Bài giảng Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên

Chia sẻ: Namamanh Namamanh | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

193
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên tập trung trình bày các vấn đề cơ bản về kỳ vọng; phương sai; các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên; kỳ vọng của hàm;... Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên

Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên. §1 Kỳ vọng 1. Định nghĩa Định nghĩa 1.1: Giả sử Ρ ( Χ = xi ) = pi � Ε ( Χ ) = xi pi i Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mật độ là + fX ( x) � Ε ( Χ) = x. f X ( x ) dx − Ý nghĩa:kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X 2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 1 @Copyright 2010
§2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X D ( Χ) = Ε ( Χ − Ε ( Χ) ) � 2 � là: � � D( Χ) = Ε ( Χ ) − ( Ε ( Χ ) ) 2 2 Định lý 2.1 : + Ε ( Χ 2 ) = xi2 . pi nếu X rời rạc i + + Ε ( Χ2 ) = x 2 . f Χ ( x ) dx nếu X liên tục − 2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) = C 2 .D ( Χ ) (3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 2 @Copyright 2010
3. Độ lệch: σ ( Χ) = D ( Χ) §3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X(giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và Ρ ( Χ = xi ) = pi � Mod Χ = xi0 , pi0 = Maxpi Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm f X ( x ) , ta có � Mod Χ = x0 ; f X ( x0 ) = Maxf X ( x ) 2. Med X(medium – trung vị X) Định nghĩa 3.3: Med Χ = m � Ρ ( Χ < m ) �1/ 2, Ρ ( X > m ) �1/ 2 m 1 Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì MedX = m � f X ( x ) dx = − 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 3 @Copyright 2010
3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X ( ) k đối với số a là Ε � X − a � � � a = 0: moment gốc a = E(X):moment trung tâm. 4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK) cos x, x [ 0, π / 2] Ví dụ 3.1: Χ ~ fX ( x) = 0, x [ 0, π / 2] π /2 π Ε ( Χ) = x.cos xdx = − 1 0 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 4 @Copyright 2010
2 π /2 �π � D( X ) = x cos xdx − � − 1�= π − 3 2 10 44 2 4 43 �2 � ( ) Ε X2 Mod X =0 m m Med X � �f ( x ) dx = �cos xdx = 1/ 2 − X 0 � sin m = 1/ 2 � m = π / 6 Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau Χ 1 2 ... k ... m −1 m m + 1.... k −1 m−2 m −1 Ρ p pq ... pq ... pq pq ... pq m ... Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 5 @Copyright 2010
1 1 E( X ) = kp.q k −1 = p. = ( 1− q) 2 k =1 p 2 + �1� k −1 D( X ) = k pq −� � 2 1 4 2 43 k =1 �p � Ε( Χ ) 2 2 1+ q �1 � 1+ q 1 q = p. − � � = − = (1 − q )3 �p � p2 p2 p2 Mod X = 1 p ( 1 + q + ... + q m − 2 ) 1/ 2 Med X =m p ( 1 + q + ... + q m − 2 + q m −1 ) 1/ 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 6 @Copyright 2010
. 1 − q m −1 m −1 1 q �p. 1/ 2 � 1 − q m −1 1 / 2 � 2 �� 1 − q � �m �� q 1/ 2 � m 1 1− q m 1/ 2 q 2 −−� m−ln q ln 2, ( m 1) ln q ln 2 − ln 2 − ln 2 � + 1 �m � ln q ln q Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 7 @Copyright 2010
.Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X 2 5 7 P 0,4 0,3 0,3 Ε ( Χ ) = 2.0, 4 + 5.0,3 + 7.0,3 = 4, 4 D ( Χ ) = 21 .0.4 43 − ( 4, 4 ) 2 4 4+44 4 +474.0,3 2 2 2 5 2.0,3 Ε Χ2( ) σ ( Χ ) = D( X ) = 2,017 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 8 @Copyright 2010
Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode Stat On(Off) • Nhập: Mode Stat 1-var xi ni 2 0,4 5 0,3 7 0,3 AC: báo kết thúc nhập dữ liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var x= Ε ( Χ) xσ n = σ ( Χ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 9 @Copyright 2010
Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả: x= Ε( Χ) SHIFT S – VAR xσ n = σ ( Χ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 10 @Copyright 2010
Ví dụ 3.4: Tung cùng 1 lúc 5 con xúc xắc cân đối,đồng chất .Gọi X là tổng số điểm nhận được. Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi là số điểm của con xúc xắc thứ i Χ = Χ1 + Χ 2 + .... + Χ 5 Ε ( Χ ) = Ε ( Χ1 ) + .... + Ε ( Χ 5 ) = 5Ε ( Χ1 ) Xi độc lập � D ( Χ ) = D ( Χ1 ) + D ( Χ 2 ) + ... + D ( Χ 5 ) = 5D ( Χ1 ) 7 35 X1 1…………6 � Ε ( Χ1 ) = , D ( Χi ) = P 1/6………1/6 2 12 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 11 @Copyright 2010
§4: Kỳ vọng của hàm Y = ϕ ( Χ ) 1.Trường hợp rời rạc: Ρ ( Χ = xi ) = pi , � Ε ( Y ) = ϕ ( xi ) pi + i 2.Trường hợp liên tục: Χ : f X ( x ) � Ε ( Y ) = ϕ ( x ) . f X ( x ) dx − Ví dụ 4.1: �π� cos x, x � 0, � � � 2� Cho Χ : f X ( x ) = �π� 0 x 0, � � � 2� Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX. π /2 π /2 sin 2 x 1 Ε( Y ) = sin x cos xdx = 0 = 0 2 2 sin 3 x 1 1 Ε( Y )= π /2 2 sin x cos xdx = 2 0 = 0 3 3 1 1 1 D( Y ) = Ε( Y 2 ) − Ε( ( Y ) ) = 2 − = 3 4 12 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 12 @Copyright 2010
§5: Kỳ vọng của hàm Ζ = ϕ ( Χ,Y ) 1.Trường hợp rời rạc: Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij � Ε ( Ζ) = ϕ ( xi , y j ) . pij Ví dụ 5.1: i, j Ε ( ΧY ) = xi y j pij i, j 2.Trường hợp liên tục:(X,Y)liên tục và có hàm mật độ f(x,y) � Ε ( Ζ) = � �ϕ ( x, y ) . f ( x, y ) dxdy R2 Ví dụ 5.2: 8 xy ,nếu 0 x y 1 f ( x, y ) = 0 ,nếu trái lại Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 13 @Copyright 2010
HÌNH 5.1 y 1 Ω 0 1 X Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 14 @Copyright 2010
.Ε ( Χ ) x. f ( x, y ) dxdy = � 1 y = � � 2 dy �x8 xydx 0 0 R 1 y Ε( Y ) = � �y. f ( x, y ) dxdy = �dy �y8 xydx 0 0 2 R Ε( Y 2 ) = � �. f y 2 ( x, y ) dxdy R2 Ε( X 2 ) = � �. f x 2 ( x, y ) dxdy Ε ( X .Y ) = � �xy. f ( x, y ) dxdy R2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 15 @Copyright 2010
§6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) 2. Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0 (2) cov(X,X) = D(X) �m n � m n (3) cov ��Χ i , �Y j �= ��cov ( Χ i , Y j ) �i =1 j =1 � i =1 j =1 �m m � m (4) cov ��Χ i , �Χ k �= �D ( Χ i ) + �cov ( Χ i , X k ) �i =1 k =1 � i =1 i k Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 16 @Copyright 2010
3. Hệ số tương quan Định nghĩa 6.2: cov ( Χ, Y ) RXY = σ ( Χ ) .σ ( Y ) Tính chất: (1) X,Y độc lập � RΧY = 0 (2) RXY 1, ∀Χ, Y (3) RXY = 1 � ∃a, b, c : aΧ + bY = c Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính giữa X và Y: RXY càng gần1, thì X,Y càng gần có quan hệ tuyến tính. �cos ( Χ, Χ ) ,cos ( Χ, Y ) � 4. Ma trận tương quan: D ( Χ, Y ) = � � �cov ( Y , Χ ) ,cov ( Y , Y ) � � � Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 17 @Copyright 2010
Ví dụ 6.1: • Cho các biến ngẫu nhiên Χ1 , Χ 2 ,.....Χ m ; Y1 , Y2 .....Yn có phương ( ) ( ) sai đều bằng 1: cov Χi , Χ j = p1 ;cov Yi , Y j = p2 ;cov Χi , Y j = p3 ( ) Tìm hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên: U = ( Χ1 + Χ 2 + ..... + Χ m ) và V = ( Y1 + Y2 + ..... + Yn ) Giải: cov ( U ,V ) = cov �m Χ , n Y �= m . n cov Χ , Y = m.n. p �� i � � �� ( i i j ) 3 �i =1 j =1 � i =1 j =1 �m n � m D ( U ) = cov ��Χ i , �X k �= �D ( Χi ) + �cov ( Χ i , Χ k ) = m + m(m − 1). p1 �i =1 k =1 � i =1 j k D ( V ) = n + n(n − 1). p2 cov ( U ,V ) m.n. p3 RUV = = σ ( U ) .σ ( V ) m + m ( m − 1) p1 . n + n ( n − 1) p2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 18 @Copyright 2010
5. Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi yi pij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR x = Ε( X ) SHIFT STAT VAR xσ n = σ ( X ) SHIFT STAT VAR y = Ε( Y ) SHIFT STAT VAR yσ n = σ (Y) SHIFT STAT REG r= RXY SHIFT STAT SUM xy = Ε ( XY ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 19 @Copyright 2010
b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xóa dữ liệu cũ : SHIFT CLR SCL = Cách nhập dữ liệu : xi , y j ; pij M+ Cách đọc kết quả: SHIFT S-VAR x = Ε( X ) SHIFT S-VAR xσ n = σ ( X ) SHIFT S-VAR y = Ε( Y ) SHIFT S-VAR yσ n = σ ( Y ) SHIFT S-VAR r = RXY SHIFT S-SUM xy = Ε ( XY ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 20 @Copyright 2010