Bài giảng Đại số truyến tính

Chia sẻ: Vi Chiến Thắng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Thuật ngữ "tập hợp" được dùng rộng rãi trong toán học. Ta thường nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các đặc điểm trong mặt phẳng, tập nghiệm của một phương trình

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số truyến tính

0 bài gi ng đis tuy n tính Lê Th Nguy t Ngư i so n:
1 Chương 0 t p h p và ánh x Bài 1: t p h p I. Khái ni m t p h p. 1.1. Đ nh nghĩa. Thu t ng ”t p h p” đư c dùng r ng rãi trong toán h c. Ta thư ng nói v t p h p các s nguyên, t p h p các đi m trong m t ph ng, t p nghi m c a m t phương trình,.... T p h p là m t khái ni m cơ b n c a toán h c, nó đư c dùng làm cơ s cho các khái ni m khác nhưng b n thân nó không đư c đ nh nghĩa qua các khái ni m đơn gi n hơn. Ta có th hình dung t t c nh ng đ i tư ng xác đ nh nào đó h p l i t o thành m t t p h p. Khi nói v t p h p ta ch ra các đ i tư ng có tính ch t nào đó. Ch n h n, khi nói v t p h p các h c sinh c a m t l p h c, các đ i tư ng c a t p h p là h c sinh c a l p h c đó, khi nói v t p h p các s nguyên thì các đ i tư ng c a t p h p là các s nguyên. M i đ i tư ng c u thành t p h p đư c g i là m t ph n t c a t p h p. Đ ch a là m t ph n t c a t p A ta vi t a ∈ A(đ c là a thu c A). Vi t a ∈ A(đ c là a không / thu c A) nghĩa là a không là ph n t c a t p A. Ví d : chương trình toán ph thông ta đã bi t các t p h p sau a) T p h p N các s t nhiên. b) T p h p Z các s nguyên c) T p h p Q các s h u t d) T p h p R các s th c. 1.2 Cách mô t t p h p. Mu n mô t m t t p h p ta ph i làm đ rõ đ khi cho ta m t ph n t ta bi t đư c nó có thu c t p h p đã cho hay không. Thư ng có hai cách 1) Li t kê ra t t c các ph n t c a t p h p. 2) Mô t tính ch t c a t p h p. 1.3 T p r ng. Là t p h p không có ph n t nào và đư c ký hi u là ∅ II. S b ng nhau c a hai t p h p. III. Các phép toán trên t p h p. 3.1 Phép h p. H p c a hai t p h p A và B là t p h p g m t t c các ph n t thu c m t trong hai t p A ho c B , ký hi u là A ∩ B . Như v y A ∪ B = {x|x ∈ A ho c x ∈ B } T ng quát Ai = {x|∃i ∈ I : x ∈ Ai } i∈I 3.2 Phép giao. Giao c a hai t p h p A và B là t p h p t t c các ph n t đ ng th i thu c A và B . Ký hi u là A ∩ B . Như v y A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B } T ng quát Ai = {x|∀i ∈ I, x ∈ Ai } i∈I
2 3.3 Phép hi u. Hi u c a hai t p h p A và B là t p h p g m t t c các ph n t thu c A nhưng không thu c B . Ký hi u là A|B . V y A|B = {x|x ∈ A và x ∈ B } / N u B là con c a A thì A|B đư c g i là ph n bù c a B trong A. 3.4 Tích đ các. Tích đ các c a hai t p h p A và B là t p t t c các c p (a, b), trong đó a ∈ A, b ∈ B . Ký hi u là A × B . V y A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B } Tương t ta có th đ nh nghĩa tích đ các c a n t p h p A1 , A2, ..., An là A1 × A2 × ... × An = {(a1 , a2, ..., an)|a1 ∈ A1, a2 ∈ A2 , ..., an ∈ An } N u A1 = A2 = ... = An thì ta vi t An thay cho A × A × ... × A(n l n). 3.5 Các tính ch t. a) A ∪ B = B ∪ A b) A ∩ B = B ∩ A c) A ∪ A = A d) A ∩ A = A e) (A ∪ B ) ∩ C = A ∪ (B ∩ C ) f) (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) g) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) h) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) Tính ch t phân ph i ( Aα ) B= (Aα B) α∈I α∈I ( Aα ) B= (Aα B) α∈I α∈I Quy t c De Morgan. Cho Aα , α ∈ I là các t p con c a t p X . Ta có X| Aα = (X |Aα ) α∈I α∈I X| Aα = (X |Aα ) α∈I α∈I
3 ánh x Bài 2: I. Các khái ni m cơ b n 1.1 Đ nh nghĩa. Cho X và Y là các t p khác r ng. M t ánh x t t p X vào t p Y là m t quy t c đ t tương ng m i ph n t x c a t p X v i m t ph n t xác đ nh duy nh t y c a t p Y . Khi đó ph n t y đư c g i là nh c a c a ph n t x qua ánh x đã cho. Thông thư ng, ánh x đư c ký hi u b ng m t ch . Thu t ng "ánh x f t X vào Y mà ph n t x đư c đ t tương ng v i nh y = f (x)” đư c ký hi u như sau f : X −→ Y x → y = f ( x) T p h p X đư c g i là t p ngu n ho c là mi n xác đ nh c a f . T p h p Y đư c g i là t p đích c a f . Ví d : 1) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ng f : X −→ Y 1 →a 2 →c 3 →d 4 →b là ánh x . 2) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ng g : X −→ Y 1 →a 2 →a 3 →d 4 →b là ánh x . 3) Cho X = {1, 2, 3, 4, 5}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ng h : X −→ Y 1 →a 2 →a 3 →d 4 →b
4 không là ánh x . 4) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, d}. Khi đó tương ng k : X −→ Y 1 →a 2 →a 3 →d 4 →b là ánh x . 5) Cho X = N t p các s t nhiên, Y = {0, 1}. Quy t c m xác đ nh b i 1 − (−1)x 0, n u x ch n m ( x) = = 2 1, n u x l là ánh x . 6) Tương ng n : R −→ Z x → n ( x) = [ x] là ánh x . 1.2 Đ nh nghĩa. Hai ánh x f : X −→ Y và f1 : X1 −→ Y1 đư c g i là b ng nhau n u X = X1 , Y = Y1 và v i m i x ∈ X, f (x) = f1 (x). Gi s f : X −→ Y là ánh x . T p h p f (X ) = {f (x)|x ∈ X } đư c g i là nh c a ánh x f và đư c ký hi u là Imf . N u A là t p con c a X thì t p f (A) = {f (x)|x ∈ A} đư c g i là nh c a t p A qua ánh x f . N u y ∈ Y là m t ph n t c đ nh thì t p f −1 (y ) = {x ∈ X |f (x) = y } đư c g i là ngh ch nh c a y b i ánh x f . N u B ⊂ Y thì t p h p f −1 = {x ∈ X |f (x) ∈ B } đư c g i là ngh ch nh c a B 1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Đơn ánh. ánh x f : X −→ Y đư c g i là đơn ánh n u v i m i y ∈ Y, t p f −1 (y ) có không quá m t ph n t . Như v y, f là đơn ánh khi và ch khi ∀x1, x2 ∈ X, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
5 hay x1 = x2 ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 ) Toàn ánh. ánh x f : X −→ Y đư c g i là toàn ánh u v i m i y ∈ Y, t p h p f −1 (y ) = ∅ . T c là ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f (x) = y . Như v y f là toàn ánh khi và ch khi Imf = Y. Song ánh. ánh x f : X −→ Y đư c g i là n u f đ ng th i là đơn ánh và là toàn ánh. Như v y f là song ánh n u và ch n u v i m i y ∈ Y, ∃!x ∈ X : f (x) = y. Câu h i: Trong các ánh x f, g, k, m, n trên ánh x nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? II. Tích các ánh x . 2.1 Đ nh nghĩa. Cho hai ánh x f : X −→ Y, g : Y −→ Z. Tích c a hai ánh x f và g là ánh x h : x −→ Z đư c đ nh nghĩa theo quy t c sau ∀x ∈ X, h(x) = g (f (x)). Tích c a hai ánh x f và g đư c ký hi u là go f ho c gf . Như v y ta có ∀x ∈ X, (go f )(x) = g (f (x)). Ví d : Cho f : R −→ R; g : R −→ R đư c xác đ nh b i f (x) = x2 , g (x) = x2 +2x +8. Khi đó (go f )(x) = g (f (x)) = g (x2 ) = x4 + 2x2 + 8. và (fo g )(x) = f (g (x)) = f (x2 + 2x + 8) = (x2 + 2x + 8)2 . Như v y, nói chung go f = fo g. 2.2 Đ nh lý. Cho các ánh x f : X −→ Y, g : Y −→ Z, h : Z −→ W. Khi đó ho (go f ) = (ho g )o f 2.3 Đ nh lý. Cho f : X −→ Y, g : Y −→ Z là các ánh x . Khi đó a) N u f và g là đơn ánh thì go f là đơn ánh. b) N u f và g là toàn ánh thì go f là toàn ánh. c) N u f và g là song ánh thì go f là song ánh. III. ánh x ngư c. 3.1 Đ nh nghĩa. Cho f : X −→ Y là song ánh. V i m i y ∈ Y t n t i duy nh t m t ph n t x sao cho f (x) = y . ánh x f −1 : Y −→ X đ t tương ng m i ph n t y v i ngh ch nh x c a nó b i f đư c g i là ánh x ngư c c a f . Như v y ta có ∀y ∈ Y, f −1 (y ) = x ⇔ f (x) = y. Ta th y r ng ánh x ngư c f −1 c a song ánh f cũng là song ánh và ta có 3.2 M nh đ . N u f : X −→ Y là song ánh thì a)(f −1 )−1 = f, b) fo f −1 = 1Y , fo 1 f = 1X . − 3.3 Đ nh lý. Cho ánh x f : X −→ Y . N u t n t i ánh x g : Y −→ X sao cho go f = 1X , fo g = 1Y thì f là song ánh và g = f −1 . 3.4 Đ nh lý. N u f : X −→ Y, g : Y −→ Z là song ánh thì go f là song ánh và (go f )−1 = f −1 g −1 .
6 bài t p Bài 1: Cho các ánh x f : A −→ B sau, ánh x nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh a) A = R, B = R, f (x) = x + 7; b) A = R, B = R, f (x) = x2 + 2x − 3; c) A = [4, 9], B = [21, 96], f (x) = x2 + 2x − 3; d) A = R, B = (0, +∞), f (x) = ex+1 ; e) A = N, B = N, f (x) = x(x + 1). Bài 2: a)Cho ánh x f : R −→ R xác đ nh b i 2x f ( x) = 1 + x2 Nó có đơn ánh, toàn ánh? Tìm nh f (R). 1 b) Cho ánh x g : R/{0} −→ R xác đ nh b i x → . x Tìm nh fo g. Bài 3: Xét hai ánh x f : R −→ R xác đ nh b i f (x) = |x|; √ g : [0, +∞) −→ R xác đ nh b i x → x Hãy so sánh fo g và go f . Bài 4: Cho hai t p E và F và ánh x f : E −→ F . A và B là hai t p con c a A. Ch ng minh a) A ⊂ B ⇔ f (A) ⊂ f (B ); b) f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ); c) f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B ); d) N u f là đơn ánh thì f (A ∩ B ) = f (A) ∩ f (B ).
7 Chương I C u trúc đ i s - s ph c Bài 1: lu t h p thành trong trên m t t p h p I. Khái ni m lu t h p thành trong. 1.2 Đ nh nghĩa: Lu t h p thành trong trên t p E , hay phép toán trên E , là m t quy lu t khi tác đ ng lên hai ph n t a và b c a E s t o ra m t và ch m t ph n t cũng c a E . Theo nghĩa ánh x , lu t h p thành trong trên t p E là m t ánh x t E t i E . 1.2 Tính ch t c a m t lu t h p thành trong. M t lu t h p thành trong (∗) trên t p E có th có m t s tính ch t sau đây. 1. Tính k t h p. Lu t h p thành trong (∗) trên t p E có tính k t h p n u ∀a, b, c ∈ E : a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c Vd: Phép c ng và phép nhân trên các t p h p N, Z, Q, R có tính k t h p. 2. Tính giao hoán: Lu t h p thành trong (∗) trên t p E có tính giao hoán n u ∀a, b : a ∗ b = b ∗ a. Vd: Phép c ng và phép nhân trên các t p h p N, Z, Q, R có tính giao hoán. 3) Ph n t trung hòa: Lu t h p thành trong (∗) trên t p E có tính trung hòa là e n u e ∈ E và ∀a ∈ E : a ∗ e = e ∗ a = a. Vd: Phép c ng và phép nhân trên các t p h p N, Z, Q, R có ph n t trung hòa là 0. 4) Ph n t đ i x ng: Ph n t a ∈ E đư c g i là ph n t đ i c a a ∈ E n u a ∗ a = a ∗ a = e. Vd: Đ i v i phép c ng trên t p h p Z, Q, R, m i ph n t a đ u có ph n t đ i là −a. 1.3. Khái ni m v c u trúc đ i s . M t t p có trang b m t hay nhi u lu t h p thành trong v i nh ng tính ch t xác đ nh t o thành m t trong nhãng đ i tư ng toán h c đư c g i là c u trúc đ i s . Sau đây ta s nghiên c u các c u trúc nhóm, vành, trư ng và đ c bi t là trư ng s ph c.
8 các c u trúc đ i s Bài 2: I. C u trúc Nhóm. 1.1 Đ nh nghĩa: M t t p G không r ng đư c trang b m t lu t h p thành trong (∗) đư c ký hi u là (G, ∗). C p (G, ∗) đư c g i là m t nhóm n u th a mãn ba tính ch t sau 1) Phép toán (∗) có tính k t h p. 2) Phép toán (∗) có ph n t trung hòa e. 3) M i ph n t c a G đ u có ph n t đ i. Ba tính ch t trên đư c g i là ba tiên đ c a nhóm. N u có thêm tính ch t th tư : Phép toán (∗) có tính giao hoán thì nhóm (G, ∗) đư c g i là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. Ví d : Các c p (Z, +), (Q, +), (R, +) là nh ng nhóm giao hoán. 1.2 M t s tính ch t c a nhóm. Ta có các tính ch t sau đây: 1) Ph n t trung hòa e là duy nh t. 2) Ph n t đ i c a m t ph n t a b t kỳ là duy nh t. 3) Có quy t c gi n ư c a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y. II. C u trúc vành. 2.1 Đ nh nghĩa: T p A khác r ng đư c trang b hai phép toán, phép toán th nh t g i là phép c ng, vi t là +, phép toán th hai g i là nhân, vi t là .. B ba (A, +, .) đư c g i là m t vành n u th a mãn các tính ch t sau đây. 1) C p (A, +) là m t nhóm giao hoán. 2) Phép nhân có tính ch t k t h p. 3) Phép nhân có tính phân ph i v hai phía đ i v i phép c ng, nghĩa là ∀a, b, c ∈ A ta có a.(b + c) = a.b + a.c (b + c).a = b.a + c.a N u phép nhân có tính giao hoán thì ta nói vành A có tính ch t giao hoán. N u phép nhân có ph n t trung hòa, ký hi u là 1 thì vành A đư c g i là vành có đơn v . Ví d : Các vành (Z, +, .), (Q, +, .), (R, +, .) là các vành có đơn v . 2.3 Vành nguyên Đ nh nghĩa: Vành (A, +, .) đư c g i là vành nguyên n u có tính ch t a.b = 0 ⇒ a = 0 ho c b = 0. Ví d : Các vành (Z, +, .), (Q, +, .), (R, +, .) là các vành nguyên. V y trong vành nguyên ta có: Đi u ki n c n và đ đ m t tích b ng không là m t trong hai nhân t ph i b ng không. III. C u trúc trư ng. 3.1 Đ nh nghĩa: Cho K là m t t p khác r ng đư c trang b hai phép toán c ng (+) và nhân (.). Ta nói b ba (K, +, .) hay K là m t trư ng n u th a mãn cá tính ch t sau: 1) (K, +, .) là m t vành giao hoán có đơn v . 2) V i m i a ∈ K, a = 0(ph n t trung hòa c a phép +), t n t i ph n t a sao cho a.a = a .a = 1, ph n t a đư c g i là ph n t ngh ch đ o c a a. 3.2. M t s tính ch t
9 1) Trư ng là m t vành nguyên. 2) K là m t trư ng thì K {0} là m t nhóm đ i v i phép nhân. Bài 3: s ph c 1. Tính ch t c a t p h p s th c: Trên t p h p R các s th c ta có các phép toán c ng hai s th c và nhân hai s th c. Các tính ch t này có tính ch t cơ b n sau đây. V i m i s th c a1 , a2, a3 ∈ R, 1) a1 + a2 = a2 + a1 , 2) (a1 + a2) + a3 = a1 + (a2 + a3), 3) a1 + 0 = a1, 4) a1 + (−a1) = 0, 5) a1a2 = a2a1 , 6) (a1a2)a3 = a1(a2 a3), 7) a1.1 = a1 , 1 8) a1. = 1, (a1 = 0), a1 9) a1(a2 + a3 ) = a1 a2 + a1a3 . Các tính ch t 1) − 9) c a các phép toán c ng và nhân trên R đư c g i là tính ch t trư ng c a R và t p h p R đư c g i là trư ng s th c. 2. Xây d ng trư ng s ph c. Nhi u bài toán trong toán h c d n đ n các phương trình đ i s . Đ gi i quy t các bài toán này, m t trong nh ng yêu c u đư c đ t ra là m r ng các h th ng s đ cho các phương trình đó có nghi m. Trong t p h p N các s t nhiên, phương trình x + 3 = 0 không có nghi m. Đ gi i đư c phương trình này, ngư i ta đã m r ng t p h p N ra t p h p Z. Trong t p Z, phương trình 3x = 1 không có nghi m. Đ gi i đư c phương trình này, ngư i ta m r ng t p Z ra t p h p Q. Trong t p h p Q, phương trình x2 = 3 không có nghi m. Đ gi i đư c phương trình này, ngư i ta m r ng t p Q ra r p R. Khi m r ng h th ng s , h th ng m i gi nguyên các tính ch t c a h th ng trư c đó và có thêm các tính ch t thu n ti n cho vi c tính toán. Ta th y r ng, phương trình x2 + 1 = 0 không có nghi m trong t p h p các s th c R. Vì v y c n thi t ph i m r ng h th ng s R ra h th ng s m i, đư c g i là s ph c mà phương trình x2 + 1 = 0 có nghi m trong t p h p các s ph c. Ký hi u C = R2 = {(x, y )/x, y ∈ R}, m i ph n t c a C đư c g i là m t s ph c. Phép c ng và nhân s ph c. Cho hai s ph c z1 = (x1, y1 ), z2 = (x2, y2 ) ∈ C. Ta đ nh nghĩa phép toán c ng và nhân s ph c như sau. z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2, x1y2 + x2 y1) Đ c bi t, (x1, 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2, 0), (x1, 0)(x2 , 0) = (x1 x2, 0) Như v y khi c ng và nhân các s ph c d ng (x, 0) ta đư c m t s ph c d ng (x, 0). Vì v y có th đ ng nh t s ph c d ng (x, 0) v i s th c x. T c là x = (x, 0).
10 B ng cách đó t p s th c R đư c xem là t p con c a t p h p các s ph c C. Ký hi u i = (0, 1) ∈ C, ta có i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Như v y i2 + 1 = 0, nên i là nghi m c a phương trình x2 + 1 = 0. S ph c i đư c g i là đơn v o c a C. V i cách đ ng nh t x = (x, 0), m t s ph c z = (x, y ) đư c vi t dư i d ng z = (x, y ) = (x, 0) + (0, y ) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy (∗). Công th c (∗) đư c g i là d ng đ i s c a s ph c z , s th c x đư c g i là ph n th c c a s ph c z và đư c ký hi u là Rez , s th c y đư c g i là ph n o c a s ph c z và đư c ký hi u là Imz . Dùng công th c (∗), phép c ng và nhân s ph c đư c vi t l i như sau (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2 ), (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2 ) + i(x1y2 + x2 y1). D dàng ch ng minh đư c r ng phép c ng và phép nhân s ph c có đ y đ các tính ch t c a m t trư ng và t p h p C đư c g i là trư ng s ph c. S ph c z = x − iy đư c g i là s ph c liên h p c a s ph c z = x = iy . Rõ ràng ta có z1 + z2 = z 1 + z 2, z1 z2 = z1z2. Gi s z = x + iy = 0, khi đó x2 + y 2 > 0, ký hi u ϕ là góc xác đ nh b i x y cos ϕ = , sin ϕ = . x2 + y 2 x2 + y 2 Góc ϕ xác đ nh sai khác m t b i c a 2π . Nó đư c g i là acgumen c a z và đư c ký hi u là argz . N u z = x + iy thì s th c | z |= x2 + y 2 đư c g i là moddun c a z . Ta có ngay b t đ ng th c sau | z1 + z2 | | z1 | + | z2 | . V i các ký hi u trên s ph c z đư c bi u di n dư i d ng z =| z | (cos ϕ + i sin ϕ)(∗∗). Công th c (∗∗) đư c g i là d ng lư ng giác c a s ph c z . N u z1 =| z1 | (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 =| z2 | (cos ϕ2 + i sin ϕ2) thì z1z2 =| z1 || z2 | (cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )). Do đó |z1 z2| = |z1||z2|, arg (z1 z2) = argz1 + argz2. T đây ta suy ra r ng, v i n là s nguyên thì z n = |z |n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)). Công th c này đư c g i là công th c Moivre. n S ph c z0 đư c g i là căn b c n c a s ph c z n u z0 = z . T p h p t t c các căn √ b c n c a s ph c z đư c ký hi u là z . n Và ta có th suy ra √ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ z = { n |z |(cos n /k ∈ Z} + i sin n n
11 bài t p 1. Tính các bi u th c sau √ √ 60 1 + 3i 20 a) (1 + 3i) , ( ) 1√ i − √ 3 + i 12 b) (2 − 2 + i)12, ( ) 1−i √ 1−i 3 n √ √ ) , 3 2 − 3i, 3 − 4i c) ( 2 1 1 2. Ch ng minh r ng n u z + = 2 cos ϕ thì z n + n = 2 cos nϕ, v i n ∈ Z. z z
12 Chương II ma tr n- đ nh th c Bài 1: ma tr n I. Khái ni m v ma tr n. Cho M là m t t p h p và m, n là các s nguyên dương. Ta g i m t ma tr n c m × n trên M là m t b ng hình ch nh t   a11 a12 . . . a1n  a21 . . . a2n  a22 A= . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn g m mn ph n t c a M đư c x p thành m hàng và n c t. V i 1 i m, 1 j n, ph n t aij đư c g i là ph n t hàng th i, c t th j c a ma tr n A hay cũng g i là ph n t v trí (i, j ) c a A. Ta g i i là ch s hàng và j là ch s c t. Đ đơn gi n ma tr n A còn đư c vi t dư i d ng A = [aij ], i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. Hai ma tr n A = [aij ] và B = [bij ] đư c g i là b ng nhau n u chúng cùng c và aij = bij v i m i i, j . Ma tr n A c n × n đư c g i là ma tr n vuông c p n. Ma tr n c 1 × n đư c g i là ma tr n hàng, ma tr n c n × 1 đư c g i là ma tr n c t. T đây v sau ta ch xét ma tr n trên trư ng K v i K là trư ng s th c R và trư ng s ph c C. Tuy nhiên, đ đơn gi n h u h t các ví d đư c cho trên trư ng s th c R. Ma tr n c m × n g m mn s 0 đư c g i là ma tr n không. Ma tr n   1 0 ... 0  0 1 ... 0 I = In  . . . . . . .. . 0 0 ... 1 đư c g i là ma tr n đơn v c p n. II. Các phép toán trên ma tr n. 2.1 Phép c ng Đ nh nghĩa: Cho A = [aij ] và B = [bij ] là các ma tr n c m × n. T ng c a hai ma tr n A và B là ma tr n C = [cij ] c m × n, trong đó cij = aij + bij v i m i i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. Ký hi u là C = A + B . 123 456 57 9 Ví d : + = 321 789 10 10 10 T đ nh nghĩa v phép toán c ng ma tr n, ta có các tính ch t đơn gi n sau. Tính ch t: cho A, B, C là các ma tr n c mXn trên K . Khi đó a) A + (B + C ) = (A + B ) + C, b) A + B = B + A, c) A + 0m,n = Am,n + A = A, d) V i A = [aij ], ký hi u −A = [−aij ]. Khi đó A + (−A) = 0. Ma tr n −A đư c g i là ma tr n đ i c a A. Ta có đ nh nghĩa sau. Đ nh nghĩa: N u A, B là các ma tr n cũng c thì ta có A − B = A + (−B )
13 2.2 Phép nhân m t s v i ma tr n. Đ nh nghĩa: Cho A = [aij ] là ma tr n c m × n và α ∈ K . Tích c a α v i A là ma tr n B = [bij ] c mXn và bij = αaij v i m i i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. 123 36 9 Ví d : 3 = 456 12 15 18 Ta có các tính ch t sau đây Cho A, B là các ma tr n c m × n và α, β ∈ K. Khi đó a)1.A = A, b) (αβ )A = α(βA), c) (α + β )A = αA + βA, d) α(A + B ) = αA + αB . 2.3 Phép nhân các ma tr n. Đ nh nghĩa: Cho A = [aij ] là ma tr n c m × n và B = [bjk ] là ma tr n c m × p. Tích c a các ma tr n A và B là ma tr n C = [cik ] c m × p, trong đó n cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + ain bnk = aij bjk j =1 v i i = 1, 2, ..., m; k = 1, 2, ..., p. Khi đó ta ký hi u C = AB . Ta th y r ng ai1, ai2, ..., ain là các ph n t hàng th i c a A và các ph n t bik , b2k , ..., bnk là các ph n t c t th k  a B . c  12 3 12 5 ;B =  3 2 1 , khi đó Ví d 1: Cho A = 0 −1 1 1 2−2 9 12 −11 C = AB = 1 1 −1 1+i 2 −1 0 Ví d 2: Cho A = ;B = . Khi đó −1 1 4−i 1 7 − 3i 2 −1 − i −2 AB = A = ; BA = A = 5−i 1 4 + 3i 9 − 2i Như v y, v i A, B là các ma tr n vuông c p n thì nói chung AB = BA. Tính ch t: 1) Cho A, B, C l n lư t là các ma tr n c m × n, n × p, p × q và α ∈ K . Khi đó a)A(BC ) = (AB )C, b) α(AB ) = (αA)B = A(αB ), c) AIn = Im A = A 2) N u A, B là các ma tr n c m × n, C là ma tr n c n × p thì (A + B )C = AC + BC. 3) N u A là ma tr n c m × n, và B, C là các ma tr n c n × p thì A(B + C ) = AB + AC.
14 2.4 Ma tr n chuy n v . Đ nh nghĩa: Cho ma tr n A c m × n   a11 a12 . . . a1n  a21 . . . a2n  a22 A= . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn Ma tr n   a11 a21 . . . am1  a12 . . . am2  a22 Ac =  . . . . . . . . . a1n a2n . . . amn đư c g i là ma tr n chuy n v c a A. Như v y, n u A = [aij ] thì Ac = [aji] v m i i,  i j. 14 123 thì Ac =  2 5  Ví d : Cho A = 456 36 III. Các phép bi n đ i sơ c p. Cho ma tr n A trên K . Các phép bi n đ i sơ c p các hàng c a ma tr n A là các phép bi n đ i sau: 1) Đ i v trí hai hàng(hai c t) c a ma tr n A .  . . . . . . . . . . . . . . . . . a  a . . . ajn  ai2 . . . ain aj 2  i1   j1  .  . . . .  −→  . . . . . . . . . . . . .    aj 1 . . . ajn   ai1 . . . ain  aj 2 ai2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Nhân m t hàng(m t c t) c a ma tr n A v i m t s α = 0, t c là các ph n t c a hàng(c t) đó đư c nhân v i α. . .  .  . . . . . . . . . . . . . . .    α  ai1 ai2 . . . ain  =  αai1 . . . αain  αai2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) C ng vào hàng(c t) th i m t b i α c a hàng(c t) th j c a ma tr n A.   . . . . . . . . . . . . . . . . . .   a   ai1 + αaj 1 ai2 + αaj 2 . . . ain + αajn   i1 ai2 . . . ain  .  . . . . . .  −→  .  . . . . . . . . . .        aj 1 aj 2 . . . ajn  aj 1 aj 2 . . . ajn   . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 N u ma tr n B nh n đư c t ma tr n A b ng các phép bi n đ i sơ c p thì ta nói A tương đương v i B và ký hi u A ∼ B . Bây gi ta xét m t d ng ma tr n đ c bi t mà đư c g i là ma tr n d ng b c thang. 3.1 Đ nh nghĩa: Cho ma tr n A = [aij ] c m × n. Hàng th i c a A đư c g i là b ng không n u t t c các ph n t c a hàng đó b ng không. T c là aij = 0, ∀j = 1, 2, ..., n. Ph n t aij đư c g i là ph n t khác không đ u tiên c a hàng th i n u aik = 0, v i m i k = 1, 2, ..., j − 1 và aij = 0. Các khái ni m c t b ng không và ph n t khác không đ u tiên khác không c a c t đư c đ nh nghĩa tương t . Ma tr n A đư c g i là ma tr n có d ng b c thang n u nó có các tính ch t sau đây. i) N u hàng th i c a A b ng không thì hàng th i + 1 c a A ph i b ng không. ii) N u các ph n t khác không đ u tiên c a hàng th i và i + 1 n m c t th j và th k thì j < k .   12 5 Ví d : Ma tr n  0 −1 1  là ma tr n b c thang. 0 0 1  12 5  0 −1 1  không là ma tr n b c thang. Ma tr n 02 1 3.2 Đ nh lý: M i ma tr n đ u có th chuy n v d ng b c thang b ng các phép bi n đ i sơ c p. Nói cách khác m i ma tr n đ u tương đương v i m t ma tr n b c thang. Ch ng minh: Gi s A là ma tr n c m × n. Ta ch ng minh đ nh lý trên b ng phương pháp quy n p theo m. N u m = 1 thì hi n nhiên A có d ng b c thang. Gi s m > 1 và đ nh lý đúng đ i v i m i ma tr n có (m − 1) hàng. N u A là ma tr n không thì nó là ma tr n b c thang. Gi thi t A là ma tr n khác không. Gi s j1 là c t khác không đàu tiên c a A. Nh phép đ i ch hai hàng ta có th gi aij1 thi t a1j1 = 0. C ng vào hàng th i c a A v i b i − , i = 2, 3, ..., n c a hàng th a1j1 nh t, ma tr n A đư c đưa v d ng   0 . . . 0 a1j1 a1j1 +1 . . . a1n 0 . . . b2n  ... 0 0 b2j1 +1 A= . . . . . . ... . ... . . . . ... . 0 ... 0 0 bmj1 +1 . . . bmn Ma tr n   b2j1 +1 . . . b2n . . ... .  A= . . . bmj1 +1 . . . bmn có m − 1 hàng, theo gi thi t quy n p ma tr n này có th đưa v d ng b c thang nh các phép bi n đ i sơ c p. Do đó ma tr n A cũng đưa đư c v d ng b c thang. Ví d : Đưa ma tr n sau đây v d ng b c thang nh các phép bi n đ i sơ c p v hàng.
16   1 2 5 A=2 −1 1  3 2 1 3.3 Đ nh nghĩa: - Cho ma tr n vuông A = [aij ] c p n. Ma tr n A đư c g i là ma tr n đư ng chéo n u aij = 0, v i m i i = j . Nghĩa là   a11 0 ... 0  0 a22 . . . 0  A= .  . . .  . . . . . 0 0 . . . ann - Ma tr n A đư c g i là ma tr n tam giác trên n u aij = 0 v i m i i > j. Nghĩa là   a11 a12 . . . a1n  0 a22 . . . a2n  A= . . . . . . . . . 00 ... ann . - Ma tr n A đư c g i là ma tr n tam giác dư i n u aij = 0 v i m i i < j . Nghĩa là   a11 0 ... 0  a21 a22 . . . 0  A= . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann bài t p Bài 1: Th c hi n các phép tính n λ1 cos α − sin α cos β − sin β a) ; b) 0λ sin α  α cos sin β cos  β  3 + 2i −4 5 3+i 15 n cos α − sin α d)  2 1  1 9 − 2i  c) −3 sin α cos α 3  5 + i −1 − 0 −1   1   2 5 32 50 14 5 5  −1 5 e)  0 −1 1 2    + 3 −1 2  2 −1 1  32 10 30 1 3 2 1 14 5 Bài 2: Cho ma tr n A =  3 −1 2  30 1 3 Tính A − 2A + I, v i I là ma tr n đơn v c p 3.
17 Bài 2: Đ nh th c I. Đ nh th c c a ma tr n vuông. Xét ma tr n vuông c p n   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A= . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann N u b đi hàng th i và c t th j t ma tr n A thì ta thu đư c m t ma tr n vuông c p n − 1. Ta ký hi u nó là ma tr n Mij và g i nó là ma tr n con ng v i ph n t aij . Ta đ nh nghĩa đ nh th c c a ma tr n m t cách quy n p như sau. Đ nh nghĩa: Đ nh th c c a ma tr n A, ký hi u là det(A) ho c |A| và đư c đ nh nghĩa như sau. A là ma tr n c p 1: A = [a11] thì det(A) = a11. a11 a12 A là ma tr n c p hai A = thì a21 a22 a11 a12 det(A) = = a11det(M11) − a12det(M12) = a11a22 − a12a21 a21 a22 T ng quát, A là ma tr n vuông c p n thì a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n = a11det(M11)−a12det(M12)+. . .+(−1)n+1 a1n det(M1n ) det(A) = . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann (Chú ý ràng a11, a12...., a1n là các ph n t n m hàng th nh t c a ma tr n A. Đ nh th c c a ma tr n c p n đư c g i là đ nh th c c p n. 123 56 46 45 Ví d : 4 5 6 = 1 −2 +3 =0 89 79 78 789 II. Tính ch t c a đ nh th c. Tính ch t 1: N u A là ma tr n vuông c p n và Ac là chuy n v c a A thì |A| = |Ac |. T tính ch t này ta tháy r ng, các tính ch t c a đ nh th c đúng v i hàng thì s đúng v i c t và ngư c l i. Do đó t đây v sau ta ch ch ng minh các tính ch t c a đ nh th c đ i v i hàng và k t qu đó cũng đúng đ i v i c t. Tính ch t 2. N u ma tr n vuông c p n A thu đư c t ma tr n A b ng cách đ i ch hai hàng thì |A | = −|A|. Tính ch t 3. N u m t hàng c a ma tr n vuông c p n b ng không thì đ nh th c c a ma tr n đó b ng không. Tính ch t 4. N u ma tr n vuông A có hai hàng gi ng nhau thì |A| = 0. Tính ch t 5. N u ma tr n A nh n đư c t ma tr n A b ng cách nhân m t hàng v i s k thì |A | = k |A| Tính ch t 6. N u ma tr n A có hai hàng t l thì đ nh th c |A| = 0
18 Tính ch t 7. Khi t t c các ph n t c a m t hàng nào đó c a ma tr n A có d ng t ng c a hai s h ng thì đ nh th c c a A có th phân tích thành t ng c a hai đ nh th c. C th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 + ci1 ai2 + ci2 . . . ain + cin ai1 ai2 . . . ain ci1 ci2 . . . cin . . . . . . . . . . . . =. . . +. . . . . . . . . . . . aj 1 aj 2 . . . ajn aj 1 aj 2 . . . ajn aj 1 aj 2 . . . ajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính ch t 8. C ng thêm vào m t hàng c a ma tr n A m t b i c a hàng khác thì đ nh th c c a A không đ i. C th . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 + αaj 1 ai2 + αaj 2 . . . ain + αajn ai1 ai2 . . . ain . . . . . . =. . . . . . . . . . . . aj 1 aj 2 . . . ajn aj 1 aj 2 . . . ajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính ch t 9. N u ma tr n A có m t hàng là t h p tuy n tính c a các hàng khác thì đ nh th c c a nó b ng không. Tính ch t 10. Đ nh th c c a ma tr n tam giác b ng tích các ph n t n m trên đư ng chéo. a11 a12 . . . a1n a11 0 ... 0 0 a22 . . . a2n a21 a22 ... 0 =. = a11a22....ann . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ann an1 an2 . . . ann 1234 2345 Ví d 1: Tính đ nh th c HD: Chuy n ma tr n c n tính đ nh th c v 3456 4567 d ng b c thang b ng các phép bi n đ i sơ c p v hàng. Ví d 2: Đ nh th c Vandermonde là đ nh th c 1 1 1 ... 1 a1 a2 a3 . . . an a2 a2 a2 . . . a2 d= 1 2 3 n . . . . . . . . . . . ... . an−1 an−1 an−1 . . . an−1 1 2 3 n B ng cách quy n p theo n ta có th ch ng minh đư c r ng d = Π1 i j n (aj − ai ). Th t v y, 11 V i n = 2, ta có = a2 − a1 . a1 a2
19 Gi s n > 2 và công th c đúng trong trư ng h p đ nh th c c p n − 1. C ng vào các hàng th i c a d v i b i −a1 c a hàng th i − 1, 2 i n, ta đư c 1 1 1 ... 1 0 a2 − a1 a3 − a1 . . . an − a1 a2 − a1 a2 a2 − a1a3 . . . a2 − a1an 0 d= 2 3 n . . . . . . . . . , . . ... . 0 an−1 − a1 an−2 an−1 − a1an−2 . . . an−1 − a1an−2 2 2 3 3 n n Khai tri n đ nh th c d theo c t th nh t và rút ra th a s chung ta đư c 1 1 ... 1 a2 a3 . . . an a2 a2 . . . a2 d = (a2 − a1)(a3 − a1 )....(an − a1) 2 3 n . . . . . . . . ... . an−2 an−2 . . . an−2 2 3 n Bây gi dùng gi thi t quy n p ta đư c d = (a2 − a1)(a3 − a1 ).....(an − a1 )Π2 i j n (aj − ai) = Π1 i j n (aj − ai) II. Đ nh th c c a tích các ma tr n vuông. Đ nh lý: Đ nh th c c a tích các ma tr n vuông b ng tích các đ nh th c c a các ma tr n này. Nghĩa là |AB | = |A||B |. Chú ý: Đ i v i m t đ nh th c c p ba ngoài đ nh nghĩa và phương pháp đưa v d ng tam giác còn có thêm phương pháp tam giác và phương pháp đư ng chéo. bài t p Bài 1. Tính các đ nh th c sau 1−i 1 0 cos α − sin α sin α sin β a) ; b) ; c) 1 0 −1 sin α − cos α cos α cos β 1 1 + 3i 0 Bài 2. Ch ng minh r ng b+c c+a a+b a b c b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1 = 2 a1 b1 c1 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 a2 b2 c2 Bài 3. Bi t r ng các s 20604, 53227, 25755, 20927 và 289 chia h t cho 17. Ch ng minh r ng đ nh th c 20604 53227 25755 20927 00289 chia h t cho 17.