Bài giảng Đại số, giải tích và ứng dụng: Chương 4 - Nguyễn Thị Nhung (ĐH Thăng Long)(tt)

Ghi ch(cid:243)

(cid:30)⁄i sŁ, gi£i t‰ch v(cid:160) øng d(cid:246)ng

Nguy„n Th(cid:224) Nhung

Bº m(cid:230)n To¡n - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th«ng Long

Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 1 / 45

Ch(cid:247)(cid:236)ng IV

Ph†p t‰nh vi ph¥n h(cid:160)m mºt bi‚n

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 2 / 45

(cid:30)⁄o h(cid:160)m c§p hai v(cid:160) mºt sŁ kh¡i ni»m li¶n quan

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p cao

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

qpxq (cid:31)(cid:247)æc

n Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq. (cid:30)⁄o h(cid:160)m c§p n cıa f pxq, k‰ hi»u l(cid:160) f p (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b‹ng qui n⁄p nh(cid:247) sau:

n

n

1 0 qpxq (cid:16) f 1pxq, f p q (cid:16) f pxq, f p f p

qpxq (cid:16) pf p

1 qq1, n ¥ 1.

(cid:1)

V‰ d(cid:246): T‰nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p n cıa c¡c h(cid:160)m sŁ sau:

a. f pxq (cid:16) 2x 5 (cid:1) 5x 4 (cid:0) 1. b. f pxq (cid:16) 2e2x .

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 3 / 45

Ghi ch(cid:243)

(cid:30)⁄o h(cid:160)m c§p hai v(cid:160) mºt sŁ kh¡i ni»m li¶n quan

H(cid:160)m l(cid:231)i, h(cid:160)m lªm

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq. Khi (cid:31)(cid:226):

f pxq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i t⁄i x (cid:16) x0 n‚u f 2px0q ¡ 0. f pxq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i n‚u f 2pxq ¡ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x thuºc mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh. f pxq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m lªm t⁄i x (cid:16) x0 n‚u f 2px0q (cid:160) 0. f pxq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m lªm n‚u f 2pxq (cid:160) 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x thuºc mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh.

V‰ d(cid:246): Ta c(cid:226)

f pxq (cid:16) x 2 l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i. f pxq (cid:16) (cid:1)x 2 l(cid:160) h(cid:160)m lªm. f pxq (cid:16) x 3 (cid:1) 6x 2 (cid:0) 1 lªm t⁄i x (cid:16) (cid:1)1 v(cid:160) l(cid:231)i t⁄i x (cid:16) 1.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 4 / 45

(cid:30)⁄o h(cid:160)m c§p hai v(cid:160) mºt sŁ kh¡i ni»m li¶n quan

(cid:30)⁄o h(cid:160)m c§p hai v(cid:160) kh¡i ni»m c“n bi¶n gi£m dƒn

Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq, h(cid:160)m c“n bi¶n cıa f pxq l(cid:160) f 1pxq. H(cid:160)m c“n bi¶n cıa f pxq gi£m dƒn tøc l(cid:160) f 1pxq l(cid:160) h(cid:160)m gi£m hay f 2pxq (cid:160) 0.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Trong to¡n kinh t‚ khi (cid:31)• c“p (cid:31)‚n kh¡i ni»m c“n bi¶n gi£m dƒn l(cid:160) ta (cid:31)• c“p t(cid:238)i kh¡i ni»m (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p 2 ¥m hay h(cid:160)m sŁ l(cid:160) h(cid:160)m lªm.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 5 / 45

(cid:30)⁄o h(cid:160)m c§p hai v(cid:160) mºt sŁ kh¡i ni»m li¶n quan

V‰ d(cid:246)

2. Chøng minh r‹ng h(cid:160)m s£n xu§t th(cid:228)a a. Cho h(cid:160)m s£n xu§t Q (cid:16) 2L1 { m¢n t‰nh ch§t s£n ph'm c“n bi¶n theo lao (cid:31)ºng gi£m dƒn.

b. Cho h(cid:160)m sŁ Q (cid:16) ALα, A ¡ 0. T…m (cid:31)i•u ki»n cıa α (cid:31)” Q l(cid:160) mºt h(cid:160)m

s£n xu§t ph(cid:242) hæp v• m(cid:176)t kinh t‚ theo lao (cid:31)ºng L.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 6 / 45

Ghi ch(cid:243)

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n

M(cid:230) t£ v• b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u

Nhœng b(cid:160)i to¡n nh(cid:247) t…m møc s£n l(cid:247)æng Q (cid:31)” læi nhu“n cıa doanh nghi»p (cid:31)⁄t tŁi (cid:31)a hay t…m møc s£n l(cid:247)æng Q (cid:31)” chi ph‰ trung b…nh cıa doanh nghi»p (cid:31)⁄t tŁi thi”u l(cid:160) nhœng b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u trong kinh t‚.

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u: B(cid:160)i to¡n t…m GTLN ho(cid:176)c GTNN cıa mºt (cid:31)⁄i l(cid:247)æng n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n: Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq. T…m x (cid:31)” h(cid:160)m sŁ f pxq (cid:31)⁄t GTLN v(cid:160) GTNN.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 7 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c (cid:31)⁄i, c(cid:252)c ti”u, GTLN, GTNN

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c (cid:31)⁄i, c(cid:252)c ti”u, GTLN, GTNN

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

H(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄t c(cid:252)c (cid:31)⁄i t⁄i x (cid:16) x0 n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x thuºc l¥n c“n cıa x0 ta c(cid:226) f pxq ⁄ f px0q. H(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄t c(cid:252)c ti”u t⁄i x (cid:16) x0 n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x thuºc l¥n c“n cıa x0 ta c(cid:226) f pxq ¥ f px0q. Gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c (cid:31)⁄i, gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c ti”u cıa h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i chung l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) hay c(cid:252)c tr(cid:224) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

H(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄t gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t (GTLN) t⁄i x (cid:16) x0 n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x thuºc mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh ta c(cid:226) f pxq ⁄ f px0q. H(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄t gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t (GTNN) t⁄i x (cid:16) x0 n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x thuºc mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh ta c(cid:226) f pxq ¥ f px0q. Gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t, gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:252)c tr(cid:224) to(cid:160)n c(cid:246)c.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 8 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n D§u hi»u (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p mºt, c§p hai t…m c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

(cid:30)i•u ki»n cƒn cıa b(cid:160)i to¡n t…m c(cid:252)c tr(cid:224)

B(cid:160)i to¡n: Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq. T…m gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c (cid:31)⁄i, c(cid:252)c ti”u cıa h(cid:160)m sŁ. (cid:30)i•u ki»n cƒn

(cid:30)(cid:224)nh l‰

N‚u h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq (cid:31)⁄t c(cid:252)c tr(cid:224) t⁄i x (cid:16) x0 th… f 1px0q (cid:16) 0.

Nh“n x†t: (cid:30)(cid:224)nh l‰ (2.3) ch¿ (cid:31)(cid:247)a cho ta (cid:31)i•u ki»n cƒn trong b(cid:160)i to¡n t…m c(cid:252)c tr(cid:224) chø ch(cid:247)a (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı, tøc l(cid:160) ph¡t bi”u (cid:31)£o l⁄i cıa (cid:31)(cid:224)nh l‰ (2.3) l(cid:160) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 9 / 45

Ghi ch(cid:243)

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n D§u hi»u (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p mºt, c§p hai t…m c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

Kh¡i ni»m v• gi¡ tr(cid:224) dłng cıa h(cid:160)m sŁ

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq. Gi£ sß t⁄i x (cid:16) x0 ta c(cid:226) f 1px0q (cid:16) 0. Khi (cid:31)(cid:226)

x0 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) t(cid:238)i h⁄n cıa h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq; f px0q (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) dłng cıa cıa h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq; px0, f px0qq (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)i”m dłng cıa h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq.

Nh“n x†t: Gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) dłng nh(cid:247)ng gi¡ tr(cid:224) dłng ch(cid:247)a hfln (cid:31)¢ l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 10 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n D§u hi»u (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p mºt, c§p hai t…m c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

(cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı cıa b(cid:160)i to¡n t…m c(cid:252)c tr(cid:224)

(cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı D§u hi»u (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p 1

(cid:30)(cid:224)nh l‰

Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq. Gi£ sß t⁄i x (cid:16) x0 ta c(cid:226) f 1px0q (cid:16) 0. Khi (cid:31)(cid:226)

f px0q l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c ti”u cıa h(cid:160)m sŁ n‚u f 1pxq (cid:31)Œi d§u tł ¥m sang d(cid:247)(cid:236)ng khi (cid:31)i tł tr¡i sang ph£i cıa x0. f px0q l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c (cid:31)⁄i cıa h(cid:160)m sŁ n‚u f 1pxq (cid:31)Œi d§u tł d(cid:247)(cid:236)ng sang ¥m khi (cid:31)i tł tr¡i sang ph£i cıa x0. f px0q kh(cid:230)ng l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ n‚u f 1pxq giœ nguy¶n d§u khi (cid:31)i tł tr¡i sang ph£i cıa x0.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 11 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n D§u hi»u (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p mºt, c§p hai t…m c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

(cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı cıa b(cid:160)i to¡n t…m c(cid:252)c tr(cid:224)

D§u hi»u (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p 2

(cid:30)(cid:224)nh l‰

Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq. Gi£ sß t⁄i x (cid:16) x0 ta c(cid:226) f 1px0q (cid:16) 0. Khi (cid:31)(cid:226) N‚u f 2px0q ¡ 0 th… f px0q l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c ti”u cıa h(cid:160)m sŁ. N‚u f 2px0q (cid:160) 0 th… f px0q l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c (cid:31)⁄i cıa h(cid:160)m sŁ. N‚u f 2px0q (cid:16) 0 th… ta ch(cid:247)a c(cid:226) k‚t lu“n g… v• c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ t⁄i x (cid:16) x0.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 12 / 45

Ghi ch(cid:243)

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n D§u hi»u (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p mºt, c§p hai t…m c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

V‰ d(cid:246)

T…m c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ sau:

y (cid:16) f pxq (cid:16) x 3 (cid:1) 12x 2 (cid:0) 36x (cid:0) 8.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 13 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n D§u hi»u (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p mºt, c§p hai t…m c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

L(cid:237)i gi£i

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 14 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n GTLN, GTNN v(cid:160) mŁi li¶n h» v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

GTLN v(cid:160) GTNN cıa h(cid:160)m sŁ

(cid:30)(cid:224)nh l‰ Cho f : ra, bs (cid:221)(cid:209) R l(cid:160) h(cid:160)m sŁ li¶n t(cid:246)c tr¶n ra, bs. Khi (cid:31)(cid:226) f pxq (cid:31)⁄t gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t v(cid:160) gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t tr¶n ra, bs v(cid:160)

GTLN

f pxq (cid:16) maxtf paq, f pbq, f pa1q, . . . , f panqu,

a,b r

s

GTNN

f pxq (cid:16) mintf paq, f pbq, f pa1q, . . . , f panqu,

a,b r

s

trong (cid:31)(cid:226) f pa1q, f pa2q, . . . , f panq l(cid:160) c¡c gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) cıa f pxq.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 15 / 45

Ghi ch(cid:243)

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n GTLN, GTNN v(cid:160) mŁi li¶n h» v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

GTLN v(cid:160) GTNN cıa h(cid:160)m sŁ

(cid:30)(cid:224)nh l‰

N‚u f pxq (cid:31)⁄t c(cid:252)c (cid:31)⁄i t⁄i x (cid:16) x0 v(cid:160) f 2pxq (cid:160) 0, @x th… f pxq (cid:31)⁄t c(cid:252)c (cid:31)⁄i duy nh§t t⁄i x (cid:16) x0 v(cid:160) f px0q l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t cıa h(cid:160)m sŁ. N‚u f pxq (cid:31)⁄t c(cid:252)c ti”u t⁄i x (cid:16) x0 v(cid:160) f 2pxq ¡ 0, @x th… f pxq (cid:31)⁄t c(cid:252)c ti”u duy nh§t t⁄i x (cid:16) x0 v(cid:160) f px0q l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t cıa h(cid:160)m sŁ.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 16 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n GTLN, GTNN v(cid:160) mŁi li¶n h» v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

V‰ d(cid:246)

Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f pxq (cid:16) x 3 (cid:1) 12x 2 (cid:0) 36x (cid:0) 8. T…m GTLN v(cid:160) GTNN cıa h(cid:160)m sŁ tr¶n R . T…m GTLN v(cid:160) GTNN cıa h(cid:160)m sŁ tr¶n r0, 10s

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 17 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n GTLN, GTNN v(cid:160) mŁi li¶n h» v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

L(cid:237)i gi£i

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 18 / 45

Ghi ch(cid:243)

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n GTLN, GTNN v(cid:160) mŁi li¶n h» v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) c(cid:252)c tr(cid:224) cıa h(cid:160)m sŁ

V‰ d(cid:246)

T…m GTLN v(cid:160) GTNN cıa h(cid:160)m sŁ sau:

3 (cid:1) 5x (cid:0) 20. y (cid:16) f pxq (cid:16) x 2 {

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 19 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n (cid:217)ng d(cid:246)ng trong kinh t‚

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:31)a h(cid:226)a læi nhu“n

B(cid:160)i to¡n (B(cid:160)i to¡n t…m møc s£n l(cid:247)æng tŁi (cid:247)u)

Gi£ sß mºt doanh nghi»p c(cid:226) h(cid:160)m tŒng chi ph‰ l(cid:160) TC (cid:16) TC pQq, h(cid:160)m tŒng doanh thu l(cid:160) TR (cid:16) TRpQq. T…m møc s£n l(cid:247)æng Q l(cid:160)m tŁi (cid:31)a h(cid:226)a læi nhu“n cıa doanh nghi»p.

Ta c(cid:226) h(cid:160)m læi nhu“n cıa doanh nghi»p l(cid:160) ΠpQq (cid:16) TRpQq (cid:1) TC pQq. Ta t…m møc s£n l(cid:247)æng Q l(cid:160)m tŁi (cid:31)a h(cid:226)a læi nhu“n cıa doanh nghi»p tøc l(cid:160) t…m gi¡ tr(cid:224) Q ¥ 0 (cid:31)” h(cid:160)m ΠpQq (cid:31)⁄t GTLN.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 20 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n (cid:217)ng d(cid:246)ng trong kinh t‚

V‰ d(cid:246)

Mºt doanh nghi»p c(cid:226) h(cid:160)m tŒng chi ph‰ cho b(cid:240)i TC (cid:16)

Q 3(cid:1)8, 5Q 2(cid:0)97Q(cid:0)4

1 3

v(cid:160) h(cid:160)m cƒu cıa h¢ng l(cid:160) Q (cid:16) 116 (cid:1) 2P.

a. T…m møc s£n l(cid:247)æng Q (cid:31)” læi nhu“n doanh nghi»p (cid:31)⁄t tŁi (cid:31)a. b. T…m møc s£n l(cid:247)æng Q (cid:31)” læi nhu“n doanh nghi»p (cid:31)⁄t tŁi (cid:31)a bi‚t doanh

nghi»p kh(cid:230)ng s£n xu§t qu¡ 10 (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) s£n ph'm.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 21 / 45

Ghi ch(cid:243)

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n (cid:217)ng d(cid:246)ng trong kinh t‚

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:31)a h(cid:226)a læi nhu“n

B(cid:160)i to¡n (B(cid:160)i to¡n t…m møc lao (cid:31)ºng tŁi (cid:247)u)

Gi£ sß mºt doanh nghi»p trong th(cid:224) tr(cid:247)(cid:237)ng c⁄nh tranh ho(cid:160)n h£o c(cid:226) h(cid:160)m s£n xu§t trong ng›n h⁄n c(cid:226) d⁄ng Q (cid:16) QpLq. Cho bi‚t gi¡ b¡n cıa s£n ph'm l(cid:160) P0, l(cid:247)(cid:236)ng tr£ cho mØi lao (cid:31)ºng tr¶n mØi k… l(cid:160) W0, l(cid:247)æng t(cid:247) b£n cŁ (cid:31)(cid:224)nh l(cid:160) F0. T…m møc lao (cid:31)ºng L l(cid:160)m tŁi (cid:31)a h(cid:226)a læi nhu“n cıa doanh nghi»p.

Ta c(cid:226) h(cid:160)m tŒng doanh thu cıa doanh nghi»p l(cid:160) TR (cid:16) P0QpLq, h(cid:160)m tŒng chi ph‰ cıa doanh nghi»p TC (cid:16) W0L (cid:0) F0. Tł (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m læi nhu“n cıa doanh nghi»p l(cid:160) ΠpQq (cid:16) P0QpLq (cid:1) W0L (cid:1) F0. Ta t…m møc s£n l(cid:247)æng L ¥ 0 (cid:31)” læi nhu“n cıa doanh nghi»p ΠpQq (cid:31)⁄t tŁi (cid:31)a.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 22 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n (cid:217)ng d(cid:246)ng trong kinh t‚

V‰ d(cid:246)

Gi£ sß mºt doanh nghi»p trong th(cid:224) tr(cid:247)(cid:237)ng c⁄nh tranh ho(cid:160)n h£o c(cid:226) h(cid:160)m s£n xu§t trong ng›n h⁄n c(cid:226) d⁄ng Q (cid:16) L1 2. Cho bi‚t gi¡ b¡n cıa s£n { ph'm l(cid:160) P0 (cid:16) 20, l(cid:247)(cid:236)ng tr£ cho mØi lao (cid:31)ºng tr¶n mØi k… l(cid:160) W0 (cid:16) 10, l(cid:247)æng t(cid:247) b£n cŁ (cid:31)(cid:224)nh l(cid:160) F0 (cid:16) 100. T…m møc lao (cid:31)ºng L l(cid:160)m tŁi (cid:31)a h(cid:226)a læi nhu“n cıa doanh nghi»p.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 23 / 45

B(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u cho h(cid:160)m mºt bi‚n (cid:217)ng d(cid:246)ng trong kinh t‚

H» sŁ cıa h(cid:160)m tŒng chi ph‰ b“c ba

B(cid:160)i to¡n (H» sŁ cıa h(cid:160)m tŒng chi ph‰ b“c ba)

Cho h(cid:160)m b“c ba:

TC (cid:16) aQ 3 (cid:0) bQ 2 (cid:0) cQ (cid:0) d .

T…m (cid:31)i•u ki»n cıa c¡c h» sŁ a, b, c, d (cid:31)” TC pQq l(cid:160) h(cid:160)m tŒng chi ph‰ trong ng›n h⁄n, b“c ba (cid:31)i”n h…nh trong kinh t‚.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 24 / 45

Ghi ch(cid:243)

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a h(cid:160)m sŁ m(cid:244) v(cid:160) h(cid:160)m sŁ logarit

H(cid:160)m sŁ m(cid:244) v(cid:160) h(cid:160)m sŁ logarit

qpa ¡ 0q. Khi a (cid:16) e th…

t p

t p

q (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m sŁ m(cid:244) v(cid:238)i c(cid:236) sŁ t(cid:252) nhi¶n.

H(cid:160)m sŁ m(cid:244) v(cid:238)i c(cid:236) sŁ a c(cid:226) d⁄ng y (cid:16) Aaf y (cid:16) Aef H(cid:160)m sŁ logarit c(cid:236) sŁ a c(cid:226) d⁄ng y (cid:16) logapf ptqq, a ¡ 0, a (cid:24) 1, f ptq ¡ 0. Khi a (cid:16) e ta vi‚t y (cid:16) A ln f ptq v(cid:160) g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:238)i c(cid:236) sŁ t(cid:252) nhi¶n.

H(cid:160)m sŁ logarit l(cid:160) h(cid:160)m ng(cid:247)æc cıa h(cid:160)m sŁ m(cid:244), tøc l(cid:160):

y (cid:16) at (cid:244) t (cid:16) loga y .

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 25 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a h(cid:160)m sŁ m(cid:244) v(cid:160) h(cid:160)m sŁ logarit

Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m sŁ m(cid:244)

1. au

(cid:0)

v (cid:16)

2. au

(cid:0)

v (cid:16) auav , v(cid:238)i a ¡ 0. au av , v(cid:238)i a ¡ 0. 3. auv (cid:16) pauqv , v(cid:238)i a ¡ 0. 4. pabqu (cid:16) aubu, v(cid:238)i a, b ¡ 0.

5. p

qu (cid:16)

a b

au bu , v(cid:238)i a, b ¡ 0.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 26 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a h(cid:160)m sŁ m(cid:244) v(cid:160) h(cid:160)m sŁ logarit

Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m sŁ logarit

1. logapuv q (cid:16) loga u (cid:0) loga b, v(cid:238)i a ¡ 0, a (cid:24) 1, u, v ¡ 0. 2. logapu{v q (cid:16) loga u (cid:1) loga b, v(cid:238)i a ¡ 0, a (cid:24) 1, u, v ¡ 0. 3. loga uα (cid:16) α loga u, v(cid:238)i a ¡ 0, a (cid:24) 1, u ¡ 0.

, v(cid:238)i a ¡ 0, a (cid:24) 1, u ¡ 0.

4. loga u (cid:16)

ln u ln a

5. x (cid:16) aloga x (cid:16) eln x , v(cid:238)i a ¡ 0, a (cid:24) 1, x ¡ 0.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 27 / 45

Ghi ch(cid:243)

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a h(cid:160)m sŁ m(cid:244) v(cid:160) h(cid:160)m sŁ logarit

(cid:30)Œi sang c(cid:236) sŁ m(cid:244) t(cid:252) nhi¶n

t

ln a.

1. N‚u y (cid:16) Aaf

(cid:16) Aef

p

t p

q

ln f ptq.

2. N‚u y (cid:16) A loga f ptq th… y (cid:16)

q th… y (cid:16) Aeln af ptq A ln a

V‰ d(cid:246): (cid:30)Œi c¡c h(cid:160)m sŁ sau sang c(cid:236) sŁ t(cid:252) nhi¶n

1.

(cid:0)

a. y (cid:16) 5.23t b. y (cid:16) 8. log2pt2 (cid:0) 1q.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 28 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng Mºt sŁ øng d(cid:246)ng t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m sŁ logarit

T‰nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m d(cid:252)a v(cid:160)o h(cid:160)m logarit

V‰ d(cid:246): T‰nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa c¡c h(cid:160)m sŁ sau:

.

a. y (cid:16)

t3p2t (cid:0) 1q pt2 (cid:0) 1qp1 (cid:1) 3tq

t2

.

(cid:1)

b. y (cid:16) t5.51 c. y (cid:16) tt.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 29 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng Mºt sŁ øng d(cid:246)ng t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m sŁ logarit

T‰nh h» sŁ co gi¢n d(cid:252)a v(cid:160)o h(cid:160)m logarit

Cho h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f ptq. Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

.

(cid:16)

(cid:16)

εyt (cid:16)

dy {dt y {t

dy {y dt{t

d pln y q d pln tq

V‰ d(cid:246): T‰nh h» sŁ co gi¢n cıa c¡c h(cid:160)m sau:

.

a. y (cid:16)

t3p2t (cid:0) 1q pt2 (cid:0) 1qp1 (cid:1) 3tq

t2

.

(cid:1)

b. y (cid:16) t5.51 c. y (cid:16) tt.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 30 / 45

Ghi ch(cid:243)

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng H(cid:160)m sŁ m(cid:244) t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) b(cid:160)i to¡n l¢i su§t k†p

Kh¡i ni»m v• l¢i su§t r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) li¶n t(cid:246)c

T‰nh l¢i su§t k†p r(cid:237)i r⁄c mºt n«m m lƒn l(cid:160) ki”u t‰nh l¢i su§t k†p v(cid:238)i k…

h⁄n

th¡ng.

12 m

T‰nh l¢i su§t k†p li¶n t(cid:246)c trong n«m l(cid:160) ki”u t‰nh l¢i k†p v(cid:230) h⁄n lƒn trong n«m, tøc l(cid:160) cho sŁ lƒn t‰nh trong n«m m (cid:209) 8.

Trong b(cid:160)i n(cid:160)y ta qui (cid:247)(cid:238)c mºt sŁ k‰ hi»u sau:

A l(cid:160) sŁ ti•n gŁc (cid:31)em gßi, t l(cid:160) th(cid:237)i gian gßi ti•n ((cid:31)(cid:236)n v(cid:224) n«m). r l(cid:160) t¿ l» l¢i su§t k†p li¶n t(cid:246)c, i l(cid:160) t¿ l» l¢i su§t r(cid:237)i r⁄c. Atpmq l(cid:160) sŁ ti•n c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc trong t(cid:160)i kho£n sau t n«m v(cid:238)i ki”u t‰nh k†p r(cid:237)i r⁄c. At l(cid:160) sŁ ti•n c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc trong t(cid:160)i kho£n sau t n«m v(cid:238)i ki”u t‰nh k†p li¶n t(cid:246)c.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 31 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng H(cid:160)m sŁ m(cid:244) t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) b(cid:160)i to¡n l¢i su§t k†p

(cid:222) ngh(cid:190)a cıa sŁ e trong kinh t‚

SŁ e trong to¡n h(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a l(cid:160) gi(cid:238)i h⁄n cıa d¢y sŁ sau:

qm.

p1 (cid:0)

1 m

e (cid:16) lim m (cid:209)8

SŁ e trong to¡n h(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc t‰nh qua b(cid:160)i to¡n l¢i su§t sau:

B(cid:160)i to¡n

(cid:30)ƒu n«m mºt ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)em sŁ ti•n A (cid:16) 1$ (cid:31)em gßi ng¥n h(cid:160)ng v(cid:238)i l¢i su§t gi£ (cid:31)(cid:224)nh r (cid:16) 100% tr¶n n«m.

T‰nh sŁ ti•n V1pmq m(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i n(cid:160)y c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc v(cid:160)o cuŁi n«m n‚u gßi ki”u l¢i su§t k†p r(cid:237)i r⁄c m lƒn trong n«m.

T‰nh sŁ ti•n V1 m(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i n(cid:160)y c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc v(cid:160)o cuŁi n«m n‚u gßi ki”u l¢i su§t k†p li¶n t(cid:246)c.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 32 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng H(cid:160)m sŁ m(cid:244) t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) b(cid:160)i to¡n l¢i su§t k†p

B(cid:160)i to¡n l¢i su§t k†p

B(cid:160)i to¡n

Gi£ sß mºt ng(cid:247)(cid:237)i c(cid:226) sŁ ti•n A$ (cid:31)em gßi ng¥n h(cid:160)ng v(cid:238)i t¿ l» l¢i su§t l(cid:160) r (%/n«m). Khi (cid:31)(cid:226)

N‚u ng(cid:247)(cid:237)i n(cid:160)y gßi ki”u l¢i su§t k†p r(cid:237)i r⁄c m lƒn trong n«m th… sau t n«m (cid:31)(cid:247)æc sŁ ti•n l(cid:160):

qmt.

Vtpmq (cid:16) Ap1 (cid:0)

r m

N‚u ng(cid:247)(cid:237)i n(cid:160)y gßi ki”u l¢i su§t k†p li¶n t(cid:246)c trong n«m th… sau t n«m (cid:31)(cid:247)æc sŁ ti•n l(cid:160):

Vt (cid:16) Aert.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 33 / 45

Ghi ch(cid:243)

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng H(cid:160)m sŁ m(cid:244) t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) b(cid:160)i to¡n l¢i su§t k†p

V‰ d(cid:246)

V‰ d(cid:246): Mºt ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)em sŁ ti•n l(cid:160) A (cid:16) 10000$ v(cid:160)o gßi trong ng¥n h(cid:160)ng.

T‰nh sŁ ti•n V10p2q m(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i n(cid:160)y c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc trong t(cid:160)i kho£n sau 10 n«m n‚u ng(cid:247)(cid:237)i n(cid:160)y gßi ki”u l¢i k†p r(cid:237)i r⁄c 2 lƒn tr¶n n«m. T‰nh sŁ ti•n V10 m(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i n(cid:160)y c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc trong t(cid:160)i kho£n sau 10 n«m n‚u ng(cid:247)(cid:237)i n(cid:160)y gßi ki”u l¢i k†p li¶n t(cid:246)c tr¶n n«m.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 34 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng H(cid:160)m sŁ m(cid:244) t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) b(cid:160)i to¡n l¢i su§t k†p

Qui (cid:31)Œi giœa t¿ l» l¢i su§t k†p r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) li¶n t(cid:246)c

T¿ l» l¢i su§t li¶n t(cid:246)c r (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i t¿ l» l¢i su§t r(cid:237)i r⁄c i trong mºt k… h⁄n n‚u (cid:31)ƒu k… h⁄n gßi c(cid:242)ng mºt sŁ ti•n theo hai ki”u th… cuŁi n«m nh“n (cid:31)(cid:247)æc sŁ ti•n l(cid:160) nh(cid:247) nhau.

C(cid:230)ng thøc qui (cid:31)Œi giœa t¿ l» l¢i su§t k†p r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) li¶n t(cid:246)c:

Vtpmq (cid:16) Ap1 (cid:0)

qmt (cid:16) Vt (cid:16) Aert

i m

hay

r (cid:16) m lnp1 (cid:0)

q.

i m

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 35 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng H(cid:160)m sŁ m(cid:244) t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) b(cid:160)i to¡n l¢i su§t k†p

V‰ d(cid:246)

a. T…m t¿ l» l¢i su§t k†p li¶n t(cid:246)c tr¶n n«m pr q t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i t¿ l» l¢i

su§t k†p r(cid:237)i r⁄c i (cid:16) 5% (cid:31)(cid:247)æc t‰nh k†p h(cid:160)ng n«m.

b. T…m t¿ l» l¢i su§t k†p li¶n t(cid:246)c tr¶n n«m pr q t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i t¿ l» l¢i

su§t k†p r(cid:237)i r⁄c i (cid:16) 10% (cid:31)(cid:247)æc t‰nh k†p nßa n«m.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 36 / 45

Ghi ch(cid:243)

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng H(cid:160)m sŁ m(cid:244) t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) b(cid:160)i to¡n l¢i su§t k†p

Chi‚t kh§u

Chi‚t kh§u l(cid:160) s(cid:252) gi£m s(cid:243)t cıa gi¡ ti•n trong t(cid:247)(cid:236)ng lai so v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) ti•n hi»n t⁄i do s(cid:252) hi»n di»n cıa l¢i su§t d(cid:247)(cid:236)ng.

mt.

T‰nh k†p r(cid:237)i r⁄c: Do V (cid:16) Ap1 (cid:0)

qmt n¶n A (cid:16) V p1 (cid:0)

q(cid:1)

B(cid:160)i to¡n l¢i su§t k†p l(cid:160) t‰nh gi¡ tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng lai V tł gi¡ tr(cid:224) hi»n t⁄i A. B(cid:160)i to¡n chi‚t kh§u l(cid:160) t‰nh gi¡ tr(cid:224) hi»n t⁄i A tł gi¡ tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng lai V . i m

i m

rt.

T‰nh k†p li¶n t(cid:246)c: Do V (cid:16) Aert n¶n A (cid:16) Ve(cid:1)

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 37 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng B(cid:160)i to¡n ch(cid:229)n th(cid:237)i (cid:31)i”m tŁi (cid:247)u

B(cid:160)i to¡n t‰ch trœ r(cid:247)æu

B(cid:160)i to¡n

Mºt ng(cid:247)(cid:237)i bu(cid:230)n r(cid:247)æu s(cid:240) hœu mºt l(cid:247)æng r(cid:247)æu nh§t (cid:31)(cid:224)nh. ˘ng ta c(cid:226) th” (cid:31)em b¡n r(cid:247)æu t⁄i th(cid:237)i (cid:31)i”m hi»n t⁄i pt (cid:16) 0q (cid:31)” (cid:31)(cid:247)æc sŁ ti•n l(cid:160) K $ ho(cid:176)c (cid:31)” l⁄i b¡n v(cid:238)i sŁ ti•n cao h(cid:236)n trong t(cid:247)(cid:236)ng lai. Cho bi‚t gi¡ tr(cid:224) V cıa r(cid:247)æu t«ng theo th(cid:237)i gian b(cid:240)i h(cid:160)m V (cid:16) Ke?t. H¢y t‰nh xem ng(cid:247)(cid:237)i bu(cid:230)n r(cid:247)æu n¶n b¡n l(cid:247)æng r(cid:247)æu cıa m…nh v(cid:160)o th(cid:237)i (cid:31)i”m n(cid:160)o (cid:31)” thu v• læi nhu“n cao nh§t, bi‚t r‹ng t¿ l» l¢i su§t k†p li¶n t(cid:246)c cıa ng¥n h(cid:160)ng Œn (cid:31)(cid:224)nh l(cid:160) r % tr¶n n«m v(cid:160) chi ph‰ t‰ch trœ r(cid:247)æu b‹ng 0.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 38 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng B(cid:160)i to¡n ch(cid:229)n th(cid:237)i (cid:31)i”m tŁi (cid:247)u

L(cid:237)i gi£i

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 39 / 45

Ghi ch(cid:243)

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng B(cid:160)i to¡n ch(cid:229)n th(cid:237)i (cid:31)i”m tŁi (cid:247)u

B(cid:160)i to¡n (cid:31)Łn gØ

B(cid:160)i to¡n

Gi£ sß gi¡ tr(cid:224) cıa mºt l(cid:247)æng gØ ((cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc tr(cid:231)ng tr¶n mºt di»n t‰ch nh§t (cid:31)(cid:224)nh) l(cid:160) h(cid:160)m t«ng theo th(cid:237)i gian V (cid:16) K 2?t. H¢y t‰nh th(cid:237)i (cid:31)i”m tŁi (cid:247)u (cid:31)” ch(cid:176)t gØ b¡n, bi‚t r‹ng t¿ l» l¢i su§t k†p li¶n t(cid:246)c cıa ng¥n h(cid:160)ng l(cid:160) r % tr¶n n«m v(cid:160) chi ph‰ ch«m s(cid:226)c gØ b‹ng 0.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 40 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng TŁc (cid:31)º t«ng cıa h(cid:160)m sŁ

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tŁc (cid:31)º t«ng cıa h(cid:160)m sŁ

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

TŁc (cid:31)º t«ng cıa h(cid:160)m sŁ y (cid:16) f ptq, k‰ hi»u l(cid:160) ry (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc sau:

h(cid:160)m c“n bi¶n

(cid:16)

(cid:16)

(cid:16) plnpy qq1.

ry (cid:16)

dy {dt y

f 1ptq f ptq

h(cid:160)m tŒng

V‰ d(cid:246): T…m tŁc (cid:31)º t«ng cıa c¡c h(cid:160)m sŁ sau:

.

c. y (cid:16)

a. y (cid:16) Aert. b. y (cid:16) A2at. 5t3 t2 (cid:0) 1

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 41 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng TŁc (cid:31)º t«ng cıa h(cid:160)m sŁ

T‰nh ch§t cıa tŁc (cid:31)º t«ng cıa h(cid:160)m sŁ

Cho u (cid:16) f ptq v(cid:160) v (cid:16) g ptq l(cid:160) c¡c h(cid:160)m theo th(cid:237)i gian. Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) c¡c t‰nh ch§t v• tŁc (cid:31)º t«ng cıa c¡c h(cid:160)m sau:

1. ruv (cid:16) ru (cid:0) rv .

ru (cid:0)

rv .

2. ru

v (cid:16)

v u (cid:0) v

3. ru

u u (cid:0) v (cid:0) v (cid:16) ru (cid:1) rv .

{

4. ru

v (cid:16)

ru (cid:1)

rv .

(cid:1)

u u (cid:1) v

v u (cid:1) v

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 42 / 45

Ghi ch(cid:243)

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng TŁc (cid:31)º t«ng cıa h(cid:160)m sŁ

V‰ d(cid:246)

Cho d¥n sŁ th‚ gi(cid:238)i t«ng theo h(cid:160)m H (cid:16) H02αt v(cid:160) ti¶u d(cid:242)ng t«ng theo h(cid:160)m C (cid:16) C0eβt.

a. T…m tŁc (cid:31)º t«ng cıa d¥n sŁ, cıa ti¶u d(cid:242)ng v(cid:160) cıa ti¶u d(cid:242)ng tr¶n (cid:31)ƒu

ng(cid:247)(cid:237)i.

b. V(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n n(cid:160)o cıa α, β th… tŁc (cid:31)º t«ng tr(cid:247)(cid:240)ng cıa ti¶u d(cid:242)ng l(cid:238)n h(cid:236)n tŁc (cid:31)º t«ng tr(cid:247)(cid:240)ng cıa d¥n sŁ, n¶u (cid:254) ngh(cid:190)a cıa quan h» (cid:31)(cid:226).

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 43 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng H(cid:160)m c(cid:226) tŁc (cid:31)º t«ng kh(cid:230)ng (cid:31)Œi v(cid:160) qui t›c 70 trong kinh t‚

H(cid:160)m c(cid:226) tŁc (cid:31)º t«ng kh(cid:230)ng (cid:31)Œi v(cid:160) qui t›c 70 trong kinh t‚

Trong kinh t‚ c(cid:226) nhi•u (cid:31)⁄i l(cid:247)æng c(cid:226) tŁc (cid:31)º t«ng gƒn nh(cid:247) kh(cid:230)ng (cid:31)Œi trong mºt (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) th(cid:237)i gian. V‰ d(cid:246) d¥n sŁ d¥n sŁ t«ng v(cid:238)i tŁc (cid:31)º Œn (cid:31)(cid:224)nh 1.6% tr¶n n«m. H(cid:160)m sŁ y (cid:16) Ax a c(cid:226) tŁc (cid:31)º t«ng kh(cid:230)ng (cid:31)Œi l(cid:160) a t⁄i m(cid:229)i th(cid:237)i (cid:31)i”m t. Qui t›c 70 trong kinh t‚: Mºt (cid:31)⁄i l(cid:247)æng kinh t‚ t«ng v(cid:238)i tŁc (cid:31)º li¶n t(cid:246)c Œn (cid:31)(cid:224)nh α% tr¶n n«m. Khi (cid:31)(cid:226) sau 70{α n«m th… (cid:31)⁄i l(cid:247)æng n(cid:160)y s‡ t«ng g§p (cid:31)(cid:230)i.

Ghi ch(cid:243)

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 44 / 45

H(cid:160)m sŁ m(cid:244), h(cid:160)m sŁ logarit v(cid:160) øng d(cid:246)ng H(cid:160)m c(cid:226) tŁc (cid:31)º t«ng kh(cid:230)ng (cid:31)Œi v(cid:160) qui t›c 70 trong kinh t‚

V‰ d(cid:246)

a. D¥n sŁ Vi»t Nam n«m 2010 kho£ng 86 tri»u ng(cid:247)(cid:237)i v(cid:160) t«ng v(cid:238)i tŁc (cid:31)º Œn (cid:31)(cid:224)nh li¶n t(cid:246)c kho£ng 1.6% tr¶n n«m. H¢y t‰nh xem sau bao nhi¶u n«m nœa th… d¥n sŁ Vi»t Nam s‡ t«ng g§p (cid:31)(cid:230)i.

b. Mºt ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)em gßi 100 tri»u v(cid:160)o ng¥n h(cid:160)ng v(cid:238)i t¿ l» l¢i su§t li¶n t(cid:246)c Œn (cid:31)(cid:224)nh l(cid:160) 12% tr¶n n«m. T‰nh xem sau bao nhi¶u n«m th… sŁ ti•n cıa ng(cid:247)(cid:237)i n(cid:160)y s‡ t«ng g§p (cid:31)(cid:230)i.

Nguy„n Th(cid:224) Nhung ((cid:30)H TH(cid:139)NG LONG) (cid:30)⁄i SŁ v(cid:160) Gi£i t‰ch Ng(cid:160)y 17 th¡ng 12 n«m 2011 45 / 45