Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến - TS. Lê Xuân Trường

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1 / 36

Ts. Lê Xuân Trường

Các nội dung chính

1 Hàm nhiều biến

2 Đạo hàm riêng

3 Vi phân toàn phần

4 Bài toán tối ưu không ràng buộc

5 Bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

2 / 36

PHẦN 1

HÀM NHIỀU BIẾN

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

3 / 36

Hàm nhiều biến

Hàm nhiều biến z = f (x, y )

Ví dụ: z = f (x, y ) = 2x 2 + 3y 2 là một hàm số theo hai biến số

f (0, 1) = 3, f (−2, 1) = 11.

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

4 / 36

Tập xác định: D = (cid:8)(x, y ) ∈ R2 : f (x, y ) có nghĩa(cid:9)

Hàm nhiều biến

Đồ thị của hàm hai biến z = f (x, y )

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

5 / 36

Gf = {(x, y , f (x, y )) : (x, y ) ∈ D}

PHẦN 2

ĐẠO HÀM RIÊNG

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

6 / 36

Đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng

Cho hàm số z = f (x, y ) xác định trên tập mở D và (x0, y0) ∈ D.

Đạo hàm riêng theo x

zx (x0, y0) ≡

(x0, y0) := lim ∆x→0

f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) ∆x ∂f ∂x

Đạo hàm riêng theo y

zy (x0, y0) ≡

(x0, y0) := lim ∆y →0

f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0) ∆y ∂f ∂y

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

7 / 36

(nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn)

Đạo hàm riêng

Nhận xét:

Để tính đạo hàm riêng theo một biến nào đó, ta xem các biến còn lại là hằng số và sử dụng các quy tắc đã biết trong hàm một biến.

Ta có

f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) = zx (x0, y0) ∆x + 0 (∆x )

f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0) = zy (x0, y0) ∆y + 0 (∆y )

Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

8 / 36

g (x, y , z) = xy sin (y + 2z) f (x, y ) = 2x 2y 3 + x −y 2x+1

Đạo hàm riêng

Biên tế riêng

Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0, y0)

Biên tế của z theo x

Mzx (x0, y0) :=

(x0, y0) ≈ f (x0 + 1, y0) − f (x0, y0)

∂f ∂x

Biên tế của z theo y

Mzy (x0, y0) :=

(x0, y0) ≈ f (x0, y0 + 1) − f (x0, y0)

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

9 / 36

∂f ∂y

Đạo hàm riêng

Biên tế riêng

Ví dụ:

- Lợi ích biên: Xét hàm lợi ích (hàm hữu dụng)

U = U (x1, x2) .

Lợi ích biên theo x1 và x2 lần lượt được xác định bởi

. MUx1 = và MUx2 = ∂U ∂x1 ∂U ∂x2

- Sản lượng biên: Cho hàm sản xuất

Q = Q (K , L) ,

với Q là sản lượng, K là lượng vốn và L là lượng lao động. Sản lượng biên theo vốn và theo lao động được cho bởi

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

10 / 36

. MPK = và MPL = ∂Q ∂K ∂Q ∂L

Đạo hàm riêng

Hệ số co dãn riêng

Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0, y0)

Hệ số co dãn riêng theo x

% thay đổi của z Ezx (x0, y0) =

(x0, y0) (cid:39)

∂z ∂x x0 z (x0, y0) % thay đổi của x

Hệ số co dãn riêng theo y

% thay đổi của z Ezy (x0, y0) =

(x0, y0) (cid:39)

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

11 / 36

∂z ∂x y0 z (x0, y0) % thay đổi của y

Đạo hàm riêng

Hệ số co dãn riêng

Ví dụ: Cho hàm cầu

Q = 100 − 2P + PA + 0, 1Y ,

trong đó P = 10, PA = 12 và Y = 1000.Tìm

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

12 / 36

- Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá, P. - Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá của sản phẩm liên quan, PA. - Hệ số co dãn của lượng cầu theo thu nhập, Y . Nếu thu nhập tăng 5% thì lượng cầu tăng bao nhiêu phần trăm?

Đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng cấp 1:

∂x (x, y )

∂y (x, y )

và zy (x, y ) = ∂f zx (x, y ) = ∂f

Các đạo hàm riêng cấp 2:

∂x 2 (x, y ) := ∂ ∂x

(cid:105) zxx (x, y ) = ∂2f (cid:104) ∂f ∂x (x, y )

∂x ∂y (x, y ) := ∂ ∂y

(cid:105) zxy (x, y ) = ∂2f (cid:104) ∂f ∂x (x, y )

∂y ∂x (x, y ) := ∂ ∂x

(cid:105) zyx (x, y ) = ∂2f (cid:104) ∂f ∂y (x, y )

∂y 2 (x, y ) := ∂ ∂y

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

13 / 36

(cid:105) zyy (x, y ) = ∂2f (cid:104) ∂f ∂y (x, y )

Đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng cấp 3:

· · ·

∂3f ∂x 3

∂3f ∂x 2∂y

Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số

f (x, y ) = x 3 + x 2y 3 − 2y 2

(cid:17) g (x, y ) = x arctan (cid:16) y x

Theorem

Giả sử hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp hai fxy và fyx liên tục trong một hình tròn tâm (x0, y0) với bán kính ε (bé tùy ý) thì ta có

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

14 / 36

fxy (x0, y0) = fyx (x0, y0) .

PHẦN 3

VI PHÂN TOÀN PHẦN

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

15 / 36

Vi phân toàn phần

Vi phân toàn phần

Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0, y0)

Vi phân toàn phần của f tại (x0, y0)

df (x0, y0) = fx (x0, y0) dx + fy (x0, y0) dy

Nếu các đạo hàm riêng fx và fy liên tục tại (x0, y0) thì

∆f (x0, y0) = f (x0 + dx, y0 + dy ) − f (x0, y0)

= fx (x0, y0) dx + fy (x0, y0) dy + 0 (ρ)

(cid:113)

(dx )2 + (dy )2.

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

16 / 36

trong đó ρ =

Vi phân toàn phần

Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến

Khi x − x0 và y − y0 bé, ta có

f (x, y ) − f (x0, y0) ≈ fx (x0, y0) (x − x0) + fy (x0, y0) (y − y0)

Ví dụ: Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas

Q = 3K 2/3L1/3,

trong đó K là lượng vốn và L là lượng lao động.

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

17 / 36

- Viết biểu thức vi phân toàn phần của Q khi K = 1000 và L = 216. - Tính gần đúng mức sản lượng thay đổi khi ta tăng 1, 5 đơn vị vốn và giảm 1 đơn vi lao động.

Vi phân toàn phần

Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến

Ví dụ: Xét hàm hai biến

(cid:112) x 3 + y 3 + 8. z = f (x, y ) =

- Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại (1, 3).

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

18 / 36

- Từ kết quả đó, hãy tính gần đúng giá trị f (1, 8; 2, 6).

PHẦN 4

CỰC TRỊ TỰ DO

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

19 / 36

Cực trị tự do

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

20 / 36

Cực trị địa phương và cực trị toàn cục

Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y )

Bước 1: Tìm các điểm dừng mà tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

fx = 0  

 fy = 0

(cid:21) H = Bước 2: Giả sử M (a, b) là một điểm dừng của f . Xét ma trận Hessian (cid:20) A B B C

trong đó A = fxx (a, b) , B = fxy (a, b) , C = fyy (a, b).

⇒ f không đạt cực trị tại M

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

21 / 36

A > 0, det (H) = AC − B 2 > 0 ⇒ f đạt cực tiểu tại M A < 0, det (H) = AC − B 2 > 0 ⇒ f đạt cực đại tại M det (H) = AC − B 2 = 0

Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y )

Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của hàm hai biến

z = f (x, y ) = x 3 − 3x + xy 2

Giải

Tìm các điểm dừng

√

 3x 2 − 3 + y 2 = 0 3 x = 0, y = ± fx (x, y ) = 0    

⇔

⇔

   2xy = 0 x = ±1, y = 0 fy (x, y ) = 0

Do đó ta có 4 điểm dừng

√

√

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

22 / 36

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) 0, 3 3 , 0, − , (1, 0) , (−1, 0) .

Cực trị tự do

Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y )

Phân loại các điểm dừng

fxx = 6x, fxy = 2y , fyy = 2y

√

(cid:16) (cid:17) - không là cực trị 0, − √ (cid:16) 3 (cid:17) 0, - 3 không là cực trị

- (−1, 0) là điểm cực đại địa phương - (1, 0) là điểm cực tiểu địa phương

Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

23 / 36

z = f (x, y ) = x 3 + y 3 − 12xy w = g (x, y , z) = x 2 + y 2 + 3z 2 + xz + yz − y

Cực trị tự do

Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục

Tập hợp lồi

⇒ λA + (1 − λ) B ⊂ S

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

24 / 36

Tập hợp lồi : (cid:26) A, B ∈ S λ ∈ [0, 1]

Cực trị tự do

Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục

Hàm số lồi, hàm số lõm: Cho z = f (x, y ) xác định trên tập lồi S

(cid:21) (ma trận Hessian) Ký hiệu: H (x, y ) = (cid:20) zxx (x, y ) zyx (x, y ) zxy (x, y ) zyy (x, y )

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

25 / 36

Hàm lồi Hàm lõm zxx (x, y ) > 0 zxx (x, y ) < 0     , ∀ (x, y ) , ∀ (x, y )   det (H (x, y )) > 0 det (H (x, y )) > 0

Cực trị tự do

Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục

Theorem

Giả sử (a, b) ∈ S là một điểm dừng của hàm z = f (x, y ). Khi đó

Nếu f là hàm lồi trên S thi f đạt cực tiểu toàn cục tại (a, b). Nếu f là hàm lõm trên S thi f đạt cực đại toàn cục tại (a, b) .

Ví dụ: Tìm cực tiểu toàn cục của hàm số

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

26 / 36

z = f (x, y ) = x 2 + y 2 + xy + 3

Cực trị tự do

Một số áp dụng trong kinh tế

Ví dụ 1: Một công ty sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu lần lượt là

P1 + P1 − P2, P2, Qd2 = 420 + Qd1 = 280 − 2 5 1 5 1 5 2 5

và hàm tổng chi phí được xác định bởi

1 + Q1Q2 + Q 2 2 .

C (Q1, Q2) = 40Q1 + 180Q2 + Q 2

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

27 / 36

Tìm mức sản lượng để công ty thu được lợi nhuận tối đa với giả thiết sản phẩm làm ra được bán hết.

Cực trị tự do

Một số áp dụng trong kinh tế

Ví dụ 2: Một công ty sử dụng hai nguyên liệu đầu vào để sản xuất. Giả sử sản lượng Q tại các mức nguyên liệu x1, x2 được xác định bởi

1

Q (x1, x2) = 12x 1/3 x 1/2 2

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

28 / 36

giá của hai loại nguyên liệu là p1, p2 và giá bán sản phẩm là q.Tìm mức nguyên liệu x1, x2 để lợi nhuận thu được lớn nhất nếu sản phẩm được bán hết.

PHẦN 4

CỰC TRỊ CÓ RÀNG BUỘC

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

29 / 36

Cực trị có ràng buộc

Bài toán: Tìm cực trị địa phương (hoặc toàn cục) của hàm số

z = f (x, y )

với điều kiện ϕ (x, y ) = M.

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập hàm Lagrange

L (x, y , λ) = f (x, y ) + λ [ϕ (x, y ) − M] .

Bước 2: Giải hệ phương trình

=

=

= 0

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

30 / 36

∂L ∂x ∂L ∂y ∂L ∂λ

Cực trị có ràng buộc

Phương pháp giải:

Bước 3: (kiểm tra điều kiện đủ) Giả sử (x0, y0, λ0) là một nghiệm của hệ trên.

 

Đặt H (x, y , λ) =   0 ϕy ϕx ϕx Lxx Lxy ϕy Lyx Lyy

Theorem

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

31 / 36

det (cid:0)H (x0, y0, λ0)(cid:1) > 0 ⇒ (x0, y0) là điểm cực đại địa phương det (cid:0)H (x0, y0, λ0)(cid:1) < 0 ⇒ (x0, y0) là điểm cực đại địa phương det (cid:0)H (x, y , λ)(cid:1) > 0, ∀ (x, y ) , ∀λ ∈ (λ − ε, λ + ε) ⇒ (x0, y0) là điểm cực đại toàn cục det (cid:0)H (x, y , λ)(cid:1) < 0, ∀ (x, y ) , ∀λ ∈ (λ − ε, λ + ε) ⇒ (x0, y0) là điểm cực tiểu toàn cục

Cực trị có ràng buộc

Lưu ý:

Nếu (x0, y0, λ0) là một nghiệm của hệ phương trình

=

=

= 0

∂L ∂x ∂L ∂y ∂L ∂λ

thì ta nói (x0, y0) là một điểm dừng ứng với nhân tử Lagrange λ.

Ý nghĩa của nhân tử Lagrange:

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

32 / 36

λ ≈ độ thay đổi của giá trị tối ưu khi M tăng 1 đơn vị

Cực trị có ràng buộc

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị địa phương của hàm số với các điều kiện tương ứng

2x + 3y = 6 z = x 2 − 3xy + 12x,

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

33 / 36

z = x + y x 2 + y 2 = 1

Cực trị có ràng buộc

Một số ví dụ:

Ví dụ 2: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và phân bố trên hai thị trường tách biệt. Hàm cầu đối với sản phẩm đó trên mỗi thị trường được cho bởi

P2 Qd1 = 310 − P1, Qd2 = 235 − 1 2

trong đó Pi là giá bán sản phẩm trên thị trường thứ i. Hàm tổng chi phí được xác định như sau

C (Q) = Q 2 + 30Q + 20,

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

34 / 36

với Q là tổng sản lượng. Trong trường hợp xí nghiệp sản xuất 80 sản phẩm, hãy tính sản lượng sẽ phân phối cho từng trường để thu được lợi nhuận lớn nhất.

Cực trị có ràng buộc

Một số ví dụ:

Ví dụ 3: Một người dự kiến dùng 130 đơn vị tiền tệ để mua hai loại hàng có giá lần lượt là P1 = 4 và P2 = 6. Biết hàm hữu dụng của hai loại hàng trên là

U (x1, x2) = (x1 + 2) (x2 + 1)

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

35 / 36

trong đó x1, x2 lần lượt là khối lượng hai loại hàng. Xác định x1, x2 để hàm hữu dụng đạt giá trị lớn nhất.

Cực trị có ràng buộc

Một số ví dụ:

Ví dụ 4: Để sản xuất một loại sản phẩm người ta sử dụng hai loại nguyên liệu có thể thay thế cho nhau. Mức sản lượng được xác định bởi Q = 3x 2/3y 1/3,

Ts. Lê Xuân Trường ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

36 / 36

trong đó x là lượng nguyên liệu thứ nhất, y là lượng nguyên liệu thứ hai. Giá của hai loại nguyên liệu này lần lượt là P1 = 2 và P2 = 1. Tính x, y để chi phí sản xuất ra 100 đơn vị sản lượng là thấp nhất.