zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 3 - Phan Văn Tân

Chia sẻ: Tầm Y | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:89

Báo xấu

78
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân bố" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, đại lượng ngẫu nhiên liên tục,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 3 - Phan Văn Tân

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mô Khí tượng 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên • Kết quả ngẫu nhiên của phép thử có thể đặc trưng định tính bởi sự kiện ngẫu nhiên o Mô tả bằng lời: A={ Đồng tiền nhận mặt sấp } • Để đặc trưng định lượng cho kết quả ngẫu nhiên của phép thử người ta dùng khái niệm đại lượng ngẫu nhiên • Các định nghĩa: o Một đại lượng nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng nào đó gọi là đại lượng ngẫu nhiên o Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà khi tiến hành một loạt phép thử trong cùng một điều kiện như nhau có thể mỗi lần nhận được giá trị này hoặc giá trị khác hoàn toàn không biết trước được 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên • Cách gọi: o Nhiều khi đại lượng ngẫu nhiên còn được gọi là biến ngẫu nhiên Î Hai cách gọi tương đương nhau • Ký hiệu: o Thông thường các đại lượng ngẫu nhiên (hay các biến ngẫu nhiên) được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh in hoa: X, Y, Z,…, hoặc các ký tự Hylạp: ξ, η, ζ,… o Các giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên (các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận) được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh in thường tương ứng: x, y, z,… 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên • Phân loại: Căn cứ vào tập giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên người ta phân biệt hai loại đại lượng ngẫu nhiên o Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Tập hợp các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được • Ví dụ: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số điểm nhận được khi gieo một con xúc xắc. Vậy X={1,2,3,4,5,6} hay x1=1, x2=2,…, x6=6 o Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Tập hợp các giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng nào đấy của trục số hoặc cả trục số, tức nó là tập hợp vô hạn và không đếm được • Ví dụ: Gọi Y là đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhiệt độ không khí (oC) đo được ở Hà Nội. Vậy Y={y, y∈[-10; 50]} 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X mà các giá trị có thể của nó là tập {x1, x2,…, xn,…} với P(X=xi) = pi, i=1,2,… o Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc X ta sử dụng bảng phân bố xác suất sau X x1 x2 ... xi … xn ... P p1 p2 ... pi … pn ... o Trong đó Σpi = 1, pi ≥ 0 ∀i=1,2,… • Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng tiền giống hệt nhau. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Hãy lập bảng phân bố của X o Giải: Số lần xuất hiện mặt sấp chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2, do đó X={0,1,2} o Gọi Ai là đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấp (i=1,2), P(Ai)=0.5 o Sự kiện X=0: A1 A2 X=1: A1 A2 hoặc A1 A2 Sự kiện X=2: A1 A2 o Vì các Ai độc lập nhau: P(X=0)=0.5x0.5, P(X=1)=2x(0.5x0.5), P(X=2)=0.25 X 0 1 2 Î P 0.25 0.5 0.25 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 2: Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta bắn từng phát cho tới khi hoặc trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi. Hãy lập bảng phân bố xác suất của số đạn chi phí, biết xác suất trúng đích ở mỗi phát là 0.8 o Giải: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số đạn chi phí. Vậy X={ 1, 2, 3 } o Sự kiện X = 1: Bắn phát thứ nhất trúng đích (do đó không bắn tiếp nữa), Î P(X=1) = p1= 0.8 o Sự kiện X = 2: Bắn phát thứ nhất trượt và phát thứ hai trúng, P(X=2)= p2 = (1-0.8)0.8 = 0.16 o Sự kiện X = 3: Bắn phát thứ nhất và thứ hai đều trượt (do đó cần bắn phát thứ ba), P(X=3) = p3 = (1-0,8)2 = 0,04 X 1 2 3 P 0.8 0.16 0.04 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc • Ví dụ 3: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện A ở mỗi phép thử không đổi bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện sự kiện A trong n phép thử. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X. o Giải: Ta có X={ 0, 1, 2, 3,…, n } o Xác suất của sự kiện X=k (0 ≤ k ≤ n) được tính theo công thức Bernoulli pk = P ( X = k ) = Pn ( k ) = Cnk p k (1 − p ) n −k , k = 0,1,..., n o Từ đó X 0 1 … k … n P Cn0 p 0 q n −0 Cn1 p1q n −1 … Cnk p k q n −k … Cnn p n q n −n (q = 1-p) ta có đẳng thức Để ý đến hệ thức n n n ( a + b) = ∑ Cnk a k bn −k n ∑ p = ∑C k p k q n −k = ( p + q)n = 1 nhị thức Newton k =0 k =0 k k =0 n 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Xét đại lượng ngẫu nhiên X mà các giá trị có thể của nó lấp đầy một khoảng hoặc cả trục số. Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục o Để mô tả biến ngẫu nhiên liên tục X ta sử dụng khái niệm hàm mật độ (hay hàm mật độ xác suất) o Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) f ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( −∞ , + ∞ ) +∞ 2) ∫ −∞ f ( x ) dx = 1 o Khi đó, xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (a,b) được xác định bởi b P (a < X < b) = ∫ a f ( x ) dx 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục • Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng ⎧c khi a ≤ x ≤ b f ( x) = ⎨ ⎩0 khi x < a, x > b Hãy xác định giá trị của c. +∞ o Giải: Theo định nghĩa, ∫ −∞ f ( x ) dx = 1 +∞ o Ta có: b b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = ∫ cdx = c(b − a ) = 1 −∞ a a 1 o Vậy, c= b−a 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Định nghĩa: Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X là hàm của biến x được xác định bởi F(x) = P(X < x) o Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân bố F(x) có dạng F ( x) = ∑ P( X = x ) = ∑ p xi < x i xi < x i o Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, F(x) có thể được xem như xác suất để khi gieo một điểm ngẫu nhiên thì điểm này rơi vào nửa bên trái trên trục số của x (hình vẽ) x 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Các tính chất của hàm phân bố 1) Hàm phân bố xác định với ∀x∈(-∞, +∞) 2) 0 ≤ F(x) ≤ 1; F(-∞) = 0; F(+∞) = 1 3) Hàm phân bố là một hàm không giảm: Nếu x1
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Ví dụ 1. Tiến hành bắn 3 phát súng độc lập vào bia; xác suất trúng đích của mỗi phát bằng 0.4. Lập hàm phân bố của số lần bắn trúng bia. o Giải: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lần bắn trúng bia, X có thể lấy các giá trị: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3. Khi đó: o p1 = P(X=x1)=P(X=0) = C30(0.4)0(1-0.4)3= 0.216 o p2 = P(X=x2)=P(X=1) = C31(0.4)1(1-0.4)2= 0.432 X 0 1 2 3 o p3 = P(X=x3)=P(X=2) = C3 (0.4) (1-0.4) = 0.288 P 0.216 0.432 0.288 0.064 2 2 1 o p4 = P(X=x4)=P(X=3) = C33(0.4)3(1-0.4)0= 0.064 ⎧0 khi x ≤ 0 ⎪0.216 F ( x ) = ∑ pi ⎪⎪ khi 0 < x ≤ 1 xi < x F ( x) = ⎨0.216 + 0.432 khi1 < x ≤ 2 ⎪0.216 + 0.432 + 0.288 khi 2 < x ≤ 3 ⎪ ⎪⎩0.216 + 0.432 + 0.288 + 0.064 = 1 khi x > 3 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Đồ thị hàm phân bố ⎧0 khi x ≤ 0 ⎪0.216 khi 0 < x ≤ 1 ⎪⎪ F ( x ) = ⎨0.216 + 0.432 khi 1 < x ≤ 2 ⎪0.216 + 0.432 + 0.288 khi 2 < x ≤ 3 ⎪ ⎪⎩0.216 + 0.432 + 0.288 + 0.064 = 1 khi x > 3 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Hàm phân bố • Ví dụ 2. Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X được cho dưới dạng ⎧0 khi x ≤ 1 ⎪ F ( x) = ⎨a( x − 1)2 khi1 < x ≤ 3 ⎪1 khi x > 3 ⎩ a) Giả thiết F(x) liên tục, tìm hệ số a và vẽ đồ thị của F(x); b) Tính xác suất P(1
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc F ( x) = ∑ pi i o Các pi lập thành bảng phân bố xác suất • Đối với biến ngẫu nhiên liên tục F ( x) = P( X < x) o P(x≤X
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Tính chất: 1) f(x) ≥ 0 (theo định nghĩa) +∞ 2) ∫ f ( x)dx = 1 −∞ (theo định nghĩa) b 3) P(a ≤ X < b) = ∫ f ( x)dx a Chứng minh: b a b P ( a ≤ X < b) = F ( b) − F ( a ) = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx −∞ −∞ a 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng ⎧c khi a ≤ x ≤ b f ( x) = ⎨ ⎩0 khi x < a, x > b Hãy xác định f(x), F(x) và vẽ đồ thị của f(x), F(x) +∞ b b 1 o Giải: Từ ví dụ mục trước ∫ −∞ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx = ∫ cdx = c(b − a ) = 1 a a c= b−a o Do đó: ⎧ 1 ⎪ khi a ≤ x ≤ b f ( x) = ⎨ b − a ⎪⎩ 0 khi x < a, x > b ⎧0 khi x < a x ⎪⎪ x − a F ( x ) = ∫ f ( x )dx = ⎨ khi a ≤ x ≤ b −∞ ⎪b − a ⎪⎩1 khi x > b 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất • Đồ thị hàm mật độ và hàm phân bố ⎧0 khi x < a ⎧ 1 ⎪⎪ x − a ⎪ khi a ≤ x ≤ b x f ( x) = ⎨ b − a F ( x ) = ∫ f ( x )dx = ⎨ khi a ≤ x ≤ b ⎪⎩ 0 khi x < a, x > b −∞ ⎪b − a ⎪⎩1 khi x > b Biến ngẫu nhiên X trên được gọi là có phân bố đều 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Phân bố nhị thức: o Tiến hành n phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗi phép thử không đổi bằng P(A)=p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện A trong n phép thử. Phân bố của X được gọi là phân bố nhị thức Pn ( k ) = P ( X = k ) = Cnk p k (1 − p ) n −k , k = 0,1,..., n • Phân bố Poisson o Trong phân bố nhị thức, nếu giả thiết rằng, xác suất xuất hiện sự kiện A phụ thuộc vào số lần thử n sao cho khi n→∞ mà P(A)=p→0 và np→λ=const, thì phân bố nhị thức sẽ tiệm cận đến phân bố Poisson: e − λ λk P(k ) = P( X = k ) = , k = 0,1,2... k! Nhận thấy: λ>0 Tham số λ được gọi là trung bình số lần xuất hiện 10:10:14
Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ 3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế • Đồ thị của hân bố nhị thức và phân bố Poisson: 10:10:14

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.