Bài giảng Toán A2: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán A2 - Chương 4 trình bày các kiên thức về trị riêng, vector riêng & dạng toàn phương. Nội dung cụ thể trong chương này gồm có: Đa thức đặc trưng; trị riêng, vector riêng; chéo hóa ma trận; dạng toàn phương; dạng chính tắc của dạng toàn phương; đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán A2: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 4 TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG & DẠNG TOÀN PHƯƠNG Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán A2 - MS: 501002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 1 / 14
Nội dung 1 Chéo hóa ma trận Đa thức đặc trưng Trị riêng, vector riêng Chéo hóa ma trận 2 Dạng toàn phương Dạng toàn phương Dạng chính tắc của dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 1 / 14
Đa thức đặc trưng Cho A ∈ Mn , ta gọi đa thức đặc trưng của A là đa thức: pA (x) = det(xIn − A) Ví dụ:  3 1 −1 1. Xét A =  2 2 −1  2 2 0 Tìm đa thức đặc trưng của A 2. Cho P khả nghịch, chứng tỏ rằng: A và P −1 AP có cùng đa thức đặc trưng. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 2 / 14
Trị riêng, vector riêng Cho A ∈ Mn Ký hiệu: [v ] là tọa độ của v ∈ Rn trong cơ sở chính tắc Vector v ∈ Rn (v 6= 0) gọi là vector riêng của A nếu tồn tại λ ∈ R sao cho: A[v ] = λ[v ] Khi đó ta nói λ là một trị riêng của A. Và v là vector riêng ứng với trị riêng λ λ là trị riêng của A khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức đặc trưng pA (x) Ví dụ: Tìm các trị riêng của ma trận A trong ví dụ trên. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 3 / 14
Không gian con riêng Tập các vector v ∈ Rn thỏa: A[v ] = λ[v ] là một không gian vector con của Rn . Ký hiệu: E (λ) Nếu λ là trị riêng của A thì E (λ) được gọi là không gian con riêng ứng với trị riêng λ Ví dụ: 1. Tìm cơ sở, số chiều cho các không gian con riêng của A trong ví dụ trên 2. Tìm cơ sở, số chiều cho các  không gian con riêng 2 −1 −1 của B =  −1 2 −1  −1 −1 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 4 / 14
Chéo hóa ma trận vuông Ma trận vuông A ∈ Mn gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghịch P ∈ Mn sao cho P −1 AP là ma trận đường chéo. P −1 AP gọi là dạng chéo của ma trận A A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại cơ sở của Rn gồm toàn các vector riêng của A Nếu λ là nghiệm bội m của pA (x) thì m ≥ n = dim E (λ) Gọi λ1 , λ2 , . . . , λk là tất cả các trị riêng khác nhau của A. Đặt ni = dim E (λi ), khi đó: A chéo hóa được khi và chỉ khi n1 + n2 + · · · + nk = n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 5 / 14
Thuật toán chéo hóa ma trận 1. Tìm đa thức đặc trưng, xác định các trị riêng λi → Nếu tổng bậc của các trị riêng nhỏ hơn n thì không chéo hóa được 2. Tìm các cơ sở Bi cho các không gian con riêng E (λi ) tương ứng → Nếu tổng số chiều các không gian con riêng nhỏ hơn n thì không chéo hóa được 3. Đặt B = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk , và đặt P = P(B0 → B). → Thì: P −1 AP là ma trận chéo, với các phần tử trên đường chéo là các trị riêng của A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 6 / 14
Ví dụ: Các ma trận sau có chéo được không? Nếu có, hãy chéo hóa nó. 1. Các ma trận trong ví dụ trên. 1 −1 2 1 2. , 1 3 2 3   4 2 −1 3.  −6 −4 3  −6 −6 5   −3 1 −1 4.  −7 5 −1  −6 6 −2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 7 / 14
Dạng toàn phương Một dạng toàn phương trên Rn là một ánh xạ Q : Rn → R có dạng: Q (x1 , x2 , ..., xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + ... + 2a1n x1 xn +a22 x22 + 2a23 x2 x3 + ... + ann xn2     x1 a11 a12 · · · a1n  x2   a12 a22 · · · a2n  Đặt: X =   ...   , và A =   ··· ··· ··· ···   xn a1n a2n · · · ann > Thì Q (x1 , x2 , ..., xn ) = X AX Ta gọi A là ma trận của dạng toàn phương Q Chú ý: A là ma trận đối xứng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 8 / 14
Ví dụ: Cho dạng toàn phương Q (x1 , x2 , x3 ) = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1 x2 − 4x2 x3 Xác định ma trận của dạng toàn phương Q Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 9 / 14
Dạng chính tắc dạng toàn phương Cho dạng toàn phương Q(X ) = [X ]> B0 A[X ]B0 Nếu tồn tại cơ sở B của Rn sao cho: Q(X ) = [X ]> B D[X  ]B . Với D là ma  trận chéo: a1 0 ... 0  0 a2 ... 0  D=  ... ... ... ...   0 0 ... an Thì Q (X ) = a1 y1 + a2 y22 + ... + an yn2 , với 2 > [X ]B = y1 y2 ... yn . Và ta gọi dạng này là dạng chính tắc của dạng toàn phương Q Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 10 / 14
Đưa về dạng chính tắc Dùng ma trận trực giao Ma trận P gọi là ma trận trực giao nếu P −1 = P > Nếu A đối xứng thì luôn tồn tại ma trận trực giao P sao cho P −1 AP là ma trận đường chéo Đặt X = PY thì Q(X ) = Y > (P −1 AP)Y Chú ý: Để tìm P thỏa yêu cầu trên, ta tiến hành chéo hóa A (như phần trên). Sau khi có cơ sở B gồm toàn các vector riêng của A, ta tiếp tục trực chuẩn hóa (bằng Gram-Schmidt) để biến B thành cơ sở trực chuẩn C. P = P(B0 → C) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 11 / 14
Ví dụ: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 1. Q = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1 x2 − 4x2 x3 2. Q = 2x2 x3 + 2x3 x1 + 2x1 x2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 12 / 14
Dùng phương pháp Lagrange 1. Gom các số hạng chứa x1 lại với nhau: a11 x12 + 2a12 x1 x2 + ... + 2a1n x1 xn a 12 a 1n = a11 x12 + 2 x1 x2 + ... + 2 x1 xn a11 a11 2 a12 a1n = a11 x1 + x2 + ... + xn a11 a11 2 a12 a1n −a11 x2 + ... + xn a11 a11 a12 a1n 2. Đặt y1 = x1 + x2 + ... + xn , thì a11 a11 Q = a11 y12 + Q1 với Q1 chỉ có n − 1 biến 3. Và tiếp tục . . . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 13 / 14
Chú ý: Nếu a11 = 0 thì ta xét x2 trước Nếu a11 = a22 = · · · = 0 thì ta xét một tích chéo nào đó. x1 = y1 + y2 Chẳng hạn xét a12 , đặt: x2 = y1 − y2 Thì: x1 x2 = y12 − y22 Ví dụ: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc 1. Q = 2x12 + x22 + 17x32 − 4x1 x2 + 12x1 x3 − 16x2 x3 2. Q = x1 x2 − 2x1 x3 + 2x1 x4 − x2 x4 − 4x3 x4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 14 / 14