Hàm số và tính chất
Đạo hàm và các ứng dụng
Tích phân và các ứng dụng
Dãy số và chuỗi số
Nguyên hàm của hàm số
Tích phân xác định
Tích phân suy rộng
Ứng dụng của tích phân
Chương 3
Tích phân
và
các ứng dụng
Giải tích 1: Hàm số một biến 75 / 136
Hàm số và tính chất
Đạo hàm và các ứng dụng
Tích phân và các ứng dụng
Dãy số và chuỗi số
Nguyên hàm của hàm số
Tích phân xác định
Tích phân suy rộng
Ứng dụng của tích phân
1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định
Tập hợp tất cả nguyên hàm của hàm số fđược gọi là tích phân bất
định của ftheo biến x, và được kí hiệu bởi
Zf(x)dx.(23)
Các quy tắc của tích phân bất định:
(i). Zf(x)dx′=f(x). (ii). dZf(x)dx=f(x).
(iii). Zdf =f(x) + c. (iv). Zcf (x)dx =cZf(x)dx.
(v). Zf1(x)±f2(x)dx =Zf1(x)dx ±Zf2(x)dx.
Giải tích 1: Hàm số một biến 76 / 136
Hàm số và tính chất
Đạo hàm và các ứng dụng
Tích phân và các ứng dụng
Dãy số và chuỗi số
Nguyên hàm của hàm số
Tích phân xác định
Tích phân suy rộng
Ứng dụng của tích phân
1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định
(i). Zxndx =xn+1
n+1+C. (ii). Z1
xdx = ln |x|+C.
(iii). Zdx
a2+x2=1
aarctan x
a. (iv). Zdx
a2−x2=1
2aln |a+x|
|a−x|+C.
(v). Zdx
√a2−x2= arcsin x
a+C. (vi). Zdx
√x2±a2= ln |x+px2±a2|+C.
Tích phân bất định của một số hàm cơ bản
(vii). Zu′sin udx =−cos u+C.(viii). Zu′cos udx = sin u+C.
(ix). Zu′tan udx =−ln |cos u|+C.(x). Zu′cot udx = ln |sin u|+C.
(xi). Z1
sin xdx = ln |tan x
2|+C.(xii). Z1
cos xdx = ln |tan x
2+π
4|+C
(xiii). Zu′eudx =eu+C.(xiv). Zu′audx =au
ln a+C.
(xv). Zln xdx =x(ln x−1) + C.(xvi). Zlogaxdx =x(ln x−1)
ln a+C.
Giải tích 1: Hàm số một biến 77 / 136
Hàm số và tính chất
Đạo hàm và các ứng dụng
Tích phân và các ứng dụng
Dãy số và chuỗi số
Nguyên hàm của hàm số
Tích phân xác định
Tích phân suy rộng
Ứng dụng của tích phân
1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định
Bài tập: Tìm các tích phân bất định sau
1) Z(x+1)2dx. 2) Z(1+√x)2
3
√xdx.
3) Zx2
x2+4dx. 4) Zx4−2x2+10
5−x2dx.
5) Z(ln x+1
x−ex)dx. 6) Z√x2−4−√x2+4
√x4−16 dx.
7) Z(sin x+ cos x)2
sin xdx. 8) Z(√cos x+1
√cos x)2dx.
Giải tích 1: Hàm số một biến 78 / 136
Hàm số và tính chất
Đạo hàm và các ứng dụng
Tích phân và các ứng dụng
Dãy số và chuỗi số
Nguyên hàm của hàm số
Tích phân xác định
Tích phân suy rộng
Ứng dụng của tích phân
1.2 Phương pháp thế
Nếu u=g(x)là hàm khả vi mà tập giá trị của nó là tập Ivà fliên
tục trên Ithì
Zf(g(x))g′(x)dx =Zf(u)du.(24)
Ví dụ: Tìm Z2x+1
x2+x−3dx.
Đặt u=x2+x−3 thì du = (2x+1)dx. Chúng ta thu được
Z2x+1
x2+x−3dx =Zdu
u
= ln |u|+C
= ln |x2+x−3|+C.
Giải tích 1: Hàm số một biến 79 / 136