intTypePromotion=3

Bài giảng Cơ học chất lưu: Chương 4 - Động lực học lưu chất

Chia sẻ: TDM University | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:45

0
104
lượt xem
19
download

Bài giảng Cơ học chất lưu: Chương 4 - Động lực học lưu chất

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo nội dung chương 4 "Động lực học lưu chất Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất" thuộc bài giảng Cơ học chất lưu. Nội dung bài giảng trình bày về tích phân phương trình Euler, phương trình năng lượng, phương trình Bernoulli cho dòng chảy lưu chất thực,...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học chất lưu: Chương 4 - Động lực học lưu chất

  1. CHÖÔNG 4: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC LÖU  CHAÁT I. Phöông trình vi phaân chuyển ñoäng cuûa löu chaát II. Tích phaân phöông trình Euler III. Phöông trình naêng löôïng IV. Phương trình Bernoulli cho doøng chaûy löu chaát thöïc. V. Phương trình bieán thieân ñoäng löôïng.
  2. I. Phöông trình vi phaân cho chất lỏng lý tưởng  c h u y e å n  ñ o ä n g  ( p h ươn g  t rìn h  Eu le r)  Löu chaát lyù töôûng: =0 =0 p =σii khaùi nieäm aùp suaát:  Ngoaïi löïc taùc duïng leânz phaàn töû treân phöông ρ.dxdydz.Fx x: p p dx p p dx x 2 p,  x 2 + Löïc khoái: dz y p − dxdydz dy x x + Löïc maët: dx  F ̣ ́ nhớt:  ; Ứng suất  ; thành phần của tenxơ áp  Hê sô suất  ii
  3. I. Phöông trình vi phaân cho chất lỏng lý tưởng  chuyeån ñoäng (phương trình Euler)  Phöông trình Ñònh luaät II Newton treân phöông x cho phaàn töû: du x 1 p = Fx −   z dtρ x p dx p dx p p du y 1 p x 2 p,  x 2 = Fy −   dz y dtρ y  Töông töï: dy x du z 1 p dx = Fz −    F dtρ z   gọi phương trình  du 1 Hay =F −   grad ( p ) (4.1) dtρ Ơle  
  4. I. Phöông trình vi phaân cho chất lỏng lý tưởng  chuyeån ñoäng (phương trình Euler)     Phương trì nh Ơle Biểu diễn dưới dạng toa đô  ̣ ̣ Đêcá c 1 p du x ux ux ux ux Fx ­ = = +u x +u y +u z ρ x dt t x y z 1 p du y uy uy uy uy Fy ­ = = +u x +u y +u z (4.2) ρ y dt t x y z 1 p du z uz uz uz uz Fz ­ = = +u x +u y +u z ρ z dt t x y z
  5. I. Phöông trình vi phaân cho chất lỏng lý tưởng  chuyeån ñoäng (phương trình Euler)      Từ  biêu th ̉ ứ c (4.2) ta suy ra dang Lamb­Gromeco  ̣ của phương trình Euler       Sau khi sắp xếp trên phương x ta được � 2 u2 1 p ux u x y u z2 � �u x u z � �u y ux � Fx − = + � + + �+u z � − �− uy � − � ρ x t � x 2 2 2 � z x � �x y � � � � ux �u 2 � = + � �+ u z rot(u) y − u y rot(u)z t x� 2 � � �     Tương tự cho phương y và phương z, cuối cùng ta có  ̣ dang Lamb­Gromeco c ủa phương trình Euler    1 uuuu u uuuu�u 2 � uu  F −   grad ( p )  = + grad � � +  u×rot (u) (4.3) ρ t �2 �
  6. I. Phöông trình vi phaân cho chất lỏng lý tưởng  chuyeån ñoäng (phương trình Euler)    với   là vận tốc góc của phần tử: uy uz �u z u x � �u y ux � ωx =  − ; ωy = � − ; ωz = � − � � z y � x z � � x y �       Phương trình Euler dang Lamb­Gromeco vi ̣ ết  dưới dạng khác:  1 uuuu  uuuu� 2 � u u   F −   grad ( p )  = + grad � � + 2ω×u (4.4) ρ t �2 �
  7. I. Phöông trình vi phaân cho chất lỏng lý tưởng  chuyeån ñoäng (phương trình Euler)    Phương trình Euler dang Lamb­Gromeco vi ̣ ết  dưới dạng hình chiếu: 1 p ux �u 2 � Fx − ρ x = t + � �+ 2 uω x �2 � z( y −u ω y z ) 1 p uy �u 2 � Fy − = + � �+ 2 ( uω x z −u ω z x ) (4.5) ρ y t y �2 � 1 p uz �u 2 � Fz − ρ z = t + z �2 � ( � �+ 2 uω y x −u ω x y )
  8. II. Tích phân phöông trình chuyển ñoäng cuûa löu  chaát Phương trình Euler dạng Lamb­Gromeco:   1 uuuu u uuuu�u 2 �   F −   grad ( p )  = + grad � + 2ω×u � ρ t �2 �  Giả thiết:ρ = const; F= grad ( U ) Phương trình Euler dạng Lamb­Gromeco trở thành:  u � p u2 �   +grad � ­U+ + �+2ω×u=0 tρ 2 � �  1).  Trường  hợp  chuyển  động  có u = gradφ( ;) ω = 0 thế: Phương trình Euler dạng Lamb­Gromeco trở thành: 2 2 � p uφ � p u � �gradφ( ) � +grad � � −U+ + � � =0 −U+ + = C tρ 2 t� ρ 2 �
  9. II. Tích phân phöông trình chuyển ñoäng cuûa löu  chaát Trong trường trọng lực U=­gz, ta có:   u b  2 s 1φ p u  n +z+ + = C  g tγ 2g  ds dn R Đối với chuyển động ổn định ta được: O p u2 z+ + =C (4.6) Phương trình  γ 2g Bernoulli 2). Trường hợp dòng chảy ổn định a).Tích phân d  ọc đường dòng, lấy vi phân chiều dài  đường dòng      nhân vô h ds ướng với phương trình Euler  ta có:  �u � p u �  �  2 � p u � 2 � +grad � ­U+ + �+2ω×u �.ds=0 d�­U+ + �=0 � tρ 2 � � � ρ 2 � � τ
  10. II. Tích phân phöông trình chuyển ñoäng cuûa löu  2 chaát   Ta rút ra: ­U+ p + u =C b  u  s ρ 2 n  ds Trong trường trọng lực U=­gz, ta có:  dn R p u2 Phương trình  O z+ + =C γ 2g Bernoulli b).Tích phân theo phương vuông góc với đường dòng,  phương trình Euler trong hệ tọa độ tự nhiên có dạng:   u +τ ( u 2 ) 2  u2  n= −grad − U+ � − p� � � t s Rρ � � Laáy vi phaân chieàu daøi ñöôøng phaùp tuyeán dn vôùi ñöôøng doøng nhaân voâ�höôùng noù2 vôùi pt. Euler ta được:  u � +τ ( u 2)  u   2 � � U+ − grad n dn= − � dn p � � � �t s Rρ � � � � �
  11. II. Tích phân phöông trình chuyển ñoäng cuûa löu  chaát   u u2 � p� b  Ta có: � dn = d �− U+ �  n s Rρ � � n   ds p dn Khi R ∞: ­U+ =C R ρ O Trong trường trọng  p lực U=­gz, ta có: z+ γ =C (4.7) Chú ý: 1).Trường hợp chuyển động có thế nên p.tr Bernouli  áp dụng cho 2 điểm bất kì A và B được viết p A u A2 p B u B2 p A u A2 p B u B2 + = + hay  + = + γ 2g γ 2g ρ 2 ρ 2 2).Trường hợp chuyển động ổn định: C là hằng số trên  đường dòng
  12. II. Tích phân phöông trình chuyển ñoäng cuûa löu  chaát • Ý  nghĩa  năng  lượng  của  phương  trình  Bernoulli: � p� •    �z + γ � là  thế  năng  của  một  đơn  vị  trọng  � � lượng chất lưu (bao gồm vị năng đơn vị z và  áp năng đơn vị p/ ). 2 u •     2g         là  động  năng  của  một  đơn  vị  trọng  lượng chất lưu
  13. III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển  động  (Phương trình Navier­Stokes ) ° Löu chaát thöïc: 0 0 ° Ngoaïi löïc taùc duïng leân phaàn töû treân zx zx dz z phöông x: z yx yx dy y ρ.dxdydz.Fx + Löïc khoái: xx yx xx xx x dx dz dy zx � τyx + Löïc maët: σxx τzx � x � + + dxdydz � dx  � x y z � F
  14. III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển  động  (Phương trình Navier­Stokes ) zx dz  Phöông trình Ñònh luaät II z z dy zx yx Newton treân phöông x cho yx y phaàn töû: xx x dx xx xx duσx 1 � σxx σyx zx � yx  = Fx + � + + � dz dtρ x �y z � zx dy x dx   Giaû thieát Stokes: F �ui σij = ­ pδij + μ � + u j � 2 ul ­  μ � �x j xi � 3 xl 1 δij    vớ i p =σ3 +xxσ +yyσ ( zz ) � � Ta có  phương trình Navier­Stokes trên truc x ̣ du x 1 pμ � 2 u x 2 u x 2 u x �1μ �u x u y u z � = Fx + + � 2 + 2 + 2 �+ � + + � dtρ x ρ �x y 3zρ x x � �y z �
  15. III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển  động  (Phương trình Navier­Stokes )  Tổng quát: Döôùi daïng vector:   du 1 2 1  = F­ grad ( p ) +ν� u+ ν�( �u ) (4.8) dtρ 3   Ñoái  vôùi  löu  chaát  khoâng  neùn    �u = 0 � div(u) = 0 ñöôïc:   Ta  du 1 2 = F­ grad ( p ) +ν u (4.9) có   dtρ  Lưu ý  gia tố c được tí nh        du u u u u u   = +u x +u y +u z = +u u dt t x y z t
  16. III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển  động  (Phương trình Navier­Stokes )  Biểu diễn (4.9) dưới dạng hình chiếu, ta  có: du x 1 p = Fxν − u + 2 x dtρ x   du 1 2 du y 1 p = F − grad ( p ) +ν u 2 = Fyν − u + (4.10)y dtρ dtρ y du z 1 p = Fzν− u + 2 z dtρ z
  17. IV. Phương trình năng lượng Tích phaân phöông trình Navier- Stokes cho toaøn doøng chaûy, ta  ñöôïc  phöông  trình  Bernoulli  vieát cho toaøn doøng chaát loûng thöïc khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh. Ñaây laø  moät daïng cuûa phöông trình naêng löôïng. Áp  dụng  định  luật  bảo  toàn  năng  lượng  hay  định  luật  thứ  nhất  của  nhiệt  động  lực  học:  Tốc  độ  biến  thiên  của  động  năng  và  nội  năng  bằng  tổng công cơ học của ngoại lực và các dòng năng  lượng khác trên 1 đơn vị thời gian.
  18. IV. Phương trình năng lượng 1). Phương trình năng lượng cho dòng chất lỏng  không  ổn định có khối lượng riêng   thay đổi  có dạng: dQ dW � 1 2 p� − = � ��e u + u +gz +ρdw+ � � dt dt t w � 2ρ � (4.11) � 1 2 p� +� �e u + u +gz+ρu�dSn � S� 2ρ � Với Q là nhiệt trao đổi của thể tích kiểm soát w  với môi trường, W là năng lượng của thể tích w  có mặt bao bọc S, eu  là nội năng đơn vị  của thể  tích chất lưu w.
  19. IV. Phương trình năng lượng 2). Dòng ổn định, không trao đổi nhiệt với môi  Đố tri v ườ ới tr ngường hợp này: dQ = 0 và   = const, phương  trình (4.11) thành: dW � 1 2 p� − =� � e u + u +gz+ρu�dSn � dt S � 2ρ � Chú ý rằng Z = z + p/ , phương trình trên thành: dW �1 2 � � � eρ u u dS+ n = � ��u +gZ � ρu dS n S dt S�2 � dW Ta thấy:� � eρ u u dS+ n chính là phần biến đổi  S dt năng  lượng  do  chuyển  động  của  các  ptử  bên  trong  khối  chất  lưu  gây  ra  và  do  ma  sát  của  khối  chất  lưu  với  bên  ngoài.
  20. IV. Phương trình năng lượng dW Đặt � � eρ u u dS+ n =ρgh Q f S dt Nó  chính  là  năng  lượng  bị  mất  đi  của  chất  lưu  qua  thể  tích w trong một đơn vị thời gian,  hf  là năng lượng mất  mát trung bình trong một đơn vị thời gian của một đơn vị  trọng lượng chất lưu. �1 2 � Từ đó: γQh f = ��� u +gz �  ρu n dS S� 2 �   Xét một đoạn dòng chảy vào mặt cắt 1­1 và ra tại  mặt cắt 2­2 (  = const): � �1 2 � �1 2 � � ρgQh f = � �� � u +gz � ρu 2n dS­ �� � u +gz � ρu1n dS� S2 � � 2 � S1 �2 � � � � Ta lần lượt tính các tích phân.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản