Bài giảng Đường cong trong không gian 3D CURVE

Chia sẻ: Sinh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

110
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đường cong trong không gian 3D Curve" cung cấp cho người học các kiến thức: Đường cong - Curve, phân loại, Polynomial Parametric Curve, tính chất đường cong bậc 3, đường cong đa thức bậc ba, đường cong tham chiếu,... Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên Công nghệ thông tin và Thiết kế đồ họa dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đường cong trong không gian 3D CURVE

CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Đường cong - Curve Đường cong trong không gian 3D CURVE Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong không gian Đường cong biểu diễn Điểm -curve represents points: Điểm Biểu diễnvà kiểm soát đường cong -Points represent- and control-the curve. Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric Design (CAGD). (c) SE/FIT/HUT 2002 (c) SE/FIT/HUT 2002 2 Phân loại Biểu diễn Đường cong Trên cơ sở ràng buộc giữa điểm và đường trong cả ứng dụng khoa học và Tường minh y=f(x) thiết kế ta co thể phân làm 2 loại: y = f(x), z = g(x) impossible to get multiple values for a single Xấp xỉ-Approximation - x • break curves like circles and ellipses into segments not invariant with rotation Được ứng dụng trong mô hình hoá hình học • rotation might require further segment breaking Nội suy-Interpolation problem with curves with vertical tangents • infinite slope is difficult to represent Không tường minh f(x,y)=0 - Implicit equations: f(x,y,z) = 0 Trong thiết kế nôi suy là cần thiết với các đối tượng nhưng không phù hợp equation may have more solutions than we want với các đối tượng có hình dáng bất kỳ "free form“. • circle: x² + y² = 1, half circle: ? problem to join curve segments together • difficult to determine if their tangent directions agree at their joint point (c) SE/FIT/HUT 2002 3 (c) SE/FIT/HUT 2002 4 Đường cong tham biến Parametric Curves Biểu diễn các đường cong tham biến Parametric representation: We have seen the parametric form for a line: x = x(t), y = y(t), z = z(t) overcomes problems with explicit and implicit forms x = x0t + (1 − t ) x1 no geometric slopes (which may be infinite) parametric tangent vectors instead (never infinite) y = y0t + (1 − t ) y1 a curve is approximated by a piecewise polynomial curve z = z0t + (1 − t ) z1 Define a parameter space Note that x, y and z are each given by an equation that 1D for curves involves: 2D for surfaces The parameter t Define a mapping from parameter space to 3D points A function that takes parameter values and gives back 3D points Some user specified control points, x0 and x1 The result is a parametric curve or surface This is an example of a parametric curve Mapping F :t → (x, y, z) 0 1 t (c) SE/FIT/HUT 2002 5 (c) SE/FIT/HUT 2002 6 1
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Đường cong đa thức bậc ba Đường cong bậc 3 Phải đảm bảo là đường cong không gian với 3 trục toạ độ x, y, z x = a1 + b1u + c1u2 + d1u3 tránh được những tính toán phức tạp và những phần nhấp nhô ngoài ý y = a2 + b2u + c2u2 + d2u3 muốn xuất hiện ở những đường đa thức bậc cao z = a3 + b3u + c3u2 + d3u3 Why cubic? Với 3 điểm P0, P1, P2, P3 phương trình xác định P'1 p3 P1 p2 P'0 P1 P0 P0 (c) SE/FIT/HUT 2002 7 (c) SE/FIT/HUT 2002 8 Hermite Spline Đường cong Hermite A spline is a parametric curve defined by control points p = p(u) = k0 + k1u + k2u2 + k3u3 The term spline dates from engineering drawing, where a spline was a piece p(u) = ∑kiui i∈n of flexible wood used to draw smooth curves The control points are adjusted by the user to control the shape of the curve Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn Ferguson hay Coons p0 và p1 ta có hai độ dốc p0’ và p1’ với u = 0 và u = 1 tại hai năm 60 điểm đầu cuối của đoạn [0,1]. A Hermite spline is a curve for which the user provides: The endpoints of the curve We have constraints: The curve must pass through p0 when u=0 The parametric derivatives of the curve at the endpoints The derivative must be p’0 when u=0 • The parametric derivatives are dx/dt, dy/dt, dz/dt The curve must pass through p1 when u=1 That is enough to define a cubic Hermite spline, more derivatives are required for higher order curves The derivative must be p’1 when u=1 (c) SE/FIT/HUT 2002 9 (c) SE/FIT/HUT 2002 10 Basis Functions A point on a Hermite curve is obtained by multiplying each control point by some function and summing Thay vào: The functions are called basis functions p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2+u3) + p1’(-u2+u3) p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ] (c) SE/FIT/HUT 2002 11 (c) SE/FIT/HUT 2002 12 2
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Đường cong Bezier Sử dụng điểm và các vector kiểm soát được độ dốc của đường po, p3 tương đương với p0, p1 trên đường Hermite. diểm trung cong tại nhưng điểm mà nó đi qua.(Hermit) gian p1, p2 được xác định bằng 1/3 theo độ dài của vector tiếp không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, không tiếp cận tuyến tại điểm po và p3 vào các độ dốc của đường cong bằng các giá trị số (Hermite). p0’ = 3(p1 – p0) Paul Bezier, RENAULT, 1970 đường và bề mặt UNISURF p3’ = 3(p3 – p2) p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2+u3) + p1’(- u 2 + u 3) p = p(u) = p0(1 - 3u + 3u2 - u3) + p1(3u-6u2-3u3) + p2(3u2 - 3u3) + p3u3 (c) SE/FIT/HUT 2002 13 (c) SE/FIT/HUT 2002 14 Biểu diễn Ma trận 1.2 Ưu điểm 1 0.8 B0 dễ dàng kiểm soát hi`nh dạng của đường cong hơn vector tiếp 0.6 B1 tuyến tại p0’ và p1’ của Hermite. B2 0.4 B3 Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung gian tuỳ ý( số bậc tuỳ ý) 0.2 đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm soát, tiếp xúc với 0 cặp hai vector của đầu cuối đó 1 0 0 0  p0    p  − 3 3 0 0  1 p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ]  3 − 6 3 0  p2      − 1 3 − 3 1  p3  (c) SE/FIT/HUT 2002 15 (c) SE/FIT/HUT 2002 16 Example Bezier Curves Sub-Dividing Bezier Curves M12 P1 P2 [UW] M012 M0123 M123 M01 M23 P0 P3 (c) SE/FIT/HUT 2002 17 (c) SE/FIT/HUT 2002 18 3
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Sub-Dividing Bezier Curves Sub-Dividing Bezier Curves P1 P2 Step 1: Find the midpoints of the lines joining the original control vertices. Call them M01, M12, M23 Step 2: Find the midpoints of the lines joining M01, M12 and M12, M23. Call them M012, M123 Step 3: Find the midpoint of the line joining M012, M123. Call it M0123 The curve with control points P0, M01, M012 and M0123 exactly follows the original curve from the point with t=0 to the point with t=0.5 The curve with control points M0123 , M123 , M23 and P3 exactly follows the original curve from the point with t=0.5 to the point with t=1 P0 P3 (c) SE/FIT/HUT 2002 19 (c) SE/FIT/HUT 2002 20 de Casteljau’s Algorithm Biểu thức Bezier-Bernstain You can find the point on a Bezier curve for any parameter value t with a similar Tổng quát hoá với n +1 điểm kiểm soát algorithm n Say you want t=0.25, instead of taking midpoints take points 0.25 of the way p(u ) = ∑ Bi ,n (u ) pi i =0 M12 P1 P2 n p′(u ) = n ∑ Bi ,n −1 (u )( pi +1 − Pi ) i =0 M23 t=0.25 Bi ,n (u ) = C ( n, i )u i (1 − u ) n −i M01 p0 ... pn : vector vị trí của đa giác n+1 đỉnh n! P0 C( n, i) = P3 i! ( n − i)! (c) SE/FIT/HUT 2002 21 (c) SE/FIT/HUT 2002 22 Review: Tính chất Bézier Curve Prop’s [1/6] P0 và Pn nằm trên đường cong. We looked at some properties of Bézier curves. Đường cong liên tục và có đạo hàm liên tục tất cả các bậc Generally “Good” Properties Endpoint Interpolation Tiếp tuyến của đường cong tại điểm P0 là đường P0P1 và tại Smooth Joining Pn là đường Pn-1Pn . Affine Invariance Đường cong nằm trong đường bao lồi convex hull của các Convex-Hull Property điểm kiểm soát. Generally “Bad” Properties Not Interpolating This is because each successive Pi(j) is a convex No Local Control combination of the points Pi(j-1) and Pi-1(j-1) . P1 ,P2 , … ,Pn-1 nằm trên đường cong khi và chỉ khi đường cong là đoạn thẳng. (c) SE/FIT/HUT 2002 23 (c) SE/FIT/HUT 2002 24 4
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Problem with Bezier Curves Invariance Translational invariance means that translating the control points and then To make a long continuous curve with Bezier segments evaluating the curve is the same as evaluating and then translating the curve requires using many segments Rotational invariance means that rotating the control points and then evaluating the curve is the same as evaluating and then rotating the curve Maintaining continuity requires constraints on the control These properties are essential for parametric curves used in graphics point positions It is easy to prove that Bezier curves, Hermite curves and everything else we will study are translation and rotation invariant The user cannot arbitrarily move control vertices and automatically Some forms of curves, rational splines, are also perspective invariant maintain continuity Can do perspective transform of control points and then evaluate the curve The constraints must be explicitly maintained It is not intuitive to have control points that are not free (c) SE/FIT/HUT 2002 25 (c) SE/FIT/HUT 2002 26 Longer Curves Piecewise Bezier Curve A single cubic Bezier or Hermite curve can only capture a small class of curves At most 2 inflection points P0,1 P0,2 One solution is to raise the degree Allows more control, at the expense of more control points and higher degree “knot” polynomials P0,0 Control is not local, one control point influences entire curve P1,3 P0,3 Alternate, most common solution is to join pieces of cubic curve together into piecewise cubic curves P1,0 Total curve can be broken into pieces, each of which is cubic P1,2 Local control: Each control point only influences a limited part of the curve P1,1 Interaction and design is much easier (c) SE/FIT/HUT 2002 27 (c) SE/FIT/HUT 2002 28 Continuity Đường bậc ba Spline When two curves are joined, we typically want some degree of continuity Spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là đường bậc ba across the boundary (the knot) C0, “C-zero”, point-wise continuous, curves share the same point where they độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi điểm kiểm soát join hay điểm nút C1, “C-one”, continuous derivatives, curves share the same parametric derivatives where they join Với n điểm:n-1 đoạn với mỗi đoạn 4 vector hệ số 4(n-1) cho C2, “C-two”, continuous second derivatives, curves share the same parametric second derivatives where they join n-1 đoạn, và 2(n-1) điều kiện biên và n-2 điều kiện về độ dốc Higher orders possible cùng n-2 về độ cong Question: How do we ensure that two Hermite curves are C1 across a knot? Spline dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm Question: How do we ensure that two Bezier curves are C0, or C1, or C2 thông qua các đoạn cong tham biến bậc ba với các điều kiện across a knot? liên tục tại các điểm đầu nút (c) SE/FIT/HUT 2002 29 (c) SE/FIT/HUT 2002 30 5
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Đường cong bậc ba Spline Achieving Continuity u0 = 0 với : (u0 ... un-1) uj+1 > uj For Hermite curves, the user specifies the derivatives, so C1 is achieved ui+1 = ui + di+1 simply by sharing points and derivatives across the knot For Bezier curves: C0 để không có sự gián đoạn giữa hai đoạn cong. They interpolate their endpoints, so C0 is achieved by sharing control points C1 tính liên tục bậc nhất hay đạo hàm bậc nhất tại điểm nối. The parametric derivative is a constant multiple of the vector joining the C2 đạo hàm bậc hai liên tục của đường cong tại điểm nối first/last 2 control points So C1 is achieved by setting P0,3=P1,0=J, and making P0,2 and J and P1,1 collinear, with J-P0,2=P1,1-J C2 comes from further constraints on P0,1 and P1,2 (c) SE/FIT/HUT 2002 31 (c) SE/FIT/HUT 2002 32 Bezier Continuity B-splines P0,1 P0,2 B-splines automatically take care of continuity, with exactly one control vertex per curve segment Many types of B-splines: degree may be different (linear, quadratic, P0,0 cubic,…) and they may be uniform or non-uniform P1,3 J We will only look closely at uniform B-splines With uniform B-splines, continuity is always one degree lower than the P1,2 degree of each curve piece P1,1 Linear B-splines have C0 continuity, cubic have C2, etc Disclaimer: PowerPoint curves are not Bezier curves, they are interpolating piecewise quadratic curves! This diagram is an approximation. (c) SE/FIT/HUT 2002 33 (c) SE/FIT/HUT 2002 34 B-Splines: Đường cong B-spline The Idea [1/2] Đường cong B-spline là đường cong được sinh ra từ đa giác The repeated-lirping idea that produced the Bézier curves has the kiểm soát mà bậc của nó không phụ thuộc vào số đỉnh của đa drawbacks that is produces polynomials with high degree that are nonzero almost everywhere. giác kiểm soát. Using functions defined in pieces, we can fix these two. Start: An order-1 B-Spline has blending functions that are always either 1 or 0. When a function is 1, all the rest are zero. So an order-1 B-spline is just a sequence of points. Any number of control points may be used. Now we make higher-order B-splines using a repeated-lirping procedure. But this time, we can use any number of control points. (c) SE/FIT/HUT 2002 35 (c) SE/FIT/HUT 2002 36 6
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn B-Splines: B-Splines The Idea [2/2] We form an order-2 B-Spline by lirping between the order-1 blending functions. As discussed, we get functions that start at 0, ramp up to 1 and back down, then stay at Types of B-Splines Approximation Curves Used zero. Each function is 0 most of the time. So each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of degree 1 B-Spline approximations can be classified based on the (graph is a line). spacing of the knot vector and the use of weights. So an order-2 B-spline is just the control polygon. Again, any number of control points may be used. 1. Uniform/Periodic B-splines : The spacing is We form an order-3 B-Spline by lirping between the order-2 blending functions. unform and the knots (control points) are equispaced e.g. Now blending functions are smooth. They start at 0, curve up to 1 then back down. [0,1,2,3,4,5] These have satisfactory smoothness but lack Again, each function is 0 most of the time. local control and the starting and ending poits are ill Again, each blending function is defined in pieces. Each piece is a polynomial of defined as above. degree 2. 2. Non-periodic: The knots are repeated at the ends m times and the interior is equispaced. e.g. [0 0 0 1 2 3 3 3 We continue this repeated-lirping procedure to define B-splines of higher order. ] These can be used to force the control point to start See the blue book for details and graphs. and finish at a control point. 3. Non-uniform B-Splines : The spacing is non- uniform and or repeated knots e.g. [0 1 1 2 4 5 6 6 ] These can be used to obtain local control (c) SE/FIT/HUT 2002 37 (c) SE/FIT/HUT 2002 38 Ví dụ: Uniform Cubic B-spline on [0,1] Basis Functions on [0,1] Four control points are required to define the curve for 0≤t
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Using Uniform B-splines Uniform Cubic B-spline Blending Functions At any point t along a piecewise uniform cubic B-spline, there B0,4 B1,4 B2,4 B3,4 B4,4 B5,4 B6,4 are four non-zero blending functions 0.7 0.6 Each of these blending functions is a translation of B0,4 0.5 Consider the interval 0≤t
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Bk,1 Bk,2 B 1,1 B 0,2 B 0,1 B 1,2 1.2 1.2 1.2 1.2 1 1 1 1 0.8 0.8 0.8 B 1 ,1 ( t ) 0.8 B0,1(t) 0.6 0.6 B0,2(t) B1,2(t) 0.4 0.6 0.6 0.4 0.2 0.4 0.4 0.2 0 0 0.2 0.2 0 1 -3 -2 -1 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0 .4 0.6 0.8 .8 .6 .4 .2 .8 .6 .4 .2 .8 .6 .4 .2 -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -0 -0 -0 -0 0 0 t t -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t t B 2,2 B 2,1 B 3,1 1.2 t + 3 − 3 ≤ t < −2 1.2 1.2 1 1 1 0.8 0.8 0.8 B0, 2 (t ) =  B 2,2(t) B 3 ,1 ( t ) B 2 ,1 ( t) −1− t − 2 ≤ t < −1 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0.2 0 0 1 -3 -2 -1 0 1 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 -3 -2 -1 .8 .6 .4 .2 .8 .6 .4 .2 .8 .6 .4 .2 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 .8 .6 .4 .2 .8 .6 .4 .2 .8 .6 .4 .2 -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t t t (c) SE/FIT/HUT 2002 49 (c) SE/FIT/HUT 2002 50 Bk,3 B0,4 B 0,3 B 1,3 B 0,4 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.6 B 1 , 3 (t) B0,3(t) 0.4 0.4 0.3 0.3 0.5 0.2 B 0,4(t) 0.2 0.1 0.4 0.1 0 0 0.3 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 -3 -2 -1 2 4 6 8 .8 .6 .4 .2 .8 .6 .4 .2 .8 .6 .4 .2 0. 0. 0. 0. -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -0 -0 -0 -0 t t 0.2 0.1  (t + 3) 2 − 3 ≤ t < −2 0 1 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 B0, 3 (t ) = − 2t 2 − 6t − 3 − 2 ≤ t < −1 2 2 t  t −1 ≤ t < 0 (c) SE/FIT/HUT 2002 51 (c) SE/FIT/HUT 2002 52 B0,4 B Spline - Đều và tuần hoàn  (t + 3)3 − 3 ≤ t < −2 Vecto nút là đều khi giá trị của chúng cách đều nhau một  1 − 3t 3 − 15t 2 − 21t − 5 − 2 ≤ t < −1 khoảng ∇ xác định. Trong các bài toán thực tế, vecto nút đều B0, 4 (t ) =  3 được bắt đầu từ 0 và tăng 1 cho đến giá trị lớn nhất 6  3t + 3t 2 − 3t + 1 −1 ≤ t < 0  (1 − t )3 0 ≤ t
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Không tuần hoàn B-Splines: Open – Non Uniform Properties Một vector không tuần hoàn hoặc mở là Cấp số lượng nút (m Vector nút The most used B-splines are: vector nút có giá trị nút tại các điểm đầu k = n + k) không tuần Order 3 (“quadratic B-splines”). • Smooth. cuối lặp lại với số lượng các giá trị lặp hoàn Order 4 (“cubic B-splines”). lại này bằng chính cấp k của đường cong 2 6 [0 0 1 2 3 3] • Smoother, but control is a little less local. và các giá trị nút trong mỗi điểm lặp này B-splines have the following properties. là bằng nhau An order-k B-spline has blending functions that are defined in pieces, using 3 7 [0 0 0 1 2 2 2] polynomials of degree k–1. Nếu một trong hai điều kiện này hoặc cả hai • This is true for any number of control points. We can choose the number of control points and điều kiện không được thoả mãn thì vecto nút the polynomial degree separately. ☺ là không đều. 4 8 [0 0 0 0 1 1 1 1] B-splines are affine invariant (of course). Cách tính Ui They have the convex-hull property. ☺ Ui = 0 1=
CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Non-uniform Rational B-Splines(NURBS) Other Splines: NURBS, etc. The last 3 types are good for representing free form curves but also introduce There are any number of other types of splines. unnecessary approximations in the representation of conic sections. NURBS build on Often we want a very general type of curve that will do whatever we want. non-uniform B-Splines and introduce a weight function to obtain an approximation One such type of curve that has been very successful is the NURBS. that retains all the advantages of the non-uniform B-Splines and is also capable of NURBS = Non-Uniform Rational B-Spline. exact representation of conic sections (circles, parabolas etc.).The general form is A NURBS is defined using rational functions. given below: • A rational function is a polynomial divided by a polynomial. Control points can be given weights, so some are more important than others. NURBS curves (and surfaces) are built into GLU, but can be rather complex to use. One important issue when defining curves and surfaces: In advanced rendering the technique of ray tracing is often used. In ray tracing, we determine the color of a pixel by tracing a ray of light backward from the viewer’s eye, through the pixel, and we see where the ray came from. The curve is described as rational since it is expressed as the ratio of two In order to do ray tracing efficiently, we must be able to test quickly whether a polynomials. wi defines a weight function. If wi is set to 1 we get back the non- particular ray hits a particular object and, if so, where. uniform B-Spline. Other values of the wi can be used to produce curves for straight Types of surfaces in which this test can be done quickly will be more useful in 3-D line, parabola, ellipse and hyperbola. graphics. (c) SE/FIT/HUT 2002 61 (c) SE/FIT/HUT 2002 62 Tính chất cả đường cong đa thức How to Choose a Spline Tham biến – parametric sử dụng tham biến ngoài để biểu diễn cho các Hermite curves are good for single segments where you know the tham biến trong parametric derivative or want easy control of it Độ mượt - smooth. Với đường cong Hermite and Bézier tính liên tục Bezier curves are good for single segments or patches where a user continuity của đường cong hay đạo hàm bậc 1-first derivative tại các điểm controls the points kiểm soát-control point. Với B-splines tính liên tục trên đạo hàm bậc 2 second derivative hay độ cong được đảm bảo curvature. B-splines are good for large continuous curves and surfaces Độ biến đổi -"variation diminishing." đường cong ít bị khuếch đại sai NURBS are the most general, and are good when that generality is useful, số bởi các điểm kiểm soát hay tính nhấp nhô của đường cong hạn chế - or when conic sections must be accurately represented (CAD) oscillate. Ví dụ Bézier curve, for instance, lies within the convex hull (polygon envelope) of the set of control points. Điêm kiểm soát cục bộ-local control. đường cong bị ảnh hưởng mạnh nhất với chính các điểm kiểm soát gần chúng nhất. (c) SE/FIT/HUT 2002 63 (c) SE/FIT/HUT 2002 64 11