Bài 3: Sử dụng chuỗi bất đẳng thức 1 - GV. Nguyễn Thanh Tùng

Chia sẻ: Trần Minh Phương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

129
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 3 "Sử dụng chuỗi bất đẳng thức 1" do giáo viên Nguyễn Thanh Tùng biên soạn cung cấp cho các bạn những kiến thức, bài tập có hướng dẫn lời giải về chuỗi bất đẳng thức 1. Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu học tập và ôn thi môn Toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài 3: Sử dụng chuỗi bất đẳng thức 1 - GV. Nguyễn Thanh Tùng

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan TÀI LIỆU BÀI GIẢNG KHÓA PEN – M – 2016 GV: Nguyễn Thanh Tùng BÀI 3. SỬ DỤNG CHUỖI BẤT ĐẲNG THỨC I CHUỖI BẤT ĐẲNG THỨC I Cho a, b, c là các số thực dương ta có: 4 I.1) a 2  b 2  ( a  b) 2   a b   2ab I.2) 1 1   2  8  4  2 2 2 2 8 a b ab ab  a b  a2  b2 Dấu “=” xảy ra khi a  b . Chứng minh (Các bạn xem ở cuối tài liệu) CHÚ Ý: (a  b) 2  Bất đẳng thức a 2  b 2   2ab đúng a, b   . 2  Đây đều là các bất đẳng thức cơ bản và quen thuộc với tần xuất có mặt trong đề thi Đại Học – THPTQG là khá cao. Khi sử dụng trong bài thi các bạn phải chứng minh (“nhúng” những đoạn chứng minh trong bài giảng của thầy vào bài). Trong tài liệu để không phải ghi lại nhiều lần cách chứng minh thầy đều bỏ qua (nghĩa là trong bài bạn phải thêm đoạn này vào ).  Để vận dụng một cách “linh hoạt” các bất đẳng thức trên. Các bạn cần hiểu rõ cách sử dụng, cũng như “ý nghĩa” và cái hay của từng bất đẳng thức . Khi làm được điều này việc làm chủ chuỗi bất đẳng thức trên sẽ không có gì khó khăn (thầy sẽ phân tích kĩ trong bài giảng).  Các chuỗi bất đẳng thức trên có thể được sử dụng dưới nhiều hình thức khác nhau khi ta gán hai biến a, b bởi các đại lượng khác nhau, ví như I.1) và I.2) có thể viết dưới dạng: 2 4 ab   a b   4 a4a   2 ab ; 1  1 4 2  8  4  2 2 2 2 8 a b ab  4 a4b  a b ab 1 1 2 8 4 2 2 2  2  2  2  … a b ab  a  b  a  b2 a 4  b4 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho x, y, z là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 8 3 1 P   2( x  y  z  2 xz )  3 2 x  y  8 yz x  y  z 2 2 2 Phân tích hướng giải (Bài giảng) Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải 2 (a  b) Áp dụng bất đẳng a 2  b 2  hay 2( a 2  b 2 )  a  b trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 8 8 2( x 2  y 2  z 2  2 xz )  2  ( x  z ) 2  y 2   x  z  y   2 2 2 2( x  y  z  2 xz )  3 x y z 3 Áp dụng bất đẳng thức a  b  2 ab hay 2 ab  a  b trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 3 3 3 3 8 yz  2 y.2 z  y  2 z   hay   2 x  y  8 yz 2 x  y  y  2 z 2 x  y  8 yz 2( x  y  z) 8 3 1 8 1 8 1 Khi đó P        với t  x  y  z  0 x  y  z  3 2( x  y  z ) x  y  z x  y  z  3 2( x  y  z ) t  3 2t 8 1 Xét hàm số f (t )   với t  0 t  3 2t 8 1 3(t  1)(5t  3) Ta có f '(t )   2  2 ; f '(t )  0  t  1 (do t  0 ) (t  3) 2t 2t 2 (t  3)2 Bảng biến thiên: 3 Từ bảng biến thiên suy ra P  f (t )  f (1)  với t  0 2 x  z  y  2z 1 1 Dấu “=” xảy ra khi   x z  ;y x  y  z  t  1 4 2 3 1 1 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng , khi x  z  ; y  . 2 4 2 Ví dụ 2 (A,A1 – 2014). Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  2 . x2 yz 1  yz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2   x  yz  x  1 x  y  z  1 9 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: Áp dụng bất đẳng a 2  b 2  2ab trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2(1  yz )  x 2  y 2  z 2  2 yz  x 2  ( y  z )2  2 x( y  z )  1  yz  x( y  z ) 2 2 x2 x2 x Suy ra x  yz  x  1  x  x  x ( y  z )  x( x  y  z  1)  2   x  yz  x  1 x( x  y  z  1) x  y  z  1 x y z 1  yz 1 1  yz Khi đó P    1  x  y  z 1 9 x  y  z 1 9 Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 2 (a  b) Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 ( x  y  z )2 ( x  y  z) 2 2(1  yz )  x 2  y 2  z 2  2 yz  x 2  ( y  z )2   1  yz  2 4 x y z 1  yz 1 ( x  y  z )2 Suy ra P    1  . Đặt t  x  y  z  0 . x  y  z 1 9 x  y  z 1 36 Ta có t 2  ( x  y  z ) 2  3( x 2  y 2  z 2 )  6  0  t  6 1 t2 1 t2 Khi đó P  1    f (t ) . Xét hàm số f (t )  1   với 0  t  6 t  1 36 t  1 36 1 t (t  2)(t 2  4t  9) Ta có f '(t )    ; f '(t )  0  t  2 (t  1)2 18 18(t  1) 2 Bảng biến thiên: 5 Từ bảng biến thiên suy ra P  f (t )  f (2)  9 5 5 Khi x  y  1 và z  0 thì P  . Vậy giá trị lớn nhất của P là . 9 9 (a  b) 2 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  hay a  b  2(a 2  b 2 ) trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 x  y  z  2  x 2  ( y  z )2   2(2  2 yz )  2 1  yz 1 1  yz 1 t2 Suy ra P  1   . Đặt t  1  yz  1 , khi đó: P  1    f (t ) 2 1  yz  1 9 2t  1 9 1 t2 Xét hàm số f (t )  1   với t  1 . 2t  1 9 2 2t 2(t  1)(4t 2  8t  9) Ta có f '(t )     0 với t  1 , suy ra f (t ) nghịch biến với t  1 (2t  1)2 9 9(2t  1)2 5 Suy ra P  f (t )  f (1)  9 5 5 Khi x  y  1 và z  0 thì P  . Vậy giá trị lớn nhất của P là 9 9 Ví dụ 3. Cho hai số thực x, y thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn ( x 3  y 3 )( x  y )  xy ( x  1)( y  1)  0 12 x4  y4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau P   3xy  36  (1  9 x 2 )(1  9 y 2 ) xy Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải Ta có ( x  y )( x  y )  xy ( x  1)( y  1)  0  ( x3  y 3 )( x  y )  xy ( x  1)( y  1) (*) 3 3 Áp dụng bất đẳng thức a  b  2 ab trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: ( x 3  y 3 )( x  y )  2 x 3 y 3 .2 xy  4 x 2 y 2   (2*)   xy ( x  1)( y  1)  xy  xy  ( x  y )  1  xy xy  2 xy  1  Từ (*) và (2*) , suy ra: 1 1   4 x 2 y 2  xy xy  2 xy  1  4 xy  xy  2 xy  1  3 xy  2 xy  1  0  0  xy  3  0  xy  9 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức a  b  2 ab trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: (1  9 x 2 )(1  9 y 2 )  2 9 x 2 .2 9 y 2  36 xy 12 2 x2 y 2 2  4  P   3 xy    xy 4 4 4  x  y  2 x y  2 x y 2 2 36  36 xy xy 1  xy 1 10  10  2 2 Đặt t  1  xy , do 0  xy   1  1  xy  hay t   1;  . Khi đó P   t  1 9 3  3  t 2 2  10  Xét hàm số f (t )   t  1 với t   1; t  3    2 2t 3  2  10  Ta có f '(t )   2  2t  2  0 với t  1;  t t  3   10   10  6 1 1 Suy ra f (t ) đồng biến với t  1;   P  f (t )  f     . Dấu “=” xảy ra khi x  y   3   3  10 9 3 6 1 1 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng  , khi x  y  . 10 9 3 Ví dụ 4 (B – 2013). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 4 9 P  a 2  b 2  c 2  4 (a  b) (a  2c )(b  2c) Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải x y Áp dụng bất đẳng thức xy  và 2xy  x 2  y 2 trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 a  b  4c a 2  b 2  2ab  4bc  4ca (a  b) (a  2c)(b  2c )  (a  b).  2 2 a  b  a  b  2(b  c )  2(c 2  a 2 ) 2 2 2 2 2 2   2(a 2  b 2  c 2 ) 2 4 9 4 9 Suy ra P   2 2 2 . Đặt t  a 2  b2  c 2  4  2 , khi đó: P   2 a 2  b2  c 2  4 2(a  b  c ) t 2(t  4) Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 4 9 Xét hàm số f (t )   2 với t  2 t 2(t  4) 4 9t (4  t )(4t 3  7t 2  4t  16) Ta có f '(t )     t 2 (t 2  4)2 t 2 (t 2  4) 2 Mà 4t 3  7t 2  4t  16  4(t 3  4)  t (7t  4)  0 với t  2 , suy ra f '(t )  0  t  4 Bảng biến thiên 5 Từ bảng biến thiên suy ra P  f (t )  . Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  2 8 5 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi a  b  c  2 . 8 Ví dụ 5 (B – 2014). Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện ( a  b)c  0 . a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    bc a  c 2(a  b) Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: x y Với a  0 , áp dụng bất đẳng thức x  y  2 xy hay xy  trong chuỗi bất đẳng I.1, ta được: 2 a a a 2a    (1) bc a (b  c) a  b  c a  b  c 2 a 2a a 2a Với a  0 ta có  (2) . Từ (1) và (2), suy ra  . bc a bc bc a bc b 2b Tương tự ta được:  ac abc Áp dụng bất đẳng thức x  y  2 xy trong chuỗi bất đẳng I.1, suy ra: 2( a  b) c  2(a  b) a  b  c  1 2( a  b) a  b  c 1 3 P      2 .   a  b  c 2(a  b)  a  b  c 2( a  b)  2 a  b  c 2( a  b ) 2 2 3 3 Khi a  0, b  c  0 thì P  . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 2 Chú ý: Ở bài toán này ta có thể dồn biến để dùng hàm số hàm số như sau: 2(a  b) c 2 c 2 c P      2t  f (t ) với t  0 a  b  c 2(a  b) 1  c 2(a  b) 1  t a b ab Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 6. (Đề minh họa BGD – 2015). Xét số thực x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 3(2 x 2  2 x  1) 1 1 P   3 2 x 2  (3  3) x  3 2 x 2  (3  3) x  3 Phân tích hướng giải (xem trong bài giảng) Giải 1 1 2 2 Áp dụng bất đẳng thức :   trong chuỗi bất đẳng thức I.2). Khi đó: a b ab 1 1 2 2   2 2 2 2 x  (3  3) x  3 2 x  (3  3) x  3 4x  6 x  6 Mặt khác, ta có: 3(2 x 2  2 x  1)  6 x 2  6 x  3  4 x 2  6 x  3 4x2  6x  3 2 2 Suy ra P   3 2 4x  6x  6 Cách trình bày 1: 2  3  15 15 t 3 2 2 Đặt t  4 x 2  6 x  6  4  x     , khi đó: P    f (t )  4 4 4 3 t t 3 2 2 15 Xét hàm số f (t )   với t  . 3 t 4 1 2 t t  6 2(t  3) (t  6)(t 2  6t  36) Ta có f '(t )     6 t 3 t t 6t t (t  3) 6t t (t  3) t t  6 2(t  3)  15  f '(t )  0  t  6   ;   , từ đây ta có bảng biến thiên: 4  Từ bằng biến thiên ta có P  f (t )  f (6)  3 . Dấu “=” xảy ra khi x  0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3. Cách trình bày 2: 2  3  15 15 t2  3 2 2 Đặt t  4 x 2  6 x  6  4  x     , khi đó: P    f (t )  4 4 2 3 t t2 3 2 2 15 t 2 2 t 3  6 2(t 2  3) Xét hàm số f (t )   với t  . Ta có f '(t )   2  ; 3 t 2 3 t2  3 t 3t 2 t 2  3  15  f '(t )  0  t 3  6 2(t 2  3)  0  t 6  72(t 2  3)  (t 2  6)(t 4  6t 2  36)  0  t  6   ;     2  Từ đây ta có bảng biến thiên: Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Từ bằng biến thiên ta có P  f (t )  f ( 6)  3 . Dấu “=” xảy ra khi x  0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3. 1 1 2 Ví dụ 7. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn:   . x y z x2  y 2 2z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2  . z x y Phân tích hướng giải (xem trong bài giảng) Giải 1 1 2 2 xy x  y Từ    2 xy  ( x  y ) z  2  , khi đó: x y z z z 2 2 x2  y2 2z ( x  y ) 2  2 xy 2z  x  y  2 xy 2z  x y x y 2z P 2   2     2      z x y z x y  z  z x y  z  z x y 1 1 4 2 1 1 4 x y Áp dụng bất đẳng thức   trong chuỗi bất đẳng thức I.2), ta có:     2 a b ab z x y x y z x y 2 Đặt t  , khi đó P  t 2  t   f (t ) với t  2 . z t 2 2t 3  t 2  2 (t  2)(2t 2  3t  6)  10 Ta có f '(t )  2t  1  2    0 với t  2 . t t2 t2 Suy ra f (t ) đồng biến trên  2;   , khi đó f (t )  f (2)  3 hay P  3 . x  y Dấu “=” xảy ra khi   x  y  z . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3. x  y  2z Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: bc ca ab P   3a  bc 3b  ca 3c  ab Phân tích hướng giải (xem trong bài giảng) Giải Từ điều kiện a  b  c  3  3a  bc  ( a  b  c )a  bc  a (a  b)  c(a  b)  (a  b )(a  c ) 1 1 2 1 11 1 Áp dụng bất đẳng thức   hay     trong chuỗi bất đẳng thức I.2), ta được: x y xy xy 2  x y  bc 1 bc  1 1   bc.     3a  bc (a  b)(a  c) 2  a  b a  c  ca ca  1 1  ab ab  1 1  Chứng minh tương tự     và    . 3b  ca 2  b  c b  a  3c  ab 2 ca cb  Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan bc  1 1  ca  1 1  ab  1 1  Khi đó P           2  ab a c 2 bc ba  2 ca cb 1  bc  ca ab  ca ab  bc  a  b  c 3 3       hay P  . 2 ab bc ca  2 2 2 3 3 Với a  b  c  1 thì P  . Vậy giá trị lớn nhất của P là . 2 2 Ví dụ 9. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : x 2  yz y 2  zx z 2  xy P   y  zx z  xy x  yz Phân tích hướng giải (xem trong bài giảng) Giải 2 2 2 P x  yz y  zx z  xy Ta có    3 3 y  3zx 3 z  3xy 3 x  3 yz Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  2ab hay 2ab  a 2  b 2 trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 3 y  3 zx  ( x  y  z ) y  zx  2 zx  ( x  y  z ) y  zx  z 2  x 2  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx Tương tự ta có: 3 z  3xy  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx và 3 x  3 yz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx P x 2  yz  y 2  zx  z 2  xy Khi đó   1  P  3 . Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  1 3 x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 , khi x  y  z  1 . Ví dụ 10. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 32 P 4 2 2  4  x x y y  x y (1  z )3 2 2 Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải: Từ điều kiện ta có x, y , z  (0;1) . 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức   trong chuỗi bất đẳng thức I.2, ta được: x y x y 1 1 4 4 4 4 2 2  4 2 2  4 2 2 4 2 2  2 2 2  x x y y x y x x y y x y (x  y ) (1  z 2 )2 4 32 4 32 Suy ra P  2 2  3  f ( z ) . Xét f ( z )   với z  (0;1) (1  z ) (1  z ) (1  z ) (1  z )3 2 2 16 z 96 16(6 z 3  17 z 2  19 z  6) 16(2 z  1)(3 z 2  7 z  6) Ta có f '( z)     (1  z 2 )3 (1  z )4 (1  z )3 (1  z )4 (1  z )3 (1  z )4 Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 1 Suy ra f '( z )  0  z  do z  (0;1) . Bảng biến thiên: 2 x  y  6   x y 1   448  1  4 Từ bảng biến thiên ta có P  f ( z )  f    . Dấu “=” xảy ra khi  z    2  27  2 z  1  x 2  y 2  z 2  1  2 448 6 1 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng , khi x  y  và z  . 27 4 2 Ví dụ 11. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện abc  b  2c . 3 4 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P    bca acb a bc Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải 1 2 Từ điều kiện ta suy ra a   c b 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức   trong chuỗi bất đẳng thức I.2 và x  y  2 xy trong chuỗi bất đẳng thức I.1, x y x y 1 1  1 1   1 1  ta được: P    2    3   bc a a c b  bc a a b c   ac b a bc  4 4 4 1 2 3  3 3   2.  3.  2      2  a    2.2 a.  4 3 hay P  4 3 2c 2b 2a c b a  a a Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  3 . Ví dụ 12. Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3(b  c ) 4a  3c 12(b  c ) P   2a 3b 2a  3c Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải 3(b  c) 4a  3c 12(b  c) 4a  3b  3c 4a  3b  3c 4(4a  3b  3c) Ta có P  11   2 1 8   2a 3b 2a  3c 2a 3b 2a  3c  1 1 4   (4a  3b  3c)      2a 3b 2a  3c  Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức   trong chuỗi bất đẳng thức I.2, ta có: x y x y 1 1 4  2a  3b  2a  3b 1 1 4 16  1 1 4        (4a  3b  3c)      16  4  4  16 2a 3b 2a  3c 4a  3b  3c  2a 3b 2a  3c   2a  3b 2a  3c 4a  3b  3c Hay P  11  16  P  5 . Dấu “=” xảy ra khi 2a  3b  3c  0 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi 2a  3b  3c  0 . Ví dụ 13. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  3 . Chứng minh rằng: 1 1 1 4 4 4    2  2  2 x y y z z x x 7 y 7 z 7 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức   trong chuỗi bất đẳng thức I.2, ta được: x y x y 1 1 4 4    x  y y  z x  y  y  z x  2y  z Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  2ab trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: x2  1  2x  2 2 2 2 2 4 8 2( y  1)  2.2 y  4 y  2( x  2 y  z )  x  2 y  z  4  y  7   2 z2 1  2z x  2y  z y  7  1 1 8 1 1 8 1 1 8 Suy ra   2 . Tương tự ta có   2 và   2 x y y z y 7 yz zx z 7 z x x y x 7 1 1 1 4 4 4 Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:    2  2  2 x y y z z x x 7 y 7 z 7 Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  1 1 1 1 Ví dụ 14 (A – 2005). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn    4 . Chứng minh rằng : x y z 1 1 1   1 2x  y  z x  2y  z x  y  2z Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 1 1 4 1 11 1 Áp dụng bất đẳng thức   hay     trong chuỗi bất đẳng thức I.2, ta được: a a ab a b 4 a b  1 1 1 1 1  1  1  1 1  1  1 1  1  2 1 1        .           2 x  y  z ( x  y )  ( x  z ) 4  x  y x  z  4  4  x y  4  x z   16  x y z  Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 Tương tự ta có:      và      x  2 y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z  1 1 1 1 1 1 1 Suy ra    .4.      1 2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z 16  x y z  3 Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  . 4 Ví dụ 15 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  1  z . x y z2  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P    x  yz y  zx z  xy Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: Ta có: z  xy  x  y  1  xy  ( x  1)( y  1) x  yz  x  y ( x  y  1)  x  y  y ( x  y )  ( x  y )( y  1) Tương tự ta có: y  zx  ( x  y )( x  1) x y z2  2 x2  y2  x  y z2  2 Khi đó P      ( x  y )( y  1) ( x  y )( x  1) ( x  1)( y  1) ( x  y )( x  1)( y  1) ( x  1)( y  1) (a  b) 2 ( a  b) 2 Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  và ab  trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta có: 2 4 ( x  y )2 ( x  1  y  1) 2 ( x  y  2) 2 x2  y 2  và ( x  1)( y  1)   2 4 4 ( x  y) 2 x y z2  2 2 4( z 2  2) 2 4( z 2  2) Suy ra P  2       f ( z ) với z  1 ( x  y  2) 2 ( x  y  2)2 x  y  2 ( x  y  2) 2 z  1 ( z  1) 2 ( x  y ). 4 4 2 2 4( z  2) 2 8( z  2) 6( z  3) Xét hàm số f ( z )   2 với z  1 . Ta có f '( z )   2   ; f '( z )  0  z  3 z  1 ( z  1) ( z  1) ( z  1)3 ( z  1)3 Bảng biến thiên 13  x  y; z  3  x  y  1 Từ bảng biến thiên, suy ra P  f ( z )  . Dấu “=” xảy ra khi   4 x  y 1  z z  3 13 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng , khi x  y  1 và z  3 . 4 Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 16. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2( y  z  x )  9 xyz Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 2 (a  b) a2  b2 Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  hay a  b  2(a 2  b 2 ) và a 2  b 2  2ab hay ab  trong chuỗi 2 2 bất đẳng thức I.1, ta được: y2  z2 9 P  2( y  z  x)  9 xyz  2  2 2  2( y  z )  x  9 x. 2 2   2(1  x 2 )  x  2 x.(1  x 2 ) 9 5  2 2(1  x 2 )  x 3  x  f ( x) 2 2 9 5 Xét hàm số f ( x)  2 2(1  x 2 )  x 3  x với 0  x  1 2 2 2 2 x 27 2 5 4 2 x  (27 x 2  5) 1  x 2 Ta có f '( x)   x   1  x2 2 2 2 1  x2 0  x  1  1 Khi đó f '( x)  0  4 2 x  (27 x  5) 1  x   27 x 2  5  0 2 2 x  2 2 2 3 (3 x  1)(9 x  1)(27 x  25)  0 Bảng biến thiên  1  10 Từ bảng biến thiên suy ra P  f ( x)  f    .  3 3 1 2 10 10 Khi x  ; y  z  thì P  . Vậy giá trị lớn nhất của P là . 3 3 3 3 Ví dụ 17. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : x2 y2 3 P 2  2  ( x  y )2 ( y  z )  5 yz ( z  x )  5 zx 4 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: ( a  b) 2 Áp dụng bất đẳng thức (a  b)2  4ab hay ab  trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 4 x2 x2 4 x2 y2 4 y2   (1) . Tương tự ta có:  (2) ( y  z ) 2  5 yz 2 ( y  z ) 2 9( y  z ) 2 ( z  x)2  5 zx 9( z  x) 2 ( y  z )  5. 4 Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 2 2 (a  b) ( a  b) Cộng (1) và (2), kết hợp bất đẳng thức a 2  b 2  và ab  trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 4 2 2 4  x   y   4 1  x 2 x2 y2 y         .    ( y  z ) 2  5 yz ( z  x )2  5 zx 9  y  z   z  x   9 2  y  z z  x  2 2  ( x  y)2   (1  z )2  2 2 2   z ( x  y )    z (1  z )  2 2  x  y  z ( x  y)  2 2 2 2 8  z 1       ( x  y)2        9  xy  z ( x  y )  z 2  9 2  9  (1  z )2 2 9  z 1   z ( x  y)  z  z (1  z )  z  4   4  2 8  z 1  3 2 Khi đó P     (1  z )  f ( z ) (*) . 9  z 1  4 2 8  z 1  3 2 Xét f ( z )     (1  z ) với c  (0;1) 9  z 1  4 16 z  1 2 3 ( z  1)  43  (3 z  31)3  1 Ta có f '( z )  . . 2  ( z  1)  3 ; f '( z )  0  z  (vì z  (0;1) ) 9 z  1 ( z  1) 2 18( z  1) 3 1 Dựa vào bảng biến thiên : f ( z )   với z  (0;1) (2*) 9 1 1 Từ (*) và (2*) suy ra P   . Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  9 3 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  . 9 Ví dụ 18. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  26 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: z z (9 x  y ) P  xy  13 32 xy Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 2 2 Áp dụng bất đẳng thức a  b  2ab trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2( xy  13)  2 xy  x 2  y 2  z 2  ( x  y ) 2  z 2  2( x  y ) z hay xy  13  ( x  y ) z z z2 z2 z Suy ra    . xy  13 xy  13 ( x  y) z x y 9x  y 1 Ta sẽ chứng minh  (xem cách phân tích trong bài giảng để biết được vì sao ta có đánh giá này) 32 xy 2( x  y ) Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Thật vậy, bất đẳng thức tương đương: (9 x  y )( x  y )  16 xy  9 x 2  6 xy  y 2  0  (3 x  y ) 2  0 (luôn đúng). z z z t2 Khi đó P   . Đặt t   0 , suy ra P  t   f (t ) x  y 2( x  y ) x y 2 t2 Xét hàm số f (t )  t  với t  0 . Ta có f '(t )  1  t ; f '(t )  0  t  1 2 Bảng biến thiên: 1 Từ đây suy ra P  f (t )  f (1)  . 2 1 1 Khi x  1; y  3; z  4 thì P  . Vậy P có giá trị lớn nhất bằng . 2 2 t2 1 1 1 Chú ý: Có thể tìm giá trị lớn nhất của f (t ) bằng cách biến đổi: f (t )  t    (t  1)2   . 2 2 2 2 2 Ví dụ 19. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x 4   y 2  1  z 4  3. 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2 y  x  z   . x  y  z2 1 2 2 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 2 2 a b ( a  b) 2 Áp dụng bất đẳng thức ab  và  a 2  b 2 trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 2 2 2 2 2 a  b) 2 2y   x  z 1 1 (suy ra từ a  b   2ab ) : P   2 2 2  y2  x2  z2  2 . 2 2 x  y  z 1 x  y  z2 1 2 2 1 2 Từ giải thiết ta có 3  x 4   y 2  1  z 4   x 2  y 2  z 2  1 , suy ra 0  x 2  y 2  z 2  4. 3 2 2 2 Đặt t  x  y  z  1  1  t  5. 1 1 Xét hàm số f  t   t  1  ; t  5. Ta có f '  t   1  2  0 với t  1;5 . t t 1 21 Suy ra f (t ) đồng biến trên 1;5 , khi đó P  f (t )  f  5   4   . 5 5  x  z  1 21 Đẳng thức xảy ra khi  . Vậy max P  .  y  2 5 Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 20. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x  y 2  z 2  9 và xyz  0 . 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2( x  y  z )  xyz Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: Không mất tính tổng quát, giả sử x  min  x; y; z , do xyz  0  x  0 Mặt khác x 2  y 2  z 2  9  x 2  9  x   3;0 ( x  z )2 y2  z2 Áp dụng bất đẳng thức y 2  z 2  hay y  z  2( y 2  z 2 ) và yz  trong chuỗi bất đẳng I.1, ta 2 2 y2  z2 9  x 2 x3 5x  được: P  2( x  y  z )  xyz  2 x  2( y 2  z 2 )  x. 2   2 x  2(9  x 2 )  x. 2     2 2(9  x 2 ) 2 2 3 x 5x Xét hàm số f ( x )    2 2(9  x 2 ) với x   3;0 2 2 3x 2 5 2 2 x (3x 2  5) 9  x 2  2 2 x Ta có f '( x)     2 2 9  x2 2 9  x2 2 2 2 3x  5  0 Khi đó f '( x)  0  (3 x  5) 9  x  2 2 x   2 2 2 2 (3x  5) (9  x )  8 x 3 x 2 5  2 2 3x  5  0  x 1  25  x  1  x  1   3; 0 2  6  2 4 2   9 x  111x  327 x  225  0  x 3  2   x 3 Ta có f ( 3)  6 ; f (1)  10 và f (0)  6 2  f ( x)  f ( 1)  10  x  1; y  z  0  x  1 Dấu “=” xảy ra khi  2 2 2   x  y  z  9 y  z  2 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10 , khi x  1 ; y  z  2 Chú ý: Ở bài toán này có thể không cần điều kiện xyz  0 . Khi đó các bạn tham khảo những bước giải chính sau: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (sẽ được tìm hiểu kĩ ở các bài học sau), ta có: 2( x  y  z )  xyz  x (2  yz )  ( y  z ).2   ( x 2  ( y  z )2   (2  yz )2  4   (2 yz  9)( y 2 z 2  4 yz  8) Đặt t  yz , suy ra: P  2( x  y  z )  xyz  (2t  9)(t 2  4t  8)  f (t ) y2  z2 Giả sử x  max  x , y , z   3x 2  x 2  y 2  z 2  9  x 2  3  y 2  z 2  6  yz   3 hay t  3 2 Ta dễ dàng chứng minh được (2t  9)(t 2  4t  8)  10 với t  3 . Khi đó ta suy ra được đáp số bài toán. Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan  BÀI LUYỆN THÊM Bài 1. Cho các số thực x, y thỏa mãn 2 x  y  2 . Chứng minh rằng xy (4 x 2  y 2 )  1 . x3  y3  ( x 2  y 2 ) Bài 2. Cho các số thực x, y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  ( x  1)( y  1) Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c, d . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (a  b)(a  b  c)(a  b  c  d )2 M abcd Bài 4. Cho a, b  c  0 . Chứng minh rằng: c(a  c)  c (b  c )  ab Bài 5. Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x 4  16 y 4  2(2 xy  5) 2  41 . 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  xy  2 x  4 y2  3 Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 4 4 5 P   x 2  y 2  z 2  4 ( x  y ) ( x  2 z )( y  2 z ) ( y  z ) ( y  2 x)( z  2 x ) 1 1 1 1 Bài 7. Cho a, b, c là các số thực lớn hơn  thỏa mãn:   2 4 a 1 b 1 c 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P    4a  1 4b  1 4c  1 Bài 8. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  3 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1      x  3 y y  3z z  3x x  3 y  3 z  3 Bài 9. Cho a, b, c là các số thực không âm đôi một phân biệt và thỏa mãn ab  bc  ca  4 . 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    ( a  b ) (b  c ) (c  a ) 2 2 2 Bài 10. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x 2  y 2  z 2  2 xyz  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  xy  yz  zx  2 xyz Bài 11. Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 2 P  . a 2  b 2  c 2  1  a  1 b  1 c  1 Bài 12. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  2b  c  0 và a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  2 . ac2 a  b 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P   a (b  c)  a  b  1 (a  c )(a  2b  c ) Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan CHUỖI BẤT ĐẲNG THỨC I Cho a, b, c là các số thực dương ta có: 4 I.1) a 2  b 2  ( a  b) 2   a b   2ab I.2) 1 1   2  8  4  2 2 2 2 8 a b ab ab  a b  a2  b2 Dấu “=” xảy ra khi a  b . Chứng minh (a  b) 2 2 2 Để chứng minh chuỗi bất đẳng thức I.1) ta chỉ cần chứng minh 3 bất đẳng thức a  b  ; 2 4 4 ( a  b) 2  a b và  a b    2ab . Song để tiện cho việc làm trong các ví dụ và bài tập, ta sẽ chứng 2 8 8 minh “đầy đủ” 6 bất đẳng thức được tạo ra từ chuỗi bất đẳng thức I.1) và tương tự ta cũng sẽ đi chứng minh 10 bất đẳng thức từ chuỗi bất đẳng thức I.2) . 4 Chuỗi bất đẳng thức I.1) a2  b2  ( a  b) 2   a b   2ab 2 8 (a  b) 2 1) Chứng minh: a 2  b 2  2 ( a  b) 2 2 Ta có a  b  2  2(a 2  b 2 )  (a  b) 2  (a  b) 2  0 luôn đúng a, b   (đpcm). 2 4 2) Chứng minh: ( a  b) 2   a b  2 8 2 4 4 Với a, b  0 áp dụng 1) ta có a  b   a b   ( a  b) 2   a b   ( a  b) 2   a b  (đpcm) 2 4 2 8 4 3) Chứng minh:  a b   2ab 8 4 4  a b  Áp dụng AM – GM ta có: a  b  2 4 ab   a b   16ab  8  2ab (đpcm). 4 4 4) Chứng minh: a 2  b 2   a b  . Từ 1) và 2) suy ra a 2  b 2   a b  . 8 8 ( a  b) 2 5) Chứng minh:  2ab 2 ( a  b) 2 Ta có:  2ab  (a  b)2  4ab  0  (a  b)2  0 (đpcm). 2 6) Chứng minh: a 2  b 2  2ab Ta có: a 2  b 2  2 a 2b 2  2 ab  2ab (hoặc chứng minh a 2  b 2  2ab  a 2  b 2  2ab  0  (a  b) 2  0 ). Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 1 1 2 8 4 2 2 Chuỗi bất đẳng thức I.2)    2   a b ab ab  a b  a2  b2 1 1 2 1) Chứng minh:   . a b ab 1 1 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :   (đpcm). a b ab 2 8 2) Chứng minh:  2 . ab  a b  2 2 8 Áp dụng bđt AM – GM ta có: a  b  2 4 ab   a b   4 ab   2 (đpcm). ab  a b  8 4 3) Chứng minh: 2  . ab  a b  2 8 4 Áp dụng bđt AM – GM ta có: a  b  2 ab  2(a  b)   a b   2  ab (đpcm).  a b  4 2 2 4) Chứng minh:  . a b a2  b2 4 2 2 16 8 Ta có   2  2 2  2( a 2  b 2 )  ( a  b) 2  ( a  b) 2  0 luôn đúng (đpcm) a b 2 a b 2 ( a  b ) a  b 1 1 8 5) Chứng minh:   2 . a b a b   1 1 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :   a b ab 2 2 8 1 1 8 Mặt khác: a  b  2 4 ab   a b   4 ab   2 , suy ra   a b 2 (đpcm). ab  a b   a b  2 4 6) Chứng minh:  . ab a  b 2 4 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : a  b  2 ab   (đpcm). ab a  b 8 2 2 7) Chứng minh: 2  .  a b  a 2  b2 ( a  b) 2 Ta có a 2  b 2  2ab  2(a 2  b 2 )  (a  b)2  a 2  b 2  (*) 2 2 4 Áp dụng (*) ta có: a  b   a b   ( a  b) 2   a b  (2*) 2 2 8 4 Từ (*) và (2*), suy ra a 2  b 2   a b   1  2 2  8  2 2 (đpcm). 2 2 8 2 a b 2  a b   a b  a 2  b2 Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 1 1 4 8) Chứng minh:   . a b ab 1 1 4 Ta có:    ( a  b) 2  4ab  (a  b) 2  0 luôn đúng (đpcm). a b a b 2 2 2 9) Chứng minh:  . ab a2  b2 2 2 2 4 8 Ta có    2 2  a 2  b2  2ab  (a  b) 2  0 luôn đúng (đpcm). ab 2 a b 2 ab a  b 1 1 2 2 10) Chứng minh:   . a b a 2  b2 1 1 2 4 8 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:   và a 2  b 2  2ab   2 2   a b ab ab a  b ab a 2  b2 1 1 2 2 Suy ra   (đpcm). a b a 2  b2 CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU GV: Nguyễn Thanh Tùng Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !