Bài giảng điện tử Toán 1: Bài 5 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Chia sẻ: Nguyễn Huy Vinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn chuyên ngành Toán học có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài 5 "Khai triển Taylor và Maclaurint" thuộc bài giảng điện tử Toán 1 dưới đây. Nội dung bài giảng trình bày về ba định lý trung bình, công thức khai triển Taylor, công thức triển khai Mac-Laurint, phương pháp tìm khai triển Taylor,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng điện tử Toán 1: Bài 5 - TS. Nguyễn Quốc Lân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------ BGĐT – TOÁN 1 BÀI 5: KHAI TRIỂN TAYLOR & MACLAURINT TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- BA ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH 2- CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR 3- CÔNG THỨC KHAI TRIỂN MAC - LAURINT 4- PHƯƠNG PHÁP TÌM KHAI TRIỂN MAC - LAURINT 5- PHƯƠNG PHÁP TÌM KHAI TRIỂN TAYLOR 6- ÁP DỤNG: TÌM GIỚI HẠN & TÍNH GẦN ĐÚNG 7- QUY TẮC LOPITAN (L’HOSPITAL) 2
Các định lý trung bình và quy tắc L’Hopital Hàm f(x) Đạo hàm f (x) / Định lý trung bình 3
1. CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cực trị tại x0: $ e > 0 : " x Î (x0 – e, x0 + e) Þ f(x) £ f(x0) Fermat: f đạt cực trị tại x0 Î (a,b) & khả vi tại x0 Þ f’(x0) = 0 Minh hoạ hình học: Ý nghĩa: Tìm GT lớn (bé) nhất của y = f(x) trên [a, b]: Ø Xét giá trị 2 đầu x = a, b Ø Xét tại x0Î(a,b): f’(x0) = 0 “Quên” 2 đầu: Ví dụ: y = x, x Î [0, 1] ® $ min, max?4
1. ĐỊNH LÝ ROLLE --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a, b), f(a) = f(b) Þ $ x0Î(a, b): f’(x0) = 0 Minh hoạ hình học: VD: Chứng minh phương trình 4ax3 + 3bx2 + 2cx – (a + b + c) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thực trong khoảng (0, 1) Giải: Xét hàm phụ 5
1. ĐỊNH LÝ LAGRANGE --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) Þ $ c Î (a, b): f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) Áp dụng: Khảo sát tính đơn điệu của hàm y = f(x) bằng đạo hàm VD: CMinh BĐThức arctgx - arctgy £ x - y 6
Hà m Đạo hàm 7
q nằm giữa x và x0 8
9
» Nếu bỏ phần dư thì có thể coi hàm f(x) trong miền đủ gần x0 như là một đa thức bậc n theo (x-x0) 10
11
12
13
Chú ý : Có thể viết w « x 14
f ( x) = e x 0 f ( 0) = 1 x 1 f ' ( 0) = 1 e x e 2 f ' ' (0) = 1 x n e f ( n ) (0) = 1 f ' (0) f ' ' (0) 2 ( n f (0)) f ( x ) = f ( 0) + x+ x + .. n x +R 1! 2! n! 15
f ( x) = sin x 0 f ( 0) = 0 cos x 1 f ' (0) = 1 - sin x 2 f ' ' ( 0) = 0 - cos x 3 f ' ' ' (0) = - 1 sin x 4 f ' ' ' ' (0) = 0 f ' ( 0) f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 f ' ' ' ' (0) 4 f ( x) = f (0) + x+ x + x + x + .. 1! 2! 3! 4! 16
f ( x) = cos x 0 f ( 0) = 1 - sin x 1 f ' (0) = 0 - cos x 2 f ' ' ( 0 ) = -1 sin x 3 f ' ' ' ( 0) = 0 cos x 4 f ' ' ' ' ( 0) = 1 f ' (0) f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 f ' ' ' ' (0) 4 f ( x) = f (0) + x+ x + x + x + .. 1! 2! 3! 4! 17
SƠ KẾT: KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm lượng giác: sinx, cosx. Hàm tgx (chỉ đến cấp ba) x3 x5 sin x = x - + + L + ( - 1)n-1 x 2 n-1 + o x 2n , x ® 0 ( ) 3! 5! ( 2n - 1)! x2 x4 (- 1)n x 2n ( ) cos x = 1 - + + L + + o x 2 n+1 , x ® 0 2! 4! (2n)! x3 tgx = x + + o x 4 , x ® 0 3 ( ) Từ khai triển ex, tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu. cos chẵn ® mũ chẵn; sin lẻ ® mũ lẻ; tg lẻ ® mũ lẻ. K0 đan dấu ® shx, chx 18
SƠ KẾT: KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nhóm hàm luỹ thừa + ln(1 + x) + arctgx a (a - 1) 2 a L (a - n + 1) n (1 + x )a = 1 + ax + x +L+ x + o(x n ) 2! n! = 1 + x + L + x n + o(x n ), = 1 - x + x 2 + L + (- 1) x n + o(x n ) 1 1 n 1- x 1+ x x 2 x3 (-1) n -1 n ln(1 + x ) = x - + + L + x + o(x n +1 ) 2 3 n x3 x5 (-1) n -1 2 n -1 arctgx = x - + + L + x + o(x 2 n ) 3 5 2n - 1 19
BẢNG KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Khai triển Mac – Laurint hàm cơ bản Phần dư n e = 1 + x + x 2! + K + x n! + Rn = å x k! + Rn x 2 n k e c x n +1 k =0 (n + 1)! cos x = 1 - x 2 2! + x 4 4! - K + (- 1) x 2 n (2n )! + Rn n sinx = x - x 3 3! + x 5 5! - K + ( - 1 ) x 2 n +1 (2n + 1)! + Rn n coshx = 1 + x 2 2! + x 4 4! + K + x 2n (2n )! + Rn sinhx = x + x 3 3! + x 5 5 ! + K + x 2 n +1 (2n + 1)! + Rn 1/(1 – x) = 1 + x + x 2 + x 3 + K + x n + Rn 1/(1 + x) = 1 - x + x 2 - x 3 + K + ( - 1) x n + Rn n 3 + K + (- 1) n -1 ln(1 + x) = x - x 2 2 + x 3 x n n + Rn arctgx = x - x 3 3 + x 5 5 + K + ( - 1) x 2 n +1 (2n + 1) + Rn n (1 + x)a = 1 + a x + (a (a - 1) 2!) x 2 + K + C a n n x + Rn 20