Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR
Đại Học Tôn Đức Thắng
Huỳnh Văn Kha
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
1 / 23
Toán A2 - MS: C01002
Nội dung
1 Một số khái niệm cơ bản
2 Cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector
3 Tọa độ
Khái niệm không gian vector, kg vector con Không gian sinh bởi tập hợp Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
4 Tích vô hướng, cơ sở trực chuẩn
Tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
1 / 23
Tích vô hướng Cơ sở trực chuẩn và trực giao hóa Gram-Schmidt
Không gian vector, kg vector con Cho tập V (cid:54)= ∅, trên V có 2 phép toán: cộng (+) và nhân với số thực. Nếu hai phép toán đó thỏa các tính chất sau thì ta nói V là một không gian vector: ∀u, v , w ∈ V ; ∀h, k ∈ R
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
2 / 23
1. Giao hoán: u + v = v + u 2. Kết hợp: (u + v ) + w = u + (v + w ) 3. Tồn tại phần tử 0 sao cho: u + 0 = u, ∀u ∈ V 4. ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0 5. h(ku) = (hk)u 6. (h + k)u = hu + ku 7. h(u + v ) = hu + hv 8. 1.u = u
Ví dụ:
(cid:73) (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn) (cid:73) k (x1, ..., xn) = (kx1, ..., kxn)
Tập các ma trận Mm×n cùng với phép cộng ma trận và phép nhân số với ma trận là một kg vector Tập Rn với phép cộng và nhân:
lập thành không gian vector Cho V là kg vector, W ⊂ V , W (cid:54)= ∅
Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W và ku ∈ W . Thì ta nói W là không gian vector con của V
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
3 / 23
Ký hiệu: W ≤ V
Ví dụ: Xét xem W có là không gian vector con của V không?
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
4 / 23
1. V = R2, W = {(x, 0) : x ∈ R} 2. V = R2, W = {(x, 1) : x ∈ R} 3. V = R3, W = {(a − 2b, a + b, b) : a, b ∈ R} 4. V = Rn, W là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn số: AX = 0 (với A ∈ Mm×n)
Không gian sinh bởi tập hợp
Cho V là kgvt và S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V Với mỗi bộ k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta gọi vector v = k1u1 + k2u2 + · · · + knun là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1, u2, . . . , un
Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , un thì W là không gian vector con của V . Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
5 / 23
Ký hiệu: W = (cid:104)S(cid:105) = (cid:104)u1, u2, ..., un(cid:105)
Ví dụ: Xét W = (cid:104)u1, u2, u3(cid:105) ≤ R4, với u1 = (2, 0, −1, 3), u2 = (0, 1, 2, −1), u3 = (2, 2, 3, 1) 1. Các vector v1 = (−2, 3, 7, −6), v2 = (2, 1, 1, 1) có
thuộc W không?
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
6 / 23
2. Tìm điều kiện để v = (a, b, c, d ) ∈ W
Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Cho V là kgvt, S = {u1, u2, . . . , un}
S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta có:
k1u1 + k2u2 + · · · + knun = 0 kéo theo k1 = k2 = · · · kn = 0
Nếu S không độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: S = {u1, u2, u3} có độc lập tuyến tính không?
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
7 / 23
1. u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1) 2. u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1, −3, 1), u3 = (−5, 6, 4)
Cơ sở và số chiều
Không gian vector V gọi là n chiều nếu V có n vector độc lập tuyến tính, và mọi họ lớn hơn n vector trong V đều phụ thuộc tuyến tính.
n gọi là số chiều của V , ký hiệu: dim V = n
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
8 / 23
Một họ n vector độc lập tuyến tính trong không gian n chiều là một cơ sở của không gian đó
Ví dụ:
1. Không gian Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R} có số chiều là n; có một cơ sở là B0 = {e1, e2, . . . , en},
với:
e1 = (1, 0, ..., 0) e2 = (0, 1, ..., 0) ... en = (0, 0, ..., 1)
Ta gọi nó là cơ sở chính tắc của Rn
2. B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có là cơ sở của
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
9 / 23
R3 không?
Chú ý
Tập S ⊂ V là cơ sở của V khi và chỉ khi:
S sinh ra V , nghĩa là: (cid:104)S(cid:105) = V , và S độc lập tuyến tính
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
10 / 23
Nếu S là cơ sở của V thì: dim V = số phần tử của S
Hạng của hệ vector; cơ sở, số chiều của (cid:104)S(cid:105)
Trong kgvt V , cho hệ S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V . Khi đó, số chiều của (cid:104)S(cid:105) gọi là hạng của S, ký hiệu: rank S Nếu S (cid:48) thu được bằng cách: (cid:73) Đổi chỗ 2 phần tử của S (cid:73) Nhân một vector của S với số khác 0 (cid:73) Thay một vector của S bằng tổng của nó với α lần một
vector khác trong S
(cid:73) Sắp các vector của S thành hàng (cid:73) Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa về ma trận
Thì (cid:104)S(cid:105) = (cid:104)S (cid:48)(cid:105) Để tìm cơ sở, số chiều của (cid:104)S(cid:105), ta làm như sau:
bậc thang. Suy ra sơ sở, số chiều (hạng của S)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
11 / 23
Ví dụ:
1. Trong R4, xét S = {u1, u2, u3, u4}, với u1 = (1, 1, 3, 0), u2 = (0, −2, 0, 1), u3 = (3, −1, 9, 2), u4 = (−1, −7, −3, −3). Tìm cơ sở và số chiều cho (cid:104)S(cid:105)
2. Trong R4, xét B = {v1, v2, v3, v4}, với v1 = (2, −1, 7, 1), v2 = (0, 3, 1, −1), v3 = (−2, −2, −8, 3), v4 = (2, −7, 5, 1). Tìm cơ sở và số chiều cho (cid:104)B(cid:105)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
12 / 23
Chú ý: S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi: rank(S) = số vector của S
Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Dùng pp Gauss giải hệ, suy ra cơ sở, số chiều
Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian nghiệm hệ:
1.
2.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
13 / 23
x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 4x5 = 0 2x1 + 4x2 − 2x3 + 7x4 + 5x5 = 0 2x1 + 4x2 − 2x3 + 4x4 − 2x5 = 0 x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0 2x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 0 3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0 2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0
Cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự do để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm Dùng 1 trong 2 cách sau:
1. Xem là kg sinh bởi các vector cột của ma trận hệ số 2. Dùng phương pháp Gauss
Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian W = {(a, b, c, d , e) : hệ dưới đây có nghiệm}
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
14 / 23
x1 + x2 + 2x4 = a 2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = b + 5x4 = c x1 + 3x2 3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = d 2x1 + 8x2 − 4x3 + 2x4 = e
Tọa độ
Cho B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở được sắp của kgvt V . Khi đó, ∀u ∈ V , ∃!(k1, k2, . . . , kn) ∈ Rn sao cho: u = k1e1 + k2e2 + · · · + knen
Tọa độ của u trong B là: [u]B =
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
15 / 23
k1 k2 ... kn
Ví dụ:
1. Tìm tọa độ của u = (x1, x2, . . . , xn) trong cơ sở
chính tắc của Rn
2. Chứng tỏ rằng B = {u1 = (2, 3, 3), u2 =
(−1, −1, −3), u3 = (1, 2, 3)} là sơ sở của R3. Tìm tọa độ của u = (−1, 0, 0) trong B
3. a)Chứng tỏ rằng S = {v1 = (1, −1, 1, 1), v2 =
(2, −2, 3, 0), v3 = (3, −3, 4, 3)} là một cơ sở của W = (cid:104)S(cid:105) ≤ R4. b) Chứng tỏ rằng v = (−1, 1, −2, 3) ∈ W . Tìm [v ]S
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
16 / 23
c) Biết [w ]S = . Xác định w . −1 1 0
Ma trận chuyển cơ sở
n} là các cơ sở của kgvt V .
1, e(cid:48)
2, . . . , e(cid:48) Cho B, và B(cid:48) = {e(cid:48) Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ B sang B(cid:48) được định nghĩa là:
1]B [e(cid:48)
2]B
n]B)
P(B → B(cid:48)) = ([e(cid:48) · · · [e(cid:48)
Các tính chất:
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
17 / 23
P(B → B) = In P(B → C) = P(B → B(cid:48))P(B(cid:48) → C) P(B → B(cid:48)) = [P(B(cid:48) → B)]−1 [v ]B = P(B → B(cid:48))[v ]B(cid:48)
Ví dụ: Cho B0 là cơ sở chính tắc của R3
B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)},
C = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 2), v3 = (1, 2, −3)}. 1. Chứng tỏ rằng B, C đều là các cơ sở của R3. 2. Tìm P(B0 → B), P(B → B0), P(B → C),
P(C → B)
3. Cho u = (−2, 1, 3). Tìm [u]B
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
18 / 23
4. Cho [v ]C = . Tìm [v ]B −2 −1 3
Tích vô hướng
Tích vô hướng trên kgvt V là một ánh xạ:
V × V → R (u, v ) (cid:55)→ (cid:104)u, v (cid:105)
thỏa: ∀u, u1, u2, v ∈ V , ∀k ∈ R
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
19 / 23
(cid:104)u1 + u2, v (cid:105) = (cid:104)u1, v (cid:105) + (cid:104)u2, v (cid:105) (cid:104)ku, v (cid:105) = k(cid:104)u, v (cid:105) (cid:104)u, v (cid:105) = (cid:104)v , u(cid:105) (cid:104)u, u(cid:105) > 0 nếu u (cid:54)= 0; và (cid:104)u, u(cid:105) = 0 khi u = 0 Chuẩn hay độ dài của vector u là: (cid:107)u(cid:107) = (cid:112)(cid:104)u, u(cid:105) Nếu (cid:107)u(cid:107) = 1, ta nói u là vector đơn vị
Ví dụ:
Không gian Rn là không gian có tích vô hướng, với tích vô hướng được định nghĩa: u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn)
(cid:104)u, v (cid:105) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn
Chuẩn ứng với tích vô hướng nói trên:
1 + x 2 x 2
2 + · · · + x 2 n
(cid:113) (cid:107)u(cid:107) = (cid:112)(cid:104)u, u(cid:105) =
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
20 / 23
BDT Cauchy-Schwarz: |(cid:104)u, v (cid:105)| ≤ (cid:107)u(cid:107)(cid:107)v (cid:107) BDT tam giác: |(cid:107)u(cid:107) − (cid:107)v (cid:107)| ≤ (cid:107)u + v (cid:107) ≤ (cid:107)u(cid:107) + (cid:107)v (cid:107)
Trực giao, trực chuẩn
Xét không gian có tích vô hướng V :
u, v ∈ V gọi là trực giao nếu: (cid:104)u, v (cid:105) = 0 Hệ vector u1, u2, . . . , un ∈ V gọi là trực giao nếu (cid:104)ui , uj(cid:105) = 0, ∀i (cid:54)= j Hệ vector u1, u2, . . . , un ∈ V gọi là trực chuẩn nếu nó là hệ trực giao gồm toàn các vector đơn vị Cơ sở trực giao (trực chuẩn) là cơ sở mà các vector của nó tạo thành hệ trực giao (trực chuẩn)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
21 / 23
Hệ trực giao không chứa vector 0 thì độc lập tuyến tính.
Trực giao hóa Gram-Schmidt
Cho {u1, u2, . . . , un} là một cơ sở của kgvt V . Ta có thể xây dựng cơ sở trực giao {v1, v2, . . . , vn} cho V như sau:
v1 = u1;
v2 = u2 − v1;
n−1 (cid:88)
v2; (cid:104)u2, v1(cid:105) (cid:104)v1, v1(cid:105) (cid:104)u3, v1(cid:105) (cid:104)v1, v1(cid:105) (cid:104)u3, v2(cid:105) (cid:104)v2, v2(cid:105)
i=1
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
22 / 23
vn = un − vi v1 − v3 = u3 − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:104)un, vi (cid:105) (cid:104)vi , vi (cid:105)
Ví dụ:
1. Xét
S = {u1 = (2, 3, 6), u2 = (5, −3, 8), u3 = (8, 5, 3)}. Chứng tỏ rằng S là cơ sở của R3. Sử dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, từ S, hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn cho R3.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 3: Không gian vector
Toán A2 - MS: C01002
23 / 23
2. Cho u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1, 0, 1, 0), u3 = (−1, 0, 0, 1), và S = {u1, u2, u3}. Hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn cho kgvt W = (cid:104)S(cid:105)
![Bài giảng Hình học họa hình: Bài mở đầu - Giới thiệu [Chuẩn SEO]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250823/kimphuong1001/135x160/99131755935505.jpg)
