Bài giảng Đồ họa máy tính: Bài 7 - Lê Tấn Hùng

Chia sẻ: Ti Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 7 - Đường cong trong không gian - 3D Curve. Bài giảng trình bày có những nội dung chính sau: Đường cong - Curve, polynomial parametric curves, tính chất cả đường cong bậc 3, đường cong đa thức bậc ba, đường cong Hermite, đường cong Bezier,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đồ họa máy tính: Bài 7 - Lê Tấn Hùng

CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Đường cong - Curve Đường cong trong không gian 3D CURVE Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong không gian Đường cong biểu diễn Điểm -curve represents points: Điểm Biểu diễnvà kiểm soát đường cong -Points representand control-the curve. Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric Design (CAGD). (c) SE/FIT/HUT 2002 (c) SE/FIT/HUT 2002 Phân loại 2 Biểu diễn Đường cong Trên cơ sở ràng buộc giữa điểm và đường trong cả ứng dụng khoa học và thiết kế ta co thể phân làm 2 loại: Xấp xỉ-Approximation - Được ứng dụng trong mô hình hoá hình học Nội suy-Interpolation Trong thiết kế nôi suy là cần thiết với các đối tượng nhưng không phù hợp với các đối tượng có hình dáng bất kỳ "free form“. (c) SE/FIT/HUT 2002 3 Đường cong tham biến Tường minh y=f(x) y = f(x), z = g(x) impossible to get multiple values for a single x • break curves like circles and ellipses into segments not invariant with rotation • rotation might require further segment breaking problem with curves with vertical tangents • infinite slope is difficult to represent Không tường minh f(x,y)=0 - Implicit equations: f(x,y,z) = 0 equation may have more solutions than we want • circle: x² + y² = 1, half circle: ? problem to join curve segments together • difficult to determine if their tangent directions agree at their joint point (c) SE/FIT/HUT 2002 4 Parametric Curves Biểu diễn các đường cong tham biến Parametric representation: We have seen the parametric form for a line: x = x0t + (1 − t ) x1 x = x(t), y = y(t), z = z(t) overcomes problems with explicit and implicit forms no geometric slopes (which may be infinite) parametric tangent vectors instead (never infinite) a curve is approximated by a piecewise polynomial curve y = y0t + (1 − t ) y1 z = z0t + (1 − t ) z1 Note that x, y and z are each given by an equation that involves: Define a parameter space 1D for curves 2D for surfaces The parameter t Some user specified control points, x0 and x1 Define a mapping from parameter space to 3D points A function that takes parameter values and gives back 3D points This is an example of a parametric curve The result is a parametric curve or surface Mapping F :t → (x, y, z) 0 1 t (c) SE/FIT/HUT 2002 5 (c) SE/FIT/HUT 2002 6 1 CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Đường cong đa thức bậc ba Đường cong bậc 3 Phải đảm bảo là đường cong không gian với 3 trục toạ độ x, y, z tránh được những tính toán phức tạp và những phần nhấp nhô ngoài ý muốn xuất hiện ở những đường đa thức bậc cao Why cubic? x = a1 + b1u + c1u2 + d1u3 y = a2 + b2u + c2u2 + d2u3 z = a3 + b3u + c3u2 + d3u3 Với 3 điểm P0, P1, P2, P3 phương trình xác định P'1 p3 P1 p2 P'0 P0 P0 7 (c) SE/FIT/HUT 2002 Hermite Spline P1 (c) SE/FIT/HUT 2002 8 Đường cong Hermite A spline is a parametric curve defined by control points The term spline dates from engineering drawing, where a spline was a piece of flexible wood used to draw smooth curves The control points are adjusted by the user to control the shape of the curve p = p(u) = k0 + k1u + k2u2 + k3u3 p(u) = ∑kiui i∈n Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn Ferguson hay Coons năm 60 A Hermite spline is a curve for which the user provides: The endpoints of the curve The parametric derivatives of the curve at the endpoints • The parametric derivatives are dx/dt, dy/dt, dz/dt That is enough to define a cubic Hermite spline, more derivatives are required for higher order curves p0 và p1 ta có hai độ dốc p0’ và p1’ với u = 0 và u = 1 tại hai điểm đầu cuối của đoạn [0,1]. We have constraints: (c) SE/FIT/HUT 2002 The curve must pass through p0 when u=0 The derivative must be p’0 when u=0 The curve must pass through p1 when u=1 The derivative must be p’1 when u=1 9 (c) SE/FIT/HUT 2002 10 Basis Functions A point on a Hermite curve is obtained by multiplying each control point by some function and summing The functions are called basis functions Thay vào: p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2+u3) + p1’(-u2+u3) p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ] (c) SE/FIT/HUT 2002 11 (c) SE/FIT/HUT 2002 12 2 CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Đường cong Bezier Sử dụng điểm và các vector kiểm soát được độ dốc của đường cong tại nhưng điểm mà nó đi qua.(Hermit) không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, không tiếp cận vào các độ dốc của đường cong bằng các giá trị số (Hermite). Paul Bezier, RENAULT, 1970 đường và bề mặt UNISURF po, p3 tương đương với p0, p1 trên đường Hermite. diểm trung gian p1, p2 được xác định bằng 1/3 theo độ dài của vector tiếp tuyến tại điểm po và p3 p0’ = 3(p1 – p0) p3’ = 3(p3 – p2) p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-2u2+u3) + p1’(u 2 + u 3) p = p(u) = p0(1 - 3u + 3u2 - u3) + p1(3u-6u2-3u3) + p2(3u2 - 3u3) + p3u3 13 (c) SE/FIT/HUT 2002 14 (c) SE/FIT/HUT 2002 Biểu diễn Ma trận Ưu điểm 1.2 1 0.8 B0 B1 B2 B3 0.6 0.4 0.2 0 0 0 1  0 − 3 3 p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ]  3 − 6 3  − 1 3 − 3 (c) SE/FIT/HUT 2002 0  0 0  1 dễ dàng kiểm soát hi`nh dạng của đường cong hơn vector tiếp tuyến tại p0’ và p1’ của Hermite. Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung gian tuỳ ý( số bậc tuỳ ý) đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm soát, tiếp xúc với cặp hai vector của đầu cuối đó  p0  p   1  p2     p3  15 Example Bezier Curves 16 (c) SE/FIT/HUT 2002 Sub-Dividing Bezier Curves M12 P1 M012 [UW] M0123 P2 M123 M01 M23 P0 (c) SE/FIT/HUT 2002 17 P3 (c) SE/FIT/HUT 2002 18 3 CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Sub-Dividing Bezier Curves Sub-Dividing Bezier Curves P1 P2 P0 Step 1: Find the midpoints of the lines joining the original control vertices. Call them M01, M12, M23 Step 2: Find the midpoints of the lines joining M01, M12 and M12, M23. Call them M012, M123 Step 3: Find the midpoint of the line joining M012, M123. Call it M0123 The curve with control points P0, M01, M012 and M0123 exactly follows the original curve from the point with t=0 to the point with t=0.5 The curve with control points M0123 , M123 , M23 and P3 exactly follows the original curve from the point with t=0.5 to the point with t=1 P3 19 (c) SE/FIT/HUT 2002 de Casteljau’s Algorithm P2 n p(u ) = ∑ Bi ,n (u ) pi n p′(u ) = n ∑ Bi ,n −1 (u )( pi +1 − Pi ) i =0 M23 Bi ,n (u ) = C ( n, i )u i (1 − u ) n −i t=0.25 p0 ... pn : vector vị trí của đa giác n+1 đỉnh n! C( n, i) = i! ( n − i)! M01 P3 (c) SE/FIT/HUT 2002 Tổng quát hoá với n +1 điểm kiểm soát i =0 M12 P0 20 Biểu thức Bezier-Bernstain You can find the point on a Bezier curve for any parameter value t with a similar algorithm Say you want t=0.25, instead of taking midpoints take points 0.25 of the way P1 (c) SE/FIT/HUT 2002 21 (c) SE/FIT/HUT 2002 22 Review: Bézier Curve Prop’s [1/6] Tính chất P0 và Pn nằm trên đường cong. Đường cong liên tục và có đạo hàm liên tục tất cả các bậc Tiếp tuyến của đường cong tại điểm P0 là đường P0P1 và tại Pn là đường Pn-1Pn . Đường cong nằm trong đường bao lồi convex hull của các điểm kiểm soát. This is because each successive Pi(j) is a convex combination of the points Pi(j-1) and Pi-1(j-1) . P1 ,P2 , … ,Pn-1 nằm trên đường cong khi và chỉ khi đường cong là đoạn thẳng. (c) SE/FIT/HUT 2002 23 We looked at some properties of Bézier curves. Generally “Good” Properties Endpoint Interpolation Smooth Joining Affine Invariance Convex-Hull Property Generally “Bad” Properties Not Interpolating No Local Control (c) SE/FIT/HUT 2002 24 4 CNTT-DHBK Hanoi hunglt@it-hut.edu.vn Problem with Bezier Curves Invariance Translational invariance means that translating the control points and then evaluating the curve is the same as evaluating and then translating the curve Rotational invariance means that rotating the control points and then evaluating the curve is the same as evaluating and then rotating the curve These properties are essential for parametric curves used in graphics It is easy to prove that Bezier curves, Hermite curves and everything else we will study are translation and rotation invariant Some forms of curves, rational splines, are also perspective invariant To make a long continuous curve with Bezier segments requires using many segments Maintaining continuity requires constraints on the control point positions The user cannot arbitrarily move control vertices and automatically maintain continuity The constraints must be explicitly maintained It is not intuitive to have control points that are not free (c) SE/FIT/HUT 2002 Can do perspective transform of control points and then evaluate the curve 25 Longer Curves 26 (c) SE/FIT/HUT 2002 Piecewise Bezier Curve A single cubic Bezier or Hermite curve can only capture a small class of curves P0,1 At most 2 inflection points P0,2 One solution is to raise the degree “knot” Allows more control, at the expense of more control points and higher degree polynomials Control is not local, one control point influences entire curve P0,0 Total curve can be broken into pieces, each of which is cubic Local control: Each control point only influences a limited part of the curve Interaction and design is much easier (c) SE/FIT/HUT 2002 P1,3 P0,3 P1,0 Alternate, most common solution is to join pieces of cubic curve together into piecewise cubic curves P1,1 27 Continuity P1,2 (c) SE/FIT/HUT 2002 28 Đường bậc ba Spline When two curves are joined, we typically want some degree of continuity across the boundary (the knot) C0, “C-zero”, point-wise continuous, curves share the same point where they join C1, “C-one”, continuous derivatives, curves share the same parametric derivatives where they join C2, “C-two”, continuous second derivatives, curves share the same parametric second derivatives where they join Higher orders possible Question: How do we ensure that two Hermite curves are C1 across a knot? Question: How do we ensure that two Bezier curves are C0, or C1, or C2 across a knot? (c) SE/FIT/HUT 2002 29 Spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là đường bậc ba độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi điểm kiểm soát hay điểm nút Với n điểm:n-1 đoạn với mỗi đoạn 4 vector hệ số 4(n-1) cho n-1 đoạn, và 2(n-1) điều kiện biên và n-2 điều kiện về độ dốc cùng n-2 về độ cong Spline dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm thông qua các đoạn cong tham biến bậc ba với các điều kiện liên tục tại các điểm đầu nút (c) SE/FIT/HUT 2002 30 5