intTypePromotion=3

Bài giảng: Tích phân hàm lượng giác - Nguyễn Thành Long

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

0
255
lượt xem
43
download

Bài giảng: Tích phân hàm lượng giác - Nguyễn Thành Long

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hãy tham khảo bài giảng: Tích phân hàm lượng giác. Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức, kĩ năng cơ bản, và biết cách vận dụng giải các bài tập một cách nhanh nhất và chính xác.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng: Tích phân hàm lượng giác - Nguyễn Thành Long

  1. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG Email: Changngoc203@gmail.com Bỉm sơn: 16 – 02 – 2014
  2. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC  Dạng 1: Tính tích phân dạng I   f  cos x  .sin x dx đặt t  cos x  dt   sin dx  Bài tập giải mẫu:  2 2 Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx 0 Giải: Cách 1: Ta có:    2 2 2 2 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2 cos x  cos 2 x  dx   cos x  2 cos 2 x  cos3 x  .sin xdx 0 0 0 Đặt t  cos x  dt   sin xdx x  0  t  1 Đổi cận    x  2 t  0  0 1  t 2 2t 3 t 4  1 17 Khi đó I     t  2t 2  t 3  dt    t  2t 2  t 3  dt       1 0 2 3 4  0 12 Cách 2:    2 2 2 2 I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2cos x  cos 2 x  dx     cos x  2 cos 2 x  cos3 x  .d  cos x  0 0 0   cos 2 x 2 cos3 x cos 4 x  17      2  2 3 4  0 12 Cách 3: sin xdx   dt Đặt t  1  cos x   … bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất) cos x  t  1 Cách 4:  du   sin xdx u  cos x   3 Đặt  2 2  1  cos x   dv  sin x 1  cos x  dx   1  cos x  d 1  cos x  v     3 Khi đó https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1
  3. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com    2 2 1 3 1 3 2 1 3 I   cos x. 1  cos x  2   sin x 1  cos x  dx    1  cos x  d 1  cos x  3 30 3 30 0  2 1 4 17   1  cos x  2  3 12 12 0  2 dx Bài 2: Tính tích phân sau I    sin x 3 Giải: Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được    2 2 2 dx sin xdx sin xdx I     sin x  sin x  1  cos 2 x 2 3 3 3 Đặt t  cos x  dt   sin xdx   x  2 t  0   Đổi cận   1 x   t  2    3 Khi đó 1 1 1 1 0 dt 2 dt 1 2 1 1  1 2 dt 1 2 dt I      dt     2 0 t 1 2  t 1 2 2  1 1 t 0 1 t 2 0 1 t 1 t  0 2 1 1 1    ln t  1  ln t  1  2  ln 3 2 2 0 Cách 2: x 1 x  2 dt 1 1 2tdt 1 Đặt t  tan  dt   tan 2  1  dx  dx  2  dx  .  dt 2 2 2  t 1 sin x 2t 1  t 2 t 1 t2   x  3  3  t  Đổi cận   3 x   t  1   2   2 1 1 1 1 3 1 Khi đó I    sin x dx   t dt   ln t  3   ln 3  ln 3. 2 3 3 3 3 Cách 3:     x   2 2 2 d  tan 2 dx dx dx 2 x 2 1 I   dx      ln tan  ln 3  sin x x x x x  x 2  2  2sin cos  2 tan cos 2 tan 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 2
  4. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com Cách 4:     2 dx 2 sin xdx 2 sin xdx 1 1  cos x   1  cos x  2 I      d  cos x   2 sin x  sin x  1  cos x2 2  1  cos x 1  cos x  3 3 3 3    2 2 2 1  1 1  1 1 1 1    1  cos x  1  cos x  d  cos x    2  1  cos x d 1  cos x   2  1  cos x d 1  cos x  2   3 3 3   1 2 1 2 1   ln 1  cos x  ln 1  cos x  ln 3 2  2  2 3 3 Cách 5: u  sin x   du  cos xdx Đặt  dx   …. Bạn đọc tự giải nhé  dv  sin 2 x v   cot x   2 sin 2 x  sin x Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   dx 0 1  3cos x Giải: Cách 1: Ta có sin 2 x  sin x  sin x  2cos x  1 . 3sin x sin x 2dt Đặt t  1  3cos x ta được dt  dx  dx   ; 2 1  3cos x 1  3cos x 3 2 2 t 1 2t  1 cos x   2cos x  1  3 3 x  0  t  2 Đổi cận    x  2 t  1  Khi đó 2  4t 2 2   4 2  2 34 I     dt   t 3  t   1 9 9  27 9  1 27 Cách 2: Đặt t  1  3cos x … bạn đọc tự giải Cách 3: u  2cos x  1 du  2sin x   Đặt  sin x d 1  3cos x    2  dv  dx   v   3 1  3cos x   1  3cos x 3 1  3cos x Khi đó    2 42 2 42 I    2cos x  1 1  3cos x 2   sin x 1  3cos xdx    1  3cos xd 1  3cos x  3 30 3 90 0  2 8 3 34   1  3cos x  2  3 27 27 0 Cách 4: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 3
  5. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com Phân tích 2 1 1 3 1  3cos x   sin 2 x  sin x 1 2 cos x  1 3 d 1  3cos x   dx   . d 1  3cos x    . 1  3cos x 3 1  3cos x 3 1  3cos x 2 1   1  3cos xd 1  3cos x   d 1  3cos x  9 9 1  3cos x … Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé Chú ý: Nếu ta đặt t  cos x thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta lựa chọn cách nào là phù hợp nhất   a.sin 2 x  b sin x a.sin 2 x  bcosx Tổng quát:  dx hoặc  dx ta đặt c  d cos x  t .  c  d cos x  c  d s inx  2 sin 2 x.cos x Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   dx 0 1  cos x Giải: Cách 1:   2 sin 2 x.cos x 2 sin x.cos 2 x Ta có I   dx  2  dx 0 1  cos x 0 1  cos x dt   sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1   x  t  1 Đổi cận  2  x  0 t  2  2 1  t  1 2  1  t2 2 Khi đó I  2 dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t   2ln 2  1 2 t 1 t 2 1 Cách 2:    2 sin 2 x.cos x 2 sin x.cos x 21  cos 2 x   1 2 I  dx  2  dx  2    d cos x   0 1  cos x 0 1  cos x 0 1  cos x  2   1   cos 2 x   2  1  cos x   d  cos x    sin x   ln 1  cos x  2  2 ln 2  1 0 1  cos x   2 0 Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  và ta có thể đặt t  cos x  a sin 2 x.cos x Tổng quát: I   dx ta đặt t  b  c.cos x hoặc t  cos x  b  c.cos x  2 4sin 3 x Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I   dx 0 1  cos x Giải: 4sin 3 x 4sin 3 x 1  cos x  4sin 3 x 1  cos x  Ta có    4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin 2 x 1  cos x 1  cos x 1  cos x  sin 2 x Cách 1: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 4
  6. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com    4sin 3 x 2 2 Khi đó I  I   dx    4sin x  2sin 2 x  dx   cos 2 x  4 cos x  2  2 1  cos x 0 0 0 Cách 2:       4sin 3 x 2 2 2 I  2 dx    4sin x  4sin x cos x dx  4  sin xdx  4  cos xd  cos x   4cos x 2  2 cos x 2  2 2 0 1  cos x 0 0 0 0 0 Cách 3:   2 4sin x 3 4 1  cos 2 x  sin x 2 I  dx   dx 0 1  cos x 0 1  cos x  dt  sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1   x  t  1 Đổi cận  2  x  0 t  2  2 1 4 1   t  1  2   dt  4t  8 dt  2t 2  8t 2  2 Khi đó I    t    1 2 1 Chú ý: Có thể đặt t  cos x Cách 4:  dt dx   x  2t Đặt t  tan  sin x  2  1 t2  1  t2 cos x   1 t2 Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 4sin 3 x 4sin x(1  cos x)(1  cos x)   4sin x  2sin 2 x … lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám 1  cos x 1  cos x phá nhé!  2 4cos 3 x Tương tự I   dx  2 0 1  sin x  12 Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 4 xdx 0 Giải: Cách 1:   12 12 sin 4 x Ta có  tan 4 xdx   cos 4 x dx 0 0 dt Đặt t  cos 4 x  dt  4sin 4 xdx  sin 4 xdx   4 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 5
  7. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com x  0 t  1   Đổi cận    1  x  12  t  2    1 12 12 1 1 sin 4 x 1 2 dt 1 dt 1 1 Khi đó I   tan 4 xdx   dx       ln t 1  ln 2. 0 0 cos 4 x 41 t 41 t 4 4 2 2 Cách 2:     12 12 sin 4 x 1 d  cos 4 x  12 1 1 I   tan 4 xdx   dx      ln cos 4 x 12  ln 2 cos 4 x 4 0 cos 4 x 4 4 0 0 0  2 cos 3 x Bài 6: Tính tích phân sau I   dx  1  sin x 4 Giải:     2 cos 3 x 2 cos 2 x  2 1  sin 2 x  cos xdx  2 1  sin x cos xdx I   1  sin x dx    1  sin x cos xdx    1  sin x    4 4 4 4 Đến đây ta đặt t  1  sin x Hoặc     2 2 2 1  1  2 32 2 I    cos x  cos x sin x dx   cos xdx   sin 2 xdx   sin x  sin 2 x     2  4  4 4 4 4 4 Bài tập tự giải có hướng dẫn:  2 3sin x  4cos x  3 Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I   2 2 dx   ln 3 0 3sin x  4cos x 6 HD:   2 2 sin x cos x Tách làm hai tích phân I  3 2 2 dx  4  2 2 dx kết hợp với công thức 0 3sin x  4 cos x 0 3sin x  4cos x sin 2 x  cos 2 x  1 ta sẽ được kết quả  2 3cos x  4sin x Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là J   3sin 2 dx 0 x  4 cos 2 x  3 3 Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin 2 x.tan xdx  ln 2  0 8 HD: sin x Ta có sin 2 x.tan x  1  cos 2 x  và đặt t  cos x cos x  2 sin 3 x Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   dx  1  3ln 2 0 1  cos x https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 6
  8. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com HD:    2 sin 3 x 2 3sin x  4sin x 3sin x  4cos 2 x  1 2 Ta có I   dx   dx   dx và đặt t  1  cos x 0 1  cos x 0 1  cos x 0 1  cos x  2 sin 3 x  Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I   2 dx   1 0 1  cos x 2 HD: sin 3 x 1  cos 2 x Ta có  sin x và đặt t  cos x 1  cos 2 x 1  cos 2 x  2 sin x Bài 5: Tính tích phân sau I   dx  ln 2 x 0 sin 2 x  2cos x.cos 2 2 HD: x Ta có sin 2 x  2 cos x.cos 2  sin 2 x  cos x 1  cos x   1  cos x và đặt t  1  cos x 2  2 cos 2 x  Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I   dx   1 0 1  cos x 2  6 sin 3 x  sin 3 3 x 1 1 Bài 7: Tính tích phân: I   dx    ln 2 0 1  cos 3 x 6 3 HD: Phân tích sin 3 x  sin 3 3 x  sin 3 x 1  sin 2 3 x   sin 3 x.cos 3 x và đặt t  1  cos3 x  2 Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I   ecos x sin 2 xdx  2 0 HD: Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 x  2sin x cos x và đặt t  cos x  4 1 Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I    tan x  e sin x cos x dx  ln 2  e 2 1 0 HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản  2  Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I    esin x  cos x  cos xdx  e  1 0 4 HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản  2 sin 2 x Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   dx 0 4  cos 2 x  3 2sin 2 x  sin x Bài 12: Tính tích phân sau: I   dx 0 6 cos x  2 HD: Đặt t  6 cos x  2 hoặc t  6 cos x  2 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 7
  9. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com   Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I   4sin 3 x dx  4    dx 4 1  cos 2 x sin x 4 4 4 0 1  cos x 0 1  cos x HD: Đặt t  cos x  2 cos x  Bài 14: Tính tích phân sau: I   dx  0 1  cos x2 4 HD: Phân tích 1  cos 2 x  2  sin 2 x từ đó đặt t  sin x  2 sin 4 x 3 Bài 15: Tính tích phân sau I   2 dx  2  6 ln 0 1  cos x 4 HD: sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x Phân tích 2  và đặt t  3  cos 2 x hoặc t  cos 2 x 1  cos x 1  cos 2 x 1 2 b Dạng 2: Tính tích phân dạng I   f sin x .cos xdx đặt u  sin x  du  cos xdx a a.sin 2 x  b.sin x Để tính tích phân dạng  dx ta đổi biến bằng cách đặt t  c  d .cos x c  d .cos x Bài tập giải mẫu:  4 1  2sin 2 x Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I   1  sin 2 x dx 0 Giải: Cách 1:   4 2 4 1  2sin x cos 2 x Ta có I   dx   dx 0 1  sin 2 x 0 1  sin 2 x dt Đặt 1  sin 2 x  t  cos 2 xdx  2   x  t  2 Đổi cận  4  x  0 t  1  2 1 dt 1 2 1 Khi đó I   t  2 ln t 1  2 ln 2 21 Hoặc đặt sin 2x  t Cách 2:    '  4 cos 2x 1 1  sin 2 x  4 1 4 d (1  sin 2 x) 1 1 I  dx   dx    ln 1  sin2 x  4  ln 2 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x  2 0 1  sin 2 x 2 2 0 0 Cách 3: 2 Biến đối 1 – 2sin 2 x   cos x  sin x  cos x – sin x  và 1  sin 2 x   cos x  sin x  https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 8
  10. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com     4 1  2sin 2 x 4 cos x  sin x d  cos x  sin x  4 1 I  dx   dx    ln cos x  sin x 4  ln 2 1  sin 2 x cos x  sin x cos x  sin x 2 0 0 0 0 Hoặc đặt t  sin x  cos x  3 cos x Bài 2: Tính tích phân sau I 2   dx 0 2  cos 2 x Giải: Đặt t  sin x  dt  cos xdx x  0 t  0   Đổi cận    3  x t   3  2  3 3 3 2 2 cos x dt 1 dt Khi đó I 2   dx     2 0 2  cos 2 x 0 3  2t 2 0 3 2 t 2 3 3 Đặt t  cos u  dt   sin udu 2 2   t  0 u  2   Đổi cận  3  t  u    2   4 Khi đó  3  3  2 2 2 sin udu 4 1 dt 1 2 1 1  I  3 2  2  3   du  2 u  4 2 2 0 2 t 4 2 1  cos2 u  2 4  4 Chú ý: 3 Ta có thể dùng một bước đặt là sin x  cos u thì bài toán sẽ nhanh hơn 2 cos 3 x Bài 3: Tính tích phân sau I   dx sin x Giải:  I  cos 3 x dx   3 4cos x  3cos x dx    4 cos2 x  3 .cos xdx   24 1  sin 2 x   3 .d  sin x   sin x sin x sin x 0 sin x  1  1 2    4sin x  d  sin x   4. sin x  ln  sin x   C  sin x  2 Hoặc đặt t  sin x  2 2 Bài 4: Tính tích phân sau I   esin x sin 2 xdx 0 Giải: Đặt t  sin 2 x  dt  sin 2 xdx https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 9
  11. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com x  0  t  0 Đổi cận    x  2 t  1   2 1 2 1 Khi đó I   esin x sin 2 xdx   et dt  et  e  1. 0 0 0   2 2  sin 2 x sin 2 x sin 2 x Hoặc I   e sin 2 xdx   e d  sin x   e 2 2  e 1 0 0 0 Bài tập tự giải và có hướng dẫn  2 cos x Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau I   dx 0 2  cos 2 x HD: Ta có 2  cos 2 x  3  2sin 2 x và đặt t  sin x Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau  2 3 15 I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx  0 4 HD: 3 3 Ta có sin 2 x 1  sin 2 x   2sin x 1  sin 2 x  cos x và đặt t  sin x  4  x Bài 3: Tính tích phân sau I    1  tan x.tan  sin xdx 0 2 HD: x x x 2sin cos sin x Ta có tan x.tan .sin x  2 2. 2 .sin x  sin x .sin 2 x  1  cos x .sin x và đặt t  cos x 2 cos x x cos x 2 cos x cos 2 2  1 Đs: I  1    ln 2 2 4 2  2 cos x  Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau I   dx  0 1  cos x 2 4 HD: Phân tích 1  cos 2 x  1  1  sin 2 x  2  sin 2 x và đặt t  2  sin 2 x hoặc t  2  sin 2 x  2 Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: I   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  .dx  0 0 HD: 1 Phân tích sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x và đặt t  sin 2 x 2  2 sin 2 x 4 Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I   2 dx  ln 0 4  cos x 3 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 10
  12. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com  2 sin x cos 3 x Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I   2 dx 0 1  cos x  6 cos xdx 10 Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I   2  ln 0 6  5sin x  sin x 9  2 cos x  Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau I   dx  0 7  cos 2 x 6 2  2 cos xdx Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau I   2 0 11  7sin x  cos x  2 12 Bài 9: Tính tích phân I   6 1  cos 3 x .sin x.cos 5 xdx  0 91 HD: t  6 1  cos3 x  cos3 x  1  t 6 . Hoặc t  1  cos3 x b  sin 2 x  sin 2 x  du  sin 2 xdx Dạng 3: Tính tích phân dạng I   f   2  sin 2 xdx đặt u   2   a   cos x     cos x  du  sin 2 xdx  Bài tập giải mẫu:  2 sin 2 x Bài 1: Tính tích phân sau I   dx 0 1  cos 2 x Giải: Đặt t  1  cos 2 x  dt   sin 2 xdx  sin 2 xdx   dt x  0  t  2 Đổi cận    x  2 t  1   2 1 2 sin 2 x dt dt 2 Khi đó I   2 dx      ln t  ln 2. 0 1  cos x 2 t 1 t 1 Hoặc   I  2 sin 2 x dx     2 d 1  cos 2 x    ln 1  cos2 x   ln 2 2 2 0 1  cos x 1  cos 2 x 0 0  4 sin 4 x Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I   2 dx 0 1  cos x Giải:   4 4 sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x Ta có:  1  cos 2 dx   dx 0 x 0 1  cos 2 x https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 11
  13. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com Đặt t  1  cos 2 x  dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx và cos 2 x  t  1  cos 2 x  2cos 2 x  1  2  t  1  1  2t  3 x  0 t  2   Đổi cận    3 x  4  t  2  Khi đó 3 3 2 2 2  2t  3 dt  2 6 2  6 4 I     4  dt    4  dt   4t  6 ln t  3  2  6 ln 2 t 2 t 3 t 3 2 2 Cách khác:     4 sin 4 x 4 2sin 2 x cos 2 x 4 2 cos 2 x  1 d 1  cos x   2   d 1  cos2 x 4 2 1  cos 2 x  3 I  2 dx   2 dx  2  2 2 2   0 1  cos x 0 1  cos x 0 1  cos x 0 1  cos x   4 4 d 1  cos 2 x   4  8  sin xd  sin x   6  1  cos 2 x  2  4sin x  6 ln 1  cos x 4  2  6 ln 2 3  0 0 0 sin 4 x 2sin 2 x.cos 2 x sin 2 x.cos 2 x Hoặc phân tích 2  4 và đặt t  3  cos 2 x 1  cos x 1  cos 2 x 3  cos 2 x 1 2  2 3 Bài 3: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx 0 Giải: Đặt t  1  sin 2 x  dt  2sin x cos xdx  sin 2 xdx x  0  t  1 Đổi cận    x  2 t  2   2 2 3 t4 2 1 15 Khi đó I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx   t 3 dt   4  0 1 41 4 4 Cách khác:   4  2 3 2 I   sin 2 x 1  sin x  dx   1  sin x  d 1  sin x  2 2 3 2  1  sin x  2 15 2 4 4 0 0 0  2 sin 2 x Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I   dx 0 cos 2 x  4sin 2 x HD: Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số   2 2 sin 2 x sin 2 x I  dx   dx 0 1  sin 2 x  4sin 2 x 2 0 1  3sin x dt Đặt t  1  3sin 2 x   sin 2 xdx 3 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 12
  14. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com   x  t  4 Đổi cận  2  x  0 t  1  4 4 1 1 dt 1  2 2 4 2 Khi đó I     t dt  t  31 t 31 3 1 3 Hoặc đặt t  1  3sin 2 x Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt luôn t  cos 2 x  4sin 2 x hoặc t  cos 2 x  4sin 2 x Cách 2:    2 2 1 sin 2 x sin 2 x 12  I  2 2 dx   dx   1  3sin 2 x 30   2  d 1  3sin 2 x  0 1  sin x  4sin x 0 1  3sin 2 x  2 2  2  1  3sin x 2  3 3  0 Cách 3:   2 2 sin 2 x sin 2 x Ta có I   dx   dx 1  cos 2 x 0 1  cos 2 x 0 5  3cos 2 x 4 2 2 2 5  3cos 2 x 5  3cos 2 x Và đặt t  hoặc t  2 2  2 sin x cos xdx Tổng quát: Để tính I =  với a, b  0 0 a 2 cos 2 x  b 2 sin 2 x Ta đặt: u = a 2 cos 2 x  b 2 sin 2 x  2 sin x cos xdx Bài 5: Tính tích phân sau I   0 4cos 2 x  9 sin 2 x HD : Đặt u = 4 cos 2 x  9 sin 2 x  u2 = 4 cos 2 x  9 sin 2 x  udu  5sin x cos xdx Khi đó 3 1 udu 1 3 1 I   .  u 2  2 5 u 5 5  2 sin x.cos x Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau I   dx 0 b cos 2 x  c 2 sin 2 x 2 HD:  2 2 2 1 1 Nếu b  c  b   c thì I   sin 2 xdx  2 b ; 2b 0 2 2 Nếu b  c  b  c thì đặt t  b cos x  c sin 2 2 2 2 x . Khi đó dt  c 2  b 2  sin x.cos x.dx b 2 cos 2 x  c 2 sin 2 x 1 và tính được I  bc https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 13
  15. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com  2 sin x cos x Bài 7: Tính tích phân sau I   dx 0 a sin 2 x  b 2 cos 2 x 2 Giải: Cách 1:    2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x Ta có I   dx   dx   dx a 1  sin x   b sin x b  a 2  sin 2 x  a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a cos x  b sin x 0 0 2tdt  2  b 2  a 2  sin x cos xdx  Đặt t   b 2  a 2  sin 2 x  a 2  t 2   b 2  a 2  sin 2 x  a 2   tdt sin x cos xdx  2  b  a2   x  t  b  Đổi cận  2 x  0 t  a   b tdt 1 b ba 1 Khi đó I    2 .t  2  t b  a  b  a 2 2 2 2 a a b a ab Cách 2: Đặt t  a 2 sin 2 x  b2 cos 2 x  dt  2(b2  a 2 ) sin x cos xdx  x  0  t  a2  Đổi cận   2 x   t  b  2 Nếu a  b  2 b2 b2 sin x.cos x 1 dt 1 ab 1 Khi đó I   dx   2 t   0 a 2 .sin x  b 2 .cos x 2 b  a 2 2  a2 t b a 2 a2 2 b a 2 ab Nếu a  b     2 2 2 2 sin x.cos x sin x.cos xdx 1 1 1 Khi đó I   dx     sin 2 xdx   4 a cos 2 x  2 a 0 2 2 a .sin x  b .cos x 2 2 0 a 2a 0 0 Bài tập tự giải có hướng dẫn:  4 sin 4 x 4 Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau I   6 6 dx  ln 2 0 sin x  cos x 3 HD: sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x 3 Phân tích 6 6  và đặt t  sin 2 x hoặc t  1  sin 2 2 x sin x  cos x 3 4 1  sin 2 2 x 4   14 1  3 2  1 3 2 4 Hoặc I   d 1  sin 2 x    ln 1  sin 2 x 4  ln 2 30 3 4 3 4 3 1  sin 2 2 x   0 4  4 e tan x Bài 2: Tính tích phân sau: I   dx 0 cos 2 x https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 14
  16. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com HD: Đặt t  tan x 3 3 8 8 dx  1 1  Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I   sin 2    cos  dx  4  x cos 2 x   2 x sin 2 x  8 8 3 8 dx Cách 2: Phân tích I  4   sin 2 2 x 8 x Cách 3: Đặt t  tan 2  1 1 Dạng 4: Tính tích phân dạng I   f  tan x  2 dx đặt u  tan x  du  2 dx  1  tan 2 x  dx  cos x cos x  1   Hoặc: I   f  tan x  1  tan 2 x dx đặt u  tan x  du  cos 2 x dx  Bài tập giải mẫu:  4 dx Bài 1: Tính tích phân sau I   0 1  tan x Giải: 1 dt dt Đặt t  tan x  dt  2 dx  1  tan 2 x  dx  dx   cos x 1  tan x 1  t 2 2 x  0  t  0 Đổi cận    x  4 t  1  1  t 1  1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt 1 dt 1 Khi đó I      dt     2   2 0 1  t  1  t 2  0   2 1  t  2 1  t 2    2 01  t 2 0 t  1 2 0 t 1           J1 J2 J3 1 1 dt 1 1 ln 2 Tính: J1    ln t  1  2 0 t 1 2 0 2 1 d  t  1 1 1 1 2 1 tdt 1 ln 2 Tính: J 2   2   2  ln t 2  1  2 0 t 1 4 0 t 1 4 0 4  1 1 dt 14  Tính: J 3   2   du  (với t  tan u ) 2 0 t 1 2 0 8 ln 2 ln 2   ln 2 Vậy I      2 4 8 8 4 Cách 2: 1 cos x 1  cos x  sin x    cos x  sin x  Phân tích   . 1  tan x sin x  cos x 2 sin x  cos x https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 15
  17. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com    1 1 d  sin x  cos x  1 4 4  1 Khi đó I   dx     x  ln sin x  cos x  4   ln 2 20 2 0 sin x  cos x 2 8 4 0 Hoặc: Sử dụng đồng nhất thức cos x  A  cos x  sin x   B  cos x  sin x  đồng nhất hai vế tìm A và B  4 sin 2 x Bài 2: Tính tích phân I   dx  cos 4 x  tan 2 x  2 tan x  5   4 Giải:   4 2 4 sin x tan 2 x Phân tích I   dx   dx  cos x  tan 2 x  2 tan x  5  4   tan 2 x  2 tan x  5 .cos 2 x   4 4 1 Đặt t  tan x  dt  dx cos 2 x   x  4  t  1 Đổi cận   x    t  1   4 Khi đó 1 t2 1 1  2t  2  1 dt I 2 dt   dt   2 dt  3  2 1 t  2t  5 1 1 t  2t  5 1  t  1  4 1   t  ln t 2  2t  5  1  3I 1  2  5ln 2  3I1 1 dt Tính I1    t  1 2 1 4 Đặt t  1  2 tan u  dt  2  tan 2 u  1 du 0 2  tan 2 u  1 0 0 1 1  Khi đó I1   du   du  2 u    8  4  tan u  1 2 2  4  4 4 3 Vậy I  2  5ln 2  8  4 1 Bài 3: Tính tích phân sau I   4 dx 0 cos x Giải: Cách 1:   4 4 1 1 1 Ta có I   4 dx   2 . 2 dx 0 cos x 0 cos x cos x 1 Đặt t  tan x  dt  dx cos 2 x https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 16
  18. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com x  0  t  0 Đổi cận    x  4 t  1   4 1 1  t3  1 4 Khi đó I   4 dx   1  t 2  dt   t    . 0 cos x 0  30 3 Cách 2:    4 4 4  1 1  tan 3 x  4 I  4 dx   1  tan 2 x  2 dx   1  tan 2 x  d  tan x    tan x   4  cos x cos x  x  3 0 0 0 0 Cách 3: 1 sin 2 x  cos 2 x sin 2 x 1 tan 2 x 1 Phân tích 4  4     cos x cos x cos x cos x cos x cos 2 x 4 2 2 … đến đây thì quá dễ rùi phải không Cách 4:  1 u  cos 2 x  Đặt  … Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà  dv  1 dx   cos 2 x Hoặc : Đặt t  tan x  4 Bài 4: Tính tích phân sau I   tan 6 xdx 0 Giải: Cách 1: dt Đặt t  tan x  dt   tan 2 x  1 dx  dx  1 t2 x  0  t  0 Đổi cận    x  4 t  1  Khi đó   1 4 1 6 1 5 3 4 t dt  1  t t  13  I   tan 6 xdx   2  t4  t2 1 2 dt     t    du   0 0 t 1 0 t 1 5 3 0 0 15 4 Cách 2: Phân tích tan 6 x   tan 6 x  tan 4 x    tan 4 x  tan 2 x    tan 2 x  1  1  tan 4 x  tan 2 x  1  tan 2 x  tan 2 x  1   tan 2 x  1  1 1   tan 4 x  tan 2 x  1 1 cos 2 x Khi đó   4 4  1  tan 5 x tan 3 x  13  I    tan x  tan x  1 4 2 2 dx   dx     tan x  x  4   0 cos x 0  5 3  0 15 4 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 17
  19. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com  4 Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 3 xdx 0 Giải: dt t  tan x  dt  1  tan 2 x  dx  1  t 2  dt  dx  2 t 1 x  0  t  0 Đổi cận    x  4 t  1  Khi đó  t 2 1 1 d  t  1 1 1 1 1 1 2 4 t3  t  1 2t I   tan 3 xdx   dt    t  2  dt   tdt   2 dt    2 0 0 t2 1 0 t 1 0 2 0 t 1 2 0 2 0 t 1 1 1 1 1 1 1   ln  t 2  1   ln 2  1  ln 2  . 2 2 0 2 2 2 1 Hoặc phân tích tan 3 x   tan 3 x  tan x   tan x  tan x.  tan x …bạn đọc tự giải cos 2 x  /4 dx Bài 6: Tính tích phân sau I   sin 2 0 x  2sin x.cos x  cos 2 x Giải: Chia cả tử và mẫu cho cos 2 x ta được dx  /4 cos 2 x  /4 d  tan x  I  2   2 0 tan x  2 tan x  1 0 tan x  2 tan x  1 1 Đặt t  tan x  dt  dx cos 2 x   x  t  1 Đổi cận  4  x  0 t  0  Khi đó 1 1 dt dt 1 t 1 2 1 I  2  2  ln 0 t  2t  1 2 0  t  1   2 2 2 t 1 2 0 Cách khác:  dt dx  t 2  1  Đặt x  tan t   … bạn đọc tự giải 2sin x cos x  2t   t2  1 Bài tập tự giải có hướng dẫn:  2 4  tan x  1 7 Bài 1: Tính tích phân sau I   2 dx  0 cos x 3 HD: Đặt t  tan x  1 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 18
  20. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com  4 sin 3 x Bài 2: Tính tích phân sau I   2 dx 0  tan 2 x  1 cos5 x HD: sin 3 x tan 3 x 1 Phân tích 2  2 . và đặt t  tan x  tan 2 x  1 cos x 5  tan 2 x  1 cos 2 x  6 tan 4 x 1 10 Bài 3: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau I   0 cos 2 x dx  ln 2  3  2  9 3  HD: Biến đổi cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1  tan 2 x  cos 2 x và đặt t  tan x 1  tan 2 x Hoặc sử dụng công thức cos 2 x  1  tan 2 x  6 tan 3 x Bài 4: (ĐHKTHCM – 2001) Tính tích phân sau I   dx 0 cos 2 x HD: Biến đổi cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1  tan 2 x  cos 2 x và 1 đặt t  tan x  dt  dx cos 2 x  3 Đổi cận khi x  0  t  0 và khi x  t  6 3 Khi đó   3 3 6 tan 3 x 6 tan 3 x 3 t3 3  1  I  dx   dx   1  t 2 dt    t  1  t 2  dt  0 cos 2 x  sinh 2 x 0 cos 2 x(1  tan 2 x) 0 0   3 2  t 1  3 1 1 2     ln 1  t 2     ln  2 2 0 6 2 3 1  tan 2 x Hoặc sử dụng công thức cos 2 x  1  tan 2 x  3 tan x Bài 5: Tính tích phân sau I   dx  5  3  cos x. 1  cos 2 x 4 HD:  1  Phân tích cos x 1  cos 2 x  cos x cos 2 x  2  1   cos 2 x tan 2 x  2 và đặt t  tan 2 x  2  cos x  Hoặc đặt t  tan x  2 dx Bài 6: (ĐHCĐ – 1999) Tính tích phân sau I   1 0 1  sin 2 x HD: 2 Phân tích 1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x   sin x  cos x   cos 2 x  tan x  1 và đặt t  tan x  1 Cách khác: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản