Áp dụng phương pháp gây nhiễu đồng luân kết hợp biến đổi Laplace giải một số phương trình vi phân cấp hai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, tác giả giới thiệu một phương pháp gọi là phương pháp gây nhiễu đồng luân kết hợp biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân cấp hai thoả điều kiện đầu. Một số ví dụ được đưa ra để minh hoạ cho phương pháp trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Áp dụng phương pháp gây nhiễu đồng luân kết hợp biến đổi Laplace giải một số phương trình vi phân cấp hai

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GÂY NHIỄU ĐỒNG LUÂN KẾT HỢP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Nguyễn Thị Linh 1 1. Khoa Sư phạm, Đại học Thủ Dầu Một TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp gọi là phương pháp gây nhiễu đồng luân kết hợp biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân cấp hai thoả điều kiện đầu. Một số ví dụ được đưa ra để minh hoạ cho phương pháp trên. Từ khoá: Laplace transform; ordinary differential equation, New homotopy perturbation method. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Bất kỳ nỗ lực thiết kế hệ thống nào cũng phải bắt đầu bằng việc dự đoán về hiệu suất của nó trước khi hệ thống đó có thể được thiết kế chi tiết hoặc được xây dựng thực sự. Dự đoán như vậy thường dựa trên mô tả toán học về các đặc tính của hệ thống. Mô tả toán học đó được gọi là mô hình toán học. Đối với nhiều hệ thống vật lý, kỹ thuật, các mô hình toán học được mô tả dưới dạng các phương trình vi phân. Ví dụ như: mô hình của hệ thống điện, mô hình của hệ thống lò xo giảm chấn, mô hình của hệ thống khuếch đại hoạt động, mô hình của hệ thống khí nén, mô hình của hệ thống nhiệt, mô hình của hệ thống thuỷ lực,… các mô hình này thường được đưa về phương trình vi phân tuyến tính cấp một hoặc cấp hai hệ số hằng giải bằng phương pháp giải tích cổ điển, hoặc bằng phương pháp biến đổi Laplace, chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier,…Tuy nhiên với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học, những mô hình tuyến tính cổ điển không còn thể hiện tốt các tính chất của vật liệu, của hệ thống,… Ngày càng xuất hiện các mô hình mới dưới dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hàm, phương trình phi tuyến tính và gần đây là các phương trình vi phân cấp phân số mới có độ tốt để mô phỏng. Để tìm được nghiệm chính xác của các mô hình này khó khăn hơn các mô hình cổ điển, ngày càng đòi hỏi các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều phương pháp mới. Ở bài báo này, chúng tôi chỉ đề cập đến phương pháp giải tích. Trong môn học phương trình vi phân, có nhiều phương pháp giải tích được giới thiệu để tìm nghiệm chính xác của một số loại phương trình vi phân nhất định. Một trong những phương pháp chưa được đề cập trong các giáo trình đại học là phương pháp gây nhiễu đồng luân để giải các phương trình hàm của J. H. He. đề xuất (J. H. He. , 1999) . Phương pháp này đã thu hút được nhiều nhà nghiên cứu áp dụng vào giải phương trình vi phân tuyến tính và cả phi tuyến tính (D.D. Ganji · và nnk , 2008; Syed Tauseef Mohyud-Din và nnk, 2009; H. Aminikhah và nnk, 2010; H. Aminikhah, 450
2012;…). Trong bài báo này, chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp gây nhiễu đồng luân kết hợp biến đổi Laplace (H. Aminikhah và nnk, 2010; H. Aminikhah, 2012). Áp dụng phương pháp này vào giải phương trình vi phân cấp 2 thoả điều kiện đầu. 2. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Trong phần này, chúng tôi nhắc lại khái niệm phép biến đổi Laplace và một số tính chất có liên quan đến phần sau. 2.1. Định nghĩa. Cho 𝑓(𝑡) xác định trên [0, +∞] , 𝑓 khả tích trên mọi khoảng hữu hạn và thoả 𝑓(𝑡) < 𝐾𝑒 𝐴𝑡 với mọi t >M, ta gọi phép biến đổi Laplace của hàm 𝑓 là ∞ 𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡. Khi đó 𝐹(𝑠) được gọi là ảnh của biến đổi Laplace của 𝑓(𝑡). Nếu 𝐹(𝑠) là ảnh của biến đổi Laplace của 𝑓(𝑡) thì ta cũng nói 𝑓(𝑡) là biến đổi Laplace ngược của 𝐹(𝑠), kí hiệu là 𝑓(𝑡) = 𝐿−1 {𝐹(𝑠)}. 2.2. Tính chất a) Tính tuyến tính 𝐿{𝑎𝑓 + 𝑏𝑔} = 𝑎𝐿{𝑓} + 𝑏𝐿{𝑔}; 𝐿−1 {𝑎𝑓 + 𝑏𝑔} = 𝑎𝐿−1 {𝑓} + 𝑏𝐿−1 {𝑔}. b) Biến đổi Laplace của đạo hàm ∞ 𝐿{𝑓 ′ } = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 ′ (𝑡)d𝑡 = 𝑠𝐿{𝑓} − 𝑓(0); 𝐿{𝑓 (𝑛) } = 𝑠 𝑛 𝐿{𝑓} − 𝑠 𝑛−1 𝑓(0) − 𝑠 𝑛−2 𝑓 ′ (0) − ⋯ − 𝑠𝑓 (𝑛−2) (0) − 𝑓 (𝑛−1) (0). 2.3 Một số biến đổi Laplace thông dụng 𝑓 𝐿{𝑓} 1 1 𝑠 t 1 𝑠2 𝑡𝑛 𝑛! 𝑠 𝑛+1 𝑒 𝑎𝑡 1 𝑠− 𝑎 Cos(at) 𝑠 𝑠 2 + 𝑎2 Sin(at) 𝑎 𝑠 2 + 𝑎2 2.3 Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace Bước 1: biến dổi Laplace hai vế của phương trình ta thu được phương trình theo 𝐹(𝑠). 451
Bước 2: giải phương trình này tìm 𝐹(𝑠). Bước 3: Bằng phép biến đổi Laplace ngược tìm nghiệm ban đầu 𝑓(𝑡) = 𝐿−1 {𝐹(𝑠)}. Ví dụ: Giải phương trình 𝑥 ′′ (t) + 𝑥(t) = sin(2t). Thực hiện biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình ta thu được 𝑠 2 𝐿{𝑥(𝑡)} − 𝑠𝑥(0) − 𝑥 ′ (0) + 𝐿{𝑥(𝑡)} = 𝐿{sin(2t)} Hay 2 𝑠 2 𝐹(𝑠) − 2𝑠 − 1 + 𝐹(𝑠) = 𝑠2 +4 Từ đó ta có (2𝑠 + 1)(𝑠 2 + 4) + 2 2𝑠 5 2 𝐹(𝑠) = 2 + 4)(𝑠 2 + 1) = 2 + 2 + 1) − 2 + 4) (𝑠 𝑠 + 1 3(𝑠 3(𝑠 Tra bảng phép biến đổi Laplace thông dụng ta có nghiệm cần tìm là 5 1 𝑥(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 3 𝑠𝑖𝑛𝑡 − 3 𝑠𝑖𝑛2𝑡. 3. PHƯƠNG PHÁP GÂY NHIỄU ĐỒNG LUÂN Trong phần này, chúng tôi nhắc lại phương pháp gây nhiễu đồng luân có sửa đổi (Hossein Aminikhah, 2010). Xét phương trình vi phân phi tuyến sau đây 𝐴(𝑈) − 𝑓(𝑟) = 0, 𝑟 ∈ Ω, 𝑈 ∈ ℝ 𝑛 (1) Với các điều kiện đầu 𝑈(0) = 𝛼0 , 𝑈 ′ (0) = 𝛼1 , … , 𝑈 (𝑛−1) (0) = 𝛼 𝑛−1 , Trong đó, A là toán tử vi phân tổng quát và f(r) là hàm giải tích cho trước. Toán tử A có thể được chia thành hai phần L và N, trong đó L là toán tử tuyến tính và N là toán tử phi tuyến tính. Do đó phương trình (1) có thể được viết lại như sau 𝐿(𝑈) + 𝑁(𝑈) − 𝑓(𝑟) = 0. Bằng kỹ thuật đồng luân, chúng ta xây dựng một hàm đồng luân 𝑉(𝑟, 𝑝): Ω x [0,1] → ℝ thỏa mãn 𝐻(𝑉, 𝑝) = (1 − 𝑝)[𝐿(𝑉) − 𝑣0 ] + 𝑝(𝐴(𝑉) − 𝑓(𝑟)) = 0, 𝑝 ∈ [0; 1], 𝑟 ∈ Ω Hay 𝐻(𝑉, 𝑝) = 𝐿(𝑉) − 𝐿(𝑣0 ) + 𝑝𝐿(𝑣0 ) + 𝑝(𝑁(𝑉) − 𝑓(𝑟)) = 0 (2) Trong đó 𝑝 ∈ [0; 1] là tham số gây nhiễu, 𝑣0 là nghiệm gần đúng ban đầu của phương trình (1). Rõ ràng ta có 𝐻(𝑉, 0) = 𝐿(𝑉) − 𝐿(𝑣0 ) = 0 (3) 𝐻(𝑉, 1) = 𝐴(𝑉) − 𝑓(𝑟) = 0 (4) 452
Theo phương pháp gây nhiễu đồng luân (J. H. He. , 1999), trước tiên chúng ta có thể sử dụng tham số gây nhiễu p làm tham số nhỏ và giả sử rằng các nghiệm của phương trình (2) có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi lũy thừa theo 𝑝 𝑉(𝑥) = ∑∞ 𝑉𝑛 𝑝 𝑛 . 𝑛=0 Ta viết lại phương trình (2) dưới dạng 𝐿(𝑉(𝑥)) = 𝑣0 (𝑥) + 𝑝(𝑓(𝑟) − 𝑣0 (𝑥) − 𝑁(𝑉(𝑥))). Tác động toán tử ngược 𝐿−1 vào hai vế của phương trình ta có 𝑉(𝑥) = 𝐿−1 {𝑣0 (𝑥)} + 𝑝(𝐿−1 {𝑓(𝑟)} − 𝐿−1 {𝑣0 (𝑥)} − 𝐿−1 {𝑁(𝑉(𝑥))}) (5) Bây giờ giả sử nghiệm gần đúng ban đầu có dạng 𝑣0 (𝑥) = ∑∞ 𝑎 𝑛 𝑃 𝑛 (𝑥). 𝑛=0 Trong đó 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … là các hằng số chưa biết, 𝑃1 (𝑥), 𝑃2 (𝑥), 𝑃3 (𝑥), … là các hàm đặc biệt phụ thuộc vào bài toán đang xét. Khi đó phương trình (5) trở thành ∑∞ 𝑉𝑛 (𝑥) 𝑝 𝑛 = 𝐿−1 {∑∞ 𝑎 𝑛 𝑃 𝑛 (𝑥)} + 𝑝(𝐿−1 {𝑓(𝑟)} − 𝐿−1 {∑∞ 𝑎 𝑛 𝑃 𝑛 (𝑥)} − 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 𝐿−1 {𝑁(∑∞ 𝑉𝑛 (𝑥) 𝑝 𝑛 )}). 𝑛=0 Đồng nhất hai vế ta thu được ∞ −1 𝑉0 (𝑥) = 𝐿 {∑ 𝑎 𝑛 𝑃 𝑛 (𝑥)} 𝑛=0 ∞ −1 −1 𝑉1 (𝑥) = 𝐿 {𝑓(𝑟)} − 𝐿 {∑ 𝑎 𝑛 𝑃 𝑛 (𝑥)} − 𝐿−1 {𝑁(𝑉0 (𝑥))} 𝑛=0 𝑉2 (𝑥) = −𝐿−1 {𝑁(𝑉0 (𝑥), 𝑉1 (𝑥))} ⋮ 𝑉𝑗 (𝑥) = −𝐿−1 {𝑁(𝑉0 (𝑥), 𝑉1 (𝑥), … , 𝑉𝑗−1 (𝑥))} Bây giờ nếu có thể giải các phương trình này sao cho 𝑉1 (𝑥) = 0, trong một số trường hợp, chúng ta đặt chuỗi Taylor của 𝑉1 (𝑥) = 0 thì kết quả là 𝑉2 (𝑥) = 𝑉3 (𝑥) = ⋯ = 𝑉𝑗 (𝑥) = ⋯ = 0. Từ đó, nghiệm chính xác có thể thu được là ∞ −1 𝑉0 (𝑥) = 𝐿 {∑ 𝑎 𝑛 𝑃 𝑛 (𝑥)}. 𝑛=0 Trong đó 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … là các hằng số chưa biết cần được tính toán. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho sự kết hợp của phương pháp gây nhiễu đồng luân và phép biến đổi Laplace. 453
4. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Xét phương trình tuyến tính 1 ′ 𝑥 ′′ (t) − 𝑥 (t) = t (1.1) 𝑡 Thỏa điều kiện đầu 𝑥(0) = 1; 𝑥 ′ (0) = 0. Giải. Để giải phương trình (1.1), bằng phương pháp gây nhiễu đồng luân chúng tôi xây dựng phương trình sau 1 ′ (1 − 𝑝)[𝑥 ′′ (𝑡) − 𝑋0 (𝑡)] + 𝑝 [𝑥 ′′ (𝑡) − 𝑥 (𝑡) − 𝑡] = 0 𝑡 Hay 1 ′ 𝑥 (𝑡) − 𝑡] (1.2) 𝑥"(𝑡) = 𝑋0 (𝑡) − 𝑝 [𝑋0 (𝑡) − 𝑡 Khai triển Laplace hai vế của phương trình (1.2) ta thu được 1 ′ 𝑠 2 𝐿{𝑥(𝑡)} − 𝑠𝑥(0) − 𝑥 ′ (0) = 𝐿 {𝑋0 (𝑡) − 𝑝 [𝑋0 (𝑡) − 𝑥 (𝑡) − 𝑡]} (1.3) 𝑡 Từ đó ta có 1 1 𝑥(𝑡) = 𝐿−1 { 2 (s𝑥(0) + 𝑥 ′ (0) + L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) − 𝑥 ′ (t) − 𝑡]})} (1.4) 𝑠 𝑡 Hay 1 1 𝑥(𝑡) = 𝐿−1 {2 (𝑠 + L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) − 𝑥 ′ (t) − 𝑡]})} (1.5) 𝑠 𝑡 Giả sử rằng nghiệm của phương trình (1.2) có dạng 𝑥(𝑡) = 𝑥0 (𝑡) + p𝑥1 (𝑡) + p2 𝑥2 (𝑡) + ⋯ (1.6) Trong đó các hàm 𝑥 𝑖 (𝑡) là các hàm cần được xác định. Do tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace, kết hợp (1.5) và (1.6) ta có 1 𝑥0 (𝑡) = 𝐿−1 { (𝑠 + L{𝑋0 (𝑡)})} (1.7) 𝑠2 1 1 𝑥1 (𝑡) = 𝐿−1 {− 2 L {𝑋0 (𝑡) − 𝑥 ′ (t) − 𝑡}} (1.8) 𝑠 𝑡 Bây giờ giả sử rằng 𝑋0 (𝑡) có dạng đa thức ∞ 𝑋0 (𝑡) = ∑ 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑛=0 Khi đó ta có ∞ ∞ −1 1 1 1 𝑥0 (𝑡) = 𝐿 { 2 (𝑠 + L {∑ 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 })} = 𝐿−1 { } + 𝐿−1 { 2 ∑ 𝑎 𝑛 𝐿{𝑡 𝑛 } } 𝑠 𝑠 𝑠 𝑛=0 𝑛=0 454
Tra bảng phép biến đổi Laplace thông dụng ta thu được ∞ −1 1 𝑛! 𝑎0 𝑎1 2𝑎2 6𝑎6 𝑛! 𝑎 𝑛 𝑥0 (𝑡) = 1 + 𝐿 { 2 ∑ 𝑎 𝑛 𝑛+1 } = 1 + 𝐿−1 { 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ + 𝑛+3 } 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑛=0 1 1 1 1 = 1 + 𝑎0 𝑡 2 + 𝑎1 𝑡 3 + 𝑎2 𝑡 4 + 𝑎3 𝑡 5 + ⋯ 2 6 12 20 Để ý rằng nếu ta cho p = 1 và 𝑥1 (𝑡) = 0 thì phương trình (1.2) trở thành phương trình (1.1), khi đó nghiệm 𝑥(𝑡) = 𝑥0 (𝑡) của phương trình (1.2) chính là nghiệm cần tìm. Từ (1.8) tính toán trực tiếp ta cũng thu được 1 𝑎1 1 3𝑎3 5 𝑥1 (𝑡) = ( − ) 𝑡 3 − 𝑎2 𝑡 4 − 𝑡 −⋯ 6 12 18 80 Từ đó dễ dàng tìm được 𝑎1 = 2, 𝑎2 = 𝑎3 = 𝑎4 = 𝑎5 = ⋯ = 0 Vậy, nghiệm cần tìm là 1 1 𝑥(𝑡) = 𝑥0 (𝑡) = 1 + 𝑎0 𝑡 2 + 𝑡 3 2 3 với 𝑎0 là số thực tuỳ ý. Ví dụ 2. Xét phương trình tuyến tính 2 ′ 2𝑥(𝑡) 1 x"(t) − 𝑥 (t) + 2 = 𝑡 2 + 3𝑡 + 2 (2.1) 𝑡 𝑡 𝑡 1 Thỏa điều kiện đầu 𝑥(0) = 2 ; 𝑥 ′ (0) = 1. Giải. Để giải phương trình (2.1), bằng phương pháp gây nhiễu đồng luân chúng tôi xây dựng phương trình sau 2 ′ 2𝑥(𝑡) 1 (1 − p)[x"(t) − 𝑋0 (𝑡)] + p [x"(t) − 𝑥 (t) + 2 − 𝑡 2 − 3𝑡 − 2 ] = 0 𝑡 𝑡 𝑡 Hay 2 ′ 2𝑥(𝑡) 1 x"(t) = 𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) − 𝑥 (t) + 2 − 𝑡 2 − 3𝑡 − 2 ] (2.2) 𝑡 𝑡 𝑡 Khai triển Laplace hai vế của phương trình (2.2) ta thu được 𝑠 2 𝐿{𝑥(𝑡)} − 𝑠𝑥(0) − 𝑥 ′ (0) 2 ′ 2𝑥(𝑡) 1 = L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) − 𝑥 (t) + 2 − 𝑡 2 − 3𝑡 − 2 ]} (2.3) 𝑡 𝑡 𝑡 Từ đó ta có 455
1 𝑥(𝑡) = 𝐿−1 { (s𝑥(0) + 𝑥 ′ (0) 𝑠2 2 ′ 2𝑥(𝑡) 1 + L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) − 𝑥 (t) + 2 − 𝑡 2 − 3𝑡 − 2 ]})} (2.4) 𝑡 𝑡 𝑡 Hay 1 𝑠 2 2𝑥(𝑡) 1 𝑥(𝑡) = 𝐿−1 { ( + 1 + 𝐿 {𝑋0 (𝑡) − 𝑝 [𝑋0 (𝑡) − 𝑥 ′ (𝑡) + 2 − 𝑡 2 − 3𝑡 − 2 ]})} (2.5) 𝑠2 2 𝑡 𝑡 𝑡 Giả sử rằng nghiệm của phương trình (2.2) có dạng x(t) = 𝑥0 (𝑡) + p𝑥1 (𝑡) + p2 𝑥2 (𝑡) + ⋯ (2.6) Trong đó các hàm 𝑥 𝑖 (𝑡) là các hàm cần được xác định. Do tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace, kết hợp (2.5) và (2.6) ta có 1 s 𝑥0 (𝑡) = 𝐿−1 { 2 ( + 1 + L{𝑋0 (𝑡)})} (2.7) 𝑠 2 1 2 2𝑥(𝑡) 1 𝑥1 (𝑡) = 𝐿−1 {− 2 L {𝑋0 (𝑡) − 𝑥 ′ (t) + 2 − 𝑡 2 − 3𝑡 − 2 }} (2.8) 𝑠 𝑡 𝑡 𝑡 Bây giờ giả sử rằng 𝑋0 (𝑡) có dạng đa thức ∞ 𝑋0 (𝑡) = ∑ 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑛=0 Khi đó ta có ∞ ∞ 1 s 1 1 1 𝑥0 (𝑡) = 𝐿−1 { 2 ( + 1 + L {∑ 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 })} = 𝐿−1 { + 2 } + 𝐿−1 { 2 ∑ 𝑎 𝑛 𝐿{𝑡 𝑛 } } 𝑠 2 2𝑠 𝑠 𝑠 𝑛=0 𝑛=0 Tra bảng phép biến đổi Laplace thông dụng ta thu được ∞ 1 1 𝑛! 1 𝑎0 𝑎1 2𝑎2 6𝑎6 𝑛! 𝑎 𝑛 𝑥0 (𝑡) = + 𝑡 + 𝐿−1 { 2 ∑ 𝑎 𝑛 𝑛+1 } = + 𝑡 + 𝐿−1 { 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ + 𝑛+3 } 2 𝑠 𝑠 2 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑛=0 1 1 1 1 1 = + 𝑡 + 𝑎0 𝑡 2 + 𝑎1 𝑡 3 + 𝑎2 𝑡 4 + 𝑎 𝑡5 + ⋯ 2 2 6 12 20 3 Để ý rằng nếu ta cho p = 1 và 𝑥1 (𝑡) = 0 thì phương trình (2.2) trở thành phương trình (2.1), khi đó nghiệm 𝑥(𝑡) = 𝑥0 (𝑡) của phương trình (2.2) chính là nghiệm cần tìm. Từ (2.8) tính toán trực tiếp ta cũng thu được 1 𝑎1 1 𝑎2 13𝑎3 5 𝑎4 6 𝑥1 (𝑡) = ( − ) 𝑡 3 + ( − ) 𝑡 4 − 𝑡 − 𝑡 −⋯ 2 18 12 24 100 45 Dễ dàng tìm được 𝑎1 = 9, 𝑎2 = 2, 𝑎3 = 𝑎4 = 𝑎5 = ⋯ = 0 Vậy, nghiệm cần tìm là 1 1 3 1 𝑥(𝑡) = 𝑥0 (𝑡) = + 𝑡 + 𝑎0 𝑡 2 + 𝑡 3 + 𝑡 4 2 2 2 6 456
với 𝑎0 là số thực tuỳ ý. Ví dụ 3. Xét phương trình tuyến tính 2 ′ x"(t) +𝑥 (t) − 2(2𝑡 2 + 3)𝑥(𝑡) = 0 (3.1) 𝑡 Thỏa điều kiện đầu 𝑥(0) = 1; 𝑥 ′ (0) = 0. Giải. Để giải phương trình (3.1), bằng phương pháp gây nhiễu đồng luân chúng tôi xây dựng phương trình sau 2 ′ (1 − 𝑝)[𝑥"(𝑡) − 𝑋0 (𝑡)] + 𝑝 [𝑥"(𝑡) + 𝑥 (𝑡) − 2(2𝑡 2 + 3)𝑥(𝑡)] = 0 𝑡 Hay 2 ′ 𝑥"(𝑡) = 𝑋0 (𝑡) − 𝑝 [𝑋0 (𝑡) +𝑥 (𝑡) − 2(2𝑡 2 + 3)𝑥(𝑡)] (3.2) 𝑡 Khai triển Laplace hai vế của phương trình (3.2) ta thu được 𝑠 2 L{x(t)} − s𝑥(0) − 𝑥 ′ (0) 2 ′ = L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) + 𝑥 (t) − 2(2𝑡 2 + 3)𝑥(𝑡)]} (3.3) 𝑡 Từ đó ta có 1 2 x(t) = 𝐿−1 { 2 (s𝑥(0) + 𝑥 ′ (0) + L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) + 𝑥 ′ (t) − 2(2𝑡 2 + 3)𝑥(𝑡)]})} (3.4) 𝑠 𝑡 Hay 1 2 x(t) = 𝐿−1 { (s + L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) + 𝑥 ′ (t) − 2(2𝑡 2 + 3)𝑥(𝑡)]})} (3.5) 𝑠2 𝑡 Giả sử rằng nghiệm của phương trình (3.2) có dạng x(t) = 𝑥0 (𝑡) + p𝑥1 (𝑡) + p2 𝑥2 (𝑡) + ⋯ (3.6) Trong đó các hàm 𝑥 𝑖 (𝑡) là các hàm cần được xác định. Do tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace, kết hợp (3.5) và (3.6) ta có 1 𝑥0 (𝑡) = 𝐿−1 { 2 (𝑠 + L{𝑋0 (𝑡)})} (3.7) 𝑠 1 2 𝑥1 (𝑡) = 𝐿−1 {− 2 L {𝑋0 (𝑡) + 𝑥 ′ (t) − 2(2𝑡 2 + 3)𝑥(𝑡)}} (3.8) 𝑠 𝑡 Bây giờ giả sử rằng 𝑋0 (𝑡) có dạng đa thức ∞ 𝑋0 (𝑡) = ∑ 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑛=0 Khi đó ta có 457
∞ ∞ 1 1 1 𝑥0 (𝑡) = 𝐿−1 { 2 (𝑠 + L {∑ 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 })} = 𝐿−1 { } + 𝐿−1 { 2 ∑ 𝑎 𝑛 𝐿{𝑡 𝑛 } } 𝑠 𝑠 𝑠 𝑛=0 𝑛=0 Tra bảng phép biến đổi Laplace thông dụng ta thu được ∞ 1 𝑛! 𝑎0 𝑎1 2𝑎2 6𝑎3 𝑛! 𝑎 𝑛 𝑥0 (𝑡) = 1 + 𝐿−1 { 2 ∑ 𝑎 𝑛 𝑛+1 } = 1 + 𝐿−1 { 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ + 𝑛+3 } 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑛=0 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + 𝑎0 𝑡 2 + 𝑎1 𝑡 3 + 𝑎2 𝑡 4 + 𝑎3 𝑡 5 + 𝑎4 𝑡 6 + 𝑎5 𝑡 7 + 𝑎 𝑡8 2 6 12 20 30 42 56 6 +⋯ Để ý rằng nếu ta cho p = 1 và 𝑥1 (𝑡) = 0 thì phương trình (3.2) trở thành phương trình (3.1), khi đó nghiệm 𝑥(𝑡) = 𝑥0 (𝑡) của phương trình (3.2) chính là nghiệm cần tìm. Từ (3.8) tính toán trực tiếp ta cũng thu được 3𝑎0 2 𝑎1 3 1 5𝑎2 𝑎0 𝑎1 3𝑎3 5 𝑎2 7𝑎4 𝑎0 𝑥1 (𝑡) = (3 − )𝑡 − 𝑡 +( − + ) 𝑡4 + ( − ) 𝑡 +( − + ) 𝑡6 2 3 3 36 3 20 40 60 150 15 𝑎3 2𝑎5 𝑎1 7 𝑎4 9𝑎6 𝑎2 8 +( − + ) 𝑡 +( − + ) 𝑡 +⋯ 140 63 63 280 392 168 Dễ dàng tìm được 7 𝑎0 = 2, 𝑎2 = 6, 𝑎4 = 5, 𝑎6 = 3,… 𝑎1 = 𝑎3 = 𝑎5 = ⋯ = 0 Vậy, nghiệm cần tìm là 1 4 1 6 1 8 𝑥(𝑡) = 𝑥0 (𝑡) = 1 + 𝑡 2 + 𝑡 + 𝑡 + 𝑡 +⋯ 2 6 24 Hay 2 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑡 . Ví dụ 4. Xét phương trình phi tuyến tính sau tx"(t) + t[𝑥 ′ (t)]2 + 2𝑥 ′ (t) − 4t𝑥(𝑡) = 6𝑡 (4.1) Thỏa điều kiện đầu 𝑥(0) = 0; 𝑥 ′ (0) = 0. Giải. Viết lại phương trình (4.1) dưới dạng 2 ′ x"(t) + [𝑥 ′ (t)]2 + 𝑥 (t) − 4𝑥(𝑡) = 6 𝑡 Để giải phương trình (4.1), bằng phương pháp gây nhiễu đồng luân chúng tôi xây dựng phương trình sau 2 ′ (1 − 𝑝)[𝑥"(𝑡) − 𝑋0 (𝑡)] + 𝑝 [𝑋0 (𝑡) + [𝑥 ′ (𝑡)]2 + 𝑥 (𝑡) − 4𝑥(𝑡) − 6] = 0 𝑡 Hay 2 ′ 𝑥"(𝑡) = 𝑋0 (𝑡) − 𝑝 [𝑋0 (𝑡) + [𝑥 ′ (𝑡)]2 + 𝑥 (𝑡) − 4𝑥(𝑡) − 6] (4.2) 𝑡 458
Khai triển Laplace hai vế của phương trình (3.2) ta thu được 2 ′ 𝑠 2 L{x(t)} − s𝑥(0) − 𝑥 ′ (0) = L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) + [𝑥 ′ (t)]2 + 𝑥 (t) − 4𝑥(𝑡) − 6]} (4.3) 𝑡 Từ đó ta có 1 x(t) = 𝐿−1 { (s𝑥(0) + 𝑥 ′ (0) 𝑠2 2 ′ + L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) + [𝑥 ′ (t)]2 + 𝑥 (t) − 4𝑥(𝑡) − 6]})} (4.4) 𝑡 Hay 1 2 x(t) = 𝐿−1 { 2 (L {𝑋0 (𝑡) − p [𝑋0 (𝑡) + [𝑥 ′ (t)]2 + 𝑥 ′ (t) − 4𝑥(𝑡) − 6]})} (4.5) 𝑠 𝑡 Giả sử rằng nghiệm của phương trình (3.2) có dạng x(t) = 𝑥0 (𝑡) + p𝑥1 (𝑡) + p2 𝑥2 (𝑡) + ⋯ (4.6) Trong đó các hàm 𝑥 𝑖 (𝑡) là các hàm cần được xác định. Do tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace, kết hợp (2.5) và (2.6) ta có 1 𝑥0 (𝑡) = 𝐿−1 { 2 (L{𝑋0 (𝑡)})} (4.7) 𝑠 1 2 𝑥1 (𝑡) = 𝐿−1 {− 2 L {𝑋0 (𝑡) + [𝑥 ′ (t)]2 + 𝑥 ′ (t) − 4𝑥(𝑡) − 6)}} (4.8) 𝑠 𝑡 Bây giờ giả sử rằng 𝑋0 (𝑡) có dạng đa thức ∞ 𝑋0 (𝑡) = ∑ 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑛=0 Khi đó ta có ∞ ∞ 1 1 𝑥0 (𝑡) = 𝐿−1 { 2 (L {∑ 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 })} = 𝐿−1 { 2 ∑ 𝑎 𝑛 𝐿{𝑡 𝑛 } } 𝑠 𝑠 𝑛=0 𝑛=0 Tra bảng phép biến đổi Laplace thông dụng ta thu được ∞ 1 𝑛! 𝑎0 𝑎1 2𝑎2 6𝑎3 𝑛! 𝑎 𝑛 𝑥0 (𝑡) = 𝐿−1 { 2 ∑ 𝑎 𝑛 𝑛+1 } = 𝐿−1 { 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ + 𝑛+3 } 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 𝑛=0 1 1 1 1 1 1 1 = 𝑎0 𝑡 2 + 𝑎1 𝑡 3 + 𝑎2 𝑡 4 + 𝑎3 𝑡 5 + 𝑎4 𝑡 6 + 𝑎5 𝑡 7 + 𝑎 𝑡8 + ⋯ 2 6 12 20 30 42 56 6 Để ý rằng nếu ta cho p = 1 và 𝑥1 (𝑡) = 0 thì phương trình (4.2) trở thành phương trình (4.1), khi đó nghiệm 𝑥(𝑡) = 𝑥0 (𝑡) của phương trình (4.2) chính là nghiệm cần tìm. Từ (4.8) tính toán trực tiếp ta cũng thu được 459
2 3𝑎0 2 𝑎1 3 𝑎0 5𝑎2 𝑎0 4 𝑎1 3𝑎3 𝑎0 𝑎1 5 𝑥1 (𝑡) = (3 − )𝑡 − 𝑡 +( − − ) 𝑡 +( − − )𝑡 2 3 6 36 12 30 40 6 2 𝑎2 7𝑎4 𝑎1 𝑎2 𝑎1 6 𝑎3 2𝑎5 𝑎2 𝑎1 𝑎0 𝑎3 7 +( − − − ) 𝑡 +( − − − ) 𝑡 +⋯ 90 150 120 45 210 65 26 84 Từ đó tìm được 𝑎0 = 2, 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = 𝑎4 … = 0. Vậy, nghiệm cần tìm là 𝑥(𝑡) = 𝑡 2 . 5. KẾT LUẬN Bài báo đã giới thiệu hai phương pháp gây nhiễu đồng luân và biến đổi Laplace, vận dụng vào giải phương trình vi phân cấp hai hệ số hàm số. Có bốn ví dụ minh họa đưa ra cho sự kết hợp này, trong đó có ba ví dụ là phương trình tuyến tính và một ví dụ về phương trình phi tuyến tính. Đối với một số phương trình có hệ số phức tạp hơn thì cần phần mềm hỗ trợ tính toán trong bước tìm các phép biến đổi Laplace. Đây là một phương pháp khá dễ tiếp cận để tìm được nghiệm chính xác của một số phương trình vi phân cấp hai mà bằng phương pháp cổ điển sẽ khó khăn hơn để tìm lời giải. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. D.D. Ganji, A.R. Sahouli, M. Famouri. (2009). A new modification of He’s homotopy perturbation method for rapid convergence of nonlinear undamped oscillators. J Appl Math Comput 30: 181– 192. DOI 10.1007/s12190-008-0165-x 2. H. Aminikhah. (2012). The combined Laplace transform and new ho- motopy perturbation methods for stiff systems of ODEs. Appl. Math. Model., 3639-3643 https://doi.org/10.1016/j.apm.2011.10.014 3. H. Aminikhah, J. Biazar. (2010). A new HPM for ordinary differential equations. Wiley Periodicals, 480–489. DOI:10.1002/num.20413 4. J. H. He. (1999). Homotopy perturbation technique. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 178, 257– 262 5. Nguyễn Đình Phư (2002). Phương trình vi phân. TPHCM: NXB ĐHQG TPHCM. 6. S. Chandrasekhar. (1957). An introduction to the study of stellar structure. New York: Dover Pub- lications. 460