PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài giảng điện tử
Ngày 6 tháng 12 năm 2016
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 1 / 54
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Ta xét bài toán cơ bản về dao động của con lắc đơn
L
θ
xác định bởi phương trình vi phân bậc hai
d2θ
dt2+g
Lsin θ= 0
với Llà chiều dài con lắc, glà hằng số hấp dẫn của trái đất, θlà góc tạo
bởi con lắc và trục thẳng đứng.
Ta xét vị trí ban đầu của con lắc khi bắt đầu dao động là θ(t0) = θ0và
vận tốc ban đầu tại điểm này là θ′(t0) = θ′
0, ta có bài toán giá trị đầu.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 2 / 54
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Với giá trị θnhỏ, ta xấp xỉ θ≈sin θ, khi đó bài toán trở thành tuyến tính
d2θ
dt2+g
Lθ= 0, θ(t0) = θ0, θ′(t0) = θ′
0
Bài toán này có thể giải bằng các phương pháp quen thuộc. Tuy nhiên với
giá trị θlớn, ta không thể giả thiết θ= sin θ. Để tìm nghiệm cho bài toán
này, ta cần sử dụng các phương pháp xấp xỉ nghiệm.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 3 / 54
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề
Bài toán Cauchy
Ta xét bài toán giá trị đầu bậc nhất, bài toán Cauchy,
y′(t) = f(t,y(t)),a6t6b,
y(a) = α(1)
với y=y(t)là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn [a,b],y0là giá trị ban đầu
cho trước của y(t)tại t=a.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 4 / 54
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài toán Cauchy Đặt vấn đề
Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm được nghiệm đúng của một
số phương trình đơn giản, còn đối với trường hợp f(x,y)có dạng bất kỳ
thì nói chung không có phương pháp giải.
Ngoài ra, trong những trường hợp có thể tìm ra nghiệm đúng của bài toán
Cauchy (1) quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng.
Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy có vai
trò rất quan trọng trong thực tế.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 6 tháng 12 năm 2016 5 / 54
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt