ω của trường điện từ phân cực

thẳng…. ............................................................................................................ …….43

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 45

PHỤ LỤC ................................................................................................................. 46

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Trang

Bảng 3.1……………………………………………………………………………43

DANH MỤC HÌNH VẼ

Trang

Hình 3.1…………………………………………………………………………….44

Hình 3.2…………………………………………………………………………….45

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Ngày nay người ta đã biết bức xạ laser có thể ảnh hưởng đến độ dẫn điện và

hiệu ứng động khác trong các chất bán dẫn khối vì không chỉ thay đổi nồng độ hạt

tải hay nhiệt độ electron mà còn làm thay đổi xác suất tán xạ của electron bởi

phonon hoặc các tạp. Người ta cũng chỉ ra rằng không những có thể thay đổi độ lớn

của những hiệu ứng mà còn mở rộng phạm vi tồn tại của chúng.

Thời gian gần đây vật lý bán dẫn thấp chiều ngày càng dành được nhiều sự

quan tâm nghiên cứu. Việc chuyển từ hệ các bán dẫn khối thông thường sang các hệ

thấp chiều hơn đã làm thay đổi nhiều tính chất vật lý, trong đó có tính chất quang

của vật liệu. Việc nghiên cứu kĩ hơn các hệ hai chiều như: hố lượng tử, siêu mạng

pha tạp, siêu mạng hợp phần…nhận được sự quan tâm của các nhà khoa học trong

và ngoài nước. Trong các vật liệu thấp chiều, hầu hết các tính chất vật lý của điện tử

thay đổi có nhiều tính chất khác lạ so với vật liệu khối ( gọi là hiệu ứng giảm kích

thước). Với hệ thấp chiều có trúc nano, các quy luật lượng tử bắt đầu có hiệu lực,

trươc hết là sự thay đổi phổ năng lượng. Phổ năng lượng của điện tử trở thành gián

đoạn theo hướng tọa độ bị giới hạn. Vì vậy vật liệu bán dẫn xuất hiện nhiều đặc tính

mới, hiệu ứng mới mà hệ điện tử ba chiều không có.

Ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chyển động trong toàn mạng tinh thể ( cấu

trúc ba chiều), nhưng ở các hệ thấp chiều chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn

nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai, ba trục tọa độ. Phổ năng lượng của các hạt tải

bị gián đoạn theo các phương giới hạn này. Sư lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt

tải dẫn đến sự thay dổi cơ bản của các vật liệu như hàm phân bố, mật độ trạng thái,

mật độ dòng, tương tác điện tử-phonon…Nghĩa là sự chuyển đổi từ hệ ba chiều

sang hệ hai chiều, một chiều hay không chiều đã làm thay đổi đáng kể những tính

chất của hệ.

Cho tới nay, các công trình trong nước và quốc tế về nghiên cứu lý thuyết các

hệ thấp chiều khá phong phú. Gần đây đã có một số công trình nghiên cứu về ảnh

hưởng sóng điện từ mạnh ( trường bức xạ laser) lên hiệu ứng radio điện bởi điện tử

giam cầm trong các bán dẫn thấp chiều đã được công bố. Tuy nhiên, bài toán về

Hiệu ứng radio-điện trong hố lượng tử vẫn còn mới mẻ, các tác giả mới chỉ nghiên

1

cứu về ảnh hưởng sóng điện từ mạnh (trường bức xạ laser) lên hiệu ứng radio-điện

bởi điện tử giam cầm chứ chưa kể đến được ảnh hưởng của phonon giam cầm. Vì

vậy, trong luận văn này, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Ảnh hƣởng của phonon

giam cầm lên hiệu ứng radio-điện trong hố lƣợng tử với cơ chế tán xạ điện tử -

phonon âm”

2. Phƣơng pháp nghiên cứu

Đối với bài toán về hiệu ứng radio-điện trong hố lượng tử, tôi sử dụng phương

pháp phương trình động lượng tử : Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi

nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho kết quả có ý nghĩa

khoa học nhất định. Từ Hamilton của hệ điện tử - phonon âm trong biểu diễn lượng

tử hóa lần hai ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong

hố lượng tử, sau đó áp dụng phương trình động lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải,

cuối cùng suy ra biểu thức giải tích của cường độ điện trường.

Ngoài ra còn sử dụng chương trình Matlab để có được các kết quả tính toán số

và đồ thị sự phụ thuộc của cường độ điện trường vào tần số của bức xạ.

Kết quả chính của luận văn là thiết lập được biểu thức giải tích của cường độ

điện trường trong hố lượng tử khi có thêm sóng điện từ mạnh (laser) dưới ảnh

hưởng của phonon quang giam cầm. Biểu thức này chỉ ra rằng cường độ điện

trường phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính vào tần số ω, Ω của sóng điện từ,

nhiệt độ T của hệ và tham số của hố lượng tử.

3. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết thúc, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn có 3

chương, cụ thể :

Chương 1: Hố lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radioelectric trong bán

dẫn khối.

Chương 2: Phương trình động lượng tử và hiệu ứng radio điện trong hố lượng tử với

hố thế cao vô hạn dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm.

Chương 3: Tính số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết.

Các kết quả chính của luận văn chứa đựng trong chương 2 và chương 3, trong

đó đáng lưu ý chúng ta đã thu được biểu thức giải tích của trường điện từ trong hố

lượng tử (cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm) có kể đến ảnh hưởng của phonon

2

giam cầm. Các kết quả thu được đã chứng tỏ ảnh hưởng của phonon giam cầm lên

hiệu ứng radio điện trong hố lượng tử (cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm). Đồng

thời luận văn cũng đã thực hiện việc tính số và vẽ đồ thị cho hố lượng tử

GaAs/GaAsAl để làm rõ hơn hiệu ứng radio-điện trong hố lượng tử khi có kể đến

sự giam cầm phonon. Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa

học, góp phần vào phát triển lý thuyết về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn thấp

chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng.

3

Chƣơng 1: HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI

1.1. Khái niệm về hố lƣợng tử

Hố lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn hai

chiều, được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu

trúc tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau có độ

rộng vùng cấm khác nhau, do đó tại các lớp tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn khác

nhau sẽ xuất hiện dộ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa cực tiểu

vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó gây ra một giếng thế năng

đối với các điện tử. Các hạt tải điện nằm trong mỗi lớp chất bán dẫn này không thể

xuyên qua mặt phân cách để đi đến lớp chất bán dẫn bên cạnh, hay nói một cách

khác trong các cấu trúc này các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn

nhau trong các giếng thế năng hai chiều. Chuyền động của điện tử theo một hướng

nào đó bị giới hạn, phổ năng lượng của điện tử theo phương mà điện tử bị giới hạn

chuyển động bị lượng tử hóa, chỉ còn thành phần xung lượng của điện tử theo

phương điện tử được tự do là biến đổi liên tục.

Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử là

là mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật ε1/2 ( với ε là năng lượng của

điện tử) thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái bắt

đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy luật khác ε1/2.

Các hố thế có thể được tạo nên bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùm

phân tử hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong hố

lượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hố lượng tử tốt.

1.2. Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử với

hố thế cao vô hạn

Để nghiên cứu sự ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện

trong hố lượng tử, ta sử dụng mô hình lý tưởng hóa hố thế hình chữ nhật, có thành

4

cao vô hạn. Giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế

này, ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử có dạng:

Với

Trong đó :

N=1,2,3…là các chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z

là vecto xung lượng của điện tử ( chính xác hơn là vecto sóng của điện

tử điện tử)

ΨOxy : Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng (x,y)

m: khối lượng hiệu dụng của điên tử

L : Độ rộng của hố lượng tử

: hình chiếu của của trên mặt phẳng (x,y)

: hình chiếu của của trên mặt phẳng (x,y)

: là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiều z

Phổ năng lượng của điện tử bị giam cẩm trong hố lượng tử chỉ nhận các giá trị

năng lượng gián đoạn theo phương điện tử bị giới hạn chuyển động, không như phổ

năng lượng liên tục toàn bộ không gian như trong bán dẫn khối. Sự gián đoạn của

phổ năng lượng điện tử là đặc trưng của hệ điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp

chiều nói chung và trong hố lượng tửu nói riêng. Sự biến đổi phổ năng lượng như

vậy gây ra những khác biệt lớn trong tất cả tính chất của điện tử ở hố lượng tử so

với các mẫu bán dẫn thông thường.

1.3. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối

Hiệu ứng radio điện liên quan đến việc các hạt tải tự do của sóng điện từ mang

theo cả năng lượng và xung lượng lan truyền trong vật liệu. Do đó các electron

được sinh ra với sự chuyển động có định hướng và hướng này xuất hiện một hiệu

điện thế trong điều kiện mạch hở.

Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong:

+) Một trường sóng điện từ phân cực thẳng với vecto:

5

( với là năng lượng trung bình của hạt tải) trong điện Với tần số ℏω ≪

trường không đổi ( có tác dụng định hướng chuyển động của hạt tải theo )

+) Một trường bức xạ laser : được xem như một trường sóng điện

từ cao tần phân cực tuyến tính với Ωτ ≫1 (τ: thời gian hồi phục đặc trưng).

Dưới sự xuất hiện của 2 trường bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển

động định hướng của hạt tải theo E0 sẽ bị bất đẳng hướng . Kết quả là xuất hiện các

cường độ điện trường E0x, E0y, E0z là các thành phần của vecto cường độ điện trường

không đổi theo các trục trong điều kiện phụ thuộc vào tham số của hố lượng tử :

phổ năng lượng và các giá trị : ω, Ω, . Đó chính là các hiệu ứng radio điện.

Bây giờ ta thành lập biểu thức giải tích về cường độ điện trường E0x, E0y, E0z

Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố hạt tải trong bán dẫn khối:

=

+ Trong đó :

+ Với : xung lượng chính tắc của hạt

Jl (x) : hàm Bessel của đối số thực

m : Khối lượng hiệu dụng của điện tử

M(q) :được xác định bởi cơ chế tán xạ của hạt tải

Ta giải thiết : k ≪ l ( là quãng đường tự do trung bình của hạt tải ) nên ta có

thể bỏ qua cá số hạng k trong các đối số của .

6

Chúng ta chỉ xét sóng laser ở mức xấp xỉ tuyển tính theo cường độ của nó nên

ta chỉ lấy các số hạng với trong (1) và chỉ tính đến các số hạng tỉ lệ với

trong biểu thức khai triển của hàm Besel. Tức là:

Hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối

xứng và phản đối xứng:

+) là hàm số phân bố cân bằng của hạt tải xét trong trường hợp khí điện tử không

suy biến thì ta có phân bố Boltzman

(1.5)

+) Phần phản đối xứng : (1.6)

Ta viết dạng khai triển theo thời gian

Với :

Từ (1.6) và (1.7) ta có :

Theo định nghĩa: mật độ dòng bằng tích tenxo độ dẫn và cường độ điện trường

(1.11)

Ở thời điểm t = 0 thì :

Trong đó :

7

Trong đó :

n: Mật độ hạt tải

: Năng lượng hạt tải:

εF : Năng lượng Fecmi

τ: Thời gian hồi phục khi không có mặt trường bức xạ laser

i;j = 1,2,3

λ,A: Các ma trận phụ thuộc vào từng cơ chế tán xạ cụ thể trong trường hợp tán

xạ trên phonon quang ở nhiệt độ cao (k0T≫ω0) với ω0 là tần số của phonon âm.

Suy ra:

Vậy ta được:

8

Mặt khác ta có :

Suy ra:

Lấy trung bình theo thời gian biểu thức mật độ dòng toàn phần:

Và xét trường hợp mạch hở theo tất cả các hướng, ta được:

Trong đó:

Hay

Suy ra:

9

Giải phương trình trên bằng phương pháp lặp và gần đúng tuyến tính theo β với

A,λ~β

Với:

Trong đó:

∝: là hệ số hấp thụ

: chỉ số khúc xạ

W:Năng thông trung bình của sóng điện từ

c:Vận tốc ánh sáng trong chân không

: Vecto sóng của phonon

Để đơn giản ta chọn trục: . Khi đó các vecto thành phần

của vecto cường độ điện trường không đổi theo các trục Ox, Oy, Oz được cho bởi :

10

Chƣơng 2:

PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ VÀ HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN DƢỚI ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON ÂM GIAM CẦM

2.1. Hamiltonion của điện tử - phonon trong hố lƣợng tử với hố thế cao vô hạn

Khảo sát hệ hạt tải của hố lượng tử đặt trong một trường sóng điện từ phân cực

thẳng với các vecto sóng:

Xét một trường bức xạ laser : được xem như một trường sóng

điện từ cao tần phân cực tuyến tính với Ωτ ≫1.

Giả thiết rằng các vecto sóng điện từ thỏa mãn: [ (t),0,0] ; [0, , 0]

Khi đó sóng điện từ truyền theo trục Oz. Dưới sự xuất hiện của hai trường bức xạ có

tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển động định hướng của hạt tải bị ảnh hưởng làm

xuất hiện các điện trường E0x , E0y , E0z trong điều kiện mạch hở.

Ta xem xét hệ “ hạt tải + hiệu ứng” được đặt trong một trường sóng điện từ

0 và trong một trường leser

phân cực thẳng, một điện trường không đổi (t). Khi

đó Hamiltonion của hệ điện tử - phonon trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn khi có mặt các trường trên là:

+

H = H0 + U (2.1)

+

: Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái .

, : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái .

11

: Xung lượng của điện tử;

;

: hệ số tương tác điện tử - phonon. Xét tương tác điện tử - phonon âm thì:

Trong đó: : Thể tích chuẩn hóa (thường chọn ).

: Hằng số thế biến dạng

: Mật độ tinh thể

: Vận tốc sóng âm

;

nếu m chẵn nếu m lẻ

: Thế vectơ của trường sóng điện từ mạnh

: Năng lượng của điện tử trong hố lượng tử;

2.2. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử

Gọi là số điện tử trung bình tại thời điểm t.

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử có dạng:

(2.2)

Tính 3 số hạng trong (2.2) ta có:

Số hạng thứ nhất:

Ta có:

12

Vậy: (2.3)

Số hạng thứ hai:

(2.4)

Số hạng thứ ba:

Ta có:

13

Do ta có: n2  n1 nên suy ra:

Chuyển chỉ số N1 thành N’ ta có:

(2.5)

Thay (2.3), (2.4),(2.5) vào (2.2) ta được:

(2.6)

Với:

Ta đi xây dựng biểu thức tính hàm f(t) bằng cách viết phương trình động lượng tử

cho nó:

(2.7)

Ta xét:

Vậy ta có

14

Mà :

Nên:

Vậy ta có:

(2.8)

Ta xét:

Vậy: (2.9)

Ta xét:

15

Vậy:

(2.10)

Do (2.11)

nên ta bỏ qua số hạng này.

Thay (2.8), (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.7) ta được:

(2.12)

Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:

Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt (2.13) , ta dễ dàng tính được

nghiệm của phương trình thuần nhất trên có dạng:

(2.14)

Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp biến thiên

hằng số.

Đặt: (2.15)

16

Suy ra:

(2.16)

Thay (2.15) vào (2.12), thay (2.13), (2.14) vào (2.16) và đồng nhất số hạng của

(2.12) và (2.16) ta được kết quả sau:

Suy ra:

(2.17)

Thay (2.14) và (2.17) vào (2.15) ta được kết quả sau:

(2.18)

Thay (2.18) vào (2.8) ta được:

17

(2.19)

Đối với số hạng thứ nhất và thứ ba của (2.19) ta đổi chỉ số , đối với số

hạng thứ hai và thứ tư của (2.19) ta đổi chỉ số và ta

được:

18

(2.20)

Toán tử số hạt của điện tử:

Toán tử số hạt của phonon:

,

Do tính đối xứng mạng tinh thể nên và

Bỏ qua số hạng chứa và

Chuyển kí hiệu

Khi đó phương trình (2.20) được viết lại dưới dạng:

19

(2.21)

Đồng thời biến đổi với

Áp dụng và đặt

Do vậy :

Đồng thời thay ta thu được

20

(2.22)

Áp dụng chuyển phổ Fourier ta có :

(2.23)

Khi đó (2.22) có dạng :

Đổi thứ tự tích phân trong vế phải của (2.23)

Và lấy l=s, lưu ý

21

Ta tính

Lưu ý ta thu được

Thực hiện việc chuyển chỉ số và lưu ý

(2.24)

22

SH1 trở thành : (

SH2 trở thành : (

SH3 : giữ nguyên ta viết lại:

SH4 : giữ nguyên ta viết lại:

Sau đó nhóm (SH1+SH4) ; (SH2+SH3) và áp dụng với

là hàm Delta-Dirac, thu được :

Do nên

(2.25)

Bổ sung thành phần của điện từ trường vào (2.25)

(2.26)

23

Trong đó là véc tơ đơnvị dọc theo chiều từ

trường

Ta tìm nghiệm của (2.26) dưới dạng : (2.27)

Trong đó hàm là hàm phân bố cân bằng của điện tử.

(2.28)

Giả thiết t=0 ta ngắt trường ngoài. Khi đó, vế phải của (2.26) được thay bởi

với là thời gian phục hồi. Còn số hạng thứ hai trong (2.26)

trở thành

Suy ra (2.26) trở thành :

(2.29)

hay:

Ta có

Ta đồng nhất các hệ số tương ứng với thu được

24

Suy ra

với

(2.30)

Với (2.31)

Ta viết lại

Với (2.32)

2.3. Biểu thức mật độ dòng toàn phần qua hố lƣợng tử

(2.33)

Trong đó

(2.34)

(2.35)

Để tìm và ta nhân cả hai vế của (2.26) với rồi

lấy tổng theo ta thu được :

 Số hạng thứ nhất của (2.33) :

25

(2.36)

 Số hạng thứ 2 của (2.33) :

Do , , là các hàm lẻ của suy ra đạo hàm của

chúng là các hàm chẵn của . Do đó (hàm chẵn của ) = 0

Suy ra :

Trong đó: (2.38)

(2.39)

 Số hạng thứ ba của (2.33) :

Áp dụng :

Do vậy :

Áp dụng :

Nên

26

Lưu ý là hàm chẵn của và [ (hàm chẵn của )] = 0

Trong vế phải của (2.26) ta chỉ xét (phép xấp xỉ tuyến tính qua

cường độ điện trường bức xạ ) và áp dụng

Khi đó :

.VP(2.26)

27

Ta bỏ qua f0 trong phép xấp xỉ tuyến tính theo cường độ điện trường ngoài (do

chỉ xuất hiện trong các hàm f1)

(2.41)

Trong đó:

28

(2.43)

Thay (2.36), (2.37), (2.40), (2.41) vào ta được :

Hay:

(2.44)

Đồng nhất các hệ số của trong (2.49) ta thu được

Thay từ (2.47) vào (2.45), (2.46) và trong phép xấp xỉ tuyến tính theo cường

độ trường ngoài ta có :

29

Thay từ (2.48), (2.49) vào (2.47) ta thu được

Ta có

Re =Re =

Re = +Re

Suy ra

(2.50)

Xét trường hợp tán xạ điện tử- quang phonon âm, khí điện tử suy biến hoàn.

Khi đó nên ta bỏ qua số hạng trong (2.42) và (2.43).

; (với V=1)

là mức Fermi

 Tính

Từ (2.38) ta có

30

Chuyển tổng thành tích phân trong hệ tọa độ trụ và thực hiện biến đổi :

Mà

Lại có

Suy ra

(2.51)

Tương tự như trên ta được : (2.52)

 Tính

31

Đặt :

(2.53)

Do vậy :

(2.54)

+) Tính

Chuyển sao cho ứng với mỗi giá trị của thì

và biến đổi

32

Đặt :

Và áp dụng

Ta được :

Đặt :

Điều kiện:

Lại thấy rằng để xác định thì

Ta lại áp dụng: trong đó xi là nghiệm của phương trình

33

Suy ra:

Do đó:

Chuyển trong đó trục , tức là

Ta có:

Áp dụng:

34

(2.55)

Điều kiện: hay với

+)Tính :

35

Chuyển

Với:

Áp dụng:

36

Điều kiện: với

Suy ra:

Xét trường hợp

Khi đó: (2..56)

37

2.4. Biểu thức giải tích cho cƣờng độ điện trƣờng

Ta có :

Xét điều kiện mạch hở (2.58)

Mà lại có :

38

Suy ra:

(2.63)

Trong đó:

39

Các biểu thức giải tích của cường độ điện trường phụ thuộc vào tần số và cường độ

của sóng điện mạnh, tần số của trường điện từ phân cực phẳng và nhiệt độ của hệ.

Sự phụ thuộc này được tính toán số và vẽ đồ thị cho hố lượng tử trong chương 3 của

luận văn.

40

Chƣơng 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN

Trong chương này, tôi trình bày các kết quả tính toán số cho hố lượng tử điển

hình GaAs/GaAsAl. Cường độ điện trường (2.63) coi như một hàm số phụ thuộc

vào các tham số nhiệt độ, tần số ω của sóng điện từ và tần số Ω của trường sóng

laser dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm.

Bảng 3.1: Các tham số vật liệu

Ký hiệu Giá trị Đại lƣợng

Hệ số điện môi tĩnh 12.9

Hệ số điện môi cao tần 10.9

Điện tích hiệu dụng của điện tử (C) E 2,07

Khối lượng hiệu dụng của điện tử (kg) M 0.067

Năng lượng của phonon quang (MeV) 36.25

Nồng độ hạt tải điện ( )

Độ rộng của hố lượng tử (m) L

41

3.1. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số Ω của bức xạ

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của thành phần E0x của cƣờng độ điện trƣờng vào tần

số

được khảo sát trong điều kiện T= 270K; Hình 3.1: Mô tả sự phụ thuộc của cường độ điện trường vào tần số bức xạ Ω của hệ 1010 rad/s;E0=106 V/m; Ey=0,5.106

V/m; =10-12s, dải tần số từ 5^13 -10^16.Từ đồ thị cho thấy:

. Điều này + Thành phần E0x phụ thuộc phi tuyến và khá phức tạp vào tần số

được gây ra một phần bởi sự xuất hiện của thành phần qm giống như yếu tố gây

nhiễu khi có xét ảnh hưởng của phonon giam cầm.

+ Sự phụ thuộc phi tuyến này được thể hiện rõ ở dải tần từ 10^14 – 1,5.10^14 .

42

3.2. Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số ω của trƣờng điện từ phân

cực thẳng

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số ω

Hình 3.2 mô tả sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số bức xạ

khảo sát trong điều kiện T= 270K; của hệ được 1014 rad/s;E0=106 V/m; Ey=1,5.106

V/m; =10-12s, dải tần ω từ 10^8 – 10^13. Từ đồ thị cho thấy:

+ Ở cả 2 trường hợp khi không kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm và có

xét ảnh hưởng của phonon giam cầm thì thành phần E0x đều phụ thuộc phi tuyến

vào tần số ω của trường điện từ phân cực thẳng và có sự biến đổi đáng kể trong

vùng tần số từ 10^12 – 0,3.10^12.

+ Tuy nhiên, khi ω tăng thì E0x cũng biến đổi theo nhưng trong trường hợp có

xét ảnh hưởng của phonon giam cầm thì sự biến đổi này nhanh hơn, điều này lại

được gây ra bởi thành phần qm là yếu tố gây nhiễu.

43

KẾT LUẬN

Trên cơ sở giải quyết bài toán hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối, bài toán:

“Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio - điện trong hố lượng tử theo

cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm” đã được giải quyết thành công và thu được

những kết quả quan trọng như sau:

1. Xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon âm giam cầm trong hố

lượng tử, đã thu được phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử. Từ

đó, xây dựng biểu thức mật độ dòng toàn phần qua hố lượng tử và thu được biểu

, thức giải tích của các thành phần E0x, E0y, E0z, phụ thuộc vào

2. Từ những biểu thức giải tích của các thành phần E0x, E0y, E0z thu được trong

luận văn này cho ta thấy: cường độ trường rađio điện phụ thuộc phức tạp và không

tuyến tính vào tần số của sóng điện từ, nhiệt độ T của hệ, và tham số của hố

lượng tử. Đặc biệt trường ra đio điện phụ thuộc vào chỉ số m đặc trưng cho sự giam

cầm của phonon.

3. Các kết quả lý thuyết đã được tính toán số và vẽ bằng đồ thị đối với hố lượng

tử với hố thế cao vô hạn cho thấy sự khác biệt lớn so với hiệu ứng radio điện trong

bán dẫn khối cũng như sự khác biệt giữa hiệu ứng radio điện trong hố lượng tử khi

phonon không giam cầm và khi phonon giam cầm.

44

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu tiếng Việt

1. Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Đỗ Quốc Hùng, Lê Tuấn (2011), “Lý thuyết bán

dẫn hiện đại”, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

2. Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2010), “Vật

lý bán dẫn thấp chiều”, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

3. Trần Minh Hiếu (2011), “Hiệu ứng quang kích thích lượng tử trong bán dẫn”,

chuyên đề nghiên cứu sinh, trường Đại học khoa học tự nhiên, Đại học Quốc Gia

Hà Nội.

4. Nguyễn Văn Hù ng (1999), “Lý thuyết chất rắn”, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

Tài liệu tiếng Anh

5. Bau. N.Q, N.V. Nhan and T.C.Phong (2002), “Calculations of the absorption

coefficient of weak Electromagnetic wave by free carriers in doped superlattices by

using the Kubo-Mori Method”, J.Korean. Phys. Soc., Vol. 41, 149-154.

6. Bau. N.Q, N.V.Nhan and T.C.Phong (2003), “Parametric resonance of acoustic

and optical phonons in a quantum well”, J. Kor. Phys. Soc., Vol. 42, No. 5, 647-

651.

7. Bau. N.Q and T.C.Phong (1998), “Calulations of the absorption coefficient of

weak electromagnetic wave by free carrers in quantum wells by the Kubo-Mori

method”, J.Phys.Soc.Jpn. Vol.67, 3875.

8. Bau. N.Q, D.M.Hung (2010), “The influences phonons on the non-linear

absorption coefficient of a strong electromagnetic wave by confined electrons in

doping superlattices”, PIER Letters, Vol. 15, 175-185.

9. Bau. N.Q and H.D.Trien (2011), “The nonlinear absorption of a strong

electromagnetic wave in low-dimensional systems”, Wave propagation, Ch.22,

461-482, Intech.

45

PHỤ LỤC

1. Chƣơng trình Matlab mô phỏng sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số

Ω của bức xạ

clc;close all;clear all;

syms z

m=.6097*10^(-31);

ne=1e14;

H=1e6;

Xinf=10.9;X0=12.9;

eps0=8.86e-12;

e=1.60219e-19;kb=1.3807e-23;h=1.05459e-34;

c=3e8;

hnu=3.625e-2*1.60219e-19;ome0=hnu/h;%omega L0

omez=0.51*ome0;%omega0

Omega=linspace(5e13,10e15);

ef=30e-3*e;

L=90.10e-9;

Tau=1e-12;

T=270; bt=1./(kb.*T);

Eo=1e6; Ey=0.5e6;Ex=0.25e6 ;

omegah=e.*H./(m.*c);

ome=Omega.^4;

F=5e11;

nn1=2;nn2=2;

mm1=[0 3];

for n1=0:nn1

hsa=0;

hsb=0;

en=(h^2)*(pi^2)*(n1)^2/(2*m*(L^2)); hsa=hsa+e^2/pi/h^2/(kb*T).*(ef-

en)*Tau;

hsb=hsb+e^2/pi/h^2/(kb*T).*(ef-en)*2*omegah*Tau^2/(1+omez^2*Tau^2);

46

end;

for k=1:length(mm1)

mm=mm1(k);

qm=mm*pi/L;

J10=0;J11=0;J12=0;J13=0;J14=0;J15=0;

J20=0;J21=0;J22=0;J23=0;J24=0;J25=0;

K10=0;K11=0;K12=0;K13=0;K14=0;K15=0;

K20=0;K21=0;K22=0;K23=0;K24=0;K25=0;

f1=0;

A=e^6*ome0*F^2/(4*m*eps0*h^4*kb*T). exp(h*ome0/(kb*T)-1)*Tau^2;

for n1=0:nn1

for n2=0:nn2

for m1=0:mm

I1=tinhI(m1,n1,n2,L);

en1=(h^2)*(pi^2)*(n1)^2/(2*m*(L^2));

en2=(h^2)*(pi^2)*(n2)^2/(2*m*(L^2));

a10=en1-en2+h*ome0;b10=(ef-en1)+(ef-en2)-a10;

a11=en1-en2-h*ome0;b11=(ef-en1)+(ef-en2)-a11;

a12=en1-en2+h*ome0+h*Omega;b12=(ef-en1)+(ef-en2)-a12;

a13=en1-en2+h*ome0-h*Omega;b13=(ef-en1)+(ef-en2)-a13;

a14=en1-en2-h*ome0+h*Omega;b14=(ef-en1)+(ef-en2)-a14;

a15=en1-en2-h*ome0-h*Omega;b15=(ef-en1)+(ef-en2)-a15;

J10=J10+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b10.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a10.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

J11=J11+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b11.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a11.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

J12=J12+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b12.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a12.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

J13=J13+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b13.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a13.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

47

J14=J14+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b14.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a14.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

J15=J15+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b15.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a15.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

A1=e^6*ome0*F^2/(8*eps0*m*h^4*kb*T).* exp(h*ome0/(kb*T)-1)*Tau;

Tau10=Tau*sqrt(ef./(ef-h*ome0)).*exp(h*ome0/(kb*T));

Tau11=Tau*sqrt(ef./(ef+h*ome0)).*exp(-h*ome0/(kb*T));

Tau12=Tau*sqrt(ef./(ef-h*ome0-h*Omega)).*exp((h*ome0+h*Omega)/(kb*T));

Tau13=Tau*sqrt(ef./(ef-h*ome0+h*Omega)).*exp((h*ome0-h*Omega)/(kb*T));

Tau14=Tau*sqrt(ef./(ef+h*ome0-h*Omega)).*exp((-h*ome0+h*Omega)/(kb*T));

Tau15=Tau*sqrt(ef./(ef+h*ome0+h*Omega)).*exp((-h*ome0-h*Omega)/(kb*T));

J20=J20+A1./ome.*I1.*(2*b10-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b10.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a10.^2)).*Tau

10;

J21=J21+A1./ome.*I1.*(2*b11-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b11.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a11.^2)).*Tau

11;

J22=J22+A1./ome.*I1.*(2*b12-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b12.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a12.^2)).*Tau

12;

J23=J23+A1./ome.*I1.*(2*b13-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b13.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a13.^2)).*Tau

13;

J24=J24+A1./ome.*I1.*(2*b14-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b14.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a14.^2)).*Tau

14;

J25=J25+A1./ome.*I1.*(2*b15-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b15.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a15.^2)).*Tau

15;

J1122=2*J10+2*J11-J12-J13-J14-J15-(2*J20+2*J21-J22-J23-J24-J25);

K10=K10+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J10;

48

K11=K11+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J11;

K12=K12+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J12;

K13=K13+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J13;

K14=K14+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J14;

K15=K15+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J15;

K20=K20+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J20;

K21=K21+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J21;

K22=K22+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J22;

K23=K23+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J23;

K24=K24+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J24;

K25=K25+omegah*Tau*2/(1+omez^2*Tau^2)*J25;

K1122=2*K10+2*K11-K12-K13-K14-K15-(2*K20+2*K21-K22-K23-K24-K25);

end;

end;

end;

E0x(:,k)=-(hsb+K1122)./(hsa+J1122).*Ey;

end;

plot(Omega,E0x(:,2),'-b');

legend('confined phonons');

xlabel('The frequency \Omega of the laser radiation (s^{-1})');

ylabel('E_{0x} (V/m)');

2. Chƣơng trình Matlab mô phỏng sự phụ thuộc của thành phần E0x vào tần số

ω của trƣờng điện từ phân cực thẳng

clc;close all;clear all;

syms z

m=.6097*10^(-31);

ne=1e14;H=1e6;

Xinf=10.9;X0=12.9;

eps0=8.86e-12;

e=1.60219e-19;kb=1.3807e-23;h=1.05459e-34;

c=3e8;

49

hnu=3.625e-2*1.60219e-19;ome0=hnu/h;

Omega=5e14;

omez=linspace(1e8,1e13,100);

ef=30e-3*e;

L=10e-9;

Tau=1e-12;

T=270; bt=1./(kb.*T);

Eo=1e6; Ey=0.5e6;Ex=0.25e6 ;

omegah=e.*H./(m.*c);

ome=Omega.^4;

F=5e11;

nn1=2;

nn2=2;

mm1=[0 3];

for n1=0:nn1

hsa=0;hsb=0;

en=(h^2)*(pi^2)*(n1)^2/(2*m*(L^2));

hsa=hsa+e^2/pi/h^2/(kb*T).*(ef-en)*Tau;

hsb=hsb+e^2/pi/h^2/(kb*T).*(ef-en)*2*omegah*Tau^2./(1+omez.^2*Tau^2);

end;

for k=1:length(mm1)

mm=mm1(k);

qm=mm*pi/L;

J10=0;J11=0;J12=0;J13=0;J14=0;J15=0;

J20=0;J21=0;J22=0;J23=0;J24=0;J25=0;

K10=0;K11=0;K12=0;K13=0;K14=0;K15=0;

K20=0;K21=0;K22=0;K23=0;K24=0;K25=0;

f1=0;

A=e^6*ome0*F^2/(4*m*eps0*h^4*kb*T).*( exp(h*ome0/(kb*T)-1)*Tau^2;

for n1=0:nn1

for n2=0:nn2

50

for m1=0:mm

I1=tinhI(m1,n1,n2,L);

en1=(h^2)*(pi^2)*(n1)^2/(2*m*(L^2));

en2=(h^2)*(pi^2)*(n2)^2/(2*m*(L^2));

a10=en1-en2+h*ome0;b10=(ef-en1)+(ef-en2)-a10;

a11=en1-en2-h*ome0;b11=(ef-en1)+(ef-en2)-a11;

a12=en1-en2+h*ome0+h*Omega;b12=(ef-en1)+(ef-en2)-a12;

a13=en1-en2+h*ome0-h*Omega;b13=(ef-en1)+(ef-en2)-a13;

a14=en1-en2-h*ome0+h*Omega;b14=(ef-en1)+(ef-en2)-a14;

a15=en1-en2-h*ome0-h*Omega;b15=(ef-en1)+(ef-en2)-a15;

J10=J10+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b10.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a10.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

J11=J11+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b11.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a11.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

J12=J12+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b12.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a12.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

J13=J13+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b13.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a13.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

J14=J14+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b14.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a14.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

J15=J15+A./ome.*I1.*(1-

qm.^2./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b15.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a15.^2)).*(ef-en1+ef-en2);

A1=e^6*ome0*F^2/(8*eps0*m*h^4*kb*T)*(1/Xinf-1/X0)*exp(h*ome0/(kb*T)-

1)*Tau;

Tau10=Tau*sqrt(ef./(ef-h*ome0)).*exp(h*ome0/(kb*T));

Tau11=Tau*sqrt(ef./(ef+h*ome0)).*exp(-h*ome0/(kb*T));

Tau12=Tau*sqrt(ef./(ef-h*ome0-h*Omega)).*exp((h*ome0+h*Omega)/(kb*T));

Tau13=Tau*sqrt(ef./(ef-h*ome0+h*Omega)).*exp((h*ome0-h*Omega)/(kb*T));

Tau14=Tau*sqrt(ef./(ef+h*ome0-h*Omega)).*exp((-h*ome0+h*Omega)/(kb*T));

Tau15=Tau*sqrt(ef./(ef+h*ome0+h*Omega)).*exp((-h*ome0-h*Omega)/(kb*T));

51

J20=J20+A1./ome.*I1.*(2*b10-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b10.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a10.^2)).*Tau

10;

J21=J21+A1./ome.*I1.*(2*b11-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b11.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a11.^2)).*Tau

11;

J22=J22+A1./ome.*I1.*(2*b12-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b12.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a12.^2)).*Tau

12;

J23=J23+A1./ome.*I1.*(2*b13-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b13.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a13.^2)).*Tau

13;

J24=J24+A1./ome.*I1.*(2*b15-h^2/(2*m).*qm^2-

h^2/(2*m).*qm.^4./sqrt(qm.^4+4*m/h^2.*b15.*qm.^2+4*m^2/h^4.*a15.^2)).*Tau

15;

J1122=2*J10+2*J11-J12-J13-J14-J15-(2*J20+2*J21-J22-J23-J24-J25);

K10=K10+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J10;

K11=K11+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J11;

K12=K12+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J12;

K13=K13+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J13;

K14=K14+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J14;

K15=K15+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J15;

K20=K20+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J20;

K21=K21+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J21;

K22=K22+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J22;

K23=K23+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J23;

K24=K24+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J24;

K25=K25+omegah*Tau*2./(1+omez.^2*Tau^2).*J25;

K1122=2*K10+2*K11-K12-K13-K14-K15-(2*K20+2*K21-K22-K23-K24-K25);

end;

end;

52

end;

E0x(:,k)=-(hsb+K1122)./(hsa+J1122).*Ey;

end;

plot(omez,E0x(:,1),'m',omez,E0x(:,2),'-g');grid on;

legend('unconfined phonon','confined phonons');

xlabel('The frequency \omega of electmagnetic field (s^{-1})');

ylabel('E_{0x} (V/m)');

53