Bài giảng Mô hình toán - ThS. Trần Thị Xuyến (2015)

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG<br /> BỘ MÔN TOÁN<br /> <br /> ———————o0o——————–<br /> <br /> BÀI GIẢNG MÔ HÌNH TOÁN<br /> <br /> Giảng viên: Trần Thị Xuyến<br /> Địa chỉ: Bộ môn Toán, phòng 302, tòa nhà 7 tầng, HVNH<br /> Email: xuyen.tran.hvnh @ gmail.com<br /> Website: xuyentranhvnh.wordpress.com<br /> Cellphone: 0915 170 752<br /> Office: 0438 522 969<br /> <br /> HÀ NỘI - 2015<br /> <br /> GIỚI THIỆU MÔN HỌC<br /> <br /> 1. Phân bố thời gian<br /> • Lý thuyết: 60 %<br /> • Bài tập, thảo luận, kiểm tra: 40 %<br /> <br /> 2. Giáo trình, tài liệu tham khảo<br /> • Giáo trình mô hình toán kinh tế, PGS TS Phạm Quang Dong, NXB kinh<br /> <br /> tế quốc dân.<br /> • Giáo trình lý thuyết mô hình toán kinh tế, PGS TS Hoàng Đình Tuấn,<br /> <br /> NXB Kinh tế quốc dân.<br /> • Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Phần I: Đại số tuyến tính, Lê Đình<br /> <br /> Thúy, NXB kinh tế quốc dân.<br /> • Giáo trình quy hoạch tuyến tính, Trần Túc, NXB kinh tế quốc dân.<br /> • Bài tập quy hoạch tuyến tính, Trần Túc, NXB kinh tế quốc dân.<br /> <br /> 3. Đánh giá học phần<br /> • Điểm chuyên cần: 10 %<br /> • Kiểm tra giữa kì lần 1: 15 % (Tuần thứ 11)<br /> • Kiểm tra giữa kì lần 2: 15 % (Tuần thứ 15)<br /> • Thi hết học phần : 60 %<br /> <br /> 1<br /> <br /> PHẦN 1<br /> KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> Tài liệu tham khảo:<br /> Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Phần I: Đại số tuyến tính, Lê Đình Thúy, NXB<br /> kinh tế quốc dân.<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC<br /> <br /> 1.1.1<br /> <br /> Ma trận và các phép toán ma trận<br /> <br /> A. Các khái niệm cơ bản về ma trận<br /> 1. Ma trận là một bảng số sắp xếp theo dòng và theo cột.<br /> 2. Ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m x n<br /> 3. Ma trận cấp m x n được viết dưới dạng:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a11<br /> <br /> a12<br /> <br /> ... a1n<br /> <br /> a<br />  21<br /> A=<br />  ...<br /> <br /> a22<br /> <br /> ... a2n <br /> <br /> ... ... <br /> <br /> ...<br /> <br /> <br /> <br /> am1 am2 ... amn<br /> <br /> Hoặc A = [aij ]mxn , aij là phần tử trên dòng i, cột j .<br /> <br /> 1. Hai ma trận cùng cấp A = [aij ]mxn , B = [bij ]mxn gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B<br /> nếu aij = bij , ∀i = 1, ..., m; j = 1, ..., n<br /> 2. Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0.<br /> 3. Ma trận đối của ma trận A = [aij ]mxn là −A = [−aij ]mxn<br /> <br /> B. Các dạng ma trận<br /> Ma trận vuông:<br /> Ma trận vuông là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau.<br /> 2<br /> <br /> Ma trận vuông có n dòng, n cột gọi là ma trận vuông cấp n.<br /> <br /> <br /> a11 a12 ... a1n<br /> <br /> a<br />  21 a22 ... a2n<br /> A=<br />  ... ... ... ...<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> an1 an2 ... ann<br /> <br /> Đường chéo nối góc trên bên trái với góc dưới bên phải là đường chéo chính, còn<br /> lại là đường chéo phụ.<br /> Ma trận tam giác.<br /> Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía đường chéo<br /> chính bằng 0.<br /> <br /> <br /> a11 a12 ... a1n<br /> <br /> a22 ... a2n <br /> <br /> 0<br /> <br /> <br />  ...<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br />  , (aij = 0, ∀i > j)<br /> <br /> <br /> ...<br /> <br /> ... ...<br /> <br /> 0<br /> <br /> ... ann<br /> <br /> a11 0<br /> <br /> <br /> <br /> ... 0<br /> <br /> a<br />  21 a22 ... 0<br /> <br />  ... ... ... ...<br /> <br /> <br /> <br />  , (aij = 0, ∀i < j)<br /> <br /> <br /> an1 an2 ... ann<br /> <br /> Ma trận đường chéo<br /> Ma trận đường chéo là ma trận vuông có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính<br /> bằng 0.<br /> <br /> <br /> a11 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br />  ...<br /> <br /> ... 0<br /> <br /> a22 ... 0<br /> ... ... ...<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ... ann<br /> <br /> Ma trận đơn vị: Ma trận đơn vị cấp n kí hiệu là In hoặc E là ma trận đường<br /> chéo có aii = 1, i = 1, ..n .<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> ... 0<br /> <br />  0 1 ... 0<br /> <br /> <br />  ... ... ... ...<br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ... 1<br /> <br /> C. Các phép toán tuyến tính đối với ma trận<br /> Cho ma trận A = [aij ]mxn , B = [bij ]mxn , k ∈ R<br /> 1. A + B = [aij + bij ]mxn<br /> 3<br /> <br /> 2. kA = [kaij ]mxn<br /> 3. A − B = A + (−B) = [aij − bij ]mxn<br /> Các tính chất của phép toán tuyến tính đối với ma trận :<br /> Định lí:<br /> Cho A, B, C là các ma trận cấp m x n; k, l ∈ R.<br /> (A + B) + C = A + (B + C),<br /> A + 0 = A,<br /> 1A = A,<br /> <br /> A+B =B+A<br /> <br /> A + (−A) = 0<br /> k(A + B) = kA + kB<br /> <br /> (k + l)A = kA + lA,<br /> <br /> k(lA) = (kl)A<br /> <br /> D. Phép nhân ma trận<br /> Cho ma trận A = [aij ]mxn , B = [bij ]nxp .<br /> Tích của ma trận A và B là một ma trận, kí hiệu AB có cấp m x p xác định bởi<br /> AB = [cij ]mxp với cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj , i = 1, ..., m; j = 1, ..., p.<br /> (Phần tử cij ở dòng i, cột j của ma trận AB có được bằng cách lấy vectơ dòng i<br /> của ma trận A nhân vô hướng với vectơ cột j của ma trận B )<br /> Chú ý: Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.<br /> Ví dụ: Cho các ma trận:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 −1<br /> <br /> <br /> A= 3 4<br /> <br /> <br /> ,B =<br /> <br /> 1 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> −1 0<br /> <br /> 3<br /> <br /> −4 −5 −6<br /> <br /> <br /> ,C =  0<br /> 1<br /> <br /> −2<br /> <br /> 1<br /> −2 <br /> −1 0<br /> <br /> <br /> <br /> Hãy tính:<br /> 1. A(BC); (AB)C<br /> 2. A(B + C); AB + AC<br /> <br /> E. Phép chuyển vị ma trận<br /> Cho ma trận A = [aij ]mxn , ma trận chuyển vị của A kí hiệu A (hoặc AT ) có<br /> cấp n x m được xác định bởi A = [aji ]nxm ∀i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.<br /> Chú ý:<br /> (AB) = B .A<br /> <br /> 4<br /> <br />