Bài giảng Nhập môn tô pô - ĐH Phạm Văn Đồng

Chia sẻ: Cuahapbia | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhập môn tô pô là môn học dành cho sinh viên năm thứ 3 ngành Cao đẳng sư phạm Toán. Nội dung chính của bài giảng gồm có 2 phần là Không gian metric; Không gian Tô Pô. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Nhập môn tô pô - ĐH Phạm Văn Đồng

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG NHẬP MÔN TÔ PÔ LIÊN VƯƠNG LÂM Tổ Toán- Lý Quảng Ngãi - 2015
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG NHẬP MÔN TÔ PÔ LIÊN VƯƠNG LÂM Tổ Toán- Lý Quảng Ngãi- 2015
Mục lục Mở đầu 1 Không gian metric 1 1.1 Không gian metric và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Khái niệm không gian metric . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Một số ví dụ về không gian metric . . . . . . . . . 2 1.1.3 Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . 3 1.2 Tập đóng và tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Hình cầu và lân cận . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Tập mở- Tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Phần trong và bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Tập hợp trù mật- Không gian khả li . . . . . . . . 8 1.3 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Ánh xạ liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Phép đồng phôi- Phép đẳng cự . . . . . . . . . . . 13 1.4 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Khái niệm không gian metric đầy đủ . . . . . . . . 14 1.4.2 Nguyên lý Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Nguyên lý Baire phạm trù . . . . . . . . . . . . . . 16 i
ii 1.4.4 Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.5 Bao đầy của một không gian metric . . . . . . . . . 18 1.5 Không gian metric compact . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.1 Khái niệm tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.2 Một số đặc trưng của tập compact và không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.3 Tính chất của hàm số liên tục trên tập compact . . 22 1.6 Không gian các ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.1 Không gian C pX, Y q . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.2 Định lý Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.3 Định lý Stone- Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Không gian Tô Pô 29 2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Khái niệm không gian tô pô . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Lân cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.3 Tập đóng, phần trong, bao đóng . . . . . . . . . . . 31 2.1.4 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Cơ sở Tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Định nghĩa cơ sở Tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Xây dựng tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3 Tô pô đầu- tô pô cuối . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Phân loại không gian tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1 T1 không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2 T2 - không gian hay không gian Hausdorff . . . . . . 38 2.3.3 Không gian chính quy và không gian chuẩn tắc . . 38
2.4 Không gian Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.1 Định nghĩa không gian compact . . . . . . . . . . . 40 2.4.2 Một số tính chất của không gian compact . . . . . 41 Tài liệu tham khảo 42
Lời nói đầu Nhập môn tô pô là môn học dành cho sinh viên năm thứ 3 ngành Cao đẳng sư phạm Toán. Có nhiều sách và tài liệu tham khảo dành cho môn học này. Tuy nhiên các sách này hoặc là được viết bằng tiếng Anh, hoặc là được viết để phục vụ cho chuyên ngành sâu. Do đó, đối với sinh viên Cao đẳng sư phạm toán việc tiếp cận và học tập môn này là không dễ. Qua thực tiễn nhiều năm giảng dạy và tham khảo các sách, chúng tôi biên soạn tài liệu " Bài giảng nhập môn tô pô" nhằm trình bày dưới một hệ thống và cách tiếp cận dễ dàng hơn. Bắt đầu bằng không gian cụ thể là không gian metric. Sau đó chúng tôi trình bày về không gian tô pô. Các kết quả trong tài liệu chỉ là đại cương đúng với tinh thần " nhập môn". Độc giả có thể tham khảo sâu thêm trong các tài liệu được trích dẫn. Tài liệu được hoàn thành cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp ở Tổ Toán- Lý, trường Đại học Phạm Văn Đồng. Cho phép tôi được chân thành cảm ơn. Cuối cùng, tài liệu không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý độc giả. Mọi sự góp ý xin gởi về: mr.lvlam@gmail.com. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Chương 1 Không gian metric 1.1 Không gian metric và sự hội tụ 1.1.1 Khái niệm không gian metric Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Hàm số d : X X Ñ R được gọi là một metric trên X nếu các tính chất sau thỏa mãn: i) dpx, y q ¥ 0 với mọi x, y P X và dpx, yq 0 nếu và chỉ nếu x y. ii) dpx, y q dpy, xq- tính chất đối xứng. iii) dpx, z q ¤ dpx, y q dpy, z q với mọi x, y, z P X. Nếu d là một metric trên X thì ta nói cặp pX, dq là một không gian metric. Mỗi phần tử x P X được gọi là một "điểm". Số dpx, y q được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y. Nhận xét rằng |dpx, zq dpx, yq| ¤ dpy, zq, @x, y, z P X. 1
2 1.1.2 Một số ví dụ về không gian metric Ví dụ 1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm số d xác định trên X X bởi $ &0 nếux y dpx, y q %1 nếux y Kiểm tra được rằng d là một metric trên X và được gọi là metric rời rạc trên X. Hơn nữa, pX, dq được gọi là không gian metric rời rạc. Ví dụ 1.2. Hàm số dpx, y q |x y| là một metric trên R, gọi là metric thông thường trên R. Ví dụ 1.3. Hàm số dpx, y q a|x y| là một metric trên R. Ví dụ 1.4. Cho C là trường số phức. Với mỗi cặp số phức z x iy và z1 x1 iy 1 ta định nghĩa a dpz, z 1 q px x1q2 py y1q2. Kiểm tra được rằng pC, dq là một không gian metric và được gọi là metric thông thường trên C. Ví dụ 1.5. Cho Rn là một không gian vector thực n-chiều. Với cặp phần tử x px1 , x2 , . . . , xn q, y py1, y2, . . . , ynq ta định nghĩa ¸ n d1 px, y q |xi yi|, i1 ¸ n d2 px, y q p pxi yiq2q1{2, i1 d8 px, y q max |xi yi |. 1¤i¤n Khi đó d1 , d2 , d8 là các metric trên Rn . Trong đó d2 thường được gọi là metric Euclide trên Rn . Ví dụ 1.6. Cho C ra, bs là không gian các hàm liên tục trên đoạn ra, bs. Với mỗi cặp hàm số xptq, y ptq P C ra, bs ta định nghĩa dpx, y q max |xptq y ptq| tPra,bs
3 và » b dL px, y q |xptq yptq|dt. a Kiểm tra được rằng d và dL là các metric trên C ra, bs. Ví dụ 1.7. Cho pX, dq là một không gian metric và A X là tập con khác rỗng. Trên A ta định nghĩa dA px, y q dpx, y q, @x, y P A. Khi đó pA, dA q là một không gian metric và được gọi là không gian metric con của pX, dq. Ví dụ 1.8. Cho pX, dX q và pY, dY q là các không gian metric. Trên tích Descartes ta định nghĩa dppx, y q, px1 , y 1 qq maxtdX px, x1 q, dY py, y 1 qu. Khi đó pX Y, dq là một không gian metric và được gọi là không gian metric tích của hai không gian pX, dX q và pY, dY q. Ví dụ 1.9. Cho pX, dq là một không gian metric. Ta định nghĩa ánh xạ l : X X Ñ R xác định bởi lpx, y q mint1, dpx, y qu a. Chứng minh rằng l là một metric trên X. b. Có thể thay ”1” bằng một số dương khác được hay không để l vẫn là metric trên X. Ví dụ 1.10. Cho pX, dq là một không gian metric. Ta định nghĩa ánh xạ l:X X Ñ R xác định bởi dpx, y q lpx, y q 1 dpx, y q Khi đó l là một metric trên X. 1.1.3 Sự hội tụ trong không gian metric Trong phần này, chúng tôi trình bày một số vấn đề về sự hội tụ trong không gian metric và các tính chất của sự hội tụ.
4 Định nghĩa 1.1.2. Cho pX, dq là một không gian metric. Dãy điểm txn u được gọi là hội tụ đến điểm x P X nếu lim dpxn , xq 0, nghĩa là, với mọi nÑ8 ¡ 0 tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ¡ n0 thì dpxn , xq . Ta viết lim xn nÑ8 x. Mệnh đề 1.1.1. Trong không gian metric, giới hạn của mỗi dãy hội tụ là duy nhất. Chứng minh. Phản chứng. Giả sử txn u hội tụ đến hai điểm phân biệt x, y. Khi đó 0 ¤ dpx, y q ¤ dpx, xn q dpxn , y q Ñ 0. Ta có được điều vô lí. Mệnh đề 1.1.2. Cho X là tập hợp với metric rời rạc. Giả sử txn u P X và xn Ñ a. Khi đó tồn tại n0 sao cho với mọi n ¥ n0 thì xn a. Chứng minh. Vì xn Ñ a cho nên với , tồn tại n0 sao cho mọi n ¥ n0 1 2 thì dpxn , aq . 1 2 Suy ra dpxn , aq 0 (???) do đó xn a, @n ¥ n0 . Mô tả sự hội tụ trong không gian Rn với metric Euclide và C ra, bs với metric ’max’? 1.2 Tập đóng và tập mở 1.2.1 Hình cầu và lân cận Định nghĩa 1.2.1. Giả sử pX, dq là một không gian metric, a P X và r ¡ 0. Ta định nghĩa các tập hợp B pa, rq tx P X : dpa, xq ru,
5 B pa, rq tx P X : dpa, xq ¤ ru lần lượt gọi là hình cầu mở, đóng tâm a bán kính r trong không gian metric pX, dq. Ví dụ 1.11. Xét tâp số thực R với metric thông thường. Hình cầu B pa, rq là khoảng pa r, a rq. Ngược lại, với mỗi khoảng pa, bq là hình cầu tâm ba x0 bán kính r b a . 2 2 Ví dụ 1.12. Mô tả hình cầu trong không gian metric rời rạc? Ví dụ 1.13. Biểu diễn hình cầu B p0, 1q trong không gian R2 với các metric d1 , d2 , d8 . Định nghĩa 1.2.2. Tập con U của không gian metric X được gọi là một lân cận của x P X nếu tồn tại r ¡ 0 sao cho B px, rq U . Nhận xét. i) Nếu U là lân cận của x và U V thì V cũng là lân cận của x. ii) Nếu U, V là các lân cận của x thì U V cũng là lân cận của x. iii) Giao hữu hạn các lận cận của x là một lân cận của x. Điều này không đúng với giao vô hạn.??? 1.2.2 Tập mở- Tập đóng Định nghĩa 1.2.3. Giả sử A là tập con của không gian metric X. Ta nói x P X là một điểm trong của A nếu tồn tại số r ¡ 0 sao cho B px, rq A. Định nghĩa 1.2.4. Tập A được gọi là mở nếu mọi điểm x P A đều là điểm trong của A. Tập B được gọi là đóng nếu phần bù X zB là tập mở. Ví dụ 1.14. Hình cầu mở là tập mở, hình cầu đóng là tập đóng. Ví dụ 1.15. Trong đường thẳng thực R thì tập pa, bq-mở, ra, bs-đóng, pa, bs- không đóng không mở. Ví dụ 1.16. Trong không gian metric rời rạc, mọi tập con đều vừa đóng,
6 vừa mở. Ví dụ 1.17. Tập các số nguyên là tập đóng trên đường thẳng thực, tập các số hữu tỉ không là tập đóng. Định lý 1.2.1. a) Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở; hợp tùy ý các tập mở là một tập mở. b) Giao tùy ý các tập đóng là một tập đóng; hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng. Chứng minh. (sinh viên tự chứng minh) Ví dụ 1.18. Tìm ví dụ chỉ ra rằng giao vô hạn các tập mở không là tập mở và hợp vô hạn các tập đóng không là tập đóng? Mệnh đề 1.2.2. Tập con A của không gian metric X là mở nếu và chỉ nếu dãy txn u P X và xn Ñ x P A thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho mọi n ¡ n0 thì xn P A. Mệnh đề sau mô tả cấu trúc của các tập mở trên đường thẳng thực. Mệnh đề 1.2.3. Mỗi tập mở trên đường thẳng thực là hợp hữu hạn hay đếm được các khoảng mở rời nhau. Chứng minh. Giả sử G là một tập mở trong R và x P G. Vì G mở nên tồn tại một khoảng mở U G. Kí hiệu Ux là hợp của các khoảng mở U như thế. Khi đó Ux là một tập mở trong G chứa x. Ta chứng minh rằng Ux pa, bq trong đó a inf Ux, b sup Ux. Thật vậy, rõ ràng rằng Ux pa, bq. Với y P pa, bq, y x. Xét a y x, từ định nghĩa của a tồn tại y 1 P Ux sao cho a y 1 y. Do đó có khoảng mở U chứa x và y 1 , với U G. Suy ra y P U do đó y P Ux . Chứng minh hoàn toàn tương tự cho x y b. Vậy Ux pa, bq. Từ định nghĩa suy ra Ux là khoảng mở lớn nhất trong G chứa x. Từ đó suy ra với x và x1 phân biệt trong G thì hoặc Ux Ux1 hoặc Ux X Ux1 H.
7 Mặt khác, vì mỗi khoảng mở Ux đều chứa các điểm hữu tỉ là tập đếm được cho nên có không quá đếm được các tập Ux và ¤ G Ux . xP G 1.2.3 Phần trong và bao đóng Định nghĩa 1.2.5. i)Tập hợp tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của tập hợp A và kí hiệu là Int A hoặc A0 . ii) Điểm x được gọi là điểm dính của tập hợp A nếu với mỗi số r ¡ 0 thì B px, rq X A H. Tập tất cả các điểm dính của tập hợp A được gọi là bao đóng của tập hợp A kí hiệu là A. iii) Điểm x được gọi là điểm biên của tập hợp A nếu với mỗi r ¡ 0 thì B px, rq X A H và B px, rq X pX zAq H. Tập tất cả các điểm biên của tập hợp A kí hiệu là B A. iv) Điểm x được gọi là một điểm tụ của tập hợp A nếu với mọi số r ¡ 0 thì B px, rq X pAztxuq H. v) Điểm x được gọi là một điểm cô lập của tập A nếu tồn tại r ¡ 0 sao cho B px, rq X A txu. Nhận xét. i)IntA A và nếu A-mở thì IntA A. ii) Điểm tụ có thể không thuộc A, nhưng điểm cô lặp thì thuộc A. Mệnh đề 1.2.4. Phần trong của tập A là tập mở và là tập mở lớn nhất trong A. Do đó, A- mở nếu và chỉ nếu A IntA. Mệnh đề 1.2.5. Bao đóng của tập A là tập đóng và là tập đóng bé nhất chứa A. Do đó, A đóng nếu và chỉ nếu A A. Mệnh đề 1.2.6. Cho pX, dq là một không gian metric, A, B là các tập con trong X. Khi đó:
8 a) Nếu A B thì intpAq intpB q. b) intpA X B q intpAq X intpB q. c) intpAq Y intpB q intpA X B q. Nhận xét rằng trong mệnh đề trên tồn tại các tập A, B sao cho dấu " =" không xảy ra ở khẳng định c). (Sinh viên tự lấy ví dụ). Mệnh đề 1.2.7. x PX là một điểm dính của tập A nếu và chỉ nếu tồn tại dãy txn u A hội tụ đến x. Chứng minh. Giả sử x P A khi đó với mỗi số nguyên dương n thì B px, 1{nqX A H nghĩa là tồn tại xn sao cho dpxn, xq 1{n. Do đó tồn tại dãy txnu A hội tụ đến x. Ngược lại, nếu tồn tại dãy txn u A hội tụ đến x. Khi đó với mỗi số r ¡ 0 thì xn Ñ x nên tồn tại n0 sao cho mọi n ¡ n0 thì dpxn , xq r. Do đó B px, rq X A H, hay x P A. Hệ quả. Tập con A của không gian metric X đóng nếu và chỉ nếu mọi dãy txn u A xn Ñ x thì x P A. 1.2.4 Tập hợp trù mật- Không gian khả li Định nghĩa 1.2.6. Tập con A của không gian metric X được gọi là trù mật trong X nếu A X. Không gian metric X được gọi là khả li nếu tồn tại một tập hợp đếm được M trù mật trong X. Ví dụ 1.19. Đường thẳng thực R là một không gian khả li vì tập các số hữu tỉ là tập đếm được trù mật trong R. Tổng quát hơn Rn là không gian khả li vì Rn Qn. Ví dụ 1.20. Cho X là một tập hợp và d1 , d2 là các metric trên X. Ta nói d1 , d2 là hai metric tương đương nếu A là tập mở trong pX, d1 q nếu và chỉ
9 nếu A là tập mở trong pX, d2 q. a. Chứng minh rằng nếu tồn tại hai số dương A, B sao cho Ad1 px, y q ¤ d2 px, y q ¤ Bd1 px, y q, @x, y PX thì d1 , d2 là tương đương. b. Chứng minh rằng hai không gian metric là tương đương nếu một dãy xn hội tụ trong không gian metric này thì cũng hội tụ trong không gian metric kia. c. Chứng minh rằng trên tập C ra; bs thì hai metric "sup" và "tích phân " không tương đương. Ví dụ 1.21. [Giả metric] Giả sử X là tập khác rỗng, hàm số d : X X ÑR được gọi là một giả metric trên X nếu d thỏa mãn các điều kiện sau: a. dpx, y q ¥ 0 @x, y P X. b. dpx, y q dpy, xq. c. dpx, y q ¤ dpx, z q dpz, y q @x, y, z P X. Khi đó pX, dq được gọi là một không gian giả metric. Các định nghĩa tập đóng, mở, hội tụ... được định nghĩa tương tự như trong không gian metric. Giả sử pX, dq là một không gian giả metric. Ta định nghĩa quan hệ xác định như sau: xy Ø dpx, yq 0. a. Chứng minh rằng là một quan hệ tương đương. b. Kí hiệu X là tập hợp các lớp tương đương trên X theo quan hệ . Đặt d prxs, ry sq dpx, y q. Chứng minh rằng d là một metric trên X . c. Ánh xạ p : X Ñ X xác định bởi ppxq rxs. Chứng minh rằng A mở trong X thì ppAq mở trong X . d. Chứng minh rằng hàm số f : X Ñ R và hàm số pf : X X Ñ R xác định bởi pf px, y q |f pxq f py q|
10 là một giả metric trên X. 1.3 Ánh xạ liên tục 1.3.1 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.3.1. Cho f : pX, dq Ñ pY, ρq, ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x0 P X nếu với mỗi ¡ 0 tồn tại δ ¡ 0 sao cho mọi x P X mà dpx, x0 q δ thì ρpf pxq, f px0 qq . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x P X. Ví dụ 1.22. Cho pX, dq là một không gian metric và a P X. Ánh xạ f : X Ñ R xác định bởi f pxq dpx, aq là một ánh xạ liên tục. Ví dụ 1.23. Ánh xạ đồng nhất i : Cs ra, bs Ñ CL ra, bs là một ánh xạ liên tục. Tuy nhiên, chiều ngược lại của ánh xạ trên không là ánh xạ liên tục. (Vì sao???) Ví dụ 1.24. Kí hiệu C 1 ra, bs là không gian các hàm khả vi liên tục trên đoạn ra, bs với metric dpx, y q max |xptq y ptq| max |x1 ptq y 1 ptq|. tPra,bs tPra,bs Ánh xạ f : C 1 ra, bs Ñ Csra, bs xác định bởi f pxqptq x1ptq là một ánh xạ liên tục. Ví dụ 1.25. Cho f1 : R Ñ R và f2 : R Ñ R là các ánh xạ liên tục. Khi đó ánh xạ g : R Ñ R2 xác định bởi g pxq pf1 pxq, f2 pxqq là một ánh xạ liên tục. Mệnh đề sau cho các tính chất tương đương của ánh xạ liên tục. Mệnh đề 1.3.1. i) Ánh xạ f liên tục tại điểm x0 nếu và chỉ nếu mọi dãy txnu X, xn Ñ x0 thì f pxnq Ñ f px0q. ii) Ánh xạ f liên tục tại điểm x0 nếu và chỉ nếu với mọi lân cận V của f px0 q luôn tồn tại lân cận U của x0 sao cho f pU q V .
11 Mệnh đề 1.3.2. Cho f là ánh xạ từ không gian metric X vào không gian metric Y . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: i) f liên tục. ii) f 1 pGq là tập mở trong X với mọi tập mở G trong Y . iii) f 1 pF q là tập đóng trong X với mọi tập đóng F trong Y . Chứng minh. Ta chứng minh i) và ii) là tương đương. Khẳng định ii) và iii) tương đương được chứng minh bằng cách lấy phần bù. iq ñ iiq Giả sử G là tập mở bất kỳ trong Y . Khi đó với bất kỳ x0 P f 1pGq. Vì G mở nên tồn tại ¡ 0 sao cho B pf px0 q, q G. Vì f liên tục tại x0 nên tồn tại δ ¡ 0 sao cho f pB px0, δqq B pf px0q, q. Do đó, f pB px0, δqq G hay B px0 , δ q f 1 pGq. Vậy f 1 pGq là tập mở trong X. iiq ñ iq Lấy x0 P X, ta chứng minh rằng f liên tục tại x0 . Với mọi ¡ 0, thì hình cầu B pf px0 q, q là mở trong Y nên f 1 pB pf px0 q, qq là mở trong X. Do x0 P f 1 pB pf px0 q, qq nên tồn tại δ ¡ 0 sao cho B px0 , δ q f 1 pB pf px0 q, qq nên f pB px0 , δ qq B pf px0 q, q. Vậy f liên tục tại x0 mà x0 tùy ý nên f liên tục trên X. Mệnh đề 1.3.3. Cho f : X ÑY trong đó X, Y là các không gian metric. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: a) f liên tục trên X; b) f 1 pB q f 1 pB q với mọi tập con B của Y ; c) f pAq f pAq với mọi tập con A trong X. Mệnh đề 1.3.4. Cho f, g : X ÑY là các ánh xạ liên tục từ không gian metric X vào không gian metric Y . Khi đó tập A tx P X : g pxq f pxqu là tập đóng trong X. Chứng minh. Để chứng minh A là tập đóng trong X ta chỉ ra rằng X zA là tập mở. Khi đó, với mọi a P X zA thì gpaq f paq hay dpgpaq, f paqq
12 3r ¡ 0. Ta chỉ ra rằng tồn tại hình cầu B pa, rq X zA. (???) 1.3.2 Ánh xạ liên tục đều Định nghĩa 1.3.2. Ánh xạ f : pX, dq Ñ pY, ρq được gọi là liên tục đều nếu mọi ¡ 0 tồn tại δ ¡ 0 sao cho mọi x, x1 P X mà dpx, x1 q δ thì ρpf pxq, f px1 qq . Ví dụ 1.26. Các hàm số liên tục trên đoạn trên đường thẳng thực là các ánh xạ liên tục đều. Ví dụ 1.27. Hàm số y x2 liên tục nhưng không liên tục đều trên đường thẳng thực. Tuy nhiên, khi thay f : r0; 1s Ñ R xác định bởi f pxq x2 thì f là liên tục đều. Thật vậy, với mọi ¡ 0 ta chọn δ {2 khi đó với mọi x, y thỏa |xy| {2 thì |f pxq f pyq| |x2 y2| ¤ p???q. Nên f liên tục đều trên r0; 1s. Ví dụ 1.28. Hàm số y : p0; 1q Ñ R không liên tục đều. Thật vậy, tồn tại sao cho với mọi δ ¡ 0 thì ta chọn x 1 1 và 2 n y 1 . Khi đó n 1 |x y| | npn1 1q | δ nhưng |f pxq f py q| 1 ¡ . Bây giờ ta xét ánh xạ f : p0; 8q xác định bởi f pxq là ánh xạ liên tục. 1 x Xét dãy xn là dãy Cauchy trong p0; 8q nhưng f pxn q n không là 1 n dãy Cauchy. Tuy nhiên, tính chất f pxn q là dãy Cauchy với mọi dãy Cauchy sẽ đúng nếu ánh xạ f liên tục đều. Cụ thể ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.3.5. Cho f : X Ñ Y là ánh xạ liên tục đều giữa các không gian metric X, Y . Giả sử rằng txn u là dãy Cauchy trong X khi đó tf pxn qu là dãy Cauchy trong Y .
13 Chứng minh. Vì f là ánh xạ liên tục đều cho nên với mọi ¡ 0 luôn tồn tại δ ¡ 0 sao cho mọi xn , xm thỏa dpxn , xm q δ thì ρpf pxn q, f pxm qq . Mà xn là dãy Cauchy trong X cho nên với δ ¡ 0 luôn tồn tại n0 sao cho với mọi n ¥ n0 thì dpxn , xm q δ. Do đó tf pxn qu là dãy Cauchy trong Y . 1.3.3 Phép đồng phôi- Phép đẳng cự Định nghĩa 1.3.3. Một song ánh f : X ÑY từ không gian metric X vào không gian metric Y là phép đồng phôi nếu f và f 1 liên tục. Nếu có một phép đồng phôi từ X vào Y ta nói hai không gian metric X và Y đồng phôi với nhau. Ví dụ 1.29. Ánh xạ f : p1; 1q Ñ R xác định bởi f pxq tanp π2 xq là một phép đồng phôi. Ví dụ 1.30. Xây dựng một phép đồng phôi bất kỳ giữa hai khoảng mở trên R? Nhận xét. Một phép đồng phôi biến tập mở từ không gian này thành tập mở của không gian kia và ngược lại. Do đó, các khái niệm dẫn xuất từ tập mở như tập đóng, điểm dính, điểm tụ... bất biến qua phép đồng phôi. Định nghĩa 1.3.4. Một song ánh f : X ÑY từ không gian metric X vào không gian metric Y là đẳng cự nếu dpf pxq, f py qq ρpx, y q, @x, y P X. Nếu tồn tại một phép đẳng cự giữa hai không gian metric X và Y ta nói X và Y đẳng cự với nhau. Ví dụ 1.31. Phép tịnh tiến vector là một phép đẳng cự từ không gian Rn vào chính nó. Ví dụ 1.32. Cho pX, ρq là một không gian metric và Y là một tập hợp bất kỳ. Giả sử có một song ánh f : Y Ñ X. Khi đó đặt dpy, y 1 q ρpf py q, f py 1 qq thì d là một metric trên Y và f là một phép đẳng cự.
14 1.4 Không gian metric đầy đủ Trong giải tích cổ điển ta biết khái niệm dãy số Cauchy, hơn nữa ta biết rằng mỗi dãy Cauchy là một dãy hội tụ. Vấn đề đặt ra trong trường hợp tổng quát đối với một không gian metric. Yêu cầu định nghĩa một dãy Cauchy trong không gian metric và mối liên hệ giwuax dãy Cauchy và dãy hội tụ. 1.4.1 Khái niệm không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.4.1. Một dãy txn u trong không gian metric pX, dq được gọi là dãy Cauchy nếu mọi ¡ 0 tồn tại n0 sao cho mọi m, n ¡ n0 thì dpxn , xm q . Nhận xét. Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. (???) Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát điều ngược lại không đúng. Định nghĩa 1.4.2. Không gian metric pX, dq được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Ví dụ 1.33. R với metric thông thường là một không gian metric đầy đủ. $ Ví dụ 1.34. Cho X là một tập hợp. Trên X ta định nghĩa &1 nếu x y dpx, y q %0 nếu x y a. Hãy mô tả dãy Cauchy trong không gian pX, dq. b. Chứng minh rằng pX, dq là một không gian metric đầy đủ. Ví dụ 1.35. Cho N là tập các số tự nhiên. Trên N ta định nghĩa dpm, nq | n1 |; @m, n P R. 1 m a. Chứng minh rằng d là một metric trên N. b. pN, dq không là không gian metric không đầy đủ.